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浙教版数学八年级上学期重难点复习7：一次函数图象的几何变换
一、一次函数图象中的平移问题
1．（2024八上·浙江期末）将直线l：y=-2（x+3）经过适当变换后得到直线，要使经过原点，则可以将直线l（　　）
A．向上平移3个单位 B．向下平移6个单位
C．向右平移3个单位 D．向左平移6个单位
【答案】C
【知识点】一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：直线l：
A、 直线l： 向上平移3个单位后得到的解析式为 不经过原点，故本选项不符合题意；
B、直线l： 向下平移6个单位后得到的解析式为 不经过原点，故本选项不符合题意；
C、直线l： 向右平移3个单位后得到的解析式为 经 过原点，故本选项符合题意；
D、直线l： 向左平移6个单位后得到的解析式为 不经过原点，故本选项不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据平移的规律：左加右减，上加下减并确定出平移后的直线解析式即可解题.
2．（2024八上·铜川期末）已知在平面直角坐标系中，直线经过、两点，将直线向下平移个单位长度得到直线，下列关于直线的说法中，正确的是（　　）
A．与坐标轴围成的三角形面积为 B．不经过第四象限
C．经过坐标原点 D．当时，的值为
【答案】B
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数图象的平移变换
3．（2025八上·东港期末）如图，在平面直角坐标系中，边长为3的正方形在第一象限内，轴，点的坐标为，直线的表达式为：．将直线沿轴向上平移个单位，使平移后的直线与正方形有交点，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】一次函数图象的平移变换
4．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，沿轴向右平移后得到，点的对应点在直线上，则点与其对应点之间的距离（　　）
A． B． C．3 D．4
【答案】D
【知识点】用坐标表示平移；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：连接，如图所示，
根据平移可知：，且轴．
当时，，
解得，
∴点的坐标为，
又∵点A的坐标为，
∴．
∴，即点与其对应点之间的距离为4．
故选：D．
【分析】由平移的性质可求得OA'的长，则可求得A'点的坐标，可求得OO'的长，由平移的性质可得到BB'=OO'，可求得答案.
5．（2024八上·新都期末） 如图，在平面直角坐标系中，等腰在第一象限，且 轴，直线从原点出发沿轴正方向平移，在平移过程中，直线被截得的线段长度与直线在轴上平移的距离的函数图象如图所示，那么的面积为　 　
【答案】
【知识点】三角形的面积；等腰三角形的性质；一次函数中的动态几何问题；通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：如图，过点作于点，则
由图可得，当直线经过点时，，，
当直线向右平移经过点时，与相交于点，
此时，由图可得，，，
∴，，
∵直线与轴的夹角为，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴的面积，
故答案为：．
【分析】过点作于点，则，先根据图2中的数据求出，，再结合求出，再利用线段的和差求出AH和AC的长，最后利用三角形的面积公式求解即可.
6．（2024八上·浦江期末）已知直线与函数的图像相交于两点（点在点左侧）．
（1）点的坐标是　 　．
（2）若坐标原点为点，将两个函数图象向右平移个单位，点平移后分别对应点，连接，当最大时，的值为　 　．
【答案】；6
【知识点】坐标与图形性质；待定系数法求一次函数解析式；勾股定理；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：（1）根据题意得：联立得，，
解得；；
∴；
故答案为：；
（2）∵将两个函数图象向右平移个单位，
∴，
∴，，
当O、C、D三点共线时，最大，
∴设O、C、D所在直线为正比例函数，
将点代入得：
，
解得：，
故答案为：6．
【分析】（1）联立两个函数解析式，解方程即可求交点；
（2）由平移得到，即可得到当O、C、D三点共线时，最大，然后求出直线CD的解析式即可解题.
7．（2024八上·吴兴期末）图象法是函数的表示方法之一，下面我们就一类特殊的函数图象展开探究．
画函数的图象，经历列表、描点、连线过程得到函数图象如图所示：
探究发现：函数的图象是由向右平移个单位得到；
函数的图象是由向上平移个单位得到．
（1）函数的最小值为　 　；
（2）函数在中有最小值，则的值是　 　．
【答案】；或
【知识点】一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：（1）如图所示，函数的图象是由向上平移3个单位得到．
根据函数图象可得函数的最小值为，
故答案为：．
（2）若，
当时，有最小值，
，
（舍），或
若，
当时，有最小值，不符合题意，舍去．
若，
当时，有最小值，
，
（舍），或
综上所述，或．
故答案为：或．
【分析】本题考查一次函数的图象及性质；
（1）画出的图象，通过观察图象可得函数的图象是由向上平移3个单位得到，进而可求出函数的最小值；
（2）分两种种情况：若，若，根据题意可列出方程或，解方程可求出m的值，进而可求出答案.
8．（2025八上·大渡口期末）如图，在平面直角坐标系中，直线向下平移个单位后的直线与直线相交于点．
（1）求直线的表达式；
（2）点在直线上，若点为轴上一点，求的周长的最小值；
（3）在（）的条件下，若在直线上有一个动点，使得的面积是的面积的倍，求出点的坐标．
【答案】（1）
（2）
（3）或
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；坐标系中的两点距离公式；一次函数的实际应用-几何问题；一次函数图象的平移变换
9．（2023八上·福田期中）如图，直线与y轴交于点，与x轴交于点，直线以每秒1个单位长度的速度沿y轴正方向平移，平移时交线段于点D，交线段于点C，当点C与点B重合时结束运动．
（1）求出直线的关系式；
（2）如图1，若直线的函数关系式为，P是直线上一点，当的面积等于的面积时，求点P的坐标；
（3）如图2，在直线运动过程中，过点D作轴交于点E，连接，设运动时间为．求出当t为何值时，是等腰三角形？
【答案】（1）解：∵直线与y轴交于点，与x轴交于点，
∴，解得：，
∴直线为：；
（2）解：如图，∵，，
∴，
∵为，
∴当时，，则，设，
∴，
∴，解得：，
∴或；
（3）解：设直线平移后的解析式为，
同理可得：，，如图，当，过作于，
∴，
∴，
∴，解得：，
∴；
当时，如图，
∵，则，而轴，
∴，
∴，
∴，
∴，解得：，
∴，
当时，把代入，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴即，
解得：，
∴，
综上：或2或
【知识点】一次函数图象与几何变换；待定系数法求一次函数解析式；两一次函数图象相交或平行问题；三角形的面积
【解析】【分析】（1）将点A，B代入直线y=kx+b即可求解；
（2）先求出△AOB的面积，设点P的坐标为（x，-x+1），由三角形面积公式分别求得当P在D左侧和右侧时的坐标；
（3）分别讨论当DC=DE，DC=CE，CE=DE时，由等腰三角形的性质列出等式求t的值即可.
