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2025-2026学年度高中数学必修一
1.1-2.1等式性质与不等式性质滚动测试卷
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
3..测试范围：必修第一册第一章,第二章第一节2.1
第I卷（选择题）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1．若集合，则（ ）
A． B．
C． D．
2．已知集合，，则集合A，B之间的关系是（ ）
A． B． C． D．
3．“”是“”的
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．即不充分也不必要条件
4．下列命题为真命题的是（ ）
A．若，则 B．若且，则
C．若，则 D．若，，则
5．已知均为实数，且，下列命题正确的是（ ）
A．是的充分条件 B．是的必要条件
C．是的充分条件 D．是的必要条件
6．已知集合，那么集合M∩N为
A．x=3，y=—1 B．(3,—1) C．{3,—1} D．{(3,—1)}
7．已知不等式成立的充分条件是，则实数的取值范围是（ ）
A．或 B．或
C． D．
8．已知集合的子集B满足：对任意x，，有，则集合B中元素个数的最大值是（ ）.
A．506 B．507 C．1012 D．1013
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．若是的充分不必要条件，是的必要条件，是的必要条件，是的充分条件，则（ ）
A．是的充分不必要条件 B．是的充要条件
C．是的充要条件 D．是的充要条件
10．下列四个命题中正确的是（ ）
A．由所确定的实数集合为
B．同时满足的整数解的集合为
C．集合可以化简为
D．中含有三个元素
11．下列命题为真命题的是（ ）.
A．若，则 B．若，则
C．如果，那么 D．若，则
第II卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．已知集合M满足，那么这样的集合M的个数为 ．
13．已知集合，集合，且，则实数的值是 .
14．已知集合，若，则
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
15．已知：设，，，求：
(1) ；
(2) ；
(3)
16．求证：方程有两个同号且不相等实根的充要条件是.
17．（1）集合，且，用列举法表示；
（2）用描述法表示图中的阴影部分(包括边界)；
（3）集合M中的元素为自然数，且满足，则满足题设条件的集合M共有多少个？
18．证明下列不等式：
(1)若，求证：；
(2)若，，，求证：．
19．已知全集，集合，集合．条件①；②是的充分条件；③，使得．
(1)若，求；
(2)若集合A，B满足条件__________（三个条件任选一个作答），求实数m的取值范围．
试卷第2页，共3页
试卷第1页，共3页
《2025-2026学年度高中数学必修一1.1-2.1等式性质与不等式性质滚动测试卷》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C C B A D D D C BD BC
题号 11
答案 BCD
1．C
【分析】根据交集的定义，即得解
【详解】由题意，集合
根据交集的定义可得：
故选：C
2．C
【分析】先将给定的集合化简，然后作出判断.
【详解】解：由集合A得：
，
由集合B得：
，
∵，
∴，
故选：C.
3．B
【详解】试题分析：由，得，解得或，所以“或”是“”的充分不必要条件，故选B.
考点：充分不必要条件的判定.
4．A
【分析】利用反例可判断BDC的正误，根据不等式的性质可判断AC的正误.
【详解】对于A，取，则，若，则，
故若，则，故成立，故A正确；
对于B，取，则成立，但，
故B错误；
对于C，取，则成立，但 ，
故C错误；
对于D，取，则，，
但，故D错误；
故选：A.
5．D
【分析】举反例判断A，B，C，利用不等式的性质结合必要条件的定义判断D即可.
【详解】对于A，令，满足，不满足，
则不是的充分条件，故A错误，
对于B，令，满足，不满足，
则不是的必要条件，故B错误，
对于C，令，满足，不满足，
则不是的充分条件，故C错误，
对于D，若，由不等式性质得，
则是的必要条件，故D正确.
故选：D
6．D
【解析】由已知中集合，表示两条相交直线上的点组成的点集，故集合即为只含两条直线交点一个元素的点集，联立方程祖求解，即可得到答案.
【详解】∵
∴
故选：D.
【点睛】本题考查的知识点是交集及其运算，两条件直线的交点坐标，集合的表示方法，其中正确理解点集的表示方法，是解答本题的关键.
7．D
【分析】由题意知，根据子集关系列式解得参数范围即可.
【详解】由题意得，
所以，且等号不能同时成立，解得.
故选：D.
8．C
【分析】假设中的最大元素为，再将其余元素分组，再结合抽屉原理即可得解.
【详解】假设中的最大元素为，
将其余元素分组：，，，…，，共组，
一定不包含.
若中元素多于个，由抽屉原理可知，必有两个数在同一组，两个数的和为，与条件矛盾.
所以中元素不能多于个.
所以当时，中元素个数最多，为个.
故选：C
【点睛】关键点点睛：解决本题的关键在于对不等关系进行等价转化，找出便于理解的处理方式，当然此题解法不唯一，可以讨论极限情况，可以分类列举观察规律.
9．BD
【分析】根据命题的充分必要性直接得解.
【详解】由是的必要条件，即是的充分条件，又是的充分条件，所以是的充分条件，无法推到命题，A，C选项错误；
又是的必要条件，所以是的充要条件，B选项正确；
所以是的充要条件，D选项正确；
故选：BD.
