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12.8尺规作图
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，在四边形中，，连接．若平分，P是边上一动点，则长的最小值为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
2．如图，在中，，根据尺规作图的痕迹判断以下结论正确的是（　　）
A． B． C． D．
3．在中，，的平分线交于点，过点作，垂足为，若，，则的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
4．如图，在中，，平分，，的面积为，则的值为（ ）
A．6 B．10 C．12 D．15
5．如图，，和分别平分和，过点，且与互相垂直，点为线段上一动点，连接．若，则的最小值为（　　）
A． B． C． D．
6．如图，尺规作，作图痕迹中弧是（ ）
A．以点F为圆心，以长为半径的弧 B．以点F为圆心，以长为半径的弧
C．以点G为圆心，以长为半径的弧 D．以点G为圆心，以长为半径的弧
7．到三角形三个顶点的距离相等的点是（ ）
A．三条角平分线的交点 B．三边中线的交点
C．三边上高所在直线的交点 D．三边的垂直平分线的交点
8．已知，将两个完全一样的三角板按如图所示的方式摆放，它们的一组对应直角边分别在AB，AC上，且另一组对应边所对的顶点重合于点M，则点M一定在（ ）
A．的平分线上 B．AC边的高上 C．BC边的中线上 D．AB边的中线上
9．如图，在中，的平分线交于点O，连接，过点O作，的面积是16，周长是8，则的长是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．用尺规作已知角的角平分线，其根据是构造两个三角形全等，它所用到识别全等三角形的方法是（ ）
A． B． C． D．
11．如图，两把相同的直尺的一边分别与射线重合，另一边相交于点P，则平分的依据是（ ）
A．角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上
B．角平分线上的点到角的两边距离相等
C．角平分线的定义
D．角平分线是对称轴
12．用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得出的依据是（ ）
A．（） B．（） C．（） D．（）
二、填空题
13．如图，在中，，，，，是的平分线，，垂足为，则的周长为 ．
14．如图，在中，平分于点E，点F为的中点，连结．给出下面五个结论：①；②；③；④当点E是线段的中点时，；⑤当时，．上述结论中，正确结论的序号有 ．
15．如图，在中，，点D在上，于点E，且．若，则的度数为 ．
16．如图，点P在内部，于点于点，当 时，点P在的平分线上．
17．如图，在中，，，，是边上的高，将沿方向平移至，若与交于点，且，则的长为 ．
三、解答题
18．如图，已知，利用尺规，在的左侧作，并说明作图依据．（保留作图痕迹，不写作法）
19．如图，在中，，，，分别为，的垂直平分线，，分别为垂足．
(1)求的度数；
(2)若的周长为，求的长．
20．已知：中，，
(1)请你用尺规作的垂直平分线，作的角平分线．（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)与、、分别交于点D、E、F，求的度数．
21．探索新知：如图①，是的角平分线，与之间有怎样的关系呢？过点D作，垂足分别为E，F，过点A作，垂足为H．
平分
，
即．
新知应用：
(1)如图②，是的角平分线，若，则_________；
(2)如图②，是的角平分线，若，则_________；
(3)如图③，平分，平分，若，，则_________（用含m的式子表示）．
22．如图，于E，于F，若，平分．
(1)求证：；
(2)已知，，，求四边形的面积．
23．如图，已知．利用直尺和圆规作，使，（点D与点C在的不同侧）．
24．如图，已知线段a，b和，求作，使．
《12.8尺规作图》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A D B C C D D A D D
题号 11 12
答案 A A
1．A
【分析】本题考查角平分线，熟练掌握角平分线性质是解题关键．
过D作于E，即为 长的最小值，由平分，即得到的长度．
【详解】解：如图，过D作于E，
则长即为 长的最小值，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
故选：A．
2．D
【分析】本题考查作图-基本作图，根据垂线的性质可得出结论．根据尺规作图的痕迹可知：是的垂直平分线，根据线段垂直平分线性质即可解答．
【详解】解：∵由作图可知：是的垂直平分线，
∴，，，
∴，故D选项符合题意；
根据已知无法确定A、B、C项；
故选：D．
3．B
