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12.5全等三角形的判定
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，直角三角形被挡住了一部分，小明根据所学知识很快就另外作出了一个与原来完全一样的三角形，这两个三角形全等的依据是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在和中，，．若再添加一个条件使得．下列添加的条件不正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，是四个社区服务中心．在一条直线上，，之间也有道路相连，且道路与垂直，，之间隔了一个湖泊．现决定在湖泊上造一座斜拉桥，测得，，则建造的斜拉桥的长至少为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，是的角平分线，，垂足为．若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，是的边上的中线，若，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
6．下列各条件能判定两个直角三角形全等的是（ ）
A．一对锐角相等 B．一组锐角和斜边分别相等
C．一组对应边相等 D．两对锐角相等
7．能判定的条件是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
8．如图，点D在线段上．若，，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
9．工人师傅常用角尺平分一个任意角，做法是：如图在的边上分别取，移动角尺，使角尺的两边相同的刻度分别与M、N重合，得到的平分线，做法中用到三角形全等的判定方法是（　　）
A． B． C． D．
10．如图，在和中，，，，，交于点，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
11．如图，在中，，，是的中点，则边上的中线的长度可能是（ ）
A．3 B．6 C．9 D．12
12．对和来说，已知，再添加一个条件就可以由“”得到，则这个条件是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．如图，已知，，要利用“”判定，应添加的条件是 ．
14．如图，在等腰中，，点D在边上，且，点E、F在线段上，满足，若，则 ．
15．如图，在与中，在边上，，，，若，则的度数为 ．
16．在中，，，，点是边的中点，的角平分线交于点．作直线，在直线上有一点F，连结、，则的最大值是 ．
17．如图，为的中线，延长至D，使，连接，已知，则与的周长差是 ．
三、解答题
18．已知：在和中，，点在同一直线上，请从下面的三个条件中选择一个，能够说明和全等，并说明理由．
三个条件：①；②；③．
你选择的条件是_____（填写序号）
19．如图，在和中，，，．求证：．
20．如图，已知点A，B，C，D在同一条直线上，，，．求证：．
证明：∵（________），
∴________________（________），
即________________．
在和中，，
∴（________）．
21．如图，于点交于点D，交于点F．求证：．
22．问题情境：如图①，在直角三角形中，于点D，可知：（不需要证明）．
特例探究：如图②，，射线在这个角的内部，点在的边上，且于点于点D．证明：；
归纳证明：如图③，点在的边上，点在内部的射线上，分别是的外角．已知．求证：；
拓展应用：如图④，在中，．点D在边上，，点在线段上，．若的面积为15，则与的面积之和为 ．
23．如图，点E在上，点C在上，，．求证：．
24．如图，在和中，给出下列三个论断：①；②；③．请选择其中两个论断作为条件，另一个论断作为结论构成一个命题．
(1)写出所有的真命题：______；（命题写成“______”的形式，用序号表示）
(2)请选择一个真命题加以证明．
《12.5全等三角形的判定》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B D A B A B D D A A
题号 11 12
答案 B C
1．B
【分析】此题考查了全等三角形的判定，解题的关键是掌握全等三角形的判定方法．由图形可知三角形的两角和夹边，于是根据即可画出一个与原来完全一样的三角形．
【详解】解：已知三角形的两角和夹边，
∴两个三角形全等的依据是，
故选：B．
2．D
【分析】本题主要考查全等三角形的判定，熟练地运用全等三角形的判定定理进行证明是解此题的关键．分别判断选项所添加的条件，根据三角形的判定定理进行判断即可．
【详解】解：在和中，，，
A、添加，可用进行判定，故本选项正确，不符合题意；
B、添加，则，可用进行判定，故本选项正确，不符合题意；
C、添加，可用进行判定，故本选项正确，不符合题意；
D、添加，不能判定，故本选项不正确，符合题意；
故选：D．
3．A
【分析】此题主要考查了全等三角形的判定以及其性质，根据已知得出△ADB≌△ADC是解问题的关键．根据，得出，进而得出，这样可得出桥长度．
【详解】解：由题意知：，
∵在和中，
，
，
，
故斜拉桥至少有（千米）．
故选：A．
4．B
【分析】本题主要考查了角平分线、全等三角形的判定和性质、三角形的内角和等知识点，根据三角形的知识求出相应各个角的度数是解题的关键．
根据三角形的内角和求出，再求出，然后通过证明、并利用全等三角形的性质，再利用外角的性质求解即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∵是的角平分线，
∴，
又∵，
∴,
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵,
∴，
∴.
故选：B．
5．A
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系，倍长至点，连接，证明，得到，利用三角形的三边关系进行求解即可．
【详解】解：倍长至点，连接，则，
∴，
∵是的边上的中线，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴；
故选A．
6．B
【分析】根据全等三角形的判定定理：AAS、SAS、ASA、SSS及直角三角形的判定定理HL对个选项逐个分析，然后即可得出答案．
【详解】解：A、一对锐角相等，不能判定两直角三角形全等，故此选项不符合题意；
B、一组锐角和斜边分别相等，能判定两直角三角形全等，故此选项符合题意；
C、一组边对应相等，不能判定两直角三角形全等，故此选项不符合题意；
D、两对锐角相等，不能判定两直角三角形全等，故此选项不符合题意；
故选：B.
