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11.7二次根式的加减法
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．定义新运算“”，规定：，如，则的运算结果为（ ）
A． B． C． D．
2．已知一等腰三角形的周长为，其中一边长．则三角形的腰长为（　　）
A． B．或 C．或 D．
3．已知，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．下列各数，能和合并的是（ ）
A． B． C． D．
5．计算的结果是（ ）
A． B． C．4 D．
6．下列各式中，不能与合并的是（ ）
A． B． C． D．
7．若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
8．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
9．已知，则实数a满足（ ）
A． B． C． D．
10．对于两个不相等的实数m、n，我们规定符号表示m，n中的较小值．例，按照这个规定，方程的解为（ ）
A．5 B．6 C．5或6 D．无解
11．定义一种新运算：．则的结果为（ ）
A． B．3 C．15 D．
12．下列与是同类二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．我国南宋著名数学家秦九韶和古希腊几何学家海伦分别提出利用三角形的三边求面积的公式并加以证明，人们把这个公式称为海伦﹣秦九韶公式．即如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么三角形的面积．若的三边长分别为4，5，7，利用海伦﹣秦九韶公式可求出的面积为
14．计算： ；
15．计算： ．
16．与最简二次根式为同类二次根式，则 ．
17．已知，则 ．
三、解答题
18．判断下列各组的二次根式是否为同类二次根式？
(1)和；
(2)和．
19．计算
20．设的整数部分为a，小数部分为b，求的值．
21．计算：．
22．计算：．
23．先化简，再求值：，其中．
24．计算：
《11.7二次根式的加减法》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D D A A B D C D A B
题号 11 12
答案 B D
1．D
【分析】此题主要考查了有理数的混合运算，直接利用已知运算公式代入，进而计算得出答案．
【详解】解：由题意可得：
．
故选：D．
2．D
【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义、三角形三边关系、二次根式运算等知识，根据等腰三角形的性质和三角形三边关系，分两种情况讨论已知边为底边或腰的情况，即可获得答案．
【详解】解：当已知边为底边时，底边长为，设腰长为，
则周长为：，
解得，
此时三边为、、，
验证三角形三边关系，
因此腰长为；
当已知边为腰时，腰长为，设底边长为，
则周长为，解得，
此时三边为、、，
验证三角形三边关系，，因此此情况不符合题意．
综上，该三角形的腰长为．
故选：D．
3．A
【分析】本题主要考查了分母有理化的应用、二次根式的大小比较等知识点，灵活分母有理化成为解题的关键．
先对a、b、c进行分母有理数，然后根据分子相同、分母越大、该数越小求解即可．
【详解】解：；
同理，，．
∵，
∴．
故选：A．
4．A
【分析】本题考查了同类二次根式，根据同类二次根式的定义进行解题即可．
【详解】解：，和能合并，符合题意；
∵，∴和不能合并，不符合题意；
∵，∴和不能合并，不符合题意；
∵，∴和不能合并，不符合题意；
故选：A
5．B
【分析】本题考查了二次根式的化简及其加减法，掌握以上知识是解答本题的关键；
本题先对化简，然后按照二次根式的加减法进行计算，然后即可求解；
【详解】解：
；
故选：B；
6．D
【分析】本题考查了二次根式的化简，同类二次根式的定义，能熟记同类二次根式的定义(几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫同类二次根式)是解此题的关键．先将各选项化简为最简二次根式后，若被开方数相同则可合并，否则不能．
【详解】解：，
A：，能与合并；
B：，能与合并；
C：，能与合并；
D：，不能与合并；
故选：D．
7．C
【详解】解：
，
当即时，
原式=，
故选：C．
8．D
【分析】本题考查了二次根式的运算，
根据二次根式的运算法则逐一验证各选项的正确性即可．
【详解】解：选项A： 成立的条件是 且 ．题目未限定 的范围，若 为负数时等式不成立，故 A错误，不符合题意；
选项B：对分母有理化：，故 B计算错误，不符合题意；
选项C：，故 C计算错误，不符合题意；
选项D：，故 D计算正确，符合题意．
故选D．
9．A