【分析】利用角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，先求出的长度，再得出的长度．本题主要考查角平分线的性质，熟练掌握“角平分线上的点到角的两边的距离相等”是解题的关键．
【详解】解：在中，，是的平分线，
．
又，
故选：B ．
4．C
【分析】本题考查角平分线的性质定理，过D作于E，根据角平分线的性质定理得到，然后利用三角形的面积公式求解即可．
【详解】解：过D作于E，
∵平分，，，
∴，
∵的面积为，
∴，
解得，
故选：C．
5．C
【分析】本题考查了角平分线的性质、平行线的性质、垂线段最短，解题关键是恰当的作出辅助线，找到最短线段，注意：角平分线上的点到角两边的距离相等．
过点E作于P，此时的值最小，得出，根据角平分线的性质求出，求出的长即可．
【详解】解：过点E作于P，此时的值最小，
∵，，
∴，
∵和分别平分和，
∴，
∴，
∵，
∴，
即的最小值是4，
故选：C．
6．D
【分析】本题考查尺规作图—作角，根据尺规作角的方法，得到弧是以点G为圆心，以长为半径的弧，作答即可．
【详解】解：由作图可知：弧是以点G为圆心，以长为半径的弧；
故选D．
7．D
【分析】根据三角形不同线段交点的性质，判断出到三个顶点距离相等的点的位置．本题主要考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等是解题的关键．
【详解】解：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等
三角形三边的垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等
选项A三条角平分线的交点是内心，到三边的距离相等，A项错误；
选项B三边中线的交点是重心，与到顶点距离无关，B项错误；
选项C三边上高所在直线的交点是垂心，C项错误；
到三角形三个顶点的距离相等的点是三边的垂直平分线的交点，D项正确；
故选：D．
8．A
【分析】本题主要考查了角平分线的判定定理，能熟练地利用角平分线的判定定理进行推理是解此题的关键．
根据角平分线的判定定理“在角的内部，到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上”可推出在的平分线上，即可得到答案．
【详解】解：如图，
，
点在的平分线上．
故选：A
9．D
【分析】本题主要考查了角平分线的性质．过点O作于点F，根据角平分线的性质可得，再由以及的周长是8，即可求解．
【详解】解：如图，过点O作于点F，
∵分别为的角平分线，，，
∴，
∴，
∵的面积是16，
∴，
∴，
∴，
∵的周长是8，
∴，
∴，
∴．
故选：D．
10．D
【分析】本题考查的是全等三角形的性质和判定，根据题意作出图形，再连接，，根据证明，即可推出本题的答案．
【详解】解：连接，，
∵，， ，
∴，
∴，
故选：D．
11．A
【分析】本题主要考查了角平分线的判定．根据角平分线的判定定理解答即可．
【详解】解：根据题意得：点P到的两边距离相等，
∴点P在的平分线上（角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上），
即平分．
故选：A
12．A
【分析】根据基本作图，同圆的半径相等，可以判定是根据，解答即可．
本题考查了基本作图，三角形全等的判定和性质，熟练掌握基本作图是解题的关键．
【详解】解：根据基本作图，得到判定二角相等的依据是，
故选：A．
13．
【分析】本题考查了三角形全等的判定和角平分线的性质，熟练掌握“角平分线上的点到角两边的距离相等”是解题的关键.
首先根据三角形全等的判定定理得到，然后根据三角形全等得出、，即可求得的长，则可知的周长.
【详解】解：是的平分线
是公共边
在和中
的周长为：
故答案为： ．
14．②③⑤
【分析】①在中，，平分、虽然，但仅根据现有条件不能得出点D是中点，所以，结论①错误；②由三角形外角的定义和性质可判定结论②正确．
判断结论③，根据三角形中线的性质可判断结论③正确，根据角平分线的有关计算即可判定④错误，根据角的和差关系即可判定⑤正确．
【详解】解：在中，，平分、
∴，
∵点D不是中点，
∴，故①错误，不符合题意；
∵是的一个外角，
∴；
∵于点E，
∴，
∴，即，故②正确，符合题意；
∵点F是的中点，
∴，
∴；故③正确，符合题意；
∵于点E，当点E是线段的中点时，则是的垂直平分线，
∴，
∴平分，
∴，
∵平分，
∴
∴，故④错误，不符合题意∶
当时，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴．故⑤正确，符合题意，
故答案为∶②③⑤．
【点睛】本题主要运用角平分线的定义、三角形外角定理、中点的性质、线段垂直平分线的性质以及三角形内角和定理来判断各个结论的正确性．掌握这些性质是解题的关键．
15．
【分析】本题主要考查了角平分线的判定定理以及三角形内角和定理，能判断出是的平分线是解题的关键．
先根据角平分线的判定定理得出是的平分线，设则，在中，根据三角形内角和定理可得，解方程即可求得的度数．
【详解】解：，且．
是的平分线，
，
设则
在中，由三角形内角和定理可得，
即
解得，即
故答案为：.
