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18.5相似三角形的判定
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，小正方形的边长均为，则下列图中的三角形（阴影部分）与相似的是（　　）
A． B． C． D．
2．如图，已知，那么添加一个条件后，仍不能判定与相似的是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在中，点D、E分别在边、上，，，那么下列判断中，不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．如图，在中，点D在边上，点E在边上，且，则下列结论中不正确的是（　　）
A． B． C． D．
5．如图，在三角形纸片中，，，．沿虚线剪下的涂色部分的三角形与相似的是（　　）
A． B．
C． D．
6．李老师在编写下面这个题目的答案时，不小心打乱了解答过程的顺序，你能帮他调整过来吗？证明步骤正确的顺序是（　　）
已知：如图，在中，点分别在边上，且，求证：．
证明：①又∵，②∵，③∴，④∴，∴．
A．③②④① B．②④①③ C．③①④② D．②③④①
7．下列各条件中，能判断的是（　　）
A．，
B． ，
C．，
D．，，，
8．如图，在中，是斜边上的高，，垂足为，则图中与相似的三角形（不包括）共有（　　）

A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
9．如图，，请你再添加一个条件，使得．则下列选项不成立的是（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在大小为的正方形网格中，是相似三角形的是（ ）
A．①和② B．②和③ C．①和③ D．②和④
11．如图，点D在的边上，添加一个条件，使得，下列不正确的是（ ）
A． B． C． D．
12．如图，矩形中，点，分别是，边上的点，连接，，，若，则图中①，②，③，④四个三角形一定相似的是
A．①和② B．②和③ C．③和④ D．①和④
二、填空题
13．两边 且夹角 的两个三角形相似．
14．如图，点D、E在的边上，请添加一个条件： ，使．
15．题目：“如图，纸片的直角边，是纸片边上不与、、重合的一点，欲过点剪下一个与相似的三角形．问有几种不同的剪法．”对于其答案，甲答：当点在斜边上时有三种不同的剪法；乙答：当点在直角边上时有三种不同剪法；丙答：当点在直角边上时有四种不同的剪法．回答正确的人是 ．

16．已知相交于点O，若补充一个条件后，便可得到，则要补充的条件可以是 ．
17．如图，在中，，中线相交于点O．若，，则的长为 ．
三、解答题
18．如图，在平行四边形中，点E为边上的点（不与点B，点C重合），连接并延长，交的延长线于点F．求证：．

19．如图，在中，于点D，于点E，与交于点F，求证：．
20．如图，和是两个全等的等腰直角三角形，，的顶点与的斜边的中点重合，将绕点旋转，旋转过程中，线段与线段相交于点，线段与射线相交于点．

(1)如图①，当点在线段上，且时，求证：；
(2)如图②，当点在线段的延长线上时，求证：．
21．如图，已知，，，，，求证：．
22．如图，在平行四边形中，，若点分别为边上的两点，且．求证：．

