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12.11勾股定理
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，在中，．将沿翻折，使点与点重合，则的长是（ ）
A． B． C． D．
2．在中，，，则的长是（　　）
A．17 B．或13 C．17或 D．13或17
3．如图，将直角三角形纸片沿折叠，使点落在延长线上的点处．若，，则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
4．如图是一个底面周长为，高为的圆柱模型，是底面直径．现要在此模型的侧面贴一圈彩色装饰带，使装饰带经过A，C两点（接头不计），则装饰带的长度最短为（ ）
A． B． C． D．
5．在中，斜边，则的值是（ ）
A．100 B．200 C．300 D．400
6．两直角边长分别为和的直角三角形的斜边长是（ ）
A．整数 B．分数 C．有理数 D．无理数
7．下列给出的四组数中，是勾股数的是（ ）
A．2，3，4 B．3，4， C．，， D．，，
8．池塘中有一朵荷花，它直立在水中，荷花高出水面半尺处长着一朵红莲，一阵风吹来把荷花吹倒在一边，红莲倒在水面位置距荷花生长处水平距离为2尺，则池塘深（ ）
A．3.75尺 B．3.25尺 C．4.25尺 D．3.5尺
9．如图是一扇高为，宽为的门框，童师傅有3块薄木板，尺寸如下：①长3，宽；②长，宽；③长，宽．可以通过的木板是（ ）
A．② B．③ C．②③ D．都不能通过
10．如图，一根筷子放在圆柱形水杯里，水杯底面直径为，高度为，筷子长为，露在水杯外面的筷子长度为，则a最小为（ ）
A．12 B．11 C．14 D．13
11．已知直角三角形的两条直角边的长分别为15和8，则斜边的长为（ ）
A．23 B．17 C．18 D．19
12．包装纸箱是我们生活中常见的物品．如图①，创意小组的同学将一个的长方体纸箱裁去一部分（虚线为裁剪线），得到如图②所示的简易书架．若一只蜘蛛从该书架的顶点出发，沿书架内壁爬行到顶点，则它爬行的最短距离为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．小南同学报名参加了攀岩选修课，攀岩墙近似一个长方体的两个侧面，如图所示，则从点A攀爬到点B的最短距离的平方是 ．
14．如图，在四边形草坪中，．若，，，则这块草坪的面积为 ．
15．在一次研学活动中，小宣同学欲控制遥控轮船匀速垂直横渡一条河，但由于水流的影响，实际上岸地点C与欲到达地点B相距8米，结果轮船在水中实际航行的路程比河的宽度多2米，则河的宽度是 米．
16．如图，在一个长方形草坪上，放着一根长方体的木块．已知米，米，该木块的较长边与平行，横截面是边长为4米的正方形，一只蚂蚁从点爬过木块到达处需要走的最短路程是 米．
17．“数缺形不直观，形缺数不入微”，数形结合思想是数学学习中的一个重要的数学思想，请仔细观察下面几幅图形并回答后面的问题：
①由图形 可知；勾股定理成立；
②由图形 可知；完全平方公式成立；
③由图形 可知；平方差公式成立；
④由图形 可知；公式成立．
三、解答题
18．如图，中，，直线垂直平分，交于点，交于点，且．
(1)求证：；
(2)若，，求的周长．
19．如图，一个25米长的梯子，斜靠在一竖直的墙上，这时为24米．如果梯子的顶端A沿墙下滑了4米，那么此时梯子的底部B到墙的距离为多少米？
20．推理能力 如图，在中，．若，如图①，根据勾股定理，得；若不是直角三角形，而是如图②、图③所示的锐角三角形和钝角三角形．
(1)请你类比勾股定理，猜想与的关系：图②中，______；图③中，______．
(2)说明你在（1）中猜想结论的正确性．
(3)在图②中，若，请你求出的面积．
21．如图，长方体的长为3，宽为2，高为4，点B与点C之间的距离为1，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，求该蚂蚁需要爬行的最短路程．
22．小明要外出旅游，他带的行李箱长，宽，高，一把长的雨伞能否装进这个行李箱？
23．如图，已知四个全等的直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c．试说明：．
24．如图所示，，请你添加适当的辅助线证明结论．
《12.11勾股定理》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B C B D B D D A B A
题号 11 12
答案 B A
1．B
【分析】本题考查了直角三角形的性质、勾股定理以及图形折叠的性质等知识点，解题的关键在于利用折叠性质确定线段相等关系，并结合勾股定理建立方程求解未知数，通过设，利用和勾股定理构建等式，进而解得．
【详解】解： 设，
，
，
沿翻折，点A与点B重合，
，
在中，，，
，即，
解得．
故选：B．
2．C
【分析】本题考查勾股定理，分和，利用勾股定理求解即可．
【详解】解：在中，，，
若，则，
若，则；
综上，的长是17或．
故选：C．
3．B
