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浙教版数学八年级上学期重难点复习8：一次函数综合
一、定点问题
1．（2024八上·淮北期中）在一次函数的研究过程中，甲、乙同学得到如下结论：甲认为当时，随的增大而增大；乙认为无论取何值，函数必定经过定点则下列判断正确的是（　　）
A．甲正确，乙错误 B．甲错误，乙正确
C．甲乙都正确 D．甲乙都错误
【答案】B
【知识点】一次函数的概念
2．（2024八上·桐乡市期末）关于函数，给出下列说法正确的是：（　　）
①当时，该函数是一次函数；
②若点在该函数图象上，且，则；
③若该函数不经过第四象限，则；
④该函数恒过定点．
A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③
【答案】A
【知识点】一次函数的概念；一次函数的图象；一次函数的性质
【解析】【解答】解：①当时，该函数是一次函数，该说法正确，
②∵且
∴y随x增大而增大，
∴该说法正确，
③若该函数不经过第四象限，
∴
∴该说法错误
④∵
∴当x=-1时，y=-2，与k值无关，则该说法正确，
综上所述，正确的说法有：①②④，
故答案为：A.
【分析】根据一次函数的定义可判断①；根据一次函数的增减性即可判断②；利用一次函数的图象与象限的关系即可判断③，将一次函数改写为即可判断④.
3．（2024八上·大观期中）已知一次函数（为常数，）
（1）（为常数，）的图像恒经过一个定点，这个定点坐标是　 　；
（2）平面直角坐标系中有三个点，，，若该直线将分成左右面积之比为的两部分，则的值为　 　．
【答案】；3
【知识点】一次函数的实际应用-几何问题
4．（2025八上·庐阳期末）新定义：对于两个实数、，我们用表示这两个数中最大的数，即，对于函数：
（1）当时，　 　；
（2）若过定点的直线与函数的图象有两个交点，则的取值范围是 　 　．
【答案】；
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
5．（2025八上·永寿期末）【问题提出】
如图①，直线经过第一象限内的定点．
（1）点的坐标为___________；
（2）如图②，已知点，过点作轴交第一象限内的直线于点，连接，若平分，求的值；
【问题解决】
（3）如图③，Rt是某试验田的一块区域示意图，，点为试验田的供水中心，点为进出水口点，且在线段上．现要规划一片等腰直角三角形区域作为新品种小麦的研究基地，点在线段上，点在线段的下方，为了便于确定点的位置，以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系．已知点的坐标为（3，4），按设计要求，点处设置为另一个进出水口，要用水管把三点连接起来，若使所需的水管长度最短，试求出此时点的坐标．
【答案】（1）；（2）；（3）点
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；三角形全等及其性质；勾股定理
6．（2024八上·沭阳期末）材料一：如图1，等腰直角三角形中，，，直线经过点C，过A作于点D，过B作于点E，则，我们称这种全等模型为“K型全等”．（不需要证明）
材料二：如何确定点所在直线对应的函数关系式，我们可以设，，这样就可以把带入，可得，利用这样的方法就可以确定点所在直线对应的函数关系式了．
【模型应用】若一次函数的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点．
（1）如图2，当时，若点B到经过原点的直线l的距离的长为4，求点A到直线l的距离的长；
（2）如图3，有一个点，若是以为腰的等腰直角三角形，求直线对应的一次函数表达式；
（3）如图4，在平面直角坐标系中，Q是直线上一个动点，将Q绕点顺时针旋转，得到点，连接，则的最小值为 ．
【答案】（1）3
（2）或或
（3）
【知识点】勾股定理；旋转的性质；一次函数的实际应用-几何问题；等腰三角形的概念
二、将军饮马问题
7．（2024八上·罗湖期中）如图，直线过点，且与轴交于点，点是轴上的一个动点，则的周长的最小值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；轴对称的应用-最短距离问题；坐标系中的两点距离公式；求算术平方根
【解析】【解答】解：将点代入直线，
可得，解得，
该直线的解析式为，
将点代入直线，
可得，
，
，
如图，作点A关于轴的对称点，连接交轴于点，连接，
则，
由轴对称的性质可得，
的周长，
此时的周长取最小值，
，
，
的周长取最小值为．
故选：A．
【分析】
代入A，B可求得直线的解析式和AB的长度，根据两点间线段最短做A的轴对称点后连接该点和B点可得C点，此时△ABC的周长最短。
8．（2024八上·相城期末）如图所示，直线y=x+4与两坐标轴分别交于A、B两点，点C是OB的中点，D、E分别是直线AB、y轴上的动点，则周长的最小值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】等腰三角形的判定与性质；坐标与图形变化﹣对称；坐标系中的两点距离公式；一次函数的实际应用-几何问题
9．（2024八上·镇江月考）如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标为，直线与x轴、y轴分别交于点A，B，点M是直线上的一个动点，则线段长的最小值为（　　）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】B
【知识点】垂线段最短及其应用；勾股定理；一次函数的实际应用-几何问题
10．（2024八上·驿城期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，点在第一象限，线段上有一点，点P为x轴上一动点，连接，，当的值最小时，点P的坐标为　 　，此时的最小值为　 　．
【答案】；
【知识点】一次函数的实际应用-几何问题
11．（2024八上·从江月考）已知与x轴，y轴分别交于A，B两点，点C，D分别是，中点，点P为上动点，当周长最小时，点P的坐标为　 　．
【答案】
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；坐标与图形变化﹣对称；一次函数图象与坐标轴交点问题
