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18.2黄金分割
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．古希腊的帕特农神庙的设计代表了古希腊建筑艺术的最高水平，它的平面图可看作“黄金矩形”（宽与长的比等于）．如图，帕特农神庙平面图的长约为30m，则它的宽约为（ ）
A．12.36m B．18.54m C．21.21m D．48.54m
2．我们在学习书法的初期需要经历临摹阶段，黄金格是一种临摹时的习字格．如图，正方形是黄金习字格的边框，正方形内四条线段为黄金分割线，其端点都在边框上，且均为各边框的黄金分割点．若，则两条黄金分割线之间的距离的长为（ ）
A． B．
C． D．
3．神奇的自然界处处蕴含着数学知识，动物学家发现蝴蝶身长与双翅张开后的长度之比约为． 这个数据体现了数学中的（ ）

A．平移 B．轴对称 C．旋转 D．黄金分割
4．大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，为的黄金分割点，则下列结论中正确的是（　　）
①；②；③；④．
A．个 B．个 C．个 D．个
5．如图，将正方形的边向右平移到得到矩形，如果与的比等于与的比，那么就称这个矩形为黄金矩形，黄金矩形能够给画面带来美感，令人愉悦．某小区开发商想在小区空地设计一个周长为16米的黄金矩形花坛，则的长是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，已知点是线段的黄金分割点（其中），，则线段的大小是（ ）
A． B． C． D．
7．宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形．我们可以用这样的方法画出黄金矩形：作正方形，分别取、的中点E、F，连接；以点F为圆心，以为半径画弧，交的延长线于点G；作，交的延长线于点H．则下列矩形是黄金矩形的是（ ）
A．矩形 B．矩形 C．矩形 D．矩形
8．如图，点是的黄金分割点，即点满足，若，则的长为（ ）
A． B． C． D．0.618
9．如图，线段，点是线段的黄金分割点（且，即，点是线段的黄金分割点，点是线段的黄金分割点，，以此类推，则线段的长度是（ ）
A． B．
C． D．
10．若线段，C是的黄金分割点，且，则的长为（ ）
A． B． C． D．
11．已知点P是线段的黄金分割点（），，则的长度是（　　）
A． B． C． D．
12．“黄金格”是当代书法大师启功先生独创的习字格，深受众多书法爱好者的喜爱．如图，正方形是黄金习字格的边框，正方形每条边上的格点（端点除外）都是这条线段的黄金分割点，若，则长为（ ）
A． B．6 C． D．8
二、填空题
13．科学家们通过研究发现，当外界环境温度与人体正常体温（）之比等于黄金分割比时，人体感觉最舒适，这个气温约为 （精确到）．
14．如图，乐器上的一根弦的长度为，两个端点固定在乐器板面上，支撑点是弦靠近点的黄金分割点，则线段的长度为 ．
15．我国著名数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”．如图．在设计人体雕像时，为了增加视觉美感利用黄金分割法，将雕像分为上下两部分，其中为的黄金分割点，已知长为2米，则的长是 米．
16．顶角是的等腰三角形称为“黄金三角形”，其底边和腰的比为黄金比，若“黄金三角形”的腰长为4，则底边长为 （结果保留根号）．
17．如图，已知线段，经过点作，使，连接，在上截取；在上截取，则 ．
三、解答题
18．如图，我们知道，如果点是线段上的一点，将线段分割成两条线段，且满足，那么这种分割就叫做黄金分割．其中线段与的比值或线段与的比值叫做黄金分割数．已知比例的基本性质：对于长度为的四条线段，如果，则．求黄金分割数（结果保留根号）．
19．活动一：某数学兴趣小组在研究“黄金比例与黄金矩形”，阅读课本时发现可以通过折叠得到黄金矩形．请根据每一步的操作完成以下填空．（假设原矩形纸片的宽为）
