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2．1　等式性质与不等式性质
一、 单项选择题
1 (2024南充期中)设M＝2a(a－2)，N＝(a＋1)(a－3)，则M，N的大小关系为(　　)
A. M>N B. M≤N
C. M2 若x∈R，y∈R，则下列结论中正确的是(　　)
A. x2＋y2>2xy－1
B. x2＋y2＝2xy－1
C. x2＋y2<2xy－1
D. x2＋y2≤2xy－1
3 (2024伊春月考)已知a＝，b＝，c＝a2，则a，b，c的大小关系为(　　)
A. c>a>b B. b>c>a
C. c>b>a D. b>a>c
4 (2024长沙期中)已知a>b>c>0，则下列结论中正确的是(　　)
A. a＋c>2b＋c B. acC. > D. ac5 对任意给定的实数a，b，有|a＋b|≤|a|＋|b|，则等号成立的条件是(　　)
A. ab>0 B. ab<0
C. ab≥0 D. ab≤0
6 (2024滨州月考)若不等式组的解集是{x|x>2}，则实数m的取值范围为(　　)
A. {m|m>2} B. {m|m≤2}
C. {m|m≥2} D. 无法确定
7 足球赛期间，某球迷俱乐部一行56人从旅馆乘出租车到球场为中国队加油，现有A，B两个出租车队，A队比B队少3辆车．若全部安排乘A队的车，每辆车坐5人，车不够，每辆车坐 6人，有的车未坐满；若全部安排乘B队的车，每辆车坐4人，车不够，每辆车坐5人，有的车未坐满，则A队有出租车(　　)
A. 11辆 B. 10辆
C. 9辆 D. 8辆
二、 多项选择题
8 (2024广州期中)已知6A. <<4 B. 21C. －99 生活经验告诉我们，ag糖水中有bg糖(a>0，b>0，且a>b)，若再添加cg糖(c>0)后，糖水会更甜，于是得出一个不等式：>，趣称之为“糖水不等式”．根据生活经验和不等式的性质判断下列命题中，一定正确的是(　　)
A. 若a>b>0，m>0，则与的大小关系随m的变化而变化
B. 若b>a>0，m>0，则>
C. 若a>b>0，c>d>0，则<
D. 若a>0，b>0，则一定有＋<＋
三、 填空题
10 (2024海口期中)已知实数x，y满足1≤x≤2，6≤y≤8，则的取值范围是________．
11 “a>2且b>2”是“a＋b>4且ab>4”的________条件．(填“充要”“充分不必要”“必要不充分”或“既不充分也不必要”)
12 (2024河西期中)若实数a，b满足－1四、 解答题
13 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c满足以下条件：
①该函数的图象过原点；
②当x＝－1时，y的取值范围为大于等于1且小于等于2；
③当x＝1时，y的取值范围为大于等于3且小于等于4.
求当x＝－2时，y的取值范围．
14 东东和华华拿着钱去超市买糖，超市里面提供两种糖．A种糖每千克p1元，B种糖每千克p2元(两种糖价格不相等).东东买了相同质量的两种糖，华华买了相同价钱的两种糖．请问两人买到糖的平均价格分别是多少？谁买的糖的平均价格比较高？请证明你的结论．(物品的平均价格＝物品的总价钱÷物品的总质量)
15 (2024河源月考)已知－1(1) 求x的取值范围；
(2) 求3x＋2y的取值范围．
2.1　等式性质与不等式性质
1. A　由题意，得M－N＝2a(a－2)－(a＋1)(a－3)＝a2－2a＋3＝(a－1)2＋2>0，所以M>N.
2. A　因为x2＋y2－(2xy－1)＝x2－2xy＋y2＋1＝(x－y)2＋1>0，所以x2＋y2>2xy－1.
3. D　因为b＝＝，且＋>＋1>0，所以b>a.又00，得a>c，故b>a>c.
4. C　对于A，因为a>b>c>0，不妨取a＝3，b＝2，c＝1，则a＋c＝4，2b＋c＝5，此时a＋c<2b＋c，故A错误；对于B，因为a>b>c>0，由不等式的可乘性，得ac>bc，故B错误；对于C，由B知ac>bc，所以－＝>0，即>，故C正确；对于D，不妨取a＝3，b＝2，c＝1，则ac＝3>2＝bc，故D错误．
5. C　由|a＋b|≤|a|＋|b|，得(a＋b)2≤(|a|＋|b|)2，即ab≤|ab|，所以不等式取等号时，ab≥0.
6. B　因为不等式组的解集是{x|x>2}，所以m≤2.
7. B　设A队有出租车x辆，则B队有出租车(x＋3)辆．由题意，得即解得8. AB　因为69. BCD　对于A，因为a>b>0，m>0，所以－＝>0，所以>，故A错误；对于B，因为b>a>0，m>0，所以－＝<0，所以>，故B正确；对于C，因为a>b>0，c>d>0，所以a－b>0，c－d>0，所以－＝＝>0，所以<，故C正确；对于D，因为0<1＋a<1＋a＋b，0<1＋b<1＋a＋b，所以>，>，所以＋>＋，故D正确．故选BCD.
10. 3≤≤8　因为1≤x≤2，所以≤≤1.因为6≤y≤8，所以×6≤≤1×8，即3≤≤8，所以的取值范围是3≤≤8.
11. 充分不必要　若a>2，且b>2，则由不等式的性质可得a＋b>4，ab>2×2＝4，即“a>2且b>2”是“a＋b>4且ab>4”的充分条件；反之，“a＋b>4且ab>4”，则“a>2且b>2”不一定成立，例如a＝10，b＝，所以“a>2且b>2”是“a＋b>4且ab>4”的充分不必要条件．
12. －313. 因为二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象过原点，
所以c＝0，所以y＝ax2＋bx，
可得当x＝－1时，1≤a－b≤2，①
当x＝1时，3≤a＋b≤4，②
当x＝－2时，y＝4a－2b.
设存在实数m，n，使得4a－2b＝m(a＋b)＋n(a－b)，
则4a－2b＝(m＋n)a＋(m－n)b，
所以解得
所以4a－2b＝(a＋b)＋3(a－b).
由①②可知3≤a＋b≤4，3≤3(a－b)≤6，
所以3＋3≤4a－2b≤4＋6，即6≤4a－2b≤10，
故当x＝－2时，y的取值范围是{y|6≤y≤10}．
14. 对于东东而言，他买到的糖的平均价格为(元/kg).
对于华华而言，设华华买两种糖的费用均为c元，
则他买到的糖的总质量为(＋)kg，
故华华买到的糖的平均价格为＝(元/kg).
因为－＝>0，
所以东东买到的糖的平均价格较高．
15. (1) 因为－1所以两个不等式相加可得1<2x<7，解得(2) 设3x＋2y＝m(x＋y)＋n(x－y)，
则所以
即3x＋2y＝(x＋y)＋(x－y).
又因为－1所以－<(x＋y)<10，1<(x－y)<，
所以－<(x＋y)＋(x－y)<，即－<3x＋2y<，
所以3x＋2y的取值范围为－<3x＋2y<.

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