二、一次函数图象中的对称、翻折问题
10．（2021八上·王益期末）若直线 与直线 关于直线 对称，则k、b值分别为（　　）
A． 、 B． 、
C． 、 D． 、
【答案】D
【知识点】一次函数图象与几何变换
【解析】【解答】解：∵一次函数y=kx+3与y轴交点为（0，3），
∴点（0，3）关于直线x=1的对称点为（2，3），
代入直线y=2x+b，可得4+b=3，解得b=-1，
一次函数y=2x-1与y轴交点为（0，-1），
（0，-1）关于直线x=1的对称点为（2，-1），
代入直线y=kx+3，可得2k+3=-1，解得k=-2.
故答案为：D.
【分析】先求出一次函数y=kx+3与y轴交点关于直线x=1的对称点的坐标再将该点的坐标代入直线y=2x+b，得到b的值；再求出一次函数y=2x+b与y轴交点关于直线x=1的对称点的坐标，代入一次函数y=kx+3，求出k的值即可.
11．（2024八上·镇海区期末）如图，在平面直角坐标系中有两条直线：：，：，对点作如下操作．第1步，作点关于的对称点；第2步，作关于的对称点；第3步，再作关于的对称点；第4步，再作关于的对称点以此类推，问：点的坐标为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；坐标与图形变化﹣对称；一次函数中的动态几何问题
【解析】【解答】解：如图，标出点，连接、、、、、，取直线：：上的点，取点，取点，取直线：：上的点，连接，取点，连接点、、，得到，过点作轴于点，
∴轴，轴，，
，
，
，
，
∴，，
和是等边三角形，
∴，，
∴第1步，作点关于的对称点落在轴上，
第2步，作关于的对称点落在轴上，
第3步，作关于的对称点，和轴的夹角，
第4步，作关于的对称点，和轴的夹角，
继续作关于的对称点，和轴的夹角，即，
∴，
，
∴点的坐标为，
故选：A．
【分析】标出点，连接、、、、、，取直线：：上的点，取点，取点，取直线：：上的点，连接，取点，连接点、、，得到，过点作轴于点，得出，利用勾股定理求出OP、PQ、OA1、A1B的长度，进而推出，，即可证明和是等边三角形，则，，根据轴对称变换，分析、、、、，和坐标轴的夹角，得出，利用含度角的直角三角形的性质，得出，然后根据勾股定理得出，据此即可得出点的坐标．
12．（2024八上·济南期中）如图，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，点C在y轴的正半轴上，D在直线上，且，．若点P为线段上的一个动点，且点关于x轴的对称点Q总在内（不包括边界），则m的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】解一元一次不等式组；线段垂直平分线的性质；坐标与图形变化﹣对称；一次函数的实际应用-几何问题
13．（2021八上·济南期末）定义，图象与x轴有两个交点的函数y＝叫做关于直线x＝m的对称函数，它与x轴负半轴交点记为A，与x轴正半轴交点记为B例如：如图：直线l：x＝1，关于直线l的对称函数y＝与该直线l交于点C，当直线y＝x与关于直线x＝m的对称函数有两个交点时，则m的取值范围是（　　）
A．0≤m≤ B．－2＜m≤ C．－2＜m≤2 D．－4＜m＜0
【答案】B
【知识点】一次函数的性质；定义新运算；通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：∵一次函数图象与x轴最多只有一个交点，且关于m的对称函数与x轴有两个交点，
∴组成该对称函数的两个一次函数图象的部分图象都与x轴有交点．
∵
解得或
∴．
∵直线y＝x与关于直线x＝m的对称函数有两个交点，
∴直线y=x分别与直线和各有一个交点．
对于直线y=x与直线，
联立可得解得
∴直线y=x与直线必有一交点．
对于直线y=x与直线，
联立可得解得
∵，
∴必须在的范围之内才能保证直线y=x与直线有交点．
∴．
∴．
∴m的取值范围是．
故答案为：B
【分析】分两种情况讨论：列出关于m的方程，求出m的值，结合图象即可求得m的取值范围。
14．（2023八上·南海期中）已知，如图，直线AB：y=kx-k-4，分别交平面直角坐标系于A，B两点，直线CD.y=-2x+2与坐标轴交于C，D两点，两直线交于点E（a，-a）；点M是y轴上一动点，连接ME，将△AEM沿ME翻折，A点对应点刚好落在x轴负半轴上，则ME所在直线解析式为（　　）
A．y＝x﹣ B．y＝2x﹣6 C．y＝x﹣ D．y＝x﹣
【答案】A
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；两一次函数图象相交或平行问题；勾股定理；翻折变换（折叠问题）；一次函数中的动态几何问题
【解析】【解答】解：把点E代入直线中，
∴
∴，
把点代入直线中，
∴
∴即直线AB：
当A的对应点A'在轴负半轴时，过E作EF轴于F，如图：
在中，令x=0，则y=-6，
∴
∵，
∴
∴
∴
设则
∴
在中，
∴
解得：
∴
设直线EM的解析式为：把点代入
解得：
∴直线EM的解析式为：
故答案为：A.
