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第4课时 切线长定理
第二十四章 圆
情 境 导 入
第4课时 切线长定理
直线和圆有哪几种位置关系？怎样判断它们的位置关系？
三种，d>r，相离；d＝r，相切；d你觉得这几种位置关系哪种最特殊？为什么？
相切
复习
情境导入
新课探究
课堂小结
切线的判定定理：
经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
切线的性质定理：
圆的切线垂直于过切点的半径.
复习
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课堂小结
如图，AB是☉O的切线，切点为B，AO⊥BC，∠A=30°，则：
(1)∠ABO=______°，∠BOE=______°；
(2)BD=_____， ==_____，∠BOE=∠_______.
90
60
CD
COE
复习
上节课我们学习了过圆上一点作已知圆的切线(如左图所示)，如果点P是圆外一点，又怎么作该圆的切线呢？过圆外的一点作圆的切线，可以作几条？
第4课时 切线长定理
新 课 探 究
新 课 探 究
如图，过圆外一点P有两条直线PA，PB分别与☉O相切.经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间线段的长，叫作这点到圆的切线长.
切线和切线长是两个不同的概念：
1.切线是一条与圆相切的直线；
2.切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点.
切线与切线长有什么区别和联系？
新课探究
情境导入
课堂小结
新课探究
情境导入
课堂小结
如图，PA，PB是☉O的两条切线，切点分别为A，B.在半透明的纸上画出这个图形，沿着直线PO将图形对折，图中的PA与PB，∠APO与∠BPO有什么关系？
如图，连接OA和OB.
∵PA和PB是☉O的两条切线，
∴OA⊥AP，OB⊥BP.
又OA=OB,OP=OP.
∴Rt△AOP≌Rt△BOP.
∴PA=PB,∠APO=∠BPO.
探究
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课堂小结
切线长定理:
过圆外一点作圆的两条切线，两条切线长相等.圆心与这一点的连线平分两条切线的夹角.
PA、PB分别切☉O于A、B
PA = PB
∠OPA=∠OPB
几何语言:
切线长定理为证明线段相等、角相等提供了新的方法.
B
P
O
A
总结归纳
归纳
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情境导入
课堂小结
B
P
O
A
PA、PB是☉O的两条切线，A,B是切点，OA=3.
（1）若AP=4,则OP= ;
（2）若∠BPA=60 °,则OP= .
练一练
5
6
新课探究
情境导入
课堂小结
如图是一块三角形的铁皮，如何在它上面截下一块圆形的用料，并且使截下来的圆与三角形的三条边都相切？
思考
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课堂小结
如图，分别作出∠B、∠C的平分线BM和CN，设它们相交于点I，那么点I到AB，BC，CA的距离都相等.
以点I为圆心，点I到BC的距离ID为半径作圆，则⊙I与△ABC的三条边都相切，圆I就是所求作的圆.
探究
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课堂小结
1.与三角形三边都相切的圆叫作三角形的内切圆.
2.三角形内切圆的圆心叫作这个三角形的内心.
3.这个三角形叫作这个圆的外切三角形.
B
A
C
I
☉I是△ABC的内切圆，点I是△ABC的内心，△ABC是☉I的外切三角形.
总结归纳
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课堂小结
例 如图，△ABC的内切圆☉O与BC，CA,AB分别相切于点D,
E,F,且AB=9，BC=14，CA=13.求AF,BD,CE的长.
解：设AF=x，则AE=x.
CD=CE=AC-AE=13-x,
BD=BF=AB-AF=9-x.
由BD+CD=BC,可得（13-x）+（9-x）=14.
解得x=4.
因此AF=4，BD=5，CE=9.
典例精析
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课堂小结
1.如图，△ABC的内切圆☉O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，且AB=9，BC=14，CA=13.求AF、BD、CE的长.
解：设AF=x，则AE=x，CD=CE=AC-AE=13-x，BD=BF=AB-AF=9-x
由BD+CD=BC，可得(13-x)+(9-x)=14
解得 x=4
因此 AF=4，BD=5，CE=9
练一练
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课堂小结
2.如图，△ABC中，∠ B=43°，∠C=61 °，点I是△ABC的内心，求∠ BIC的度数.
解：连接IB，IC.
A
B
C
I
∵点I是△ABC的内心，
∴IB，IC分别是∠ B，∠C的平分线，
在△IBC中，
练一练
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课堂小结
3.△ABC的内切圆半径为r，△ABC的周长为l，求△ABC的面积.
练一练
练一练
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情境导入
课堂小结
1．如图，P为☉O外一点，PA，PB分别切☉O于点A，B，CD切☉O于点E，分别交PA，PB于点C，D．若PA＝6，则△PCD的周长为______．
12　
练习
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课堂小结
2．如图，在△ABC中，∠BOC＝115°，点O是它的内心，则∠A等于 (　　)
A．45°
B．50°
C．57.5°
D．65°
B　
练习
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课堂小结
3．如图，PA，PB是☉O的切线，点A，B为切点，AC是☉O的直径，∠BAC＝20°，求∠P的度数．
解：由切线的性质，得∠PAC＝90°．
∴∠PAB＝∠PAC－∠BAC＝90°－20°＝70°．
由切线长定理，得PA＝PB．
∴∠PAB＝∠PBA＝70°．
∴∠P＝180°－70°×2＝40°．
练习
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课堂小结
D　
练习
课 堂 小 结
通过本节课的学习
1.你掌握了哪些知识？
2.你学会了哪些解题方法？
3.你运用了哪些数学思想？
4.你总结了哪些学习经验？
5.还有什么感悟和思考？
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新课探究
切线长
切线长定理
作用
图形的轴对称性
原理
提供了证线段和
角相等的新方法
辅助线
分别连接圆心和切点；
连接两切点；
连接圆心和圆外一点.
三角形内切圆
运用切线长定理，将相等线段转化集中到某条边上，从而建立方程.
有关概念
内心概念及性质
应用
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