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18.6相似三角形的性质
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，在中，，，点P从点B出发以1个单位的速度向点A运动，同时点Q从点C出发以2个单位的速度向点B运动．当以B，P，Q为顶点的三角形与相似时，运动时间为（ ）

A． B． C．或 D．以上均不对
2．如图，，相似比为3，则为（ ）
A．9∶1 B．8∶1 C．3∶1 D．1∶1
3．若与相似，且周长比是，则与的面积比是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在中，，，，，则的长为（ ）
A．5 B．6 C． D．9
5．在中，对角线与交于点O，在延长线上取一点E，连接交于F．已知，则的长等于（　　）
A． B． C． D．
6．对于以下判断：①线段的中点是线段的重心；②三角形的重心是它的中线的一个三等分点；③三角形的三条中线交于一点，这一点就是三角形的重心；④平行四边形的重心是它的两条对角线的交点．其中正确的有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
7．如图，在的正方形网格中，画个相似三角形，在下列各图中，正确的画法有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．在中，是边上的中线，点G是重心，如果，那么线段的长是（ ）
A．2 B．3 C．6 D．12
9．如图，、分别是的边、上的点，且，、相交于点，若，则与的比是（ ）
A． B． C． D．
10．若，且＝．若的面积为8，则的面积是（ ）
A． B．6 C．9 D．18
11．有一块锐角三角形余料，边为，边上的高为，现要把它分割成若干个邻边长分别为和的小长方形零件，分割方式如图所示（分割线的耗料不计），使最底层的小方形的长为的边在上，则按如图方式分割成的小长方形零件最多有几个（　　）

A．个 B．个 C．个 D．个
12．如图，∽，：：，其中，的长为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．如果两个相似三角形对应边上的高之比是，那么它们的周长之比等于 .
14．在平行四边形中，，，E是的中点，在上取一点F，使，则的长为 ．
15．已知，在中，，，则的面积是 ．
16．如图，在中，是斜边上的高．如果，那么的长为 ．
17．在中，，P是上的一点，Q为上一点，直线把分成面积相等的两部分，且和相似，如果这样的直线有两条，那么边长度的取值范围是 ．
三、解答题
18．已知两个三角形相似，根据下列数据填表：
相似比 5
周长的比
面积的比 100 0.01
19．如图，在梯形中，，，与对角线交于点，，且．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)连接，如果，求证：．
20．如图1，在中，，点P为边上任意一点（不与点A，B重合），过P分别作于点E，于点F．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)如图2，连接，若是的角平分线，且，，求四边形的面积．
21．在矩形中，，，将矩形折叠，使点落在点处，折痕为．
图1 图2
(1)如图1，若点恰好在边上，连接，求的值；
(2)如图2，若是的中点，的延长线交于点，求的长．
22．如图，点为线段上一点，满足，，．
(1)求长度；
(2)求证：．
23．如图，在正方形网格图中，每个小正方形边长均为1，点和的顶点均为小正方形的顶点．
(1)以为位似中心，在网格图中作，使和位似，且位似比为．
(2)证明和相似．
24．如图，是经过位似变换得到的（点A、B、C的对应点分别为点D、E、F），位似中心是点O．
(1)请在图中画出点O的位置；
(2)若，，求的长．
《18.6相似三角形的性质》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C B C C B D D C B D
题号 11 12
答案 D A
1．C
【分析】本题考查了相似三角形的性质，正确分四种情况讨论是解题关键．设运动时间为，先分别求出，，，再分四种情况：①，②，③，④，利用相似三角形的性质分别建立方程，解方程即可得．
【详解】解：设运动时间为，
由题意得：，，
，
，点从点运动到点所需时间为，点从点运动到点所需时间为，
，
，
，
①当时，
则，即，
解得，符合题意；
②当时，
则，即，
解得，符合题意；
③当时，
则，即，
解得，符合题意；
④当时，
则，即，
解得，符合题意；
综上，运动时间为或，
故选：C．
2．B
【分析】根据相似三角形面积比等于相似比的平方得出，进而即可求解．
【详解】解：∵，相似比为3，
∴，
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
