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12.2三角形的性质
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，在中，，，点、在边、上，沿向内折叠得到，则图中等于（ ）
A． B． C． D．
2．如图，，，点D在边上，，和相交于点O．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．将一副三角板按照如图方式摆放，点，，共线，，则的度数为( )
A． B． C． D．
4．已知三条线段的长分别是4，8，，若它们能构成三角形，则偶数的最大值是（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
5．若一个三角形的三个内角度数的比为，则这个三角形是（　　）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
6．如图，在三角形中，点在上，连接，平分交于点，交于点，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
7．下列命题中，为假命题的是（ ）
A．对顶角相等 B．同旁内角互补
C．三角形的内角和为 D．三角形任意两边之差小于第三边
8．若a、b、c表示的三条边长，且满足，则一定是（ ）三角形．
A．直角 B．三条边都不相等的 C．等腰 D．等边
9．下列长度的三条线段不能组成三角形的是（ ）
A．2，2，3 B．2，3，3 C．2，2，4 D．2，3，4
10．若为一个三角形的三边长，则式子的值（ ）
A．一定为正数 B．一定为负数
C．可能为正数，也可能为负数 D．可能为0
11．以下列各组数据为边长，能构成三角形的是（ ）
A．3，4，5 B．4，4，8 C．3，7，10 D．10，4，5
12．在中，则的形状是（ ）
A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．无法判断形状
二、填空题
13．当三角形中一个内角是另一个内角的倍时，称此三角形为“和谐三角形”，其中为“和谐角”若一个“和谐三角形”中有一个内角为，则这个“和谐三角形”的“和谐角”的度数为 ．
14．现有长为和的两根木条，如果还要找第三根木条，用这三根木条钉成一个三角形的木框，那么第三根木条的长度的取值范围是 ．
15．定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫作“倍长三角形”．若是“倍长三角形”，较短的两条边长分别为2和3，则第三条边的长为 ．
16．如图，中，，平分，则的度数是 ．
17．共享单车为市民的绿色出行提供了方便．图①是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图②是其示意图，其中，都与地面平行，，，，则的度数为 ．
三、解答题
18．在中，将，按如图所示的方式折叠，点，均落在边上的点处，线段，为折痕．若，求的度数．
19．已知中，，，且为奇数．
(1)求的周长．
(2)判断的形状，并说明理由．
20．已知中，，求、和的度数，它是什么三角形？
21．如图①，兔子在第一次龟兔赛跑失利后，不服输的它又组织了一次比赛，这次的比赛规则是从点A跑到点B，但A，B之间设置了很多陷阱，兔子选择沿路线A→C→B前进，乌龟可以选择的路线分别是：路线①A→C→B；路线②A→E→F→B；路线③A→D→B．
(1)若乌龟选择了路线③，那么乌龟和兔子的路线哪个更短呢？请说明理由．
以下是小明不完整分析过程，请你帮他补充完整；
解：乌龟的路线更短，理由如下：
如图②，延长交于点P．
在中，，
…
(2)请你帮乌龟从路线②和③中选择一条较短的路线，并说明理由．
22．如图，为边上的一点，，且，求的度数．
23．已知：如图，在中，点D是边上的一点，，求．
24．两根木棒的长分别是m和，要选择第三根木棒，将它们首尾相接钉成一个三角形．张同学手里长为6的木棒可以完成任务，但李同学手里长为10的木棒却无法完成任务．问第一根木棒的长度m在什么范围？
《12.2三角形的性质》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C B B B A B B C C B
题号 11 12
答案 A A
1．C
【分析】本题考查了三角形内角和定理，折叠的性质，由三角形内角和定理计算得出，由折叠的性质可得，，从而得出，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：∵在中，，，
