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25.3 用频率估计概率
第二十五章 概率初步
情 境 导 入
25.3 用频率估计概率
上节课我们学到了哪些求概率的方法，并指出适用范围？
方法一：直接列举法
适用范围：（1）所有可能出现的结果是有限个.（2）每个结果出现的可能性相等.
方法二：列表法
方法三：画树状图法
适用范围：当一次试验要涉及两个因素(如:同时掷两个骰子）或一个因素做两次试验（如:一个骰子掷两次）并且可能出现的结果数目较多时,为不重不漏地列出所有可能的结果，通常可以采用列表法，也可以用树状图法.当试验包含三步或三步以上时，不能用列表法，用画树状图法比较方便.
复习
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用列举法可以求一些事件的概率.实际上，我们还可以利用多次重复试验，通过统计试验结果去估计概率.
我们从抛掷硬币这个简单问题说起.抛掷一枚质地均匀的硬币时，“正面向上”和“反面向上”发生的可能性相等，这两个随机事件发生的概率都是0.5.
这是否意味着抛掷一枚硬币100次时，就会有50次“正面向上”和50次“反面向上”呢？不妨用试验进行检验.
25.3 用频率估计概率
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课堂小结
把全班同学分成10组，每组同学抛掷一枚硬币50次，整理同学们获得的试验数据，并完成下表.
根据上表中的数据，在下图中标注出对应的点.
想一想：“正面向上”的频率有什么规律？
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　　历史上，有些人曾做过成千上万次抛掷硬币的试验，其中一些试验结果见下表：
试验者 抛掷次数n “正面向上”
的次数m “正面向上”的频率
棣莫弗 布丰 费勒 皮尔逊 皮尔逊 2 048 4 040 10 000 12 000 24 000 1 061 2 048 4 979 6 019 12 012 0.518 1
0.506 9
0.497 9
0.501 6
0.500 5
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随着抛掷次数的增加，“正面向上”的频率的变化趋势是什么？
可以发现，在重复抛掷一枚硬币时，“正面向上”的频率在0.5附近摆动.一般地，随着抛掷次数的增加，频率呈现出一定的稳定性：在0.5附近摆动的幅度会越来越小.这时，我们称“正面向上”的频率稳定于0.5.它与前面用列举法得出的“正面向上”的概率是同一个数值.
同样的，反面向上”的频率也稳定于0.5.它与前面用列举法得出的“反面向上”的概率是同一个数值.
思考
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一般地，在大量重复试验下，随机事件A发生的频率(这里n是试验总次数，它必须相当大，m是在这n次试验中随机事件A发生的次数) 会稳定到某个常数p.于是，我们用p这个常数表示事件A发生的概率，即 .
∴P(A)=p.
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问题1 某林业部门要考查某种幼树在一定条件下的移植成活率，应采用什么具体做法
分析：幼树移植成活率是实际问题中的一种概率. 这个问题中幼树移植“成活”与“不成活”两种结果可能性是否相等未知，所以成活率要由频率去估计.
在同样条件下，对这种幼树进行大量移植，并统计成活情况，计算成活的频率. 随着移植棵数n的越来越大，频率会越来越稳定，于是就可以把频率作为成活率的估计值.
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下表是一张模拟的统计表，请补全表中的空缺，并完成表下的填空.(结果保留小数点后三位)
0.940
0.923
0.883
0.905
0.897
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课堂小结
从表中可以发现，随着移植数的增加，幼树移植成活的频率越来越稳定.当移植总数为14000时，成活的频率为0.902，于是可以估计幼树移植成活的概率为____.
0.9
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问题2 某水果公司以2元/kg的成本新进了10 000kg柑橘，如果公司希望这些柑橘能够获得利润5 000元，那么在出售柑橘(去掉损坏的柑橘)时，每kg大约定价为多少元比较合适？
销售人员首先从所有的柑橘中随机地抽取若干柑橘，进行了“柑橘损坏率”统计，并把获得的数据记录在下表中.请你帮忙完成此表.(结果保留小数点后三位)
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课堂小结
0.101
0.097
0.097
0.103
0.101
0.098
0.099
0.103
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课堂小结
填完表后，从上表可以看出，随着柑橘质量的增加，柑橘损坏的频率越来越稳定.柑橘总质量为500kg时的损坏频率为0.103，于是可以估计柑橘损坏的概率为0.1(结果保留小数点后一位).由此可知，柑橘完好的概率为0.9.
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根据估计的概率可以知道，在10 000kg柑橘中完好柑橘的质量为 10 000×0.9=9 000（kg）．
完好柑橘的实际成本为
2×10 000÷9000≈2.22（元/kg）.
设每千克柑橘的售价为x元，则
（x-2.22）×9000=5 000.
解得
x≈2.8（元）.
因此，出售柑橘时，每千克定价大约2.8元可获利5 000元．
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练习
1.在大量重复试验中,关于随机事件发生的频率与概率,下列说法正确的是( )
A.频率就是概率
B.随着试验次数的增加,频率一般会越来越接近概率
C.频率与试验次数无关
D.概率是随机的,与频率无关
B
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2.在一个不透明的盒子里，装有4个黑球和若干个白球，它们除颜色外没有任何其他区别，摇匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复，共摸球40次，其中10次摸到黑球，则估计盒子中大约有白球( )
A.12个 B.16个 C.20个 D.30个
A
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3.在一个不透明的布袋中装有45个白球和若干个黑球，除颜色外其他都相同，小强每次摸出一个球记录下颜色后并放回，通过多次试验后发现，摸到黑球的频率稳定在0.4左右，则布袋中黑球的个数可能有（　　）
A.18 B.27 C.36 D.30
D
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课堂小结
4.一水塘里有鲤鱼、鲫鱼、鲢鱼共1000尾，一渔民通过多次捕获实验后发现：鲤鱼、鲫鱼出现的频率是31%和42%，则这个水塘里有鲤鱼 尾,鲢鱼 尾.
310
270
5.某鱼塘里养了200条鲤鱼、若干条草鱼、150条罗非鱼，该鱼塘主人通过多次捕捞试验后发现，捕捞到草鱼的频率稳定在0.5附近，若该鱼塘主人随机在鱼塘捕捞1条鱼，则估计捞到鲤鱼的概率为_____.
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课堂小结
(1)由上表中数据估计:放养20000条鱼苗，约有_______条能成活;由此推测其成活率是______;
(2)过了一段时间后，养鱼人为了估计鱼塘中鱼的数目,先从塘中捕捞出n条鱼，并在每条鱼身上做好记号，放归鱼塘一段时间后，再从塘中捞出a条鱼，
其中有m条带有记号,则可估计鱼塘中鱼的数目为______条.
18000
0.9
6.某养鱼专业户在相同条件下，做鱼苗放养成活率试验.结果如下表所示，请先完成下表:(结果保留小数点后三位)
课 堂 小 结
通过本节课的学习
1.你掌握了哪些知识？
2.你学会了哪些解题方法？
3.你运用了哪些数学思想？
4.你总结了哪些学习经验？
5.还有什么感悟和思考？
25.3 用频率估计概率
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课堂小结
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频率估计概率
大量重复试验
列举法
不能适应
频率稳定
常数附近
统计思想
一种关系
频率与概率的关系
频率稳定时可看作是概
率，但概率与频率无关
求非等可能性事件概率
用样本(频率)估计总体(概率)
THANK YOU

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