3．C
【分析】本题考查的是相似三角形的性质，由周长比可得相似比，再根据相似三角形的面积之比等于相似比可得到答案．
【详解】解：∵与相似，且周长比是，
∴相似比为，
与的面积的比为．
故选：C．
4．C
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是通过两角对应相等判定三角形相似，并利用相似三角形对应边成比例建立等量关系求解．
利用公共角 和已知，判定；设长为x，表达出的长度；根据相似三角形对应边成比例列出关于x的方程，求解得到的长．
【详解】解：∵（公共角）
∴（两角分别相等的两个三角形相似）
（相似三角形对应边成比例）
设则
已知代入比例式得：
交叉相乘得：
化简：
解得：
故选： C．
5．B
【分析】过O作交于M，根据平行四边形的性质得到，，根据三角形的中位线的定理得到，，证明，根据相似三角形的性质计算即可得到结论．
【详解】解：如图，在中，对角线与交于点O，过O作交于M，
∵在中，，
∴，
∴是的中位线，
，
∵，
，
，
，
，即
．
故选：B．
【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质，三角形中位线定理，平行四边形的性质，解答本题的关键是准确作出辅助线，合理应用数形结合思想解题．
6．D
【分析】根据重心的定义和特殊图形的性质求解．
【详解】解：线段中点到线段两个端点的距离相等，为线段的重心，故①正确；
三角形的重心是它的中线的一个三等分点，故②正确；
三角形的三条中线交于一点，这一点就是三角形的重心，故③正确；
平行四边形的重心是它的两条对角线的交点，故④正确，
故选：D．
【点睛】此题考查了常见图形的重心，正确理解重心的定义及常见图形的性质是解题的关键．
7．D
【分析】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握三角形相似的判定并根据网格结构判断出三角形的三边的比例是解题的关键．
根据相似三角形的判定定理逐一判断即可．
【详解】解：第1个网格中两个三角形对应边的比例，所以这两个三角形相似；
第2个网格中两个三角形对应边的比例，所以这两个三角形相似；
第3个网格中两个三角形对应边的比例满足，所以这两个三角形相似；
第4个网格中两个三角形对应边的比例满足，所以这两个三角形相似；
综上所述，
故选：D．正确的画法有4个．
8．C
【分析】本题主要考查了重心的定义和性质，根据重心的性质解答即可.
【详解】∵是边上的中线，点G是重心，，
∴，
∴．
故选：C．
9．B
【分析】本题考查的是相似三角形的判定和性质，根据平行得，则有，根据相似三角形得到，进一步得到由此即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
则，
故选：B．
10．D
【分析】本题考查的是相似三角形的性质，熟知相似三角形面积的比等于相似比的平方是解答此题的关键．
根据相似三角形的性质可直接得出结论．
【详解】解：∵，且＝．
∴
∵的面积为8，
∴的面积为18，
故选：D．
11．D
【分析】根据题意，可得底层可以放置个小长方形，根据顶层与的边交于点，可得，由此可求出的值，可得共堆叠的层数，由此即可求解．
【详解】解：∵的底边为，最底层的小长方形的长为的边在上，
∴底层可以放置个小长方形，即，
如图所示，顶层小长方形与的边交于点，连接，过点作于点，交于点，
∴，
∴，且，，，
∴相似比为，
∴，则，
∴，
∵小长方形零件的高为，
∴，即可以叠四层，
∴共有个，
故选：D．
【点睛】本题主要考查三角形相似的判定和性质，掌握其运算方法是解题的关键．
12．A
【分析】利用相似三角形的性质求解即可．
【详解】解：：：，
：：，
∽，
，
，
．
故选：A．
【点睛】本题考查相似三角形的性质，解题的关键是掌握相似三角形的性质．
13．
【分析】本题考查相似三角形的性质，相似三角形对应边上的高之比等于相似比，周长比也等于相似比，由此可解．
【详解】解：两个相似三角形对应边上的高之比是，
这两个相似三角形的相似比为，
它们的周长之比等于．
故答案为：．
14．
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质以及相似三角形的性质，熟练应用相似三角形的性质是解题关键．利用平行四边形的性质得出，，再利用相似三角形的性质,即可得出答案．
【详解】，E是的中点，
，
在平行四边形中，， ，，
，
，
，
解得．
故答案为：．
15．
【分析】本题考查了黄金三角形，等腰三角形性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质等，能够作出合适的辅助线是解题的关键．
作于，在上截取一点，使得．利用相似三角形的性质求出，再利用勾股定理求出即可解决问题．
【详解】解：作于，在上截取一点，使得．
，，
，
，
，
设，
又，
，
∴，
，
，
，
，，
，
，
．
故答案为：．
16．
