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第2课时 垂直于弦的直径
第二十四章 圆
情 境 导 入
第2课时 垂直于弦的直径
圆的有关概念
1.圆的定义：
动态：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫作圆．
静态：圆心为O、半径为r的圆可以看成是所有到定点O的距离等于定长r的点组成的图形．
2.圆的几何表示:
以点O为圆心的圆，记作⊙O，读作“圆O”．
复习
3.弦：连接圆上任意两点的线段．
4.直径:经过圆心的弦．直径也是圆中最长的弦．
直径是弦，弦不一定是直径．
5.半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫作半圆．
6.弧、优弧、劣弧：
圆上任意两点间的部分叫作圆弧，简称弧．
弧用符号“⌒”表示，以A，B为端点的弧记作“AB ”，读作"圆弧AB"或"弧AB"．
大于半圆的弧叫作优弧（多用三个字母表示）
小于半圆的弧叫作劣弧（多用两个字母表示）
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新课探究
课堂小结
⌒
复 习 导 入
7.等圆、等弧
等圆：能够完全重合的两个圆，叫作等圆。
半径相等的两个圆就是等圆。
等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的两条弧叫作等弧。
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新 课 探 究
剪一个圆形纸片，沿着它的任意一条直径对折，重复做几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？你能证明你的结论吗？
可以发现，圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴.
你能进行推理证明吗？
探究
第2课时 垂直于弦的直径
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分析：要证明圆是轴对称图形，只需证明圆上任意一点关于直径所在的直线(对称轴)的对称点也在圆上.
证明：如图，设CD是⊙O的任意一条直径，
A为⊙O上点C，D以外的任意一点.
过点A作AA′⊥CD，交⊙O于点A′，
垂足为M，连接OA，OA′.
在△OAA′中，
∵OA=OA′
∴△OAA′是等腰三角形
∵AA′⊥CD
∴ AM=MA′
即CD是AA′的垂直平分线
这就是说，对于圆上任意一点A，在圆上都有关于直线CD的对称点A′，因此⊙O关于直线CD对称.
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垂径定理
文字语言：垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.
∴ AE=BE,
AC =BC,
⌒
⌒
⌒
⌒
AD =BD.
推导格式：
温馨提示：垂径定理是圆中一个重要的定理,三种语言要相互转化,形成整体,才能运用自如.
归纳总结
符号语言：
∵ CD是直径，CD⊥AB，
图形语言：
·
O
A
B
C
D
E
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课堂小结
想一想：下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不是，请说明为什么？
A
B
O
C
D
E
O
A
B
C
A
B
O
E
A
B
D
C
O
E
是
不是，因为CD没有过圆心
是
不是，因为没有垂直
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垂径定理的几个基本图形：
A
B
O
C
D
E
A
B
O
E
D
A
B
O
D
C
A
B
O
C
定理中的两个条件缺一不可:
①过圆心(直径)； ②垂直于弦.
总结归纳
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如果把垂径定理（垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧）结论与题设交换一条，命题是真命题吗？
①过圆心 ；②垂直于弦； ③平分弦；
④平分弦所对的优弧 ； ⑤平分弦所对的劣弧.
上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论吗？
思考
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D
O
A
B
E
C
举例证明其中一种组合方法
已知:
求证：
① CD是直径
② CD⊥AB，垂足为E
③ AE=BE
④ AC=BC ⑤ AD=BD
⌒
⌒
⌒
⌒
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进一步，我们还可以得到推论：
平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.
符号语言：
∵CD是⊙O的直径，AE=BE
∴CD⊥AB,AC=BC,AD=BD
“不是直径”这个条件能去掉吗？如果不能，请举出反例.
·
O
A
B
C
D
特别说明：
圆的两条直径是互相平分的.
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例2 赵州桥（如图）是我国隋代建造的石拱桥，距今约有1400年的历史，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶.它的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为37m，拱高（弧的中点到弦的距离）为7.23m，求赵州桥主桥拱的半径（结果保留小数点后一位）.
分析：解决此问题的关键是根据赵州桥的实物图画出几何图形.
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解：如图，用AB表示主桥拱，设AB所在圆的圆心为O，半径为R.
⌒
⌒
经过圆心O作弦AB的垂线OC，D为垂足，OC与AB相交于点C，连接OA.根据垂径定理，C是AB的中点，D是AB的中点，CD就是拱高.
⌒
⌒
由题设可知，AB=37m，CD=7.23m
所以，AD=AB=×37=18.5(m)，OD=OC-CD=R-7.23
在Rt△OAD中，由勾股定理，得
OA2=AD2+OD2
即 R2=18.52+(R-7.23)2
解得 R≈27.3(m)
因此，赵州桥的主桥拱半径约为27.3m
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在圆中有关弦长a,半径r, 弦心距d（圆心到弦的距离），弓形高h的计算题时，常常通过连半径或作弦心距构造直角三角形，利用垂径定理和勾股定理求解.
弦a，弦心距d，弓形高h，半径r之间有以下关系：
A
B
C
D
O
h
r
d
d+h=r
O
A
B
C
·
弓形中重要数量关系
涉及垂径定理时辅助线的添加方法
1．如图表示一圆柱形输水管的横截面，阴影部分为有水部分，如果输水管的半径为cm，水面宽为cm，则水的最大深度为（ ）
A．cm B．cm C．cm D．cm
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练习
C
2．一个圆弧形蔬菜大棚的剖面如图所示，已知AB=16m，半径OA=10m，则高度CD的长为（　 ）
A．2m B．4m C．6m D．8m
B
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3.已知⊙O中，弦AB=8cm，圆心到AB的距离为3cm，则此圆的半径为 .
5cm
4.⊙O的直径AB=20cm, ∠BAC=30°则弦AC= .
10cm
5.（分类讨论题）已知⊙O的半径为10cm，弦MN∥EF,且MN=12cm,EF=16cm,则弦MN和EF之间的距为 .
14cm或2cm
解题技巧：解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的弦心距，或作垂直于弦的直径，连结半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件.
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6.如图，AB是⊙O的直径，∠BAC=42°，点D是弦AC 的中点，则∠DOC的度数是______度．
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课 堂 小 结
通过本节课的学习
1.你掌握了哪些知识？
2.你学会了哪些解题方法？
3.你运用了哪些数学思想？
4.你总结了哪些学习经验？
5.还有什么感悟和思考？
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两条辅助线：
连半径，作弦心距
基本图形及变式图形
垂径定理
内容
推论
辅助线
垂直于弦的直径平分弦,
并且平分弦所对的两条弧
一条直线满足:①过圆心;②垂直于弦; ③平分弦（不是直径）; ④平分弦所对的优弧;⑤平分弦所对的劣弧.满足其中两个条件就可以推出其它三个结论（“知二推三”）
构造直角三角形利用勾股定理计算或建立方程.
圆的轴对称性
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