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期中自我评估
（本试卷满分120分）
一、选择题（本大题共10小题，每题3分，共30分）
1．下列各数中，是无理数的是（　　）
A． B． C． D．0.010 01
2. 2024年4月30日17时46分，神舟十七号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，标志着神舟十七号载人飞行任务取得圆满成功．下列描述能确定飞船着陆位置的是（　　）
A．内蒙古中部 B．东风着陆场东南方向
C．内蒙古自治区阿拉善盟 D．东经100°06'48″，北纬41°38'35″
3．在△ABC中，BC=a，AB=c，AC=b，则下列不能作为判定△ABC是直角三角形的条件是（　　）
A．∠B=∠A+∠C B.a2-b2=c2
C．a∶b∶c=7∶24∶25 D．a=32，b=42，c=52
4．下列图象中，表示y是x的函数的是（　　）
A B C D
5．下列各式计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
6.若kb＞0，则函数y=kx+b的图象可能是（　　）
A B C D
若想在图1所示的方格纸上沿着网格线画出坐标平面的x轴，y轴并标记原点，且以小方格边长作为单位长度，则下列哪一种画法可在方格纸的范围内标出（5，3），（-4，-4），（-3，4），（3，-5）四点（　　）
A B C D
图1 图2 图3 图4
8．如图2，在△ABC中，AB＝AC，以点C为圆心，CB的长为半径画弧，交AB边于点D；再分别以点B，D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点M，作射线CM交AB边于点E．若AC＝10，BE＝2，则CE的长为（　　）
A．4 B．5 C． D．6
9．如图3，一架25 m的云梯AB斜靠在一竖直的墙AO上，这时AO为24 m.如果梯子AB的底端向墙一侧移动了2 m，那么梯子的顶端向上滑动的距离是（　 　）
A.（）m B.1 m C.2 m D. m
10.如图4，直线与y轴，x轴分别交于点A和点B，点C是线段OA的中点，点D（，1）在直线AB上，P为x轴上一动点，当PC+PD最小时，点P的坐标为（ ）
A.（-3，0） B.（-2，0） C.（2，0） D.（3，0）
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
11．比较大小：3 　 　．（填“＜”或“＞”）
12．在平面直角坐标系中，若点P（m，2m+4）在第二象限，且点P到x轴的距离为2，则点P的坐标是 .
13.【跨学科】“凌波仙子生尘袜，水上轻盈步微月．”宋朝诗人黄庭坚以水中仙女借喻水仙花．如图5，将水仙花图置于正方形网格中，点A，B，C均在格点上．若点A（-2，3），B（0，1），则点C的坐标为 .
图5 图6 图7
14.如图6，若数轴上点A，B对应的实数分别为和，用圆规在数轴上画点C，则点C对应的实数是 .
15．如图7（单位：cm），龙龙家购置了一台圆形扫地机，计划放置在屋子角落（衣柜、书柜与地面均无缝隙，衣柜不可移动）．若要这台扫地机能从角落自由进出，则需拖动书柜，使图中的x至少为 .（结果保留根号）
16.小明和爸爸从家里出发，沿同一路线到学校．小明匀速跑步先出发，2 min后，爸爸骑自行车出发，匀速骑行一段时间后，在途中商店购买水果花费了5 min，这时发现小明已经跑到前面，爸爸骑车的速度增加60 m/min，结果与小明同时到达学校．小明和爸爸两人离开家的路程s（m）与爸爸出发时间t（min）之间的函数关系图象如图4所示，下列说法：
①a=15；②小明的速度是150 m/min；③爸爸从家到商店的速度为200 m/min；④爸爸出发7 min追上小明.
其中正确的是 .（填序号）
图8
三、解答题（本大题共7小题，共66分）
17.（每小题4分，共8分）计算：
（1）； （2）.
18.（6分）已知2a-b+9的平方根是±4，3a-1的立方根是2．
（1）求a，b的值；
（2）求的算术平方根．
（8分）如图9，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别是A（-2，-1），B（-6，-3），C（-1，-4）．
（1）请画出与△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并写出点C1的坐标；
（2）在（1）的条件下，画出与△A1B1C1关于直线l对称的△A2B2C2；
（3）计算△ABC的面积.
图9
20.（8分）如图10，某湿地公园有一块四边形草坪ABCD，公园管理处计划修一条A到C的小路，经测量，∠D＝90°，AD＝7 m，DC＝24 m，AB＝20 m，CB＝15 m．
（1）求小路AC的长；
（2）淇淇带着小狗在草坪上玩耍，淇淇站在点B处，小狗从点B开始以2 m/s的速度在小路上沿B→C→A的方向奔跑，跑到点A时停止奔跑，当小狗在小路CA上奔跑时，小狗需要跑多少秒与淇淇的距离最近？
图10
21.（10分）为配合地铁修建施工，保障道路交通顺畅，太原市在交通主干道设置隔离护栏.某道路中间的隔离护栏平面示意图如图11所示，假如每根立柱宽为0.2米，立柱间距为3米．
立柱根数 1 2 3 4 5 …
护栏总长度（米） 0.2 3.4 　 　 9.8 　 　 …
（1）根据图11所示，将表格补充完整；
（2）设有x根立柱，护栏总长度为y米，求y与x之间的函数关系式；
（3）求：护栏总长度为93米时立柱的根数？
图11
22.（12分）北师大版八年级数学上册第一章《勾股定理》中有这样一个问题：观察图12，判断图中三角形的三边长是否满足.
