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2025年高三期初热身考试
数学试卷 2025.9
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1. 的模为（ ）
A 1 B. C. 2 D. 1+
2. 已知集合，，则中元素个数为（ ）
A. 0 B. 3 C. 6 D. 8
3. 已知焦点在轴上的双曲线C的渐近线方程是，则C的离心率为（ ）
A. B. 2 C. D.
4. 已知是函数的图象的一条对称轴，则a的最小正值为（ ）
A. B. C. D.
5. 已知是定义在上的函数，当时，，则=（ ）
A. -5 B. -1 C. 1 D. 4
6. 解决平面向量问题一个重要的定理：,的充要条件是三点共线.如图所示，分别是的中点，则=（ ）
A. 1 B. 2 C. D.
7. 已知圆:与直线，直线上存在点，过点可以作两条互相垂直且与圆相切的直线，则r的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
8. 已知，若则x，y，z的大小关系不可能是（ ）
A. B.
C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 在正三棱柱中，各棱长均为1，D为BC的中点，则（ ）
A. , B. 平面
C. D. 三棱柱外接球表面积为
10. 已知抛物线的焦点为F，过F作一条倾斜角为的直线交C于A，B两点(在第一象限)，与准线垂直，垂足为.则（ ）
A. 为等边三角形 B.
C. D.
11. 已知中，，若,，则（ ）
A. B.
C. D. 的面积是
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分.
12. 若直线是曲线的一条切线，则_________.
13. 若一个等差数列前4项的和等于4，后4项的和等于68，所有项的和为108，则这个数列的项数等于_________.
14. 有5个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，从中有放回地随机取球，每次取1个球，至多取3次，如果取到数字5的球就停止取球.记X为这几次取出的球中数字最大球的数字，则X的数学期望_________.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 为研究某疾病与超声波检查结果的关系，从做过超声波检查的人群中随机调查了若干人，得到如下列联表：
超声波检查结果 组别 正常 不正常 合计
患该疾病
未患该疾病 2
合计
（1）记超声波检查结果不正常者患该疾病的概率为，求关系；
（2）在（1）的条件下，根据小概率值的独立性检验，分析得出超声波检查结果与患该疾病有关.求的最小值.（保留整数）
附，
0.050 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
16 已知数列中，，，.
（1）证明：数列是等差数列，求出数列的通项公式；
（2）记（为参数），若，求出并求出数列的前项和.
17. 如图,在四棱锥中，底面，平面平面，．
（1）证明：；
（2）设,，若二面角平面角为，求.
18. 已知椭圆的离心率为，焦距为，以为三边的三角形面积为：
（1）求C的方程；
（2）过右焦点作两条互相垂直的直线分别交椭圆于，求四边形面积的最小值
19. 已知函数，.
（1）讨论的单调性；
（2）当恒成立，求的值
2025年高三期初热身考试
数学试卷 2025.9
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1、A 2、C 3、B 4、D 5、B 6、B 7、D 8、D
选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
AD 10、ACD 11、ACD
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分.
12、 0 13、 12 14、
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15、（1）
（2）
（1）证明略.
（2）
（1）证明略
（2）
（1）
（2）四边形面积的最小值为
（1）时，在上单调递增
时，在上单调递减，在上单调递增
（2）

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