【分析】把E代入y=-2x+2，得a=2，即得E（2，-2），当A的对应点A在轴负半轴时，过E作EF轴于F，由k=2知A（0，-6），则OA=6，设M（0，m），则OM=-m，在中，有用待定系数法即得直线EM解析式.
15．（2022八上·沈阳期末）一次函数的图象，沿着过点且垂直于x轴的直线翻折后经过点，则b的值为　 　．
【答案】-4
【知识点】一次函数的图象；坐标与图形变化﹣对称
【解析】【解答】解：∵过点且垂直于x轴的直线为，
∴点关于直线的对称点是，
根据题意，一次函数的图象经过点，
∴把点代入一次函数得到：，
∴，
故答案为：-4.
【分析】先求出点关于直线的对称点是，再将点代入一次函数得到，再求出b的值即可。
16．（2024八上·兰州期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、点，点在轴的负半轴上，将沿翻折，点恰好落在轴正半轴上的点处，则点的坐标为　 　．
【答案】
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：把代入得，
把代入得：，解得：，
∴、，
∴，，
∵，
∴，
由折叠得：，
∴，
∴点，
设点，则，
由折叠得：，
在中，
，
∴，
解得：，
∴，
故答案为：．
【分析】根据数轴上点的坐标特征可得、，则，，利用勾股定理可得，由折叠得：，得出点D的坐标，设点，则，根据折叠性质可得，再根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
17．（2023八上·南岸期中）如图，直线与坐标轴交于A、B两点，连接且轴，交直线于点E，连接，将沿着直线翻折，点D正好落在直线上，若，那么点C的坐标为 　 　．
【答案】
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）；一次函数的实际应用-几何问题
18．（2024八上·福田期末）如图，直线：与坐标轴交于A、B两点，点D为第一象限内一点，连接且轴，过点且平行于x轴的直线l交于点C，交于点F，连接，，将沿着直线翻折，得到，点E正好落在直线l上，若，则的长为　 　．
【答案】5
【知识点】平行线的性质；三角形的面积；勾股定理；轴对称的性质；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：连接，如图所示：
由题意得：，
∵，
∴，
∴
∴
∵，
∴，
解得：
故答案为：
【分析】本题考查了翻折的性质以及勾股定理的应用，通过面积公式求出 CE 的长度，利用勾股定理求出 AD 的长度，进而得出 CD 的长度，再根据直角三角形 CDF 中的勾股定理列出关于 EF 的方程求解.
19．（2024八上·济南月考）如图，在平面直角坐标系中，已知直线与轴，轴分别交于点和点，点在直线上，将线段沿翻折，使点落在线段上的点处；再将线段沿翻折，使点落在的延长线上的点处，两条折痕与线段分别交于点．
（1）分别求出点、点的坐标和的长；
（2）若点P坐标为，且的面积为8，求的值；
（3）请直接写出线段的长度．
【答案】（1），，
（2）或
（3）
【知识点】坐标与图形性质；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；一次函数的实际应用-几何问题
20．（2023八上·赣榆月考）如图，已知一次函数的图象与坐标轴交于点A、B，点C在线段上，将沿翻折，点O恰好落在上点D处．
（1）求的长；
（2）过点A作，交的延长线于点E，连接，试判断的形状，并说明理由．
【答案】（1）；
（2）等腰三角形，理由如下；
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；一次函数的实际应用-几何问题
三、一次函数图象中的旋转问题
21．（2024八上·宁波开学考）如图， 直线 与 轴， 轴分别交于 两点， 把 绕点 顺时针旋转 后得到 ， 则点 的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】点的坐标；旋转的性质；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：∵ 直线 与 轴， 轴分别交于 两点，
∴当x=0时y=4，
当y=0时，
解之：x=3，
∴点A（0，4），点B（3，0）
∴OA=4，OB=3，
∵ 把 绕点 顺时针旋转 后得到 ，
∴△AOB≌△AO'B'，∠OAO'=∠O'=90°，
∴OA=O'A=3，O'B'=OB=4，
∴O'B'∥x轴，
∴点B'的横坐标为3+4=7，纵坐标为3，
∴点B'的坐标为（7，3）.
故答案为：D.
【分析】利用一次函数解析式，由x=0求出对应的y的值，由y=0求出对应的x的值，可得到点A，B的坐标，据此可求出OA、OB的长；再利用旋转的性质可证得∠OAO'=∠O'=90°，△AOB≌△AO'B'，据此得到O'A、O'B'的长，同时可推出O'B'∥x轴，即可求出点B'的坐标.
22．（2023八上·达州期末）如图，在平面直角坐标系中，点A（-1，m）在直线y＝2x+3上，连接OA，将线段OA绕点O顺时针旋转90°，点A的对应点B恰好落在直线y＝-x+b上，则b的值为（　　）
A．-2 B．1 C． D．2
【答案】D
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；旋转的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：过点A作AC⊥x轴于点C，过点B作BD⊥x轴于点D，
∴∠ACO=∠BDO=90°，
∵将线段OA绕点O顺时针旋转90°，
∴OA=OB，∠AOB=90°，
∴∠AOC+∠BOD=90°，∠AOC+∠OAC=90°，
∴∠OAC=∠BOD，
在△AOC和△OBD中
∴△AOC≌△OBD（AAS），
∴OC=BD，AC=OD，
∵点A（-1，m）在直线y＝2x+3上，
∴-2+3=m=1，
∴点A（-1，1），
AC=OC=1，
∴BD=OD=1，
∴点B（1，1），
∵点A的对应点B恰好落在直线y＝-x+b上，
∴-1+b=1，
解之：b=2.
