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3.1.1　函数的概念(1)
一、 单项选择题
1 已知集合M＝{－1，1，2，4}，N＝{1，2，4，16}，给出下列四个对应关系：①y＝；②y＝x＋1；③y＝|x|；④y＝x2.请由函数的定义判断，其中能构成从M到N的函数的是(　　)
A. ①③ B. ①② C. ③④ D. ②④
2 (2024阳泉期末)函数f(x)＝－的定义域是(　　)
A. {x|x≥－2且x≠0}
B. {x|x≥－2}
C. R
D. {x|x≠0，x∈R}
3 (2024江门月考)下列各组函数f(x)与g(x)的图象相同的是(　　)
A. f(x)＝x，g(x)＝()2
B. f(x)＝|x|，g(x)＝
C. f(x)＝1，g(x)＝x0
D. f(x)＝x2，g(x)＝(x＋1)2
4 (2025汕尾期末)下列函数中，其定义域为R的是(　　)
A. y＝
B. y＝
C. y＝
D. y＝
5 下列对应关系是集合M＝{－1，2，4}到集合N＝{1，2，4，16}的函数的是(　　)
A. y＝2x B. y＝x＋2
C. y＝x2 D. y＝2x
6 (2024韶关阶段练习)设集合M＝{1，2，3}，N＝{e，g，h}，如下选项是从M到N的四种对应关系，其中是M到N的函数是(　　)
A B C D
7 函数y＝的定义域为(　　)
A. {x|－4≤x≤1}
B. {x|－1≤x<0或0C. {x|－1≤x≤4}
D. {x|－4≤x<0或0二、 多项选择题
8 集合A，B与对应关系f如图所示，则f：A→B是从集合A到集合B的函数的是(　　)
A B C D
9 下列说法中，正确的有(　　)
A. f(x)＝与g(x)＝表示同一函数
B. 函数f(x)＝x2＋2＋的最小值为2
C. 函数y＝f(x)的图象与直线x＝1的交点最多有1个
D. 若f(x)＝|x－1|－|x|，则f＝1
三、 填空题
10 (2025北京东城期末)函数f(x)＝的定义域为________．
11 (2024佛山月考)已知四组函数：①f(x)＝x，g(x)＝()2；②f(x)＝x，g(x)＝；③f(x)＝，g(x)＝x0；④f(x)＝x2－2x－1，g(t)＝t2－2t－1，其中表示同一函数的是________．(填序号)
12 已知函数f(x)＝的定义域为A，g(x)＝的定义域为B，则B＝________；使A B的实数a的取值范围是________．
四、 解答题
13 (2024中山月考)求下列函数的定义域：
(1) f(x)＝；
(2) f(x)＝；
(3) f(x)＝；
(4) f(x)＝；
(5) f(x)＝.
14 在一张边长为20 cm的正方形铁皮的四个角上，各剪去一个边长是x cm的小正方形，折成一个容积是y cm3的无盖长方体铁盒，试写出用x表示y的函数关系式，并指出它的定义域．
15 已知非空集合A＝{x|2a－1(1) 若a＝－1，求A∩( RB)；
(2) 在①A∪B＝B；②A (A∩B)；③A∩B＝ 这三个条件中任选一个，求满足条件的实数a构成的集合P.
3．1.1　函数的概念(2)
一、 单项选择题
1 (2024山西期中)函数f(x)＝＋的定义域为(　　)
A. (0，1] B. [0，1]
C. (0，＋∞) D. [1，＋∞)
2 (2024新疆期中)下列函数的定义域与值域相同的是(　　)
A. y＝x＋1 B. y＝2
C. y＝x2－6x＋7 D. y＝x2－1
3 (2024西安月考)已知函数y＝f(x)的定义域为[－2，3]，则函数y＝的定义域为(　　)
A. B. ∪(－1，1]
C. [－3，7] D. [－3，－1)∪(－1，7]
4 (2024重庆期末)已知函数y＝f(x－1)的定义域为(1，5)，则函数y＝f(x2)的定义域为(　　)
A. (－2，0) B. (0，2)
C. (－2，2) D. (－2，0)∪(0，2)
5 已知集合A＝{x|y＝x}，B＝{y|y＝x2}，则A∩B等于(　　)