图12
经过探究，勤思小组发现，在锐角三角形中，三边满足；在钝角三角形中，三边满足.
据此，他们做了进一步探究，以下是部分探究过程：
（1）请你补充完成上面横线上所缺的过程；
（2）善学小组在探究中发现，如图13-②，当△ABC为钝角三角形（∠C为钝角）时，也有类似的结论.请类比勤思小组的方法，写出该结论，并说明理由；
（3）如图13-③，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝8，BC＝6，CD＝9，AD＝11，请直接写出该四边形的面积．敏学小组的思路是连接AC，过点D作DF⊥AC于点F，请你利用敏学小组的思路来求．
① ② ③
图13
23.（14分）如图14，直线l1：y＝kx+1与x轴交于点D，直线l2：y＝-x+b与x轴交于点A，且经过定点B（-1，5），直线l1与l2交于点C（2，m）．
（1）填空：k＝　　，b＝　　，m＝　　；
（2）求△ADC的面积；
（3）若动点P在射线DC上从点D开始以每秒1个单位长度的速度运动，连接AP，设点P的运动时间为t秒，是否存在t的值，使△ACP和△ADP的面积比为1∶2？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由．
图14
第⑤期 期中自我评估
答案速览
一、1. B 2. D 3. D 4. C 5.A 6. A 7. D 8. D 9. A 10. C
二、11．＜ 12．（-1，2） 13.（1，2） 14. 15. 16.①②③
三、解答题见“答案详解”
答案详解
16.①②③ 解析：线段BC对应的时间是爸爸买水果的时间，是5 min，所以a=10+5=15，故①正确；由图象可得小明的速度是3300÷（20+2）=150（m/min），故②正确；设爸爸从家到商店的速度是x m/min，则从商店到学校的速度是（x+60）m/min，依题意，得10x+（20-15）（x+60）=3300，解得x=200.所以爸爸从家到商店的速度是200 m/min，故③正确；爸爸追上小明得时间是150×2÷（200-150）=6（min），故④错误．
三、17．（1）；（2）5+2．
18．解：（1）因为2a-b+9的平方根是±4，3a-1的立方根是2，所以2a-b+9＝，，
所以a＝3，b＝-1.
（2）由（1）知a＝3，b＝-1.
所以 .
因为4的算术平方根是2，所以的算术平方根是2．
19．解：（1）图略，点C1的坐标为（1，-4）.
（2）图略.
（3）S△ABC=5×3-×1×3-×4×2-×1×5=7.
20.解：（1）在Rt△ACD中，由勾股定理，得（m）.
所以小路AC的长度为25 m.
（2）过点B作BE⊥AC于点E.
因为，，所以.
所以△ABC是直角三角形，∠ABC＝90°.
因为，所以20×15＝25BE，解得BE＝12 m.
在Rt△BEC中，（m）.
所以小狗跑的最短路程为BC+CE＝15+9＝24（m）.
所以小狗奔跑的时间为24÷2＝12（s）.
所以小狗需要跑12 s与淇淇的距离最近.
21.（6分）解：（1）表格从左至右依次填6.6，13.
由题意，得y与x之间的函数关系式为y=3（x-1）+0.2x=3.2x-3．
（3）当y=93时，3.2x-3=93，解得x=30.
答：护栏总长度为93米时立柱的根数为30．
22.解：（1）所以AC2-CD2=AB2-（BC-CD）2.
（2）AB2=AC2+BC2+2BC·CD.理由如下：
如图1，作AD ⊥ BC ，交BC的延长线于点 D，则∠ADB=90°．
在Rt△ACD中，AD2=AC2-CD2.
在Rt△ABD中，AD2=AB2-（BC+CD）2.
所以AC2-CD2=AB2-（BC+CD）2.
所以AB2=AC2+BC2+2BC·CD.
图1
（3）由勾股定理，得AC＝＝10.
易知△ACD是锐角三角形，利用（1）的结论，得AD2=AC2+CD2-2AC·CF，即112=102+92-2×10·CF，解得CF=3.
所以DF＝＝6.
S四边形ABCD＝S△ABC+S△ACD=×6×8+×10×6＝24+30.
23.解：（1） 4 2
（2）对于直线l1：y＝，令y=0，可求得x=-2.
所以D（-2，0）.
对于直线l2：y=-x+4，令y=0，可求得x=4.
所以A（4，0）.
所以AD=6．
所以S△ADC=AD·yC=．
（3）存在t的值为或，使△ACP和△ADP的面积比为1∶2.
解析：由（1）（2）知D（-2，0），C（2，2）.
因为点P的运动时间为t s，所以DP＝t.
分两种情况：①如图2，点P在线段DC上.
过点C作CM⊥x轴于点M，则CM=2，M（2，0）.
所以DM=4.
由勾股定理，得CD=．
因为△ACP和△ADP的面积比为1∶2，所以＝.所以＝.
所以DP＝×＝.所以t＝；
图2 图3
②如图3，点P在线段DC的延长线上.
因为△ACP和△ADP的面积比为1∶2，所以＝.所以＝2.
所以DP＝2×＝.所以t＝．
综上，存在t的值为或，使△ACP和△ADP的面积比为1∶2.
如图13-①，在△ABC 中，过点A作AD ⊥ BC 于点 D.
因为AD ⊥ BC，所以∠ADC=∠ADB=90°．
在Rt△ACD中，AD2=AC2-CD2.
在Rt△ABD中，AD2=AB2-BD2=AB2-（BC-CD）2.
.
所以AB2=AC2+BC2-2BC·CD.
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