12．（2024八上·南岸期中）如图，直线l1：y=﹣3x+3交y轴于C，与x轴交于点D，直线l2经过点A(4，0)，且直线l1、l2交于点B(2，m）．
（1）求m的值和直线l2的函数表达式；
（2）直线l2在第一象限内的部分上有一点E，且△ADE的面积是△ADB面积的一半，求出点E的坐标，并在x轴上找一点P，使得CP+PE的值最小，求出这个最小值；
（3）若点Q为y轴上一点，且△BDQ为等腰三角形，请直接写出点Q的坐标；
【答案】（1）m=-3，；（2）E（5，1.5），；（3）Q的坐标为
【知识点】一次函数的概念；一次函数的实际应用-几何问题
13．如图，直线AB：y=x+1与直线CD：y=﹣2x+4交于点E．
（1）求E点坐标；
（2）在x轴上找一点F使得FB+FE最小，求OF的长；
（3）若P为直线CD上一点，当△AEP面积为6时，求P的坐标．
【答案】解：（1）由题意： ，
解得：，
所以E（1，2）；
（2）作B关于x轴的对称点B1，连接B1E交x轴于F，
∵y=x+1中，B（0，1）
∴B1（﹣1，0），
设yBE=kx+b（k≠0），
可得：，
∴，
∴y=3x﹣1，
当y=0时，x=，
∴OF=；
（3）当P在直线AE下方时：=+==6，
yP=﹣2，
所以P1（3，﹣2），
当P在直线AE上方时：
=-=|yp-2|，
yP=6，
所以P2（﹣1，6）
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题
【解析】【分析】（1）联立两个方程解答即可；
（2）作B关于x轴的对称点，得出OF的长；
（3）根据三角形的面积公式解答即可．
三、面积分割问题
14．如图，函数的图像与x轴、y轴分别交于点A，B，若直线将分为面积比为的两部分，则直线的函数表达式为（　　）
A．或 B．
C．或 D．
【答案】C
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数中的面积问题
【解析】【解答】解：当时，，解得，
当时，，
∴，
∴，
设点C的坐标为，则，
∵直线将分为面积比为的两部分，
∴或
∴或
∴或
解得或
当时，点C的坐标为，
设直线的函数表达式为，把，代入得到，
解得
∴直线的函数表达式为，
当时，点C的坐标为，
同理可得，此时直线的函数表达式为，
综上可知，直线的函数表达式为或，
故选：C
【分析】分两种情况考虑：(i)当C为OA的四等分点时，可得 即3OC=AC，此时 面积与 面积之比为1：3，(ii)当OC=3AC时， 面积与 面积之比为1：3，分别求出C坐标，确定出直线L解析式即可.
15．（2024八上·宿豫期末）八个边长为1的正方形如图摆放在平面直角坐标系中，经过原点的一条直线l将这八个正方形分成面积相等的两部分，则该直线l的解析式为（　　）
A．y＝-x B．y＝-x C．y＝-x D．y＝-x
【答案】D
【知识点】一次函数的实际应用-几何问题
16．（2024八上·东坡期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（2，4），B（1，2），C（5，2），直线l经过点A，它将△ABC分成面积相等的两部分，则直线l的表达式为（　　）
A．y＝﹣2x＋6 B．y＝﹣2x＋8 C．y＝2x＋8 D．y＝﹣x＋6
【答案】B
【知识点】待定系数法求一次函数解析式
17．（2020八上·深圳期中）如图，四边形ABCD的顶点坐标分别为4（-4，0），B（-2，-1），C（3，0），D（0，3），当过点B的直线l将四边形ABCD分成面积相等的两部分时，直线I所表示的函数表达式为（　　）
A．y= B．y= C．y=x+1 D．y=
【答案】D
【知识点】待定系数法求一次函数解析式
【解析】【解答】 ∵A（-4，0），B（-2，-1），C（3，0），D（0，3）∴AC=7，DO=3∴四边形ABCD面积为。设直线CD解析式为y=mx+n（m≠0），
则解得∴y=-x+3。设过点B的直线l为y=kx+2k-1联立方程组，得解得直线CD与该直线的交点为，直线y=kx+2k-1与x轴交点为∴，∴k=，∴。
故答案为：D
【分析】考查一次函数的表达式求法。掌握平面内点的坐标与四边形的关系，熟练运用待定系数法求函数表达式。
18．（2024八上·宿豫期末）直线把分成两部分，截得的三角形面积为1.5，则k的值是　 　
【答案】或
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象与坐标轴交点问题
19．（2023八上·东台月考）如图，在平面直角坐标系中，点B在x轴的正半轴上，，，，点C、D均在边上，且，若的面积等于面积的，则直线的解析式为　 　．
【答案】
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；旋转的性质
20．（2024八上·雅安期中）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点B的坐标为，点C的坐标为．点A在x轴的负半轴上，连接，三角形的面积为5．
（1）求点A的坐标；
（2）动点P从点C出发以每秒2个单位的速度沿x轴负半轴方向运动，设点P的运动时间为t，连接，三角形的面积为S，用含t的式子表示S，并直接写出t的取值范围；
（3）在（2）的条件下，t为何值时，把三角形的面积分成两部分？
【答案】（1）解：设点A坐标为，
∵C(4，0)，B(0，2)
∴，AC=4-a，
∴，
解得a=-1，
∴点A坐标为；
（2）解：当点P在上运动时，即，
由题意可知，，，
∴，
当点P在射线上运动时，即，
由题意可知，，，
∴，
综上所述，．
（3）解：当点P在上运动时，
由题意可知，，，
当时，即，
解得：，
当时，即，
解得：，
∵，，
∴当点P在上运动时，不满足把三角形的面积分成两部分，
综上所述，或．
【知识点】坐标与图形性质；三角形的面积；一次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）设点A坐标为，利用坐标与图形性质求出OB=2，根据两点间的距离公式得出AC=4-a，进而根据三角形面积公式建立方程求出a的值即可；
（2）分当点P在上运动时和当点P在射线上运动时两种情况，路程、速度、时间三者的关系及线段和差分别表示出OP，利用三角形的面积求解关系式即可；
（3）分当点P在上运动时和当点P在线段上运动时，利用同高三角形面积之比等于对应底之比建立方程，求解即可.
