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12.7直角三角形
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，在中，，P，Q两点分别在上和过点A且垂直的射线上运动，且．当的值为多少时，与全等？（ ）
A． B． 或 C． D．或
2．如图，直线，，．若，则等于（ ）
A． B． C． D．
3．在下列条件中：①；②；③；④，能确定是直角三角形的条件有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
4．在中，，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在中，于点，则下列不正确的是（　　）
A． B．
C． D．
6．已知：如图，，，分别为边，上的高线，且．
求证：为等边三角形．
证明：，，◎，
（全等的判定方法为★）
⊙
⊙
，即为．
则回答错误的是（ ）
A．◎代表 B．★代表
C．⊙代表 D．代表等边三角形
7．如图是个边长相等的小正方形组合成的图形，则的度数之和为（ ）
A． B． C． D．
8．已知：如图，，，，则的度数为（ ）
A．40° B．50° C．60° D．75°
9．等腰三角形顶角是，则一腰上的高与底边的夹角是（ ）
A． B． C． D．
10．在中，，，则（ ）
A． B． C． D．
11．如图，一副三角尺按如图方式摆放． 若直线，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
12．把一根细线固定在半圆形量角器的圆心处，细线的另一端系一个小重物，制成一个简单的测角仪，如图所示，细线与边重合，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．如图，在四边形中，，连接为上一点，连接且．若，则的长为 ．
14．在中，，，点D在边上，连接．若为直角三角形，则的度数为 ．
15．如图，，，，则的度数为 ．
16．如图，，点分别在直线和上，点在上，，则 ．
17．如图，将长方形的一角折叠，以（点在上，不与A，重合）为折痕，得到，连接，设，的度数分别为，，若，则，之间的数量关系是 ．
三、解答题
18．如图，已知，于点E，于点F，，连接交于点O．求证：是的中点．
19．如图，是的高，点在的延长线上，，点在上，．
(1)判断：______（用“”“”“”填空）；
(2)探究与之间的数量关系和位置关系；
(3)若把图中的改为钝角三角形，是钝角，其他条件不变，（2）中的结论是否还成立？请画出图形并说明理由．
20．已知，在四边形中，，．
(1)如图1，连接．若，求证：．
(2)如图2，点，分别在线段，上，且满足，求证．
(3)若点在的延长线上，点在的延长线上，连接，，，仍然满足．请在图3中补全图形，根据图形直接写出与的数量关系．
21．如图，，交于点O，与有什么关系？
22．某校七年级学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形．
(1)如图①，在中，，，直线l经过点A，直线l，直线l，垂足分别为D、E．可证得：、、的数量关系为 ；
(2)组员小丽想，如果将图①中的直角变式为一般情况，那么结论是否成立呢？如图②，将（1）中的条件改为：在中，，D、A、E三点都在直线l上，并且有，其中α为任意钝角．请问（1）中的结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；
(3)数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用以上结论来解决问题：如图③，以的边、为腰向外作等腰直角和，其中，若，垂足为点H，延长交于点M．求证：点M是的中点．
23．如图，在中，，D为延长线上一点，E为上一点，连接交于点F，若，求证：是直角三角形．
24．如图，，，点是上一点，于，于，，求证：．
《12.7直角三角形》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D D D B B B B B A D
题号 11 12
答案 C B
1．D
【分析】本题考查三角形全等的判定方法，分情况讨论：①，此时，可据此求出的值．②，此时，P、C重合，据此求出的值．
【详解】解：，
，
根据三角形全等的判定方法可知：
①当P运动到时，
∵，
在与中，
，
∴，
即；
②当P运动到与C点重合时，，
在与中，
，
∴，
即，
综上所述，当的值为或时，与全等，
故选：D．
2．D
【分析】本题考查了直角三角形的性质、平行线的性质，解题的关键是利用平行线的同位角关系及三角形内角关系推导．
先利用直角三角形锐角之和为求得，再利用三角形外角的性质求得，最后再利用平行线的同位角相等即可求得的度数．
【详解】解：延长与直线相交于点F，如图．
∵，
∴，
∴，
因，则，
∴，
故选：D．
3．D
【分析】本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和是，根据这个定理结合已知条件，列出方程或者等式，求出三角形中最大的角是解决本题的关键．
根据三角形内角和为，求出三角形中角的度数，再根据直角三角形的定义判断从而得到答案．
【详解】解：①∵，
∴，
∴，
∴是直角三角形，故①正确；
②∵，
∴最大角，
故②正确
③∵，
∴，
∴，
故③正确
④∵，
∴，
∴，
故④正确
综上所述，是直角三角形的是①②③④共4个．
故选：D．
4．B
【分析】本题主要考查直角三角形的性质，掌握直角三角形的两锐角互余是解题的关键．
根据直角三角形的性质计算可求解．
【详解】解：在中，，
，
故选：B．
5．B
【分析】本题考查同角的余角相等，三角形的内角和定理，根据三角形的内角和定理结合同角的余角相等，进行判断即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴选项A，C，D正确，符合题意，无法得到，故选项B错误；
故选：B．
6．B
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定．
根据全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定补全证明过程判断即可．
【详解】证明：，，，
（全等的判定方法为）
，即为等边三角形．
即◎代表=，★代表，⊙代表，代表等边三角形，
只有选项B符合；
故选：B．
7．B
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形两锐角互余，先证明，得到，进而由得到，即可求解，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
【详解】解：如图，在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