故答案为：D
【分析】过点A作AC⊥x轴于点C，过点B作BD⊥x轴于点D，利用垂直的定义可证得∠ACO=∠BDO=90°，利用旋转的性质可得到OA=OB，∠AOB=90°，利用余角的性质可证得∠OAC=∠BOD；再利用AAS可证得△AOC≌△OBD，利用全等三角形的性质可推出OC=BD，AC=OD；将点A的坐标代入函数解析式，可求出m的值，可得到点A的坐标，即可求出AC、OC的长，即可得到BD、OD的长，可得到点B的坐标；然后将点B的坐标代入直线y＝-x+b，可求出b的值.
23．（2018-2019学年数学浙教版八年级上册5.4一次函数的图象（2） 同步训练）在平面直角坐标系中，把直线y=2x+4绕着原点O顺时针旋转90°后，所得的直线1一定经过下列各点中的（　　）
A．（2，0） B．（4，2） C．（6，-1） D．（8，-1）
【答案】C
【知识点】一次函数图象与几何变换
【解析】【解答】直线y=2x+4与x轴的交点为（-2，0），与y轴的交点为（0，4）；
绕点O旋转90°后可得直线与x轴的交点为（4，0），与y轴的交点为（0，2）；
可设新直线的解析式为：y=kx+b，
则：4k+b=0；b=2；
∴k=-0.5，
∴y=-0.5x+2，
把所给点代入得到的直线解析式，只有选项C符合，
故答案为：C．
【分析】由题意令y=0可求得直线与x轴的交点为（-2，0），令x=0可求得直线与y轴的交点为（0，4）；根据旋转的性质可得线与x轴的交点为（4，0），与y轴的交点为（0，2）；可设新直线的解析式为：y=kx+b，用待定系数法可求得新的解析式，将选项中的点的坐标代入求得的新的解析式即可判断。
24．（2024八上·武侯月考）新定义：对于线段，将线段绕点顺时针旋转，得到线段；将线段绕点逆时针旋转，得到线段，旋转后的线段和所在的直线交于点，我们称点为线段的“冯桥点”如图，已知直线与轴和轴分别相交于点，点，那么线段在第一象限的“冯桥点”的坐标为　 　．
【答案】
【知识点】勾股定理；正方形的判定与性质；旋转的性质；一次函数的实际应用-几何问题
25．（2024八上·南京月考）如图在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴分别交于点、，将直线绕点顺时针旋转，则旋转后的直线函数表达式为　 　．
【答案】
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；等腰三角形的判定与性质；坐标与图形变化﹣旋转；一次函数的实际应用-几何问题
26．（2024八上·姑苏月考）如图，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点A，B，把直线AB绕点B顺时针旋转30°交x轴于点C，则线段AC长为　 　．
【答案】
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；旋转的性质；一次函数图象与坐标轴交点问题
27．（2024八上·沈阳月考）如图，在平面直角坐标系中，Q是直线上的一个动点，将Q绕点顺时针旋转，得到点，连接，则的最小值为　 　．
【答案】
【知识点】勾股定理；旋转的性质；一次函数的实际应用-几何问题；有理数乘方的实际应用
28．（2024八上·东台月考）在平面直角坐标系中，一次函数的图像与x轴、y轴分别交于点A、B，将直线绕点A逆时针旋转，交y轴于点C，则直线的函数表达式是　 　．
【答案】
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象与坐标轴交点问题
29．（2022八上·峡江期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=2x－3的图象分别交x轴，y轴于点A、B，将直线AB绕点B顺时针方向旋转45°，交x轴于点C，求直线BC的函数表达式．
【答案】解：∵一次函数y=2x－3的图象分别交x轴，y轴于点A、B，
∴当x=0时，y=－3，当y=0时，x=，
∴A（，0），B（0，-3），
∴OA=，OB=3，
过点A作AF⊥AB交BC于F，过点F作FE⊥x轴于E．
则∠AOB=∠FEA=∠BAF=90°，
∵∠OAB+∠EAF=90°，∠AFE+∠EAF=90°，
∴∠OAB=∠AFE．
又∵∠ABF＝45°，∠BAF＝90°，
∴∠AFB＝45°，
∴∠ABF＝∠AFB，
∴ AB＝AF
∴△AOB≌△FEA（AAS）
∴AE＝OB，EF＝OA，
∴ OE＝AE+OA＝3+＝，EF＝OA＝，
∴F（，－）．
设直线BC为y＝kx－3，把点F（，－）代入y＝kx－3中，
∴－＝k－3，
∴k＝，
∴直线BC的函数表达式为．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；旋转的性质；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【分析】先求出点A、B的坐标，求出OA和OB的长，再过点A作AF⊥AB交BC于F，过点F作FE⊥x轴于E，利用“AAS”证明△AOB≌△FEA，可得AE＝OB，EF＝OA，求出点F的坐标，再利用待定系数法求出直线BC的解析式即可。
30．（2024八上·南海月考）（1）【提出问题】将一次函数的图象沿着y轴向下平移3个单位长度，所得图象对应的函数表达式为 ；
（2）【初步思考】将一次函数的图象沿着x轴向左平移3个单位长度，求所得图象对应的函数表达式．数学活动小组发现，图象的平移就是点的平移，因此，只需要在图象上任取两点，，将它们沿着x轴向左平移3个单位长度，得到点，的坐标分别为 ，从而求出经过点，的直线对应的函数表达式为 ；
（3）【深度思考】
已知一次函数的图象与y轴交于点A，与x轴交于点B．
①将一次函数的图象关于x轴对称，求所得图象对应的函数表达式；
②如图①，将直线绕点A逆时针旋转，求所得图象对应的函数表达式；
③如图②，将直线绕点A逆时针旋转，求所得图象对应的函数表达式．
【答案】（1）；（2）、，；（3）①．②．③
【知识点】一次函数的实际应用-几何问题；一次函数图象的平移变换
1 / 1浙教版数学八年级上学期重难点复习7：一次函数图象的几何变换