（1）解：设点A坐标为，
由题意可知：，，，
∴，
解得，
∵点A在x轴的负半轴上，
，
点A坐标为；
（2）解：当点P在上运动时，即，
由题意可知，，，
∴，
当点P在射线上运动时，即，
由题意可知，，，
∴，
综上所述，．
（3）解：当点P在上运动时，
由题意可知，，，
当时，即，
解得：，
当时，即，
解得：，
∵，，
∴当点P在上运动时，不满足把三角形的面积分成两部分，
综上所述，或．
21．（2024八上·洋县期末）【问题探究】（1）如图1，在平面直角坐标系中，直线l与x轴、y轴分别交于点，若点C为y轴上的点，连接，且的面积是的面积的2倍，求所在直线的函数表达式；
【问题解决】
（2）如图2，在平面直角坐标系中，是某市高新技术开发区的一块空地，已知、、，直线是一条笔直的道路（路宽不计），为了对空地进行合理规划利用，市政府计划在道路l上取点D，使得将四边形的面积分成的两部分，并将这两部分分别规划为开发区综合服务管委会和安全监督管理局，请你帮助市政府计算出点D的坐标．
【答案】（1）直线的解析式为或；（2）点D的坐标为或
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数与二元一次方程（组）的关系；一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数的实际应用-几何问题
四、取值范围问题
22．（2024八上·大观期末）当时，对于x的每一个值，函数（k≠0）的值都小于函数的值，则k的取值范围是（　　）
A．且 B．
C． D．
【答案】C
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
23．如图，函数. 和 的图象相交于(-1，1)，(2，2)两点，当 时，x的取值范围是(　　).
A．x<-1 B．-12 D．x<-1或x>2
【答案】D
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：当x≥0时，y1=x，又
∵两直线的交点为(2，2)，
∴当x<0时，y1=-x，又
∵两直线的交点为(-1，1)，
∴由图象可知：当y1>y2时x的取值范围为：x<-1或x>2
故答案为：D .
【分析】首先由已知得出y1=x或y1=-x又相交于(-1，1)，(2，2)两点，根据y1>y2列出不等式求出x的取值范围.
24．（2024八上·合肥期中）定义：平面直角坐标系中，若点A到x轴、y轴的距离和为1，则称点A为“和一点”．例如：点到x轴、y轴距离和为1，则点B是“和一点”，点也是“和一点”．一次函数的图象l经过点，且图象l上存在“和一点”，则k的取值范围为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的性质；通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：由题意可得：点A到x轴，y轴的距离和为1，即，去绝对值后可得：
，
将“和一点”的函数表示在直角坐标系中如图：
∵一次函数的图象l经过点，且图象l上存在“和一点”，
∴一次函数至少与“和一点”构成的图象有1个交点，
当k最小时，一次函数与图象最右侧点相连，如图；
此时一次函数经过两点，
则有，解得：，即k的最小值为．
当k最大时，一次函数与图象最下面的点相连，如图∶
此时一次函数经过两点，
则有，解得：，即k的最大值为．
∴k的取值范围为．
故选A．
【分析】据“和一点”的定义可以得出，进而可以得出由所有“和一点”所构成的函数及其图象，又通过过点的图象l上存在“和一点得到一次函数与“和一点”构成的函数存在交点，然后运用待定系数法求得k的最小值和最大值，即可确定k的取值范围
25．（2025八上·杭州期末）定义：若，满足，（为常数），则称点为“好点”．
（1）若是“好点”，则　 　；
（2）在的范围内，若直线上存在“好点”，则的取值范围为　 　．
【答案】；
【知识点】一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：（1）∵是“好点”，
∴，
解得：，
故答案为：；
（2）∵在的范围内，直线上存在“好点”，
∴，
解得：，
∵，
∴，
故答案为：．
【分析】（1）根据题意得出，消去t即可得到；
（2）根据题意得出，消去t得，由-在，得出．
26．（2023八上·邗江月考）已知是一次函数图像上的不同两个点，则当时，的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】解一元一次不等式；一次函数的性质
27．（2021八上·嘉兴期末）若一次函数y=ax+b（a≠0)的图象经过点A(2，3)，且不经过第四象限，则 4a+b的取值范围为　 　.
【答案】3<4a+b<6
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：∵y=ax+b（a≠0)的图象经过点A(2，3)，
∴3=2a+b，即2a=3-b，b=3-2a，
∴4a+b=4a+3-2a=2a+3，
又∵图象不经过第四象限，
∴a＞0，b≥0
∴2a+3＞3，3-2a≥0
∴3＜4a+b≤6
故答案为：3<4a+b<6.