故选：．
8．B
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、三角形的内角和定理，先根据三角形的内角和定理求解，再证明得到即可；
【详解】解：∵，，
∴，
在和中，
∴，
∴
故选：B．
9．A
【分析】本题考查等腰三角形的性质及三角形内角和定理的应用．作出示意图，先根据两底角相等、内角和为180度计算出，再根据直角三角形中两锐角互余即可求解．
【详解】解：如图所示，等腰中，，
，
，
，
，
，
即一腰上的高与底边的夹角是，
故选：A．
10．D
【分析】本题考查直角三角形的两锐角互余，解题的关键是掌握三角形内角和定理
根据直角三角形的两个锐角互余即可求解
【详解】解：在中，，，
∴，
故选：D
11．C
【分析】本题考查了平行线的性质，直角三角形的性质．先根据平行线的性质可得，从而可得，再根据余角关系求出，然后根据平行线的性质即可得．
【详解】解：如图，
∵直线，
∴
∵，
∴，
∵
∴，
故选：C．
12．B
【分析】本题考查量角器的使用，直角三角形两锐角互余，先根据量角器得到，再根据直角三角形两锐角互余得到．
【详解】解：由量角器得，
∵，
∴，
∴．
故选B．
13．10
【分析】本题主要考查了直角三角形全等的判定，根据“”证即可得解．
【详解】解：∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴．
故答案为：10．
14．或
【分析】本题考查了三角形的内角和定理．当为直角三角形时，存在两种情况：或，根据三角形的内角和定理或直角三角形的两锐角的关系可得结论．
【详解】解：分两种情况：
如图①，当时，．
，
．
如图②，当时，
，
，
．
综上所述，的度数为或．
15．/53度
【分析】本题考查了两直线平行内错角相等，直角三角形的两个锐角互余，解题关键是掌握上述知识点．
先利用两直线平行内错角相等，求得，再利用直角三角形的两个锐角互余，求解的度数．
【详解】解：∵， ，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
16．9
【分析】本题考查了直角三角形全等的判定和性质以及平行线的性质．先判定，从而得出，则．
【详解】解：，，
，
，
在和中，
，
，
，
，
．
故答案为：9．
17．
【分析】本题主要考查折叠，平行线的性质，直角三角形两锐角互余，掌握折叠的性质，平行线的性质是解题的关键．
根据长方形的性质，折叠的性质得到，根据平行线的性质，直角三角形两锐角互余得到，化简即可求解．
【详解】解：∵四边形是长方形，
∴，
∵折叠，
∴，
∵，
∴，
解得，，
故答案为：．
18．证明见解析
【分析】本题主要考查了三角形全等的判定与性质，熟练掌握三角形全等的判定与性质是解题关键．先根据定理证出，根据全等三角形的性质可得，再证出，根据全等三角形的性质可得，由此即可得证．
【详解】证明：∵，，
∴．
∵，
∴，即．
在和中，
，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴是的中点．
19．(1)
(2)
(3)成立，理由见解析
【分析】本题考查垂直定义、直角三角形的两个锐角互余、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握全等三角形的性质是解答的关键．
（1）根据垂直定义、直角三角形的两个锐角互余，结合等角的余角相等可得结论；
（2）先证明得到，再根据直角三角形的两个锐角互余可得到，进而可求解；
（3）同（2）方法可得结论．
【详解】（1）解：因为是的高，所以．
所以，
因为，
所以．
故答案为：；
（2）解：．证明如下：
由（1）知，
在和中，，
所以，
所以，
而，所以，
即，所以，
即；
（3）解：成立，理由如下：
如图，
因为是的高，所以，
所以，，
因为，所以．
在和中，，
所以，
所以，
因为，所以，
所以，
所以，
所以，
即．
20．(1)见解析
(2)见解析
(3)图见解析，
【分析】本题考查的是全等三角形的判定和性质、四边形内角和定理，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
（1）证明，根据全等三角形的性质证明结论；
（2）延长至点，使，连接，分别证明、，根据全等三角形的性质证明；
（3）在延长线上找一点，使得，连接，分别证明、，根据全等三角形的性质、四边形内角和为解答．
【详解】（1）证明：，
∴，
∵，
，
在和中，
，
；
（2）证明：延长至点，使，连接，如图2，
，
，
，
，
在和中，
，
，，
，，
在和中，
，
；
（3）解：如图3，．
理由如下：在延长线上找一点，使得，连接，
，
，
，
，
在和中，
，，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
．
21．
【分析】本题考查直角三角形的性质，对顶角的性质，根据已知结合对顶角相等，利用直角三角形两锐角互余即可得出结论．
【详解】解：，
，
，
．
22．(1)
(2)（1）中的结论成立，理由见解析
(3)证明见解析
【分析】此题主要考查了全等三角形的判定和性质；
（1）证明得，由此即可得出、、的数量关系；
（2）同（1）证得，进而得，据此即可得出结论；
（3）过点作，交的延长线于点，由等腰直角三角形，得到，根据同角的余角相等得到，再根据和得到，即可证明，得到，再由，得到，即可证明得到，据此即可得出结论．
【详解】（1）解：、、的数量关系为：，理由如下：
如图1所示：
∵，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
故答案为：；
（2）解：（1）中的结论成立，证明如下：
如图2所示：
∵，，
∴，
在中，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴；
（3）解：证明：过点作，交的延长线于点，如图3所示：
∵和都是等腰直角三角形，且，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴点是的中点．
23．见解析
【分析】本题考查三角形的内角和定理，互余关系，结合等量代换，得到，进而求出，进而推出，即可得出结果．
【详解】证明：∵，
∴．
又∵，
∴，
∴，
∴，
即是直角三角形．
24．证明见解析．
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，先证明，则，然后通过“”即可求证，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
【详解】证明：连接，如图，
∵，
∴在和中，
，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴在和中，
，
∴．
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