10．BC
【分析】利用绝对值的意义，去绝对值符号，即可判定A；解不等式得到x的取值范围，用列举法表示出整数解的集合即可判定B；由，，，用列举法可判定C；用试根的方式找出满足条件的元素可判断D.
【详解】解：对于选项A，
当都是正数时，原式
当都是负数时，原式
当两正一负时，原式
当两负一正时，原式故A错误；
对于选项B，由，得，
所以符合条件的整数解的集合为，故B正确；
对于选项C，由，，，
可以得到符合条件的数对有，，，故C正确；
对于选项D，当时，；当时，
当时，；当时，；
当时，；当时，，
所以集合A含有四个元素2，1，0，，故D错误.
故选：BC.
11．BCD
【分析】对于A，举反例证明其错误；对于B，证明即可；对于C，首先有，若要成立，只需即可，只需，这显然成立；对于D，首先有，若要，只需即可，只需，这显然成立.
【详解】对于A，令，，则，故A错误.
对于B，因为，所以，故B正确.
对于C，由于 ，同乘以，
得，又，所以，故C正确.
对于D，若，则，所以，所以，故D正确.
故选：BCD.
12．8
【分析】根据子集的性质进行求解即可.
【详解】因为，所以，又因为，
所以，或或，或，或者，或，或，或，共8个，
故答案为：
13．
【分析】根据集合交集的性质分类讨论进行求解即可.
【详解】由，知，
若，则，此时，，，舍去；
若，则，此时，，，满足题意；
若，此时无实数解，综上知，，
故答案为：
14．1或2
【分析】讨论集合B中的元素，根据可得解.
【详解】因为，
，
当时，，此时，，满足题意，
当时，，由可得，即.
综上，1或2.
故答案为：1或2.
15．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由交集的定义求解 ；
（2）由补集的定义求解 ；
（3）由补集和并集的定义求解.
【详解】（1），，，
则有 ；
（2）；
（3），.
16．证明见解析
【分析】由，可得，且，证明充分性；令，解不等式组求出m的范围，可证明必要性.
【详解】充分性：∵，
∴方程的判别式，且，
∴方程有两个同号且不相等的实根．
必要性：若方程有两个同号且不相等的实根，
则有，解得.
综上，方程有两个同号且不相等的实根的充要条件是.
17．（1）；（2）；（3）31个.
【分析】（1）由，解得，根据从而得集合；
（2）分两部分表示出阴影部分的面积，然后合并即可；.
（3）满足条件的集合M是由集合{4}，{0，8}，{1，7}，{2，6}，{3，5}中的元素组成，分情况逐一求解即可.
【详解】（1）注意到，因此，解得，又
∵，，所以
（2）阴影部分的面积分两部分，即或，合并为：.
（3）满足条件的集合M是由集合{4}，{0，8}，{1，7}，{2，6}，{3，5}中的元素组成，它包括以下情况：
①由1个集合中的元素组成的有{4}，{0，8}，{1，7}，{2，6}，{3，5}，共5种；
②由2个集合中的元素组成的有{4，0，8}，{4，1，7}，{4，2，6}，{4，3，5}，{0，8，1，7}，{0，8，2，6}，{0，8，3，5}，{1，7，2，6}，{1，7，3，5}，{2，6，3，5}，共10种；
③由3个集合中的元素组成的有{4，0，8，1，7}，{4，0，8，2，6}，{4，0，8，3，5}，{4，1，7，2，6}，{4，1，7，3，5}，{4，2，6，3，5}，{0，8，1，7，2，6}，{0，8，1，7，3，5}，{1，7，2，6，3，5}，{0，8，2，6，3，5}，共10种；
④由4个集合中的元素组成的有{4，0，8，1，7，2，6}，{4，0，8，1，7，3，5}，{4，0，8，2，6，3，5}，{4，1，7，2，6，3，5}，{0，8，1，7，2，6，3，5}，共5种；
⑤由5个集合中的元素组成的有{4，0，8，1，7，2，6，3，5}，1种.
综上可知，满足题设条件的集合M共有31个.
18．(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】根据作出比较法，准确化简、运算，即可求解.
【详解】（1）证明：因为，
又因为，所以，所以．
（2）证明：由
，
因为，，
所以，，，，
所以，．
因为，所以
又因为，
所以，即．
19．(1)
(2)或
【分析】（1）可将带入集合中，得到集合的解集，即可求解出答案；
（2）可根据题意中三个不同的条件，列出集合与集合之间的关系，即可完成求解.
【详解】（1）当时，集合，集合，所以；
（2）i.当选择条件①时，集合，
当时，，舍；
当集合时，即集合，时，，
此时要满足，则，解得，
结合，所以实数m的取值范围为或；
ii.当选择条件②时，要满足是的充分条件，则需满足在集合时，
集合是集合的子集，即，解得，
所以实数m的取值范围为或；
iii.当选择条件③时，要使得，使得，那么需满足在集合时，集合是集合的子集，即，解得，
所以实数m的取值范围为或；
故，实数m的取值范围为或.
答案第2页，共9页
答案第1页，共9页

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