【分析】由 y=ax+b（a≠0)的图象经过点A(2，3)得：2a=3-b，b=3-2a，再将4a+b变形为2a+3；由图象不经过第四象限得：a＞0，b≥0，列出关于2a的一元一次不等式2a+3＞3，3-2a≥0即可求出4a+b的范围.
28．（2023八上·江都月考）在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的“变换点”的坐标定义如下：当时，点坐标为；当时，点坐标为，线段上所有点按上述“变换点”组成一个新的图形，若直线与组成的新的图形有两个交点，则的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】点的坐标；坐标与图形性质；待定系数法求一次函数解析式；坐标与图形变化﹣对称
29．（2021八上·南京期末）已知点A的坐标是 ，点B是正比例函数 的图象上一点，若只存在唯一的点B，使 为等腰三角形，则k的取值范围是　 　.
【答案】或
【知识点】正比例函数的图象和性质；等腰三角形的判定
【解析】【解答】解：①如图，当OA⊥OB且OA＝OB时，作AE⊥y轴于点E，作BF⊥y轴于点F，
∴∠OFB=∠OEA=90°=∠AOB，
∵∠AOE＋∠BOF＝90°，∠AOE＋∠OAE＝90°，
∴∠BOF＝∠OAE，
在△BOF和△OAE中
∴△BOF≌△OAE（AAS），
∴BF＝OE＝1，OF＝AE＝ ，
∵B的坐标是（1， ）
∴＝k，
检验，当∠AOB>90°时，即k≥ 满足题意；
②当点B与点A关于x轴对称时满足题意，点B坐标为（ ，1），
设AB交x轴与点E，在Rt△AOE中，
∴AE＝ OA，
∴∠EOA＝30°，
∴∠BOA＝60°，
∴△AOB为等边三角形，
∴点B（ ，1）
把（ ，1）代入y＝kx得
k=1，
解答k＝ ．
故答案为：k≥ 或k＝ .
【分析】分情况讨论：当OA⊥OB且OA＝OB时，作AE⊥y轴于点E，作BF⊥y轴于点F，利用垂直的定义和余角的性质可证得∠BOF＝∠OAE，∠OFB=∠OEA，利用AAS证明△BOF≌△OAE，利用全等三角形的性质可求出OF，BF的长，可得到点B的坐标，利用待定系数法可求出k的值，可得到k的取值范围；当点B与点A关于x轴对称时满足题意，利用勾股定理求出OA的长，利用30°角所对直角边等于斜边的一半，可推出∠EOA=30°，由此可得到∠BOA=60°，利用有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，可证得△AOB为等边三角形，可得到点B的坐标，利用待定系数法求出k的值，综上所述可得到k的取值范围.
五、存在性问题
30．（2024八上·青岛期中）如图，直线：与x轴、y轴分别交于A、B两点，于点M，点P为直线l上不与点A、B重合的一个动点．在y轴上存在（　　）个点Q，使得以O、P、Q为顶点的三角形与全等．
A．2 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【知识点】三角形的面积；三角形全等及其性质；一次函数图象与坐标轴交点问题；三角形-动点问题；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：对于直线，令，则，令，则，
解得：，
∴点A、B的坐标分别是，，
∴，，
∴，
∵
∴；
①当时，如图2和图3，
由（1）得，
∴，即P点横坐标为或，
当P点横坐标为时，纵坐标为：，
∴，
当P点横坐标为时，纵坐标为：，
∴，
此时点P的坐标为或；
②当时，如图4和图5，
∴，即点P、点Q纵坐标为或，
由，
解得：，
由，
解得：，
此时点P的坐标为或，
综上所述，符合条件的点P的坐标为或或或共4个．
故答案为：B．
【分析】首先求得直线与两坐标轴的交点，点A、B的坐标分别是，，进而根据勾股定理可得出，进而利用面积法可得出， 以O、P、Q为顶点的三角形与全等 可分为两种情况：①当时，点P的坐标为或；②当时，点P的坐标为或，综上即可得出点P的坐标为或或或共4个．
31．（2024八上·清新期中）已知函数y=（k﹣2）x﹣2k+7与，当满足﹣6≤x≤1时，两个函数的图象存在2个公共点，则k满足的条件是 　 　．
【答案】2≤k＜
【知识点】一次函数的图象；一次函数的实际应用-几何问题
32．（2023八上·薛城月考）如图，直线y＝－x＋8与x轴、y轴分别交于点A和点B，M是OB的上的一点，若将△ABM沿M折叠，点B恰好落在x轴上的点B'处.
（1）求A、B两点的坐标；
（2）求直线AM的表达式；
（3）在x轴上是否存在点P，使得以点P、M、B'为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，请直接写出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）；（2）；（3）P（4，0）或或或.
【知识点】一次函数的实际应用-几何问题
33．（2023八上·金牛月考）如下图，已知直线分别与轴，轴交于，两点，直线：交于点.