【分析】由题意易证，即得出，再代入数据求解即可．
【详解】解：∵，
∴．
∵是斜边上的高，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴（舍去负值）
故答案为：．
【点睛】本题主要考查三角形相似的判定和性质．解题的关键是掌握相似三角形的判定方法．
17．且
【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，当时，只要满足，都能满足题意；当时，得到，则，再由，可得，据此可得答案．
【详解】解：如图所示，当时，
∴，
∴只要满足，都能满足题意；

如图所示，当时，
∵直线把分成面积相等的两部分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
综上所述，直线把分成面积相等的两部分，且和相似，如果这样的直线有两条，那么边长度的取值范围是且．
故答案为：且；

18．见解析
【分析】本题考查相似三角形的性质，根据相似三角形的性质：相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方解答即可．
【详解】解：填表如下：
相似比 5 10 0.1
周长的比 5 10 0.1
面积的比 25 100 0.01
19．(1)证明见解析；
(2)证明见解析．
【分析】（）由，得四边形是平行四边形，由得，得到，同理得，进而由得到，即可求证；
（）连接，与交于点，证明得到，进而由，，，可得，据此即可求证；
本题考查了平行四边形的判定，菱形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键．
【详解】（1）证明：∵，，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴，
∴，
同理可得，，
∴，
∵，
∴
∴四边形是菱形；
（2）证明：连接，与交于点，如图，
∵四边形是菱形，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
即．
20．(1)见解析
(2)
【分析】（1）由，，得到，结合，即可得证，
（2）根据角平分线的性质得到，根据正方形的判定得到，由，得到，代入求出，应用正方形面积公式，即可求解．
本题考查了矩形的判定，正方形的判定，相似三角形的性质与判定，解题的关键是：熟练掌握相关性质定理．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
又∵，
∴四边形是矩形
（2）解：∵是的角平分线，，，
∴，
∴矩形是正方形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，即：，即：解得：，
∴四边形的面积．
21．(1)
(2)的长为
【分析】（1）先得出，再证明，利用相似三角形的性质求解即可；
（2）过点作交于点，先得出，设，则，根据勾股定理得出，再证明，即可得出答案．
【详解】（1）在矩形中，，
，
由折叠性质得：，
，
，
，
，
；
（2）如图，过点作交于点，
∵，
，
由折叠性质得，，
，
，
设，则，
点是的中点，
，
，
，
解得：，即，
．
∵，
，
，
，
，
，
，
，即，
解得，
的长为．
【点睛】本题考查翻折变换，相似三角形的判定和性质，矩形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题．
22．(1)4
(2)见解析
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识．熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
（1）由，可得，证明，则，即，计算求解即可；
（2）由勾股定理得，，，由， ，可证结论．
【详解】（1）解：∵，
∴，即，
∴，
∴，即，
解得，，
∴的长度为4；
（2）证明：∵
∴由勾股定理得，，，
∴，
∵， ，
∴．
23．(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查作图 位似变换、相似三角形的判定，勾股定理等知识点，理解题意、灵活运用所学知识是解答本题的关键．
（1）根据和位似，且位似比为作出图形即可；
（2）利用相似三角形的判定定理证明即可．
【详解】（1）解：如图所示：即为所求，
；
（2）证明：小正方形边长为1，
，，，
，，，
，，，
∴，
∴．
24．(1)作图见解析
(2)
【分析】本题主要考查位似变换，熟知位似图形性质是解题的关键．
（1）根据位似图形的对应顶点的连线过位似中心，即可确定点O的位置；
（2）根据位似性质即可求得答案．
【详解】（1）解：根据点O的位置如图所示．
（2）∵是经过位似变换得到的，
∴，
∴．
∵，，
∴．
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