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第4课时 圆周角
第二十四章 圆
情 境 导 入
第4课时 圆周角
圆心角的定义：
圆心角的判断方法：　　　　　　　　　　　　　　
判断下列各图中的哪个角是圆心角，并说明理由.
(1) (2) (3) (4)
观察顶点是否在圆心.
顶点在圆心的角叫作圆心角.
复习
新 课 探 究
将圆心角顶点上移，直至与⊙O相交于点C 观察得到的∠ACB有什么特征？
O
A
C
B
特征：顶点在圆上，两边都与圆相交.
顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫作圆周角.
圆周角的特征：
①顶点在圆上；
②两边都和圆相交.
圆周角:
第4课时 圆周角
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情境导入
课堂小结
·
C
O
A
B
·
C
O
B
A
·
C
O
B
·
C
O
B
A
A
判一判：下列各图中的∠BAC是否为圆周角并简述理由.
（2）
（1）
（3）
（5）
（6）
顶点不在圆上
顶点不在圆上
边AC没有和圆相交
√
√
√
O
·
C
A
B
B
C
A
·
O
（4）
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如图，连接BO,CO,得圆心角∠BOC.试猜想∠BAC与∠BOC存在怎样的数量关系.
可以发现，同弧所对的圆周角的度数等于这条弧所对的圆心角的度数的一半.
猜想：
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圆心O 在∠BAC的内部
圆心O在∠BAC的一边上
圆心O在∠BAC
的外部
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OA=OC
∠A=∠C
∠BOC=∠A +∠C


对于第（2）（3）种情况，可以通过添加辅助线（如图），将它们转化为第（1）种情况，从而得到相同的结论.
D
D
分析第(1)种情况：
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一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
圆周角定理：
符号语言：
∵AB=AB
∴∠ACB= ∠AOB
⌒
⌒
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如图，在☉O中，如果AB=CD，那么∠E与∠F相等吗？
请说明理由.
思考
⌒
⌒
解：∠E=∠F. 理由如下：
连接OA，OB，OC，OD.
∵AB=CD
∴∠AOB=∠COD
∵∠E= ∠AOB，∠F= ∠COD
∴∠E=∠F.
⌒
⌒
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同弧或等弧所对的圆周角相等.
符号语言：
∵AB=CD
∴∠AEB=∠CFD
(
(
符号语言：
∵AB=AB
∴∠ACB=∠ADB
(
(
推论1：
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如图，线段AB是☉O的直径，点C是☉O上的任意一点(除点A、B外)，那么∠ACB就是半圆(直径AB)所对的圆周角，你能求出∠ACB的度数吗？
解：连接OC.
∵OA=OB=OC
∴△AOC、△BOC都是等腰三角形
∴∠OAC=∠OCA，∠OBC=∠OCB
∵∠OAC+∠OBC+∠ACB=180°.
∴∠ACB=∠OCA+∠OCB=180°÷2=90°.
思考
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推论2：
半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径.
符号语言：
∵∠ACB=90°
∴AB是☉O的直径.
符号语言：
∵AB是☉O的直径
∴∠ACB=90°.
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例4 如图，⊙O的直径AB为10cm，弦AC为6cm，∠ACB的平分线交⊙O于点D，求BC、AD、BD的长.
解：连接OD.
∵AB是直径，
∴∠ACB=∠ADB=90°
在Rt△ABC中，
BC=(cm)
∵CD平分∠ACB
∴∠ACD=∠BCD
∴∠AOD=∠BOD
∴AD=BD
又在Rt△ABD中，AD2+BD2=AB2
∴AD=BD=AB=×10=5(cm)
如图，连接OB，OD.
∵∠A所对的弧为BCD，∠C所对的弧为BAD,
又BCD和BAD所对的圆心角的和是周角,
∴∠A+∠C= =180° ,
同理∠B+∠D=180°.
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如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫作圆内接多边形，这个圆叫作这个多边形的外接圆.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，⊙O是四边形ABCD的外接圆.
圆内接四边形的四个角之间有什么关系？
(
(
(
(
圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补.
思考
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练习
1.判断
（1）同一个圆中等弧所对的圆周角相等 （ ）
（2）相等的弦所对的圆周角也相等 （ ）
（3）同弦所对的圆周角相等 （ ）
√
×
×
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2.四边形 ABCD 是⊙O 的内接四边形，且∠A = 110°，
∠B = 80°，则∠C = ° ，∠D = °.
3.⊙O 的内接四边形 ABCD 中，∠A∶∠B∶∠C =1∶2∶3，则∠D = °.
70
100
90
4.已知△ABC的三个顶点在⊙O上,∠BAC=60°,
∠ABC=45°, 则∠AOB= ．
B
A
C
O
150°
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5.如图，BC是半圆O的直径，AD⊥BC于点D，BA=AF ，BF与AD交于点E.求证：(1)∠BAD=∠ACB；(2)AE=BE.
(
(
证明:(1)∵BC是半圆O的直径，
∴∠BAC＝90°.
∴∠BAD＋∠CAD＝90°.
∵AD⊥BC，∴∠ACB＋∠CAD＝90°.
∴∠BAD＝∠ACB.
(2)∵BA=AF，∴∠ACB＝∠ABF.
由(1)知∠BAD＝∠ACB，
∴∠ABF＝∠BAD.∴AE＝BE.
(
(
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6.如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为CD延长线上一点.若∠B=110°，求∠ADE的度数.
解：∵四边形ABCD内接于⊙O
∴∠B+∠ADC=180°
∴∠ADC=180°-∠B=180°-110°=70°
∵∠ADE+∠ADC=180°
∴∠ADE=180°-∠ADC=180°-70°=110°
课 堂 小 结
通过本节课的学习
1.你掌握了哪些知识？
2.你学会了哪些解题方法？
3.你运用了哪些数学思想？
4.你总结了哪些学习经验？
5.还有什么感悟和思考？
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在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一半；相等的圆周角所对的弧相等.
1.90°的圆周角所对的弦是直径；
2.圆内接四边形的对角互补.
圆周角
定义
圆周角定理
圆周角定理的推论
1.顶点在圆上2.两边都与圆相交的角（二者必须同时具备）
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