一、一次函数图象中的平移问题
1．（2024八上·浙江期末）将直线l：y=-2（x+3）经过适当变换后得到直线，要使经过原点，则可以将直线l（　　）
A．向上平移3个单位 B．向下平移6个单位
C．向右平移3个单位 D．向左平移6个单位
2．（2024八上·铜川期末）已知在平面直角坐标系中，直线经过、两点，将直线向下平移个单位长度得到直线，下列关于直线的说法中，正确的是（　　）
A．与坐标轴围成的三角形面积为 B．不经过第四象限
C．经过坐标原点 D．当时，的值为
3．（2025八上·东港期末）如图，在平面直角坐标系中，边长为3的正方形在第一象限内，轴，点的坐标为，直线的表达式为：．将直线沿轴向上平移个单位，使平移后的直线与正方形有交点，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
4．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，沿轴向右平移后得到，点的对应点在直线上，则点与其对应点之间的距离（　　）
A． B． C．3 D．4
5．（2024八上·新都期末） 如图，在平面直角坐标系中，等腰在第一象限，且 轴，直线从原点出发沿轴正方向平移，在平移过程中，直线被截得的线段长度与直线在轴上平移的距离的函数图象如图所示，那么的面积为　 　
6．（2024八上·浦江期末）已知直线与函数的图像相交于两点（点在点左侧）．
（1）点的坐标是　 　．
（2）若坐标原点为点，将两个函数图象向右平移个单位，点平移后分别对应点，连接，当最大时，的值为　 　．
7．（2024八上·吴兴期末）图象法是函数的表示方法之一，下面我们就一类特殊的函数图象展开探究．
画函数的图象，经历列表、描点、连线过程得到函数图象如图所示：
探究发现：函数的图象是由向右平移个单位得到；
函数的图象是由向上平移个单位得到．
（1）函数的最小值为　 　；
（2）函数在中有最小值，则的值是　 　．
8．（2025八上·大渡口期末）如图，在平面直角坐标系中，直线向下平移个单位后的直线与直线相交于点．
（1）求直线的表达式；
（2）点在直线上，若点为轴上一点，求的周长的最小值；
（3）在（）的条件下，若在直线上有一个动点，使得的面积是的面积的倍，求出点的坐标．
9．（2023八上·福田期中）如图，直线与y轴交于点，与x轴交于点，直线以每秒1个单位长度的速度沿y轴正方向平移，平移时交线段于点D，交线段于点C，当点C与点B重合时结束运动．
（1）求出直线的关系式；
（2）如图1，若直线的函数关系式为，P是直线上一点，当的面积等于的面积时，求点P的坐标；
（3）如图2，在直线运动过程中，过点D作轴交于点E，连接，设运动时间为．求出当t为何值时，是等腰三角形？
二、一次函数图象中的对称、翻折问题
10．（2021八上·王益期末）若直线 与直线 关于直线 对称，则k、b值分别为（　　）
A． 、 B． 、
C． 、 D． 、
11．（2024八上·镇海区期末）如图，在平面直角坐标系中有两条直线：：，：，对点作如下操作．第1步，作点关于的对称点；第2步，作关于的对称点；第3步，再作关于的对称点；第4步，再作关于的对称点以此类推，问：点的坐标为（　　）
A． B． C． D．
12．（2024八上·济南期中）如图，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，点C在y轴的正半轴上，D在直线上，且，．若点P为线段上的一个动点，且点关于x轴的对称点Q总在内（不包括边界），则m的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
13．（2021八上·济南期末）定义，图象与x轴有两个交点的函数y＝叫做关于直线x＝m的对称函数，它与x轴负半轴交点记为A，与x轴正半轴交点记为B例如：如图：直线l：x＝1，关于直线l的对称函数y＝与该直线l交于点C，当直线y＝x与关于直线x＝m的对称函数有两个交点时，则m的取值范围是（　　）
A．0≤m≤ B．－2＜m≤ C．－2＜m≤2 D．－4＜m＜0
14．（2023八上·南海期中）已知，如图，直线AB：y=kx-k-4，分别交平面直角坐标系于A，B两点，直线CD.y=-2x+2与坐标轴交于C，D两点，两直线交于点E（a，-a）；点M是y轴上一动点，连接ME，将△AEM沿ME翻折，A点对应点刚好落在x轴负半轴上，则ME所在直线解析式为（　　）
A．y＝x﹣ B．y＝2x﹣6 C．y＝x﹣ D．y＝x﹣
15．（2022八上·沈阳期末）一次函数的图象，沿着过点且垂直于x轴的直线翻折后经过点，则b的值为　 　．
16．（2024八上·兰州期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、点，点在轴的负半轴上，将沿翻折，点恰好落在轴正半轴上的点处，则点的坐标为　 　．
17．（2023八上·南岸期中）如图，直线与坐标轴交于A、B两点，连接且轴，交直线于点E，连接，将沿着直线翻折，点D正好落在直线上，若，那么点C的坐标为 　 　．
18．（2024八上·福田期末）如图，直线：与坐标轴交于A、B两点，点D为第一象限内一点，连接且轴，过点且平行于x轴的直线l交于点C，交于点F，连接，，将沿着直线翻折，得到，点E正好落在直线l上，若，则的长为　 　．
19．（2024八上·济南月考）如图，在平面直角坐标系中，已知直线与轴，轴分别交于点和点，点在直线上，将线段沿翻折，使点落在线段上的点处；再将线段沿翻折，使点落在的延长线上的点处，两条折痕与线段分别交于点．
（1）分别求出点、点的坐标和的长；
（2）若点P坐标为，且的面积为8，求的值；
（3）请直接写出线段的长度．
20．（2023八上·赣榆月考）如图，已知一次函数的图象与坐标轴交于点A、B，点C在线段上，将沿翻折，点O恰好落在上点D处．
（1）求的长；
（2）过点A作，交的延长线于点E，连接，试判断的形状，并说明理由．
三、一次函数图象中的旋转问题
21．（2024八上·宁波开学考）如图， 直线 与 轴， 轴分别交于 两点， 把 绕点 顺时针旋转 后得到 ， 则点 的坐标是（ ）
A． B． C． D．