（1）求，两点的坐标；
（2）如图1，点E是线段OB的中点，连结AE，点F是射线OG上一点， 当，且时，求的长；
（3）如图2，若，过点作∥，交轴于点，此时在轴上是否存在点，使，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）A（4，0），B（0，-4）（2）EF=（3）
【知识点】一次函数的实际应用-几何问题
1 / 1浙教版数学八年级上学期重难点复习8：一次函数综合
一、定点问题
1．（2024八上·淮北期中）在一次函数的研究过程中，甲、乙同学得到如下结论：甲认为当时，随的增大而增大；乙认为无论取何值，函数必定经过定点则下列判断正确的是（　　）
A．甲正确，乙错误 B．甲错误，乙正确
C．甲乙都正确 D．甲乙都错误
2．（2024八上·桐乡市期末）关于函数，给出下列说法正确的是：（　　）
①当时，该函数是一次函数；
②若点在该函数图象上，且，则；
③若该函数不经过第四象限，则；
④该函数恒过定点．
A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③
3．（2024八上·大观期中）已知一次函数（为常数，）
（1）（为常数，）的图像恒经过一个定点，这个定点坐标是　 　；
（2）平面直角坐标系中有三个点，，，若该直线将分成左右面积之比为的两部分，则的值为　 　．
4．（2025八上·庐阳期末）新定义：对于两个实数、，我们用表示这两个数中最大的数，即，对于函数：
（1）当时，　 　；
（2）若过定点的直线与函数的图象有两个交点，则的取值范围是 　 　．
5．（2025八上·永寿期末）【问题提出】
如图①，直线经过第一象限内的定点．
（1）点的坐标为___________；
（2）如图②，已知点，过点作轴交第一象限内的直线于点，连接，若平分，求的值；
【问题解决】
（3）如图③，Rt是某试验田的一块区域示意图，，点为试验田的供水中心，点为进出水口点，且在线段上．现要规划一片等腰直角三角形区域作为新品种小麦的研究基地，点在线段上，点在线段的下方，为了便于确定点的位置，以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系．已知点的坐标为（3，4），按设计要求，点处设置为另一个进出水口，要用水管把三点连接起来，若使所需的水管长度最短，试求出此时点的坐标．
6．（2024八上·沭阳期末）材料一：如图1，等腰直角三角形中，，，直线经过点C，过A作于点D，过B作于点E，则，我们称这种全等模型为“K型全等”．（不需要证明）
材料二：如何确定点所在直线对应的函数关系式，我们可以设，，这样就可以把带入，可得，利用这样的方法就可以确定点所在直线对应的函数关系式了．
【模型应用】若一次函数的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点．
（1）如图2，当时，若点B到经过原点的直线l的距离的长为4，求点A到直线l的距离的长；
（2）如图3，有一个点，若是以为腰的等腰直角三角形，求直线对应的一次函数表达式；
（3）如图4，在平面直角坐标系中，Q是直线上一个动点，将Q绕点顺时针旋转，得到点，连接，则的最小值为 ．
二、将军饮马问题
7．（2024八上·罗湖期中）如图，直线过点，且与轴交于点，点是轴上的一个动点，则的周长的最小值是（　　）
A． B． C． D．
8．（2024八上·相城期末）如图所示，直线y=x+4与两坐标轴分别交于A、B两点，点C是OB的中点，D、E分别是直线AB、y轴上的动点，则周长的最小值是（　　）
A． B． C． D．
9．（2024八上·镇江月考）如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标为，直线与x轴、y轴分别交于点A，B，点M是直线上的一个动点，则线段长的最小值为（　　）
A．7 B．8 C．9 D．10
10．（2024八上·驿城期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，点在第一象限，线段上有一点，点P为x轴上一动点，连接，，当的值最小时，点P的坐标为　 　，此时的最小值为　 　．
11．（2024八上·从江月考）已知与x轴，y轴分别交于A，B两点，点C，D分别是，中点，点P为上动点，当周长最小时，点P的坐标为　 　．
12．（2024八上·南岸期中）如图，直线l1：y=﹣3x+3交y轴于C，与x轴交于点D，直线l2经过点A(4，0)，且直线l1、l2交于点B(2，m）．
（1）求m的值和直线l2的函数表达式；
（2）直线l2在第一象限内的部分上有一点E，且△ADE的面积是△ADB面积的一半，求出点E的坐标，并在x轴上找一点P，使得CP+PE的值最小，求出这个最小值；
（3）若点Q为y轴上一点，且△BDQ为等腰三角形，请直接写出点Q的坐标；
13．如图，直线AB：y=x+1与直线CD：y=﹣2x+4交于点E．
（1）求E点坐标；
（2）在x轴上找一点F使得FB+FE最小，求OF的长；
（3）若P为直线CD上一点，当△AEP面积为6时，求P的坐标．
三、面积分割问题
14．如图，函数的图像与x轴、y轴分别交于点A，B，若直线将分为面积比为的两部分，则直线的函数表达式为（　　）
A．或 B．
C．或 D．
15．（2024八上·宿豫期末）八个边长为1的正方形如图摆放在平面直角坐标系中，经过原点的一条直线l将这八个正方形分成面积相等的两部分，则该直线l的解析式为（　　）
A．y＝-x B．y＝-x C．y＝-x D．y＝-x
16．（2024八上·东坡期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（2，4），B（1，2），C（5，2），直线l经过点A，它将△ABC分成面积相等的两部分，则直线l的表达式为（　　）
A．y＝﹣2x＋6 B．y＝﹣2x＋8 C．y＝2x＋8 D．y＝﹣x＋6
17．（2020八上·深圳期中）如图，四边形ABCD的顶点坐标分别为4（-4，0），B（-2，-1），C（3，0），D（0，3），当过点B的直线l将四边形ABCD分成面积相等的两部分时，直线I所表示的函数表达式为（　　）
A．y= B．y= C．y=x+1 D．y=
18．（2024八上·宿豫期末）直线把分成两部分，截得的三角形面积为1.5，则k的值是　 　
19．（2023八上·东台月考）如图，在平面直角坐标系中，点B在x轴的正半轴上，，，，点C、D均在边上，且，若的面积等于面积的，则直线的解析式为　 　．
20．（2024八上·雅安期中）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点B的坐标为，点C的坐标为．点A在x轴的负半轴上，连接，三角形的面积为5．
（1）求点A的坐标；
（2）动点P从点C出发以每秒2个单位的速度沿x轴负半轴方向运动，设点P的运动时间为t，连接，三角形的面积为S，用含t的式子表示S，并直接写出t的取值范围；
（3）在（2）的条件下，t为何值时，把三角形的面积分成两部分？
21．（2024八上·洋县期末）【问题探究】（1）如图1，在平面直角坐标系中，直线l与x轴、y轴分别交于点，若点C为y轴上的点，连接，且的面积是的面积的2倍，求所在直线的函数表达式；
【问题解决】
（2）如图2，在平面直角坐标系中，是某市高新技术开发区的一块空地，已知、、，直线是一条笔直的道路（路宽不计），为了对空地进行合理规划利用，市政府计划在道路l上取点D，使得将四边形的面积分成的两部分，并将这两部分分别规划为开发区综合服务管委会和安全监督管理局，请你帮助市政府计算出点D的坐标．
四、取值范围问题
22．（2024八上·大观期末）当时，对于x的每一个值，函数（k≠0）的值都小于函数的值，则k的取值范围是（　　）
A．且 B．
C． D．
23．如图，函数. 和 的图象相交于(-1，1)，(2，2)两点，当 时，x的取值范围是(　　).