16．5
【分析】本题主要考查了角平分线的性质，熟记角平分线的性质是解题的关键．
根据角平分线上的点到角的两边距离相等即可解答．
【详解】解：∵点P在的平分线上，于点于点，
∴．
故答案为5．
17．3
【分析】本题考查平移的性质，角平分线的性质，等腰三角形的判定．连接，由平移的性质得到，，由角平分线性质定理的逆定理推出平分，由平行线的性质和角平分线定义推出，得到，因此．
【详解】解：连接，
由平移的性质得到，，
∴，，
∴，
∵，，
∴平分，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：3．
18．图见解析，作图依据：三条边分别相等的两个三角形全等，全等三角形对应角相等
【分析】此题考查了尺规作一个角等于已知角，全等三角形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握尺规作一个角等于已知角的步骤．根据尺规作一个角等于已知角的方法求解即可．
【详解】解：作图如答图所示，连接，
由作图得，，
∴
∴．
∴作图依据：三条边分别相等的两个三角形全等，全等三角形对应角相等．
19．(1)；
(2)．
【分析】本题考查的是线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，熟知垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解题的关键．
先根据三角形内角和定理求出的度数，再由线段垂直平分线的性质得出，，根据即可求出结果；
根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可得：，，根据三角形的周长公式可得．
【详解】（1）解：，，
，
，分别为，的垂直平分线，
，，
，，
；
（2）解：，分别为，的垂直平分线，
，，
的周长为，
．
20．(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查作图—复杂作图、线段垂直平分线的性质、直角三角形的性质等知识点，理解题意、灵活运用所学知识解决问题成为解题的关键．
（1）根据线段垂直平分线、角平分线的作图方法作图即可．
（2）由题意得，结合线段垂直平分线的性质可得，则可得．
【详解】（1）解：如图，、即为所求．
（2）解：∵，
∴．
∵平分，
∴．
∵垂直平分，，
∴．
∵是的一个外角，
∴．
21．(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查角平分线性质（角平分线分对边的比等于邻边比、角平分线关联三角形面积比与邻边比），解题关键是运用探索新知得出的角平分线性质，建立边与面积的比例关系．
（1）依据探索新知结论，代入、得；设、，由，推出．
（2）根据探索新知中，结合已知，直接得．
（3）用平分的性质，结合，及，算；同理，由平分，结合，算．连接，因点到三边距离相等，结合，得，算出
由，代入计算得结果．
【详解】（1）解：过点D作，垂足分别为E，F，过点A作，垂足为H
由探索新知，是的角平分线时，
，
∵，，
∴．
设，，
∴，
∴．
（2）解：过点D作，垂足分别为E，F，过点A作，垂足为H
由探索新知可知，对于，是角平分线时：
，
，
∵
∴．
∵，
∴．
故答案为；
（3）∵平分，
∴点D到，的距离相等，
∴，
∵，
∴，，
同理平分，
∴，
∴，，
连接，过点F作,，分别垂直于，，，
∵平分，平分，
∴，，
∴
∴平分，
∴点F到，，三边的距离相等，
∴，
∵
∴，，，
∴
．
故答案为．
22．(1)见解析
(2)128
【分析】本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的性质与判定：
（1）根据角平分线的性质得出，再由直角三角形全等的判定和性质即可证明；
（2）先求出，，再由全等三角形的性质得到，证明，得到，则，即可得到．
【详解】（1）证明：∵，，平分，
∴，，
∵，
∴，
∴；
（2）解：由（1）得，，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
23．见解析
【分析】此题考查了尺规作图，全等三角形的性质和判定，解题的关键是掌握以上知识点．
以点B为圆心，为半径画弧，以点A为圆心，为半径画弧，两弧交于点D，连接，，则即为所求．
【详解】解：如图所示，即为所求．
由作图得，，
又∵
∴
∴，．
24．见解析
【分析】本题考查了尺规作三角形；
先作，然后在上截取，在上截取，连接，即可得到．
【详解】解：如图，即为所求．
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