【分析】此题考查了折叠的性质，勾股定理．由勾股定理求出，设，则，根据求出x得到的长，利用三角形面积公式求出答案．
【详解】解：∵，
∴，
由折叠得，，
设，则，
在中，，，
∵，
∴，
解得，
∴，
∴图中阴影部分的面积是，
故选：B．
4．D
【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，熟练运用勾股定理是解题关键．将圆柱的侧面展开，根据题意可知，，利用勾股定理解得的长度，然后计算装饰带长度的最短值即可．
【详解】解：如图，圆柱的侧面展开图为长方形，，且点为的中点，，
根据题意，可知，，
∴，
∴装饰带长度的最短值．
故选：D
5．B
【分析】本题考查了勾股定理，直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方．
先画图，再利用勾股定理可求的值，从而求的值．
【详解】解：如图所示，

在中，，
又，
，
，
故选：B．
6．D
【分析】本题考查了勾股定理以及无理数的概念，根据勾股定理求出斜边即可得到结论．
【详解】解：由勾股定理得，斜边长为，
∴该直角三角形的斜边长是无理数．
故选：D．
7．D
【分析】本题考查了勾股数的定义，准确理解其定义是解题的关键．
根据勾股数的定义，需满足三个正整数且满足（为最大数）．
【详解】解：A：，，不满足勾股数的定义，故该选项不合题意；
B：三个数必须为正整数，不符合要求，故该选项不合题意；
C：，，均为小数，非正整数，不满足勾股数的定义，故该选项不合题意；
D：，，满足勾股数的定义，故该选项符合题意．
故选：D．
8．A
【分析】本题主要考查的是勾股定理的应用，设水深为x尺，则荷花茎长为尺，根据题意，利用勾股定理列方程解答即可．
【详解】设池塘深为尺，
则，
解得，
故选：A．
9．B
【分析】本题考查的是勾股定理的应用，根据勾股定理，先计算出能通过的最大距离，然后和题中数据相比较即可．
【详解】解：因为，所以木板的长和宽中必须有一个数据小于2.5米．所以选③号木板．
故选：B．
10．A
【分析】要使露在水杯外面的筷子长度最小，那么筷子在水杯内的长度应最长，此时筷子在水杯内的长度可看作是底面直径与高构成的直角三角形的斜边，利用勾股定理求出此斜边长度，再用筷子总长度减去该长度即可得到的最小值．
【详解】解：根据勾股定理（其中为直角三角形斜边，、为两直角边），
水杯底面直径，高度，
筷子在水杯内的最长长度，
筷子长，
露在水杯外面的筷子长度为．
故选：A．
【点睛】本题主要考查勾股定理的实际应用，关键是理解当筷子在水杯内长度最长时（即构成直角三角形斜边时），露在外面的长度最小．
11．B
【分析】本题主要考查了勾股定理．根据勾股定理即可求解．
【详解】解：根据勾股定理得：
斜边长为．
故选：B
12．A
【分析】本题考查了勾股定理的应用最短线段问题，把书架的侧面展开，连接，则的长即爬行的最短距离，连接，交于点，求出的长，再利用勾股定理解答即可求解，掌握勾股定理的应用是解题的关键．
【详解】解：如图是书架的侧面展开图，连接，则的长即爬行的最短距离，连接，交于点，
，，
∴在中，，
∴蜘蛛爬行的最短距离为，
故选：．
13．128
【分析】本题考查了立体图形侧面展开图的应用以及勾股定理的计算，解题的关键是将长方体侧面展开为平面矩形，把空间中两点的最短距离问题转化为平面上两点间的最短距离（即矩形对角线）问题，再利用勾股定理求解．
明确长方体侧面展平后形成长为、宽为的矩形，点A与点B为该矩形的对角顶点；根据平面内两点间最短距离为矩形对角线，利用勾股定理计算对角线的平方．
【详解】解：由题意可知，长方体侧面展平后得到一个矩形，该矩形的长为宽为点A与点B是这个矩形对角的两个顶点．
根据平面内两点之间的最短距离是连接这两点的线段（即矩形的对角线），由勾股定理可得，从点A攀爬到点B的最短距离的平方等于矩形长的平方与宽的平方之和．
即最短距离的平方为．
故答案为：．
14．234
【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，以及直角三角形面积的计算．熟练掌握勾股定理是解题的关键．根据四边形面积的构成，将其分割为两个直角三角形，分别计算两个直角三角形的面积，再将二者相加得到四边形的面积．由于，所以可连接，把四边形分成和，先通过勾股定理求出的长度，最后分别计算两个三角形面积并求和．
【详解】解：连接．
在中，，，．
∴．
∵在中，，，
．
∴．
．
∴．
故答案为：．
15．15
【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据题意可知为直角三角形，根据勾股定理列方程就可求出直角边的长度．
【详解】解：根据题意可知米，
设，则，
在中，由勾股定理得，
即，
解得，
该河的宽度为15米．
故答案为：15．
16．17
【分析】本题考查了平面展开最短路线问题，两点之间线段最短，将木块表面展开，根据两点之间线段最短结合勾股定理即可求解，熟练掌握勾股定理得应用是解题的关键．
【详解】解：如图，将木块展开，即为所求，
则（米，米，
在中，（米．
最短路径为17米．
故答案为：17．
17．