22．（2023八上·达州期末）如图，在平面直角坐标系中，点A（-1，m）在直线y＝2x+3上，连接OA，将线段OA绕点O顺时针旋转90°，点A的对应点B恰好落在直线y＝-x+b上，则b的值为（　　）
A．-2 B．1 C． D．2
23．（2018-2019学年数学浙教版八年级上册5.4一次函数的图象（2） 同步训练）在平面直角坐标系中，把直线y=2x+4绕着原点O顺时针旋转90°后，所得的直线1一定经过下列各点中的（　　）
A．（2，0） B．（4，2） C．（6，-1） D．（8，-1）
24．（2024八上·武侯月考）新定义：对于线段，将线段绕点顺时针旋转，得到线段；将线段绕点逆时针旋转，得到线段，旋转后的线段和所在的直线交于点，我们称点为线段的“冯桥点”如图，已知直线与轴和轴分别相交于点，点，那么线段在第一象限的“冯桥点”的坐标为　 　．
25．（2024八上·南京月考）如图在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴分别交于点、，将直线绕点顺时针旋转，则旋转后的直线函数表达式为　 　．
26．（2024八上·姑苏月考）如图，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点A，B，把直线AB绕点B顺时针旋转30°交x轴于点C，则线段AC长为　 　．
27．（2024八上·沈阳月考）如图，在平面直角坐标系中，Q是直线上的一个动点，将Q绕点顺时针旋转，得到点，连接，则的最小值为　 　．
28．（2024八上·东台月考）在平面直角坐标系中，一次函数的图像与x轴、y轴分别交于点A、B，将直线绕点A逆时针旋转，交y轴于点C，则直线的函数表达式是　 　．
29．（2022八上·峡江期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=2x－3的图象分别交x轴，y轴于点A、B，将直线AB绕点B顺时针方向旋转45°，交x轴于点C，求直线BC的函数表达式．
30．（2024八上·南海月考）（1）【提出问题】将一次函数的图象沿着y轴向下平移3个单位长度，所得图象对应的函数表达式为 ；
（2）【初步思考】将一次函数的图象沿着x轴向左平移3个单位长度，求所得图象对应的函数表达式．数学活动小组发现，图象的平移就是点的平移，因此，只需要在图象上任取两点，，将它们沿着x轴向左平移3个单位长度，得到点，的坐标分别为 ，从而求出经过点，的直线对应的函数表达式为 ；
（3）【深度思考】
已知一次函数的图象与y轴交于点A，与x轴交于点B．
①将一次函数的图象关于x轴对称，求所得图象对应的函数表达式；
②如图①，将直线绕点A逆时针旋转，求所得图象对应的函数表达式；
③如图②，将直线绕点A逆时针旋转，求所得图象对应的函数表达式．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：直线l：
A、 直线l： 向上平移3个单位后得到的解析式为 不经过原点，故本选项不符合题意；
B、直线l： 向下平移6个单位后得到的解析式为 不经过原点，故本选项不符合题意；
C、直线l： 向右平移3个单位后得到的解析式为 经 过原点，故本选项符合题意；
D、直线l： 向左平移6个单位后得到的解析式为 不经过原点，故本选项不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据平移的规律：左加右减，上加下减并确定出平移后的直线解析式即可解题.
2．【答案】B
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数图象的平移变换
3．【答案】B
【知识点】一次函数图象的平移变换
4．【答案】D
【知识点】用坐标表示平移；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：连接，如图所示，
根据平移可知：，且轴．
当时，，
解得，
∴点的坐标为，
又∵点A的坐标为，
∴．
∴，即点与其对应点之间的距离为4．
故选：D．
【分析】由平移的性质可求得OA'的长，则可求得A'点的坐标，可求得OO'的长，由平移的性质可得到BB'=OO'，可求得答案.
5．【答案】
【知识点】三角形的面积；等腰三角形的性质；一次函数中的动态几何问题；通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：如图，过点作于点，则
由图可得，当直线经过点时，，，
当直线向右平移经过点时，与相交于点，
此时，由图可得，，，
∴，，
∵直线与轴的夹角为，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴的面积，
故答案为：．
【分析】过点作于点，则，先根据图2中的数据求出，，再结合求出，再利用线段的和差求出AH和AC的长，最后利用三角形的面积公式求解即可.
6．【答案】；6
【知识点】坐标与图形性质；待定系数法求一次函数解析式；勾股定理；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：（1）根据题意得：联立得，，
解得；；
∴；
故答案为：；
（2）∵将两个函数图象向右平移个单位，
∴，
∴，，
当O、C、D三点共线时，最大，
∴设O、C、D所在直线为正比例函数，
将点代入得：
，
解得：，
故答案为：6．
【分析】（1）联立两个函数解析式，解方程即可求交点；
（2）由平移得到，即可得到当O、C、D三点共线时，最大，然后求出直线CD的解析式即可解题.
7．【答案】；或
【知识点】一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：（1）如图所示，函数的图象是由向上平移3个单位得到．
根据函数图象可得函数的最小值为，
故答案为：．
（2）若，
当时，有最小值，
，
（舍），或
若，
当时，有最小值，不符合题意，舍去．
若，
当时，有最小值，
，
（舍），或
综上所述，或．
故答案为：或．
【分析】本题考查一次函数的图象及性质；
（1）画出的图象，通过观察图象可得函数的图象是由向上平移3个单位得到，进而可求出函数的最小值；
（2）分两种种情况：若，若，根据题意可列出方程或，解方程可求出m的值，进而可求出答案.
