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第一章 特殊平行四边形
1 菱形的性质与判定
第3课时 菱形的性质与判定的综合运用
第3课时 菱形的性质与判定的综合运用
情 境 导 入
如图所示：在□ABCD 中添加一个条件使其成为菱形：
添加方式1：_________________ .
添加方式2：_________________ .
一组邻边相等
AC⊥ BD
☆回忆：菱形有哪些判定？
对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
四边相等的四边形是菱形.
回忆菱形的判定
你还记得吗？
1.平行四边形的面积=_________.
A
B
C
D
F
底×高
2.菱形是特殊的平行四边形，如图菱形ABCD的面积=_________.
BC·DF
你能用菱形的对角线表示菱形的面积吗？
A
B
C
O
D
思考：
探究菱形的面积
问题1.菱形是特殊的平行四边形,那么能否利用平行四边形面积公式计算菱形ABCD的面积吗
A
B
C
D
E
能.过点A作AE⊥BC于点E,
则S菱形ABCD=底×高
=BC·AE.
前面我们已经学习了菱形的对角线互相垂直,那么能否利用对角线来计算
菱形ABCD的面积呢
思考：
新 课 探 究
第3课时
菱形的性质与判定的综合运用
问题2.如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD交于点O,试用对角线表示出菱形ABCD的面积.
A
B
C
D
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD,
∴S菱形ABCD=S△ABC +S△ADC
= AC·BO+ AC·DO
= AC(BO+DO)
= AC·BD.
菱形的面积 = 底×高 = 对角线乘积的一半
探究菱形的面积
o
典例：四边形ABCD 是边长为 13cm 的菱形，其对角线 BD 长为 10 cm.
求：(1)对角线 AC 的长度； (2)菱形 ABCD 的面积.
解：(1)∵四边形 ABCD 是菱形，AC 与 BD 相交于点 E，
∴∠AED = 90°（菱形对角线互相垂直），
DE = BD = ×10 = 5（cm）（菱形对角线互相平分）.
∴AE = = = 12（cm）.
∴AC = 2AE = 2×12 = 24（cm）（菱形的对角线互相平分）.
探究菱形的面积
典例：四边形ABCD 是边长为 13cm 的菱形，其对角线 BD 长为 10 cm.
求：(1)对角线 AC 的长度； (2)菱形 ABCD 的面积.
(2) 菱形ABCD 的面积
= △ABD 的面积 + △CBD 的面积
= 2×△ABD 的面积
= 2 × BD AE
= 2 × × 10 × 12
= 120 （cm2）.
探究菱形的面积
菱形的判定与性质的综合问题
两张不等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分是什么图形？
平行四边形
做一做
菱形的判定与性质的综合问题
两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠部分ABCD是菱形吗？为什么？
做一做
菱形
分析：易知四边形ABCD是平行四边形，
只需证一组邻边相等或对角线互相垂直即可.
由题意可知BC边上的高和CD边上的高相等，
然后通过证三角形的全等，即得AB=AD.
菱形的判定与性质的综合问题
证明：∵等宽纸条对边平行，
∴AD∥BC， AB∥CD，∴□ABCD 是平行四边形.
从 点A作AM⊥DC 交于点M, 作AN⊥BC交于点N.
∵是两张等宽的纸，∴AM =AN.
∵□ABCD 是平行四边形，∴∠ABN=∠ADM.
∵AM⊥DC ，AN⊥BC，∴∠ANB =∠AMD = 90°，
∴△ABN≌△ ADM，∴AB = AD.
∴四边形 ABCD 是菱形.
菱形的判定与性质的综合问题
典例：菱形ABCD 的周长为40cm，它的一条对角线BD长10cm.
（1）求这个菱形的每一个内角的度数；
（2）求这个菱形另一条对角线的长.
解：（1）∵菱形 ABCD 的周长为 40 cm，
∴AB = BC = CD = DA = 10（cm）.
又∵BD = 10（cm），
∴△ABD是等边三角形，∴∠BAD = 60°，∴∠BCD = 60°，∠ABC =∠CDA = 120°.
菱形的判定与性质的综合问题
典例：菱形ABCD 的周长为40cm，它的一条对角线BD长10cm.
（1）求这个菱形的每一个内角的度数；
（2）求这个菱形另一条对角线的长.
（2）∵△AEB是直角三角形，
AB =10（cm），BE = 5（cm），
∴AE = = = （cm）.
∴AC = 2AE = (cm).
巩固练习
1.如图,在菱形中,,分别是,的中点,若,,则菱形的周长为_____.
20
巩固练习
2.如图，在菱形中，对角线，交于点，其中， ，则菱形的面积为____.
4
巩固练习
3.已知菱形的两条对角线的长分别是6和8，求菱形的周长和面积.
解：如图，在菱形 中，，，
， ，，
，菱形的周长是 ，
面积是 .
小结：菱形面积=底×高=对角线乘积的一半.
巩固练习
4. 如图在平行四边形ABCD中，AC平分∠DAB，AB=2，求平行四边形ABCD的周长.
解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，
∴∠DAC=∠ACB，∠BAC=∠ACD.
∵AC平分∠DAB，∴∠DAC=∠BAC，
∴∠DAC=∠ACD，∴AD=DC，
∴四边形ABCD为菱形，∴四边形ABCD的周长=4×2=8．
拓展延伸
5.某校九年级学习小组在探究学习过程中，用两块完全相同的且含 角的直角三角板<与按如图 1 所示的位置放置，现将 绕点按逆时针方向旋转 如图2所示,与交于点，与交于点 ，与交于点 .
拓展延伸
（1） 求证： ；
证明： .
在 和 中，
. .
拓展延伸
解：当旋转角 时，四边形 是菱形.
理由如下：
. .
， .
. .
. .
四边形 是平行四边形.
， 四边形 是菱形.
(2)当旋转角α=30°时,四边形是什么样的特殊四边形 并说明理由.
第3课时 菱形的性质与判定的综合运用
课 堂 小 结
1、这节课你都学会了什么？
2、将你的所学形成网络框架.
定义
定理
定理
面积
菱形的面积等于其对角线乘积的一半.
四边相等的四边形是菱形.
有一组邻边相等的平行四边形是菱形.
对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
THANK YOU

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