A. R B. [0，＋∞)
C. {(0，0)，(1，1)} D.
6 已知等腰三角形ABC的周长为10，底边长y关于腰长x的函数关系式为y＝10－2x，则此函数的定义域为(　　)
A. {x|x＞0} B. {x|0＜x＜5}
C. D.
7 已知函数y＝f(x)＋1的值域为(1，3)，则函数y＝－2f(x)的值域为(　　)
A. (－4，0) B. (－6，－2)
C. (2，6) D. (0，4)
二、 多项选择题
8 已知集合A＝{－2，－1，0，1，2}，B＝{y|y＝}，则下列结论中错误的是(　　)
A. A∩( RB)＝{－2，－1，0} B. B [0，＋∞)
C. A∪( RB)＝(－∞，0]∪{1，2} D. A∩B有4个真子集
9 (2024泰州期末)已知函数f(x)＝x2的值域为[0，4]，则f(x)的定义域可以是(　　)
A. [0，2] B. [－2，1]
C. [1，2] D. {－2，0，2}
三、 填空题
10 高斯被认为是历史上最重要的数学家之一，享有“数学王子”之称．函数y＝[x]称为高斯函数，其中[x]表示不超过实数x的最大整数，例如[2.3]＝2，[－0.5]＝－1，当x∈(－1.5，2)时，函数y＝[x]x的值域为________．
11 已知函数f(x)＝＋，则函数的定义域为________，值域为________．
12 [x]表示不超过x的最大整数，例如[－1.1]＝－2，[2.1]＝2，则函数y＝的最小值为________，最大值为________．
四、 解答题
13 已知函数f(x)＝x2的定义域是[0，3]，试求函数g(x)＝f(2x)－f(x＋2)的值域．
14 (2024北京阶段练习)已知－15 已知函数f(x)＝.
(1) 若f(x)的定义域为[－2，1]，求实数m的值；
(2) 若f(x)的定义域为R，求实数m的取值范围．
3.1.1　函数的概念(1)
1. C　对应关系若能构成从M到N的函数，需满足：对M中的任意一个数，通过对应关系在N中都有唯一的数与之对应．对于①，y＝，当x＝2时，y＝ N，故①不满足题意；对于②，y＝x＋1，当x＝－1时，y＝－1＋1＝0 N，故②不满足题意；对于③，y＝|x|，当x＝1时，y＝1∈N，当x＝－1时，y＝1∈N，当x＝2时，y＝2∈N，当x＝4时，y＝4∈N，故③满足题意；对于④，y＝x2，当x＝±1时，y＝1∈N，当x＝2时，y＝4∈N，当x＝4时，y＝16∈N，故④满足题意．
2. A　要使函数有意义，则解得x≥－2且x≠0.
3. B　对于A，易知f(x)＝x的定义域为R，g(x)＝()2的定义域为[0，＋∞)，定义域不同，图象不可能相同，故A错误；对于B，将f(x)＝|x|改写成分段函数的形式与g(x)完全相同，故B正确；对于C，f(x)＝1的定义域为R，g(x)＝x0的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，定义域不同，图象不可能相同，故C错误；对于D，将f(x)＝x2的图象向左平移1个单位长度后可得g(x)＝(x＋1)2，所以其图象不相同，故D错误．
4. C　对于AB，根号里二次函数的图象开口向下，不满足题意，故AB错误；对于C，根号里二次函数开口向上，且Δ＝(－4)2－36＝－20<0，所以x2－4x＋9>0对x∈R恒成立，故C正确；对于D，根号里二次函数开口向上，且Δ＝42＋36＝52>0，所以 x∈R，x2＋4x－9<0，故D错误．
5. C　对于A，集合M中的元素－1按对应关系y＝2x在集合N中没有元素与之对应，故A错误；对于B，集合M中的元素4按对应关系y＝x＋2在集合N中没有元素与之对应，故B错误；对于C，集合M中的每个元素按对应关系y＝x2在集合N中都有唯一元素与之对应，故C正确；对于D，集合M中的元素－1按对应关系y＝2x在集合N中没有元素与之对应，故D错误．
6. C　对于A，集合M中的3对应了集合N中的两个数，故A错误；对于B，集合M中的2对应了集合N中的两个数，故B错误；对于C，集合M中的每个数在集合N中都有唯一的数与之对应，故C正确；对于D，集合M中的3对应了集合N中的两个数，故D错误．
7. D　由题意，得解得－4≤x≤1且x≠0，所以该函数的定义域为{x|－4≤x<0或08. AC　对于A，集合A中任何一个元素在集合B中都有唯一一个与之对应，是函数；对于B，集合A中存在元素3在集合B中没有对应，不是函数；对于C，集合A中任何一个元素在集合B中都有唯一一个与之对应，是函数；对于D，集合A中存在元素5在集合B中有2个元素与之对应，不是函数．故选AC.