∴，
∴，
∵沿向内折叠得到，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故选：C．
2．B
【分析】本题考查了三角形外角的性质，掌握三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和是解题关键．由三角形外角的性质可得，再结合求解即可．
【详解】解：是的外角，
，
，
，
故选：B．
3．B
【分析】本题考查了三角形外角的性质，熟知三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键．根据三角形外角的性质得出，即可求出的度数，再根据平角的定义即可求出的度数．
【详解】解：是的一个外角，
，
，，
，
，
故选：B．
4．B
【分析】本题考查三角形三边关系，关键是掌握三角形三边关系定理．三角形两边的和大于第三边，两边的差小于第三边，由此得到，即可得到答案．
【详解】解：由三角形三边关系定理得：，
∴，
∴偶数m的最大值是10．
故选：B．
5．A
【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形的分类，根据三角形内角和为度求出这个三角形最大的内角的度数即可得到答案．
【详解】解：∵一个三角形的三个内角度数的比为，
∴这个三角形最大的内角度数为，
∴这个三角形是锐角三角形，
故选：A．
6．B
【分析】本题考查了三角形内角和定理，平行线的判定与性质，角平分线的定义，根据题意易证，推出，由得到，求出，结合，利用三角形内角和定理求出，再根据角平分线的定义求出，由即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴．
故选：B．
7．B
【分析】本题主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．根据三角形的三边关系，三角形内角和定理，平行线的性质，对顶角性质对各选项分析判断后利用排除法求解．
【详解】解：A、对顶角相等，原说法是真命题，故本选项不符合题意；
B、两直线平行，同旁内角互补，原说法是假命题，故本选项符合题意；
C、三角形的内角和为，原说法是真命题，故本选项不符合题意；
D、三角形任意两边之差小于第三边，原说法是真命题，故本选项不符合题意．
故选：B．
8．C
【分析】本题考查了利用平方差公式进行因式分解，等腰三角形的判定，三角形三边关系的应用．熟练掌握利用平方差公式进行因式分解，等腰三角形的判定，三角形三边关系的应用是解题的关键．由题意知，，由，可得，则一定是等腰三角形，然后判断作答即可．
【详解】解∶∵，
∴，
∴，
∴，
∵a、b、c表示的三条边长，
∴，
∴，
∴，
∴一定是等腰三角形，
故选：C．
9．C
【分析】此题主要考查三角形三边关系，根据三角形三边关系，较短的两边之和必须大于最长的第三边，若两边之和等于或小于第三边，则无法组成三角形．
【详解】A 、2，2，3，较短两边为2和2，和为4，大于第三边3，能组成三角形；
B 、2，3，3，较短两边为2和3，和为5，大于第三边3，能组成三角形；
C 、2，2，4，较短两边为2和2，和为4，等于第三边4，无法组成三角形；
D 、2，3，4，较短两边为2和3，和为5，大于第三边4，能组成三角形．
故选：C．
10．B
【分析】本题考查三角形三边关系以及因式分解的应用，本题将式子因式分解，结合三角形三边关系判断符号．
【详解】解：
根据三角形三边关系：
，
；
，
；
．
综上，原式的值一定为负数．
故选：B．
11．A
【分析】本题考查了三角形的三边关系，熟知三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解题的关键．根据三角形的三边关系逐项判断即可得解.
【详解】解：A、因为，，，所以3，4，5满足三边关系，故能构成三角形；
B、因为，两边之和等于第三边，所以4，4，8不满足三边关系，故不能构成三角形；
C、因为，两边之和等于第三边，所以3，7，10不满足三边关系，故不能构成三角形；
D、因为，两边之和小于第三边，所以10，4，5不满足三边关系，故不能构成三角形．
故选：A ．
12．A
【分析】本题主要考查了三角形内角和定理的应用，理解并掌握三角形内角和定理是解题关键．根据题意，设，结合三角形内角和定理解得的值，进而确定的值，即可获得答案．
【详解】解：∵，
∴可设，
∵，
∴，解得，
∴，
∴是直角三角形．
故选：A．
13．或
【分析】本题考查了三角形内角和，理解“和谐三角形”，“和谐角”的意义是解题的关键.