8．【答案】（1）
（2）
（3）或
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；坐标系中的两点距离公式；一次函数的实际应用-几何问题；一次函数图象的平移变换
9．【答案】（1）解：∵直线与y轴交于点，与x轴交于点，
∴，解得：，
∴直线为：；
（2）解：如图，∵，，
∴，
∵为，
∴当时，，则，设，
∴，
∴，解得：，
∴或；
（3）解：设直线平移后的解析式为，
同理可得：，，如图，当，过作于，
∴，
∴，
∴，解得：，
∴；
当时，如图，
∵，则，而轴，
∴，
∴，
∴，
∴，解得：，
∴，
当时，把代入，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴即，
解得：，
∴，
综上：或2或
【知识点】一次函数图象与几何变换；待定系数法求一次函数解析式；两一次函数图象相交或平行问题；三角形的面积
【解析】【分析】（1）将点A，B代入直线y=kx+b即可求解；
（2）先求出△AOB的面积，设点P的坐标为（x，-x+1），由三角形面积公式分别求得当P在D左侧和右侧时的坐标；
（3）分别讨论当DC=DE，DC=CE，CE=DE时，由等腰三角形的性质列出等式求t的值即可.
10．【答案】D
【知识点】一次函数图象与几何变换
【解析】【解答】解：∵一次函数y=kx+3与y轴交点为（0，3），
∴点（0，3）关于直线x=1的对称点为（2，3），
代入直线y=2x+b，可得4+b=3，解得b=-1，
一次函数y=2x-1与y轴交点为（0，-1），
（0，-1）关于直线x=1的对称点为（2，-1），
代入直线y=kx+3，可得2k+3=-1，解得k=-2.
故答案为：D.
【分析】先求出一次函数y=kx+3与y轴交点关于直线x=1的对称点的坐标再将该点的坐标代入直线y=2x+b，得到b的值；再求出一次函数y=2x+b与y轴交点关于直线x=1的对称点的坐标，代入一次函数y=kx+3，求出k的值即可.
11．【答案】A
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；坐标与图形变化﹣对称；一次函数中的动态几何问题
【解析】【解答】解：如图，标出点，连接、、、、、，取直线：：上的点，取点，取点，取直线：：上的点，连接，取点，连接点、、，得到，过点作轴于点，
∴轴，轴，，
，
，
，
，
∴，，
和是等边三角形，
∴，，
∴第1步，作点关于的对称点落在轴上，
第2步，作关于的对称点落在轴上，
第3步，作关于的对称点，和轴的夹角，
第4步，作关于的对称点，和轴的夹角，
继续作关于的对称点，和轴的夹角，即，
∴，
，
∴点的坐标为，
故选：A．
【分析】标出点，连接、、、、、，取直线：：上的点，取点，取点，取直线：：上的点，连接，取点，连接点、、，得到，过点作轴于点，得出，利用勾股定理求出OP、PQ、OA1、A1B的长度，进而推出，，即可证明和是等边三角形，则，，根据轴对称变换，分析、、、、，和坐标轴的夹角，得出，利用含度角的直角三角形的性质，得出，然后根据勾股定理得出，据此即可得出点的坐标．
12．【答案】A
【知识点】解一元一次不等式组；线段垂直平分线的性质；坐标与图形变化﹣对称；一次函数的实际应用-几何问题
13．【答案】B
【知识点】一次函数的性质；定义新运算；通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：∵一次函数图象与x轴最多只有一个交点，且关于m的对称函数与x轴有两个交点，
∴组成该对称函数的两个一次函数图象的部分图象都与x轴有交点．
∵
解得或
∴．
∵直线y＝x与关于直线x＝m的对称函数有两个交点，
∴直线y=x分别与直线和各有一个交点．
对于直线y=x与直线，
联立可得解得
∴直线y=x与直线必有一交点．
对于直线y=x与直线，
联立可得解得
∵，
∴必须在的范围之内才能保证直线y=x与直线有交点．
∴．
∴．
∴m的取值范围是．
故答案为：B
【分析】分两种情况讨论：列出关于m的方程，求出m的值，结合图象即可求得m的取值范围。
14．【答案】A
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；两一次函数图象相交或平行问题；勾股定理；翻折变换（折叠问题）；一次函数中的动态几何问题
【解析】【解答】解：把点E代入直线中，
∴
∴，
把点代入直线中，
∴
∴即直线AB：
当A的对应点A'在轴负半轴时，过E作EF轴于F，如图：
在中，令x=0，则y=-6，
∴
∵，
∴
∴
∴
设则
∴
在中，
∴
解得：
∴
设直线EM的解析式为：把点代入
解得：
∴直线EM的解析式为：
故答案为：A.
【分析】把E代入y=-2x+2，得a=2，即得E（2，-2），当A的对应点A在轴负半轴时，过E作EF轴于F，由k=2知A（0，-6），则OA=6，设M（0，m），则OM=-m，在中，有用待定系数法即得直线EM解析式.
15．【答案】-4
【知识点】一次函数的图象；坐标与图形变化﹣对称
【解析】【解答】解：∵过点且垂直于x轴的直线为，
∴点关于直线的对称点是，
根据题意，一次函数的图象经过点，
∴把点代入一次函数得到：，
∴，
故答案为：-4.
【分析】先求出点关于直线的对称点是，再将点代入一次函数得到，再求出b的值即可。
16．【答案】
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：把代入得，
把代入得：，解得：，
∴、，
∴，，
∵，
∴，
由折叠得：，
∴，
∴点，
设点，则，
由折叠得：，
在中，
，
∴，
解得：，
∴，
故答案为：．
【分析】根据数轴上点的坐标特征可得、，则，，利用勾股定理可得，由折叠得：，得出点D的坐标，设点，则，根据折叠性质可得，再根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
17．【答案】
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）；一次函数的实际应用-几何问题
18．【答案】5
【知识点】平行线的性质；三角形的面积；勾股定理；轴对称的性质；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：连接，如图所示：
由题意得：，
∵，
∴，
∴
∴
∵，
∴，
解得：
故答案为：
【分析】本题考查了翻折的性质以及勾股定理的应用，通过面积公式求出 CE 的长度，利用勾股定理求出 AD 的长度，进而得出 CD 的长度，再根据直角三角形 CDF 中的勾股定理列出关于 EF 的方程求解.