A．x<-1 B．-12 D．x<-1或x>2
24．（2024八上·合肥期中）定义：平面直角坐标系中，若点A到x轴、y轴的距离和为1，则称点A为“和一点”．例如：点到x轴、y轴距离和为1，则点B是“和一点”，点也是“和一点”．一次函数的图象l经过点，且图象l上存在“和一点”，则k的取值范围为（　　）
A． B．
C． D．
25．（2025八上·杭州期末）定义：若，满足，（为常数），则称点为“好点”．
（1）若是“好点”，则　 　；
（2）在的范围内，若直线上存在“好点”，则的取值范围为　 　．
26．（2023八上·邗江月考）已知是一次函数图像上的不同两个点，则当时，的取值范围是　 　．
27．（2021八上·嘉兴期末）若一次函数y=ax+b（a≠0)的图象经过点A(2，3)，且不经过第四象限，则 4a+b的取值范围为　 　.
28．（2023八上·江都月考）在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的“变换点”的坐标定义如下：当时，点坐标为；当时，点坐标为，线段上所有点按上述“变换点”组成一个新的图形，若直线与组成的新的图形有两个交点，则的取值范围是　 　．
29．（2021八上·南京期末）已知点A的坐标是 ，点B是正比例函数 的图象上一点，若只存在唯一的点B，使 为等腰三角形，则k的取值范围是　 　.
五、存在性问题
30．（2024八上·青岛期中）如图，直线：与x轴、y轴分别交于A、B两点，于点M，点P为直线l上不与点A、B重合的一个动点．在y轴上存在（　　）个点Q，使得以O、P、Q为顶点的三角形与全等．
A．2 B．4 C．5 D．6
31．（2024八上·清新期中）已知函数y=（k﹣2）x﹣2k+7与，当满足﹣6≤x≤1时，两个函数的图象存在2个公共点，则k满足的条件是 　 　．
32．（2023八上·薛城月考）如图，直线y＝－x＋8与x轴、y轴分别交于点A和点B，M是OB的上的一点，若将△ABM沿M折叠，点B恰好落在x轴上的点B'处.
（1）求A、B两点的坐标；
（2）求直线AM的表达式；
（3）在x轴上是否存在点P，使得以点P、M、B'为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，请直接写出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由.
33．（2023八上·金牛月考）如下图，已知直线分别与轴，轴交于，两点，直线：交于点.
（1）求，两点的坐标；
（2）如图1，点E是线段OB的中点，连结AE，点F是射线OG上一点， 当，且时，求的长；
（3）如图2，若，过点作∥，交轴于点，此时在轴上是否存在点，使，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】一次函数的概念
2．【答案】A
【知识点】一次函数的概念；一次函数的图象；一次函数的性质
【解析】【解答】解：①当时，该函数是一次函数，该说法正确，
②∵且
∴y随x增大而增大，
∴该说法正确，
③若该函数不经过第四象限，
∴
∴该说法错误
④∵
∴当x=-1时，y=-2，与k值无关，则该说法正确，
综上所述，正确的说法有：①②④，
故答案为：A.
【分析】根据一次函数的定义可判断①；根据一次函数的增减性即可判断②；利用一次函数的图象与象限的关系即可判断③，将一次函数改写为即可判断④.