设第三个角为，分类讨论：已知一个角是，需判断该角是、、还是，分别计算判断即可．
【详解】解：设第三个角为，
当时，，与三角形内角和是相矛盾，舍去；
当时，，
此时，符合题意；
当时，，
所以，
解得，
此时，符合题意；
所以这个“和谐三角形”的“和谐角”的度数为或，
故答案为：或．
14．/
【分析】本题考查了三角形三边关系，根据三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边；即可求第三边长的范围．
【详解】解：现有长为和的两根木条，如果还要找第三根木条，用这三根木条钉成一个三角形的木框，那么第三根木条的长度的取值范围是：
，即，
故答案为：
15．4
【分析】本题考查的是三角形的三边关系，熟记三角形两边之和大于第三边是解题的关键．根据“倍长三角形”的定义求出第三边的长，再根据三角形的三边关系判断即可．
【详解】解：当第三条边的长是2的2倍时，第三条边的长为4，
2，3，4能组成三角形；
当第三条边的长是3的2倍时，第三条边的长为6，
∵，
∴长为2，3，6的三条线段不能组成三角形，
∴第三条边的长为4，
故答案为：4．
16．/105度
【分析】本题主要考查了角平分线的定义，三角形外角的性质，解题的关键是掌握以上知识点．
首先由角平分线的定义得到，然后根据三角形外角的性质求解即可．
【详解】，平分，
，
．
故答案为：．
17．/70度
【分析】本题考查了三角形内角和定理的应用，平行线的性质，掌握三角形内角和定理是解题的关键．根据得出，根据三角形内角和定理得出，进而根据平行线的性质即可求解．
【详解】解：∵，都与地面平行，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
18．
【分析】本题考查了图形的对折，掌握相关知识并熟练使用，同时注意解题中需注意的事项是本题的解题关键．
根据折叠的性质，找到相等的角，然后利用平角的定义计算即可；
【详解】解：由题意知：，
，
，
．
19．(1)16
(2)等腰三角形，理由见解析
【分析】此题考查了三角形的三边关系，三角形的分类，关键是掌握第三边的范围是：大于已知的两边的差的绝对值，而小于两边的和．
（1）首先根据三角形的三边关系定理可得，再根据ACAC为奇数，确定的值，进而可得周长；
（2）根据等腰三角形的判定可得是等腰三角形．
【详解】（1）解：在中，根据三角形三边关系得：
即．
是奇数
．
的周长为16．
（2）解：为等腰三角形，理由如下：
由（1）可知，
为等腰三角形．
20．，，，是钝角三角形
【分析】本题考查了三角形的内角和定理及三角形的分类，熟练掌握三角形的内角和定理是解题的关键，设，则，，再根据三角形内角和定理求出的度数，进而可得出结论．
【详解】解：∵中，
∴设，则，，
∴，即，解得，
∴，，，
∴是钝角三角形．
21．(1)见解析
(2)选路线②，理由见解析
【分析】本题考查了三角形三边关系的应用，熟练掌握三角形三边关系是解题的关键．
（1）根据三角形的三边关系得出，，可推出，从而得出答案；
（2）如图，延长交于点M，延长交于点N．分别在，，中，根据三角形的三边关系得出，，，可推出，从而得出答案．
【详解】（1）解：补全过程如下：
在中，，
，
，
∴乌龟的路线更短．
（2）选路线②．理由如下：
如图，延长交于点M，延长交于点N．
在中，，
在中，，
在中，，
，
，
，
，
∴路线②的路程比路线③短，
∴乌龟可选路线②．
22．
【分析】此题考查的是三角形的内角和定理，三角形外角的性质，熟知三角形内角和是和三角形外角的性质是解答此题的关键．
先根据三角形外角的性质得出，再根据已知条件，，可得，求出，进而得出结论．
【详解】解：，，，
，
，解得，
．
23．
【分析】本题考查三角形内角和定理，三角形外角的性质，根据三角形外角的性质结合已知求出，再利用三角形内角和定理即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
24．
【分析】本题考查三角形的三边关系，求不等式组的解集，设第三根木棒的长为x，根据三角形的三边关系，得到，再根据题意，得到，求解即可．
【详解】解：设第三根木棒的长为x，
∵两根木棒的长分别是m和，
∴，
∴．
∵由张同学手里长为6的木棒可以完成任务，但李同学手里长为10的木棒却无法完成任务，
∴，
∴．
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