19．【答案】（1），，
（2）或
（3）
【知识点】坐标与图形性质；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；一次函数的实际应用-几何问题
20．【答案】（1）；
（2）等腰三角形，理由如下；
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；一次函数的实际应用-几何问题
21．【答案】D
【知识点】点的坐标；旋转的性质；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：∵ 直线 与 轴， 轴分别交于 两点，
∴当x=0时y=4，
当y=0时，
解之：x=3，
∴点A（0，4），点B（3，0）
∴OA=4，OB=3，
∵ 把 绕点 顺时针旋转 后得到 ，
∴△AOB≌△AO'B'，∠OAO'=∠O'=90°，
∴OA=O'A=3，O'B'=OB=4，
∴O'B'∥x轴，
∴点B'的横坐标为3+4=7，纵坐标为3，
∴点B'的坐标为（7，3）.
故答案为：D.
【分析】利用一次函数解析式，由x=0求出对应的y的值，由y=0求出对应的x的值，可得到点A，B的坐标，据此可求出OA、OB的长；再利用旋转的性质可证得∠OAO'=∠O'=90°，△AOB≌△AO'B'，据此得到O'A、O'B'的长，同时可推出O'B'∥x轴，即可求出点B'的坐标.
22．【答案】D
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；旋转的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：过点A作AC⊥x轴于点C，过点B作BD⊥x轴于点D，
∴∠ACO=∠BDO=90°，
∵将线段OA绕点O顺时针旋转90°，
∴OA=OB，∠AOB=90°，
∴∠AOC+∠BOD=90°，∠AOC+∠OAC=90°，
∴∠OAC=∠BOD，
在△AOC和△OBD中
∴△AOC≌△OBD（AAS），
∴OC=BD，AC=OD，
∵点A（-1，m）在直线y＝2x+3上，
∴-2+3=m=1，
∴点A（-1，1），
AC=OC=1，
∴BD=OD=1，
∴点B（1，1），
∵点A的对应点B恰好落在直线y＝-x+b上，
∴-1+b=1，
解之：b=2.
故答案为：D
【分析】过点A作AC⊥x轴于点C，过点B作BD⊥x轴于点D，利用垂直的定义可证得∠ACO=∠BDO=90°，利用旋转的性质可得到OA=OB，∠AOB=90°，利用余角的性质可证得∠OAC=∠BOD；再利用AAS可证得△AOC≌△OBD，利用全等三角形的性质可推出OC=BD，AC=OD；将点A的坐标代入函数解析式，可求出m的值，可得到点A的坐标，即可求出AC、OC的长，即可得到BD、OD的长，可得到点B的坐标；然后将点B的坐标代入直线y＝-x+b，可求出b的值.
23．【答案】C
【知识点】一次函数图象与几何变换
【解析】【解答】直线y=2x+4与x轴的交点为（-2，0），与y轴的交点为（0，4）；
绕点O旋转90°后可得直线与x轴的交点为（4，0），与y轴的交点为（0，2）；
可设新直线的解析式为：y=kx+b，
则：4k+b=0；b=2；
∴k=-0.5，
∴y=-0.5x+2，
把所给点代入得到的直线解析式，只有选项C符合，
故答案为：C．
【分析】由题意令y=0可求得直线与x轴的交点为（-2，0），令x=0可求得直线与y轴的交点为（0，4）；根据旋转的性质可得线与x轴的交点为（4，0），与y轴的交点为（0，2）；可设新直线的解析式为：y=kx+b，用待定系数法可求得新的解析式，将选项中的点的坐标代入求得的新的解析式即可判断。
24．【答案】
【知识点】勾股定理；正方形的判定与性质；旋转的性质；一次函数的实际应用-几何问题
25．【答案】
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；等腰三角形的判定与性质；坐标与图形变化﹣旋转；一次函数的实际应用-几何问题
26．【答案】
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；旋转的性质；一次函数图象与坐标轴交点问题
27．【答案】
【知识点】勾股定理；旋转的性质；一次函数的实际应用-几何问题；有理数乘方的实际应用
28．【答案】
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象与坐标轴交点问题
29．【答案】解：∵一次函数y=2x－3的图象分别交x轴，y轴于点A、B，
∴当x=0时，y=－3，当y=0时，x=，
∴A（，0），B（0，-3），
∴OA=，OB=3，
过点A作AF⊥AB交BC于F，过点F作FE⊥x轴于E．
则∠AOB=∠FEA=∠BAF=90°，
∵∠OAB+∠EAF=90°，∠AFE+∠EAF=90°，
∴∠OAB=∠AFE．
又∵∠ABF＝45°，∠BAF＝90°，
∴∠AFB＝45°，
∴∠ABF＝∠AFB，
∴ AB＝AF
∴△AOB≌△FEA（AAS）
∴AE＝OB，EF＝OA，
∴ OE＝AE+OA＝3+＝，EF＝OA＝，
∴F（，－）．
设直线BC为y＝kx－3，把点F（，－）代入y＝kx－3中，
∴－＝k－3，
∴k＝，
∴直线BC的函数表达式为．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；旋转的性质；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【分析】先求出点A、B的坐标，求出OA和OB的长，再过点A作AF⊥AB交BC于F，过点F作FE⊥x轴于E，利用“AAS”证明△AOB≌△FEA，可得AE＝OB，EF＝OA，求出点F的坐标，再利用待定系数法求出直线BC的解析式即可。
30．【答案】（1）；（2）、，；（3）①．②．③
【知识点】一次函数的实际应用-几何问题；一次函数图象的平移变换
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