3．【答案】；3
【知识点】一次函数的实际应用-几何问题
4．【答案】；
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
5．【答案】（1）；（2）；（3）点
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；三角形全等及其性质；勾股定理
6．【答案】（1）3
（2）或或
（3）
【知识点】勾股定理；旋转的性质；一次函数的实际应用-几何问题；等腰三角形的概念
7．【答案】A
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；轴对称的应用-最短距离问题；坐标系中的两点距离公式；求算术平方根
【解析】【解答】解：将点代入直线，
可得，解得，
该直线的解析式为，
将点代入直线，
可得，
，
，
如图，作点A关于轴的对称点，连接交轴于点，连接，
则，
由轴对称的性质可得，
的周长，
此时的周长取最小值，
，
，
的周长取最小值为．
故选：A．
【分析】
代入A，B可求得直线的解析式和AB的长度，根据两点间线段最短做A的轴对称点后连接该点和B点可得C点，此时△ABC的周长最短。
8．【答案】D
【知识点】等腰三角形的判定与性质；坐标与图形变化﹣对称；坐标系中的两点距离公式；一次函数的实际应用-几何问题
9．【答案】B
【知识点】垂线段最短及其应用；勾股定理；一次函数的实际应用-几何问题
10．【答案】；
【知识点】一次函数的实际应用-几何问题
11．【答案】
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；坐标与图形变化﹣对称；一次函数图象与坐标轴交点问题
12．【答案】（1）m=-3，；（2）E（5，1.5），；（3）Q的坐标为
【知识点】一次函数的概念；一次函数的实际应用-几何问题
13．【答案】解：（1）由题意： ，
解得：，
所以E（1，2）；
（2）作B关于x轴的对称点B1，连接B1E交x轴于F，
∵y=x+1中，B（0，1）
∴B1（﹣1，0），
设yBE=kx+b（k≠0），
可得：，
∴，
∴y=3x﹣1，
当y=0时，x=，
∴OF=；
（3）当P在直线AE下方时：=+==6，
yP=﹣2，
所以P1（3，﹣2），
当P在直线AE上方时：
=-=|yp-2|，
yP=6，
所以P2（﹣1，6）
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题
【解析】【分析】（1）联立两个方程解答即可；
（2）作B关于x轴的对称点，得出OF的长；
（3）根据三角形的面积公式解答即可．
14．【答案】C
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数中的面积问题
【解析】【解答】解：当时，，解得，
当时，，
∴，
∴，
设点C的坐标为，则，
∵直线将分为面积比为的两部分，
∴或
∴或
∴或
解得或
当时，点C的坐标为，
设直线的函数表达式为，把，代入得到，
解得
∴直线的函数表达式为，
当时，点C的坐标为，
同理可得，此时直线的函数表达式为，
综上可知，直线的函数表达式为或，
故选：C
【分析】分两种情况考虑：(i)当C为OA的四等分点时，可得 即3OC=AC，此时 面积与 面积之比为1：3，(ii)当OC=3AC时， 面积与 面积之比为1：3，分别求出C坐标，确定出直线L解析式即可.
15．【答案】D
【知识点】一次函数的实际应用-几何问题
16．【答案】B
【知识点】待定系数法求一次函数解析式
17．【答案】D
【知识点】待定系数法求一次函数解析式
【解析】【解答】 ∵A（-4，0），B（-2，-1），C（3，0），D（0，3）∴AC=7，DO=3∴四边形ABCD面积为。设直线CD解析式为y=mx+n（m≠0），
则解得∴y=-x+3。设过点B的直线l为y=kx+2k-1联立方程组，得解得直线CD与该直线的交点为，直线y=kx+2k-1与x轴交点为∴，∴k=，∴。
故答案为：D
【分析】考查一次函数的表达式求法。掌握平面内点的坐标与四边形的关系，熟练运用待定系数法求函数表达式。
18．【答案】或
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象与坐标轴交点问题
19．【答案】
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；旋转的性质
20．【答案】（1）解：设点A坐标为，
∵C(4，0)，B(0，2)
∴，AC=4-a，
∴，
解得a=-1，
∴点A坐标为；
（2）解：当点P在上运动时，即，
由题意可知，，，
∴，
当点P在射线上运动时，即，
由题意可知，，，
∴，
综上所述，．
（3）解：当点P在上运动时，
由题意可知，，，
当时，即，
解得：，
当时，即，
解得：，
∵，，
∴当点P在上运动时，不满足把三角形的面积分成两部分，
综上所述，或．
【知识点】坐标与图形性质；三角形的面积；一次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）设点A坐标为，利用坐标与图形性质求出OB=2，根据两点间的距离公式得出AC=4-a，进而根据三角形面积公式建立方程求出a的值即可；
（2）分当点P在上运动时和当点P在射线上运动时两种情况，路程、速度、时间三者的关系及线段和差分别表示出OP，利用三角形的面积求解关系式即可；
（3）分当点P在上运动时和当点P在线段上运动时，利用同高三角形面积之比等于对应底之比建立方程，求解即可.
（1）解：设点A坐标为，
由题意可知：，，，
∴，
解得，
∵点A在x轴的负半轴上，
，
点A坐标为；
（2）解：当点P在上运动时，即，
由题意可知，，，
∴，
当点P在射线上运动时，即，
由题意可知，，，
∴，
综上所述，．
（3）解：当点P在上运动时，
由题意可知，，，
当时，即，
解得：，
当时，即，
解得：，
∵，，
∴当点P在上运动时，不满足把三角形的面积分成两部分，
综上所述，或．
21．【答案】（1）直线的解析式为或；（2）点D的坐标为或
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数与二元一次方程（组）的关系；一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数的实际应用-几何问题
22．【答案】C
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
23．【答案】D
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：当x≥0时，y1=x，又
∵两直线的交点为(2，2)，
∴当x<0时，y1=-x，又
∵两直线的交点为(-1，1)，
∴由图象可知：当y1>y2时x的取值范围为：x<-1或x>2
故答案为：D .
【分析】首先由已知得出y1=x或y1=-x又相交于(-1，1)，(2，2)两点，根据y1>y2列出不等式求出x的取值范围.