23．如图，在中，点、在上，点、分别在、上，且， ，交于点图中与相似的三角形有多少个？把它们表示出来，并说明理由．
24．如图，．求证．

《18.5相似三角形的判定》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A C D C B B C B D C
题号 11 12
答案 D C
1．A
【分析】本题考查了相似三角形的判定，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法．在中，，，，然后根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可对各选项进行判定即可．
【详解】解：在中，，，，
在B、C、D选项中的三角形都没有，而在A选项中，三角形的钝角为，它的两边分别为和，
因为，
所以A选项中的三角形与相似．
故选：A．
2．C
【分析】本题考查相似三角形的判定，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
首先由得到，然后利用相似三角形的判定方法一一判断即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴当，或时，；
当时，无法判定与相似．
故选：C．
3．D
【分析】本题主要考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键；若是两个三角形中两组角对应相等，那么这两个三角形相似，根据此判定作判断即可．
【详解】解：∵点D、E分别在边、上，，
∴，故A正确；
∵，
∴，
∵，
∴，故B正确；
∵，，
∴，
∴，故C正确；
与不一定相似，故D不正确；
故选：D．
4．C
【分析】本题主要考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键；若是两个三角形中两组角对应相等，那么这两个三角形相似，根据此判定作判断即可．
【详解】解：∵，，
∴．故A正确；
∵，，
∴．故B正确；
∵，，
∴．故D正确；
没有条件可证，故C错误．
故选：C
5．B
【分析】本题考查相似三角形的判定，正确利用相似三角形两边比值相等且夹角相等的两三角形相似是解题的关键．
根据相似三角形的判定分别进行判断即可得出答案．
【详解】解：A：∵，对应边，
故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与不相似，故该选项不合题意；
B：∵，对应边，
即：，，
故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与相似，故该选项符合题意；
C：∵，对应边，
故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与不相似，故该选项不合题意；
D：∵，对应边，
故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与不相似，故该选项不合题意．
故选：B．
6．B
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质；关键是证明三角形相似．根据平行线的性质可得到两组对应角相等，易得解题步骤；
【详解】证明：②，
④，
①又，
③，
．
故选：B．
7．C
【分析】本题主要考查相似三角形的判定，解答的关键是熟记相似三角形的判定条件：两角对应相等的两个三角形相似：两组对应边成比例且其夹角相等的两个三角形相似；根据相似三角形的判定条件对各选项进行分析即可．
【详解】A、，，只有一角一边，不能判断两个三角形相似，故A不符合题意；
B、 ，，不是与的夹角，不能判断两个三角形相似，故B不符合题意；
C、由可得，再由得，利用两组对应边成比例且其夹角相等的两个三角形相似，可判断，故C符合题意；
D、由，得，则得，故D不符合题意；
故选：C．
8．B
【分析】根据是斜边上的高，于点，得，，再根据相似三角形的判定，即可．
【详解】∵是斜边上的高，于点，
∴，，
在和中，
∵，
∴；
在和中，
∵，
∴；
∵，
∴，
∴；
∵，，
∴，
在和中，
，
∴；
∴图中与相似的三角形有个．
故选：B．
【点睛】本题考查相似三角形的判定，解题的关键是掌握相似三角形的判定定理．
9．D
【分析】根据，可以得到，然后即可判断添加各个选项中的条件是否可以使得，本题得以解决．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴当添加条件时，则，故选项A不符合题意；
当添加条件时，则，故选项B不符合题意；
当添加条件 时，则，故选项C不符合题意；
当添加条件 时，则不一定相似，故选项D符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查相似三角形的判定，解答本题的关键是明确题意，利用三角形相似的判定方法解答．
10．C
【分析】分别求得四个三角形三边的长，再根据三角形三边分别成比例的两三角形相似来判定．
【详解】解：①中的三角形的三边分别是：2，，，
②中的三角形的三边分别是：3，，，
③中的三角形的三边分别是：，2，，
④中的三角形的三边分别是：3，，，
①与③中的三角形的三边的比为：，
①与③相似．
故选：C．
【点睛】此题主要考查勾股定理，相似三角形的判定方法，利用勾股定理求出三角形三边长是解题的关键．
11．D
【分析】利用相似三角形的判定方法依次判断即可．
【详解】解：A、若，则，，
∴，故此选项不符合题意．
B、若，，则，故此选项不符合题意；
C、若，，则，故此选项不符合题意；
D、若，其夹角不确定是否相等，则不能判定，故此选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定．掌握三角形相似的判定定理是解题的关键．
12．C
【分析】本题主要考查了矩形的性质，相似三角形的判定，余角定理等知识点，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定定理．
由垂直得出，然后利用直角三角形的性质和余角性质得出，然后得出即可得出结论．
【详解】解：如图所示，
∵，
，
，
在矩形中，，
又，
，
故选：C．
13． 成比例 相等
【解析】略
14．或或（答一个即可）
【分析】根据相似三角形的判定定理求解即可．
【详解】解：∵，，
∴，故添加条件可证其相似；
根据两边对应成比例且夹角相等，故添加条件可证其相似；
∵，
∴，故添加条件可证其相似；
故答案为：或或（答一个即可）．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法是解答本题的关键．
15．甲、丙
【分析】根据相似三角形的性质结合题意，点在斜边上，点在直角边或直角边上，分类讨论即可求解．
【详解】解：当点在斜边上时有三种不同的剪法：沿过点垂直的垂线剪，故甲对；

当点在直角边上时有四种不同剪法：
如图所示，过作交于,则
过作交于，则，
作，则，，则，
作交于点，则，

同理点在直角边上时有四种不同剪法，故乙错，丙对；
故答案为：甲和丙．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．
16．（答案不唯一）
【分析】本题考查了相似三角形的判定．根据相似三角形的判定“两角分别对应相等的两个三角形相似”解答即可．
【详解】解：补充条件即可；
∵（对顶角），，
∴，
故答案为：（答案不唯一）．
17．/
【分析】先运用勾股定理求出，再根据三角形的中位线得到，进而得到解题即可．
【详解】解：∵E为的中点，
∴
∴
连接，
则是的中位线，
∴，
∴，，
∴
∴，
∴．
【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，三角形的中位线定理，勾股定理，掌握三角形的中位线定理是解题的关键．
18．见解析
【分析】根据平行四边形的性质和平行线的性质证明，，即可证得结论．
【详解】证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质和平行线的性质以及相似三角形的判定，熟练掌握上述知识是解题的关键．
19．证明见详解
【分析】本题考查了相似三角形的判定、对顶角相等和三角形内角和定理，根据题意可得，对顶角，再利用三角形内角和定理得，因此得证．
【详解】证明：、，
，
又，
，
．
20．(1)见解析
(2)见解析
【分析】此题考查了相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定、三角形的外角性质．
（1）由是等腰直角三角形，易得，，又由，是的中点，利用，可证得：；
（2）由和是两个全等的等腰直角三角形，易得，然后利用三角形的外角的性质，即可得，则可证得：．
【详解】（1）证明：是等腰直角三角形，
，，
，
，
是的中点，
，
在和中，
，
；
（2）证明：和是两个全等的等腰直角三角形，
，
，
即，
，
，
．
21．见解析
【分析】本题考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．
根据两组对应边成比例，且夹角相等的两三角形相似，进行证明．
【详解】证明：，，，，
，
，
，
．
22．见解析
【分析】根据平行四边形的性质可得，根据等边对等角可得，从而得到，再通过证明即可得到．
【详解】证明：四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
，
，即，
．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的性质、相似三角形的判定，熟练掌握以上知识点是解此题的关键．
23．图中与相似的三角形有个，，，
【分析】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．
根据相似三角形的判定推出答案即可．
【详解】解：图中与相似的三角形有个，，，，
理由：，
，，
，
，
．
24．见解析
【分析】本题考查相似三角形的判定．根据，得到，结合，即可得证．掌握相似三角形的判定方法，是解题的关键．
【详解】证明：∵，
∴，即：，
又，
∴．
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