【点睛】本题考查了直角三角形全等的判定，熟练掌握判定定理是解题关键．
7．D
【分析】本题可根据全等三角形的判定定理，对每个选项进行判断．本题主要考查了全等三角形的判定定理，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
【详解】解：两边及其中一边的对角对应相等，不能判定两个三角形全等
选项A错误．
两边及其中一边的对角对应相等，不能判定两个三角形全等
选项B错误．
两边及其中一边的对角对应相等，不能判定两个三角形全等
选项C错误．
两边及其夹角对应相等，符合边角边（SAS）判定定理
选项D正确．
故选：D．
8．D
【分析】本题考查三角形的判定及性质，关键利用全等三角形的判定定理证明，然后利用全等三角形的性质求解的度数．
【详解】在和中，
，
∴，
∴，
故选： D．
9．A
【分析】本题考查全等三角形的判定．已知两三角形三边分别相等，可考虑证明三角形全等，从而证明角相等．
【详解】解：做法中用到的三角形全等的判定方法是．
证明如下：
由题意得，，
在和△中，
，
∴，
∴，
故为的平分线．
故选：A．
10．A
【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质和邻补角的定义，三角形内角和定理，设与相交于点，根据题意得，可利用证明，有，结合三角形得内角和定理得，结合邻补角的定义即可得．
【详解】解：设与相交于点，如图所示：
∵，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∵，
则
∴，
∴，
故选：A．
11．B
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形三边关系的应用，延长到E，使得，连接，可证明得到，再利用三角形三边的关系求出的长的范围即可得到答案．
【详解】解：如图所示，延长到E，使得，连接，
∵是的中点，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴四个选项中，只有B选项符合题意，
故选：B．
12．C
【分析】本题考查添加条件使三角形全等，根据已知条件，结合公共边相等，得到，，再添加即可利用得到即可．
【详解】解：在和中，，，
∴当时，；
故选：C．
13．
【分析】本题考查了全等三角形的判定，正确掌握全等三角形的判定方法是解题关键．
直接利用全等三角形的判定方法分析得出答案．
【详解】解：在和中
∴．
故答案为：．
14．18
【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的面积，三角形的外角性质等知识点，根据得出与的面积相等，可得，即可得出答案．
【详解】解：∵，，，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴；
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：
15．
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理．证明得到，再根据三角形内角和定理和平角的定义可得．
【详解】解：∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
16．
【分析】本题考查了轴对称-最短路径问题，在上取点，使得，可知，得，可知，利用转化思想和线段的和差是解题的关键．
【详解】解：∵点是边的中点，，
∴，
在上取点，使得，
∵的角平分线交于点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
17．8
【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，正确找出两个全等三角形是解题的关键．先证明，根据全等三角形的性质可得，再根据三角形的周长公式求解即可．
【详解】解：为的中线，
，
在和中，
，
，
，
，
与的周长差是
，
故答案为：8．
18．①或③
【分析】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，平行线的性质是解决问题的关键．当选择①时，则，根据得，由此可依据“”判定和全等；当选择②时，不能判定和全等；当选择③时，则，根据得，由此可依据“”判定和全等，据此即可得出答案．
【详解】解：当选择①时，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴；
当选择②时，
∵，
∴，
在和中，
，
此条件不符合全等三角形的判定定理，不能判定和全等；
当选择③时，
∴，
∵，
∴，
在和中，
∴．
∴选择条件①或③能够判定和全等．
故答案为：①或③．
19．证明见解答
【分析】此题重点考查全等三角形的判定与性质，推导出，进而证明是解题的关键．
由，推导出，而，即可根据“”证明，则．
【详解】证明：∵，
，
，
在和中
，
，
．
20．已知；；；等式的性质；；；；；
【分析】首先根据可得，再加上条件，可利用定理证明．
本题主要考查了三角形全等的判定方法，得出是解题的关键．
【详解】证明：∵（已知），
∴（等式的性质），
即．
在和中，，
∴（）．
故答案为：已知；；；等式的性质；；；；；
21．见解析
【分析】此题考查了全等三角形的性质和判定，解题的关键是掌握全等三角形的性质和判定定理．
首先证明出，然后证明出即可．
【详解】∵
∴
∵
∴
∴
∵
∴
又∵
∴．
22．（1）见解析；（2）见解析；（3）5
【分析】本题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的性质和判定，三角形的面积计算，三角形的外角性质等知识点的综合应用，判断出两三角形全等是解本题的关键．
（1）根据图②，求出，根据证两三角形全等即可；
（2）根据图③，运用三角形外角性质求出，根据证两三角形全等即可；
（3）根据图④，由的面积为15，可求出的面积为5 ，根据，得出与的面积之和等于的面积，据此即可得出答案．
【详解】（1）证明：如图②，∵，
，
，
，
在和中，，
．
（2）证明：如图③，
，
，
，
，
在和中，
，
．
（3）如图④，∵的面积为，
∴的面积，
由（2）可得，
即：，
，
即与的面积之和等于的面积5 ，
故答案为：5．
23．见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
由即可得出．
【详解】证明：在和中，
．
24．(1)，
(2)见解析
【分析】该题考查了全等三角形的性质和判定，解题的关键是选择合适的判定方法证明．
（1）根据全等三角形的判定方法选择条件和结论即可；
（2）根据选择的条件结合全等三角形的判定方法分别证明即可．
【详解】（1）解：，；
（2）解：选择命题时，证明如下：
在和中，，
，
．
选择命题时，证明如下：
在和中，，
，
．
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