【分析】本题考查了二次根式的加减法，估算无理数的大小，先根据二次根式的减法运算法则计算，然后估算的范围，即可得出答案．
【详解】解：，
∵，
∴，
∴，即．
故选：A．
10．B
【分析】本题主要考查了新定义下的运算，解题的关键是根据题意转化为解分式方程，注意转化的过程中进行分类讨论．根据新定义可得：若 ，则，
若，则，分别求出，即可．
【详解】解：根据新定义可得：
若 ，即，则，
∴，
解得 ，
∵ ，
∴不符合题意，舍去；
若，即，则，
∴，
解得，
经检验为分式方程的解，
∵ ，
∴符合题意；
故选：B．
11．B
【分析】本题考查新定义运算下的有理数混合运算，准确理解题意并作答是解决问题的关键．
根据题干信息，按照运算顺序代入数值进行计算即可．
【详解】根据定义，运算式为．
将，代入：
1. 计算：；
2. 计算分子：；
3. 计算分母：；
4. 计算分式：；
5. 最后结果为．
故选：B．
12．D
【分析】先将选项中的二次根式化为最简二次根式，再根据同类二次根式的定义（几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式）来判断哪个选项与是同类二次根式．本题主要考查了同类二次根式的定义，熟练掌握同类二次根式的定义（几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式）是解题的关键．
【详解】解：∵ ，其被开方数为（可看作），与的被开方数不同
∴ 与不是同类二次根式
∵ ，其被开方数为，与的被开方数不同
∴ 与不是同类二次根式
∵ ，其被开方数为，与的被开方数不同
∴ 与不是同类二次根式
∵ ，其被开方数为，与的被开方数相同
∴ 与是同类二次根式
故选：D．
13．
【分析】本题主要考查了二次根式的应用和数学常识，解题的关键是读懂题意，利用材料中提供的公式解答，难度不大．根据a，b，c的值求得，然后将其代入三角形的面积求值即可．
【详解】解：由的三边长分别为4，5，7，
得．
∴三角形的面积．
故答案为：．
14．
【分析】此题考查了二次根式的化简和二次根式的加减混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是关键．利用二次根式的性质进行化简和二次根式加减混合运算法则计算即可．
【详解】解：，
故答案为：，
15．
【分析】先化简，然后与进行减法运算即可．
【详解】解：，
故答案为：
【点睛】本题考查了二次根式的减法运算，涉及运用二次根式的性质进行化简，难度较小．
16．8
【分析】本题考查了同类二次根式，最简二次根式，掌握同类二次根式定义，最简二次根式定义是解题的关键．化成最简二次根式后，根据被开方数相等解答即可．
【详解】解：，
与最简二次根式为同类二次根式，
，
故答案为：
17．
【分析】本题考查二次根式的化简求值，解答本题的关键是明确二次根式化简求值的方法．先将所求式子根据完全平方公式进行变形，代入求值后，再求平方根即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵,
∴,
故答案为：．
18．(1)不是；
(2)不是．
【分析】本题主要考查二次根式的性质及同类二次根式的概念，熟记二次根式性质先化简再判断是解决问题的关键．
（1）根据二次根式性质化简后，结合同类二次根式定义判断即可得到答案．
（2）根据二次根式性质化简后，结合同类二次根式定义判断即可得到答案．
【详解】（1）解：；
．
∴和不是同类二次根式；
（2）解：；
．
∴和不是同类二次根式．
19．
【分析】本题运用平方差公式及完全平方公式,二次根式的运算等进行计算即可．
【详解】解：
20．6
【分析】本题考查了无理数的估算，二次根式的混合运算；根据得出的整数部分和小数部分，然后代入计算即可．
【详解】解：因为，即，
所以，即，
所以的整数部分为2，即，
所以小数部分为，即，
所以．
21．
【分析】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握实数的混合运算、逆用积的乘方是解题的关键．
先计算乘方、负整数指数幂、零指数幂、逆用积的乘方、绝对值，进一步计算乘方、乘法、加减计算即可．
【详解】解：
．
22．
【分析】先化简各个二次根式，再合并同类二次根式即可．
【详解】原式
．
【点睛】本题主要考查了二次根式的化简及加减法，解题的关键是将每个二次根式都化成最简二次根式后再合并同类二次根式．
23．化简得，求值得
【分析】本题考查分式的混合运算及化简求值，二次根式，熟练掌握分式的混合运算法则是解题的关键．先利用分式的混合运算法则化简，再代入求值即可．
【详解】解：
，
将代入原式，得原式．
24．9
【分析】本题主要考查了实数的运算，熟知相关性质是正确解答此题的关键．
先计算算术平方根和绝对值，乘方运算，再计算加减法即可．
【详解】解：
．
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