①在一张矩形纸片的一端，利用图1的方法折出一个正方形，然后把纸片展平，则______；
②如图2，把这个正方形折成两个相等的矩形，再把纸片展平，则_______；
③折出内侧矩形的对角线，并把折到图3中所示的处，则_______；
④展平纸片，按照所得到的点D折出，则_______，我们将这个比值称为黄金比，将宽与长的比等于黄金比的矩形称为黄金矩形，如图4矩形就是一个黄金矩形．
活动二：类似的，我们将底与腰的比等于黄金比的等腰三角形称为黄金三角形．
如图，已知线段a，请你根据以下步骤作出以为腰长的黄金三角形．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
步骤一：作一条线段，使得的长度等于的腰长；
步骤二：作一条线段，使得的长度等于的底边长；
步骤三：作黄金三角形．
20．黄金分割是一种被广泛应用于艺术和生活中的比例关系，具有严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值，黄金分割比也被称作是最美比例关系．某艺术品公司生产了一款长方形的画框，测量发现该矩形画框的长为厘米，其宽与长的比值等于黄金分割比．
(1)求该矩形画框的宽；
(2)生产画框所用的材料单价为元，则生产一个该画框所需要的材料成本为多少钱？（结果保留根号）
21．已知宽与长的比是（约为0.618）的矩形叫黄金矩形．黄金矩形作为一种美学比例，无论是建筑、绘画、设计还是自然现象，都能找到它的身影，这种比例不仅在视觉上给人以和谐、平衡和美感，还反映了人类对美的追求和自然界的奇妙规律．某数学兴趣小组对如何用折纸或尺规作图的方法得到黄金矩形进行了探索．
实验操作：
第一步：在一张矩形纸片的一端，利用图1的方法折出一个正方形，然后把纸片展平；
第二步：如图2，把这个正方形折成两个全等的矩形，再把纸片展平；
第三步：折出内侧矩形的对角线，并把折到图3中处；
第四步：如图4，展开纸片，按照所得的点N折出，得到矩形．
问题解决：
（1）求证：矩形是黄金矩形；
（2）在图2的基础上，参考上述操作思路，嘉嘉说：“也可以用无刻度的直尺和圆规在图2中作出黄金矩形”．请你根据嘉嘉的想法作出图形（保留作图痕迹，不写作法）；
拓展延伸：
淇淇同学发现，在图4中还有一个黄金矩形，但她说不出理由，请你帮她找出来并证明．
22．（1）已知线段的长为2，是的黄金分割点，求的长；
（2）求作线段的黄金分割点，要求尺规作图，且使.
23．某校要设计一座高的雕像（如图），使雕像的点（肚脐）为线段（全身）的黄金分割点，上部（肚脐以上）与下部（肚脐以下）的高度比为黄金比．则雕像下部设计的高度应该为多少（结果精确到）米． （，结果精确到）．
24．已知线段，在上有一点A，如果，求证：点A是的黄金分割点.
《18.2黄金分割》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B A D A C D D A A B
题号 11 12
答案 D C
1．B
【分析】已知长约为30m，根据黄金矩形的概念宽与长的比等于，求出的宽的值即可．
本题考查了黄金分割的概念以及黄金矩形，掌握相关知识是解题的关键．
【详解】解：设它的宽约为m，
由题意得：
解得：≈
∴它的宽约为m ．
故选：B．
2．A
【分析】本题考查了黄金分割．熟练掌握黄金分割是解题的关键．
由题意知，，，可求，则，根据，计算求解即可．
【详解】解：由题意知，，，
∴，
解得，，
∴，
∴，
故选：A．
3．D
【分析】利用黄金分割比的意义解答即可．
【详解】解：∵黄金分割比为：，
∴动物学家发现蝴蝶身长与双翅张开后的长度之比约为，体现了数学中的黄金分割，
故选．
【点睛】本题考查了数学知识与自然界的联系，熟练掌握线段的黄金分割比是解题的关键．
4．A
【分析】此题考查了黄金分割：点把线段分成两条线段和，且使是和的比例中项（即），叫做把线段黄金分割，点叫做线段的黄金分割点．
由黄金分割的定义分别进行判断．
【详解】解：∵为的黄金分割点，
∴， ，
①、②、③错误，④正确，不符合题意，