【分析】本题考查了乘法公式与图形面积、勾股定理等知识，熟练掌握数形结合思想是解题关键．图形：方法一：利用正方形的面积公式求出大正方形的面积；方法二：大正方形的面积等于两个小正方形的面积与两个小长方形的面积之和，由此即可得；图形：方法一：利用长方形的面积公式可得四个小长方形的面积；方法二：四个小长方形的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积，由此即可得；图形：方法一：利用梯形的面积公式可得两个直角梯形的面积；方法二：两个直角梯形的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积，由此即可得；图形：方法一：利用正方形的面积公式求出中间小正方形的面积；方法二：中间小正方形的面积等于大正方形的面积减去四个小直角三角形的面积，由此即可得．
【详解】解：图形：方法一：大正方形的面积为，
方法二：大正方形的面积等于两个小正方形的面积与两个小长方形的面积之和，
则大正方形的面积为，
所以完全平方公式成立；
图形：方法一：四个小长方形的面积为，
方法二：四个小长方形的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积，
则四个小长方形的面积为，
所以公式成立；
图形：方法一：两个直角梯形的面积为，
方法二：两个直角梯形的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积，
则两个直角梯形的面积为，
所以平方差公式成立；
图形：方法一：中间小正方形的面积为，
方法二：中间小正方形的面积等于大正方形的面积减去四个小直角三角形的面积，
则中间小正方形的面积为，
所以勾股定理成立；
故答案为：①；②；③；④．
18．(1)见解析
(2)37
【分析】本题考查了垂直平分线的性质、等腰三角形的性质与判定以及勾股定理的综合应用．解题的关键是利用垂直平分线得到线段相等，进而转化为角的关系，再结合勾股定理计算线段长度．
（1）利用垂直平分线得，推出，再由得，结合外角性质证．
（2）在中用勾股定理求，再利用，得出，最后计算周长可得结果．
【详解】（1）证明：垂直平分，
，
（2）解：，
．
在直角三角形中，，，
∵，
的周长．
19．15米
【分析】此题考查了勾股定理的应用．先求出的长度，再根据勾股定理进行计算即可．
【详解】解：在中，米，
（米），
所以，
所以米，
所以此时梯子的底部B到墙的距离为15米．
20．(1)，
(2)见解析
(3)
【分析】本题考查勾股定理及应用；
（1）根据题目猜想结论即可；
（2）作边上的高，垂足为，利用勾股定理解答即可；
（3）设，则，利用勾股定理求出x的值，然后求出三角形的高长，再根据三角形的面积公式计算解答即可．
【详解】（1）解：图②中，；图③中，，
故答案为：，；
（2）解：如图①，作边上的高，垂足为．
设，则在和中，由勾股定理，得，整理，得．
因为，所以．
如图②，作边上的高，垂足为．
设，则在和中，
由勾股定理，得，
整理，得．
因为，所以．
（3）解：如图①，设，则．
同（2）可得，
因为，
所以，解得，
所以，所以，
所以的面积为．
21．5
【分析】本题考查的是勾股定理最短路径问题，根据题意画出长方体的侧面展开图，根据勾股定理求解是解答此题的关键．
【详解】解：①把长方体的右侧表面剪开与前面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如答图①．
长方体的宽为2，高为4，点与点的距离是1，
．
②把长方体的右侧表面剪开与上面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如答图②．
长方体的宽为2，高为4，点与点的距离是1，
．
③把长方体的上表面剪开与后面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如答图③．
长方体的宽为2，高为4，点与点的距离是1，
．
∴蚂蚁爬行的最短路程为5．
22．能装进行李箱
【分析】本题考查勾股定理的应用，利用勾股定理求出行李箱能装物体的最大长度，和作比较解答即可．
【详解】解：如图，，
，
∴能装进行李箱．
23．见解析
【分析】本题主要考查了勾股定理的证明．根据四个全等的直角三角形面积加上小正方形的面积等于大正方形的面积列式，整理后即可得到结论．
【详解】证明：∵，
整理，得，
∴．
24．见解析
【分析】本题主要考查了勾股定理的证明，涉及到长方形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质以及通过作辅助线构造特殊图形是解题的关键．首先作辅助线得到长方形，再证明三角形全等，然后根据长方形面积与几个三角形和一个等腰直角三角形面积之和相等，列出等式化简后得出勾股定理结论．
【详解】证明：如答图，过点作，交的延长线于点，过点作，交的延长线于点，则四边形是长方形．
，
，，
．
又，
，
，
，
．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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