24．【答案】A
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的性质；通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：由题意可得：点A到x轴，y轴的距离和为1，即，去绝对值后可得：
，
将“和一点”的函数表示在直角坐标系中如图：
∵一次函数的图象l经过点，且图象l上存在“和一点”，
∴一次函数至少与“和一点”构成的图象有1个交点，
当k最小时，一次函数与图象最右侧点相连，如图；
此时一次函数经过两点，
则有，解得：，即k的最小值为．
当k最大时，一次函数与图象最下面的点相连，如图∶
此时一次函数经过两点，
则有，解得：，即k的最大值为．
∴k的取值范围为．
故选A．
【分析】据“和一点”的定义可以得出，进而可以得出由所有“和一点”所构成的函数及其图象，又通过过点的图象l上存在“和一点得到一次函数与“和一点”构成的函数存在交点，然后运用待定系数法求得k的最小值和最大值，即可确定k的取值范围
25．【答案】；
【知识点】一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：（1）∵是“好点”，
∴，
解得：，
故答案为：；
（2）∵在的范围内，直线上存在“好点”，
∴，
解得：，
∵，
∴，
故答案为：．
【分析】（1）根据题意得出，消去t即可得到；
（2）根据题意得出，消去t得，由-在，得出．
26．【答案】
【知识点】解一元一次不等式；一次函数的性质
27．【答案】3<4a+b<6
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：∵y=ax+b（a≠0)的图象经过点A(2，3)，
∴3=2a+b，即2a=3-b，b=3-2a，
∴4a+b=4a+3-2a=2a+3，
又∵图象不经过第四象限，
∴a＞0，b≥0
∴2a+3＞3，3-2a≥0
∴3＜4a+b≤6
故答案为：3<4a+b<6.
【分析】由 y=ax+b（a≠0)的图象经过点A(2，3)得：2a=3-b，b=3-2a，再将4a+b变形为2a+3；由图象不经过第四象限得：a＞0，b≥0，列出关于2a的一元一次不等式2a+3＞3，3-2a≥0即可求出4a+b的范围.
28．【答案】
【知识点】点的坐标；坐标与图形性质；待定系数法求一次函数解析式；坐标与图形变化﹣对称
29．【答案】或
【知识点】正比例函数的图象和性质；等腰三角形的判定
【解析】【解答】解：①如图，当OA⊥OB且OA＝OB时，作AE⊥y轴于点E，作BF⊥y轴于点F，
∴∠OFB=∠OEA=90°=∠AOB，
∵∠AOE＋∠BOF＝90°，∠AOE＋∠OAE＝90°，
∴∠BOF＝∠OAE，
在△BOF和△OAE中
∴△BOF≌△OAE（AAS），
∴BF＝OE＝1，OF＝AE＝ ，
∵B的坐标是（1， ）
∴＝k，
检验，当∠AOB>90°时，即k≥ 满足题意；
②当点B与点A关于x轴对称时满足题意，点B坐标为（ ，1），
设AB交x轴与点E，在Rt△AOE中，
∴AE＝ OA，
∴∠EOA＝30°，
∴∠BOA＝60°，
∴△AOB为等边三角形，
∴点B（ ，1）
把（ ，1）代入y＝kx得
k=1，
解答k＝ ．
故答案为：k≥ 或k＝ .
【分析】分情况讨论：当OA⊥OB且OA＝OB时，作AE⊥y轴于点E，作BF⊥y轴于点F，利用垂直的定义和余角的性质可证得∠BOF＝∠OAE，∠OFB=∠OEA，利用AAS证明△BOF≌△OAE，利用全等三角形的性质可求出OF，BF的长，可得到点B的坐标，利用待定系数法可求出k的值，可得到k的取值范围；当点B与点A关于x轴对称时满足题意，利用勾股定理求出OA的长，利用30°角所对直角边等于斜边的一半，可推出∠EOA=30°，由此可得到∠BOA=60°，利用有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，可证得△AOB为等边三角形，可得到点B的坐标，利用待定系数法求出k的值，综上所述可得到k的取值范围.
30．【答案】B
【知识点】三角形的面积；三角形全等及其性质；一次函数图象与坐标轴交点问题；三角形-动点问题；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：对于直线，令，则，令，则，
解得：，
∴点A、B的坐标分别是，，
∴，，
∴，
∵
∴；
①当时，如图2和图3，
由（1）得，
∴，即P点横坐标为或，
当P点横坐标为时，纵坐标为：，
∴，
当P点横坐标为时，纵坐标为：，
∴，
此时点P的坐标为或；
②当时，如图4和图5，
∴，即点P、点Q纵坐标为或，
由，
解得：，
由，
解得：，
此时点P的坐标为或，
综上所述，符合条件的点P的坐标为或或或共4个．
故答案为：B．
【分析】首先求得直线与两坐标轴的交点，点A、B的坐标分别是，，进而根据勾股定理可得出，进而利用面积法可得出， 以O、P、Q为顶点的三角形与全等 可分为两种情况：①当时，点P的坐标为或；②当时，点P的坐标为或，综上即可得出点P的坐标为或或或共4个．
31．【答案】2≤k＜
【知识点】一次函数的图象；一次函数的实际应用-几何问题
32．【答案】（1）；（2）；（3）P（4，0）或或或.
【知识点】一次函数的实际应用-几何问题
33．【答案】（1）A（4，0），B（0，-4）（2）EF=（3）
【知识点】一次函数的实际应用-几何问题
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