故选：A．
5．C
【分析】本题考查的是黄金分割的含义，一元二次方程的解法，根据黄金分割的含义可得，设，再结合正方形与矩形的性质再建立方程求解即可．
【详解】解：∵正方形，矩形，
∴，，
∵矩形的周长为，设，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴或（舍去），
∴，
故选：C
6．D
【分析】此题考查黄金分割，注意黄金分割的比值是，即分得的较长线段等于总线段的．根据黄金比值计算即可．
【详解】∵是线段的黄金分割点，，，
∴，
∴，
故选：D．
7．D
【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，理解黄金矩形的定义是解题关键．先根据正方形的性质以及勾股定理，求得的长，再根据求得的长，最后分别求出选项中四个矩形的宽与长的比，判断出矩形为黄金矩形．
【详解】解：设正方形的边长为2，则，，
在直角三角形中，，
∴，
∴，
∴矩形的宽与长的比是，矩形的宽与长的比是，矩形的宽与长的比是，矩形的宽与长的比是，
∴矩形为黄金矩形，
故选：D．
8．A
【分析】本题考查了黄金分割，解题的关键是熟记黄金比的值进行计算．根据黄金比的值为求解即可．
【详解】解：∵点是的黄金分割点，即点满足，
∴为较长线段，
由，得，
故选：A．
9．A
【分析】本题考查的是黄金分割，二次根式的运算，理解黄金分割的概念，找出黄金分割中成比例的对应线段是解决问题的关键．根据“把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，它们的比值叫做黄金比”进行解答即可．
【详解】解：∵线段，点是线段的黄金分割点且，
∴，
∴，
则，
∵点是线段的黄金分割点且，
∴
∴，
∴，
同理可得：，
以此类推，则线段的长度是．
故选：A．
10．B
【分析】把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值叫做黄金比，根据概念列比例式即可求解．
【详解】解：∵线段，C是的黄金分割点，且，
∴根据黄金分割的概念得：，
∴．
故选B．
【点睛】本题考查黄金分割的含义，解题关键是理解黄金分割的概念，熟悉黄金比的值．
11．D
【分析】本题考查黄金分割，根据黄金分割的定义，列出比例式，进行求解即可．
【详解】解：∵点P是线段的黄金分割点（），
∴，
∴．
故选D．
12．C
【分析】本题考查了黄金分割．熟练掌握黄金分割是解题的关键．
由题意知，，可求得．
【详解】解：由题意知，，，
∴，
解得，．
故选：C．
13．
【分析】根据黄金比的值知，身体感到特别舒适的温度应为的倍，即可．
【详解】解：根据题意得：．
故答案为：
【点睛】本题考查了黄金分割在实际生活中的应用，根据黄金分割比的意义得出身体感到特别舒适的温度应为的倍是解题的关键．
14．/
【分析】此题考查了黄金分割点的概念，能够根据黄金比进行计算是解题的关键．由黄金比值列式求出，再根据计算即可．
【详解】解：∵点C是弦靠近点B的黄金分割点，，
∴，
∴，
故答案为：
15．
【分析】本题考查了黄金分割，根据黄金分割的定义并结合图象计算即可得解，熟练掌握黄金分割的定义是解此题的关键．
【详解】解：由题意可得：米，
故米，
故答案为：．
16．
【分析】本题考查等腰三角形的性质和方程思想，黄金分割，熟练掌握方程思想的应用是解题的关键；
根据黄金三角形的定义即可得到方程，求解即可；
【详解】解：由于黄金比为，
设底边长为，
，
；
故答案为：
17．
【分析】先求得，再根据所给作图步骤，分别求出出和即可解决问题．本题主要考查了黄金分割，能根据题中所给作图步骤，理清各线段之间的关系是解题的关键．
【详解】解：∵，，
∴，
在中，
．
因为，
所以，
所以，
所以．
故答案为：
18．
【分析】本题考查了黄金分割的概念和性质，根据题意列出比例式即可，熟练掌握把线段分成两条线段和，且使是和的比例中项，叫做把线段黄金分割是解题的关键．
【详解】解：设线段，的长为，则，
即，整理得，
解得，（不合题意舍去），
∴黄金分割数为：．
19．（1）活动一：①2；②1；③；④；
（2）见解析
【分析】活动一：利用折叠的性质和勾股定理解答即可；
活动二：利用作一条线段等于已知线段的方法，黄金分割的作法和公理解答即可．
【详解】解：活动一：
①在一张矩形纸片的一端，利用图1的方法折出一个正方形，然后把纸片展平，则；
②如图2，把这个正方形折成两个相等的矩形，再把纸片展平，则；
③折出内侧矩形的对角线，并把折到图3中所示的处，则；
④展平纸片，按照所得到的点D折出，，则；
活动二：
步骤一：作一条线段，使得的长度为，
步骤二：1．过点H作于点H，
2．在上截取，连接，
3．在上截取，
4．以点G为圆心，以为半径画弧交于点M， 则点M为的黄金分割点，的长度等于，则的长度等于底边的长度，即，如图：
步骤三：作，作线段，分别以为圆心，以为半径画弧，两弧交于点，连接，如图，
则为黄金三角形．
【点睛】本题主要考查了折叠的性质，黄金分割的性质，矩形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，基本作图，本题是操作性题 目，熟练掌握基本作图的知识和折叠的性质是解题的关键．
20．(1)厘米；
(2)元．
【分析】()根据宽与长的比值等于黄金分割比列出算式即可求解；
()求出矩形画框的面积，进而即可解决问题；
本题考查了黄金分割，二次根式的运算，熟知黄金分割的定义是解题的关键.
【详解】（1）解：∵矩形画框的宽与长的比值等于黄金分割比，且长为厘米，
∴矩形画框的宽为厘米；
（2）解：矩形画框的面积为（平方厘米），
∴矩形画框的材料成本为元，
答：生产一个该画框所需要的材料成本为元．
21．问题解决：（1）见解析；（2）见解析；拓展延伸：矩形也是黄金矩形，见解析
【分析】本题考查几何变换综合题，黄金矩形的定义，正方形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，翻折变换，二次根式的运算等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
（1）由操作过程可知，．设，则，表示，结合，计算，可得矩形是黄金矩形．
（2）在线段的延长线上截取，过作的垂线交于，结合（1）的结论可得矩形是黄金矩形．
（3）根据问题解决（1）可得，，求解，再进一步求解即可.
【详解】（1）证明：由操作过程可知，．
设，则，
，
由折叠的性质，得，
，
，
矩形是黄金矩形．
（2）解：作图如图．
拓展延伸 解：矩形也是黄金矩形．
证明：由问题解决（1）可得，，
，
，
矩形也是黄金矩形．
22．（1）或；（2）画图见解析
【分析】（1）根据黄金分割点的定义，知可能是较长线段，也可能是较短线段；所以或；
（2）过点B作，使，连接，在上截取，在线段上截取，则点P是线段的一个黄金分割点．
【详解】解：（1）由于为线段的黄金分割点，
则，
或；
（2）如图，点是线段的一个黄金分割点.
【点睛】考查了黄金分割点的概念．特别注意这里的可能是较长线段，也可能是较短线段；熟记黄金比的值进行计算．
23．米
【分析】设雕像下部的设计高度为xm，那么雕像上部的高度为m．根据雕像上部与下部的高度之比等于下部与全部的高度比，列出方程求解即可．
【详解】解：设雕像下部的设计高度为xm，那么雕像上部的高度为m．
依题意，得
解得（不合题意，舍去）．
经检验，是原方程的根．
∴雕像下部设计的高度应该为：．
【点睛】本题考查了黄金分割的应用，利用黄金分割中成比例的对应线段是解决问题的关键．
24．见解析
【分析】先求得，即可得到，结论得证．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴点A是的黄金分割点．
【点睛】解答本题的关键是应该识记黄金分割的公式：较短的线段=原线段的，较长的线段=原线段的．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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