9. CD　对于A，f(x)＝的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，而g(x)＝的定义域为R，两个函数的定义域不同，故两者不是同一函数，故A错误；对于B，由基本不等式可得f(x)＝x2＋2＋≥2，但x2＋2＝1无解，故前者等号不成立，故f(x)>2，故B错误；对于C，由函数定义可得函数y＝f(x)的图象与直线x＝1的交点最多有1个，故C正确；对于D，f＝f(0)＝1，故D正确．故选CD.
10. (3，＋∞)　由题意，得x－3>0，解得x>3，所以函数f(x)的定义域为(3，＋∞).
11. ②③④　对于①，f(x)＝x的定义域为R，g(x)＝()2的定义域为{x|x≥0}，定义域不相同，所以不是同一函数；对于②，f(x)＝x的定义域为R，g(x)＝＝x的定义域为R，定义域相同，对应关系也相同，所以是同一函数；对于③，f(x)＝＝1的定义域为{x|x≠0}，g(x)＝x0＝1的定义域为{x|x≠0}，定义域相同，对应关系也相同，所以是同一函数；对于④，f(x)＝x2－2x－1，g(t)＝t2－2t－1的定义域相同，对应关系也相同，所以是同一函数．
12. {x|x≤－2或x≥2}　{a|a≤－2}　由题意，得A＝{x|x≤a}，B＝{x|x≤－2或x≥2}．因为A B，所以a≤－2.
13. (1) (－∞，1)∪(1，＋∞)
(2)
(3) [－1，3)∪(3，＋∞)
(4) (－∞，－2)∪(－2，4)∪(4，＋∞)
(5) (－1，＋∞)
14. 由题意，得0<2x<20，即0则y＝(20－2x)2·x＝4x(10－x)2(015. (1) 由(x＋1)(5－x)≥0，得B＝{x|－1≤x≤5}．
当a＝－1时，A＝{x|－3又 RB＝{x|x<－1或x>5}，
所以A∩( RB)＝{x|－3(2) 若选①：由A∪B＝B，得A B.
由A≠ ，得a<3，
所以解得0≤a<3，
所以满足条件的实数a构成的集合P＝{a|0≤a<3}．
若选②：由A (A∩B)，得A B.
由A≠ ，得a<3，
所以解得0≤a<3，
所以满足条件的实数a构成的集合P＝{a|0≤a<3}．
若选③：由A∩B＝ ，A≠ ，得a<3，
且2a－1≥5或a＋2<－1，解得a<－3，
所以满足条件的实数a构成的集合P＝{a|a<－3}．
3．1.1　函数的概念(2)
1. A　令解得02. A　函数y＝x＋1的定义域和值域都为R，故A正确；y＝2的定义域为[－1，＋∞)，值域为[0，＋∞)，故B错误；y＝x2－6x＋7＝(x－3)2－2的定义域为R，值域为[－2，＋∞)，故C错误；y＝x2－1的定义域为R，值域为[－1，＋∞)，故D错误．
3. B　由题意，得－2≤2x＋1≤3，解得－≤x≤1.由x＋1≠0，解得x≠－1，故函数y＝的定义域是∪(－1，1].
4. D　因为函数y＝f(x－1)的定义域为(1，5)，所以x－1∈(0，4)，由函数y＝f(x2)可知05. B　因为A＝{x|y＝x}＝R，B＝{y|y＝x2}＝[0，＋∞)，所以A∩B＝[0，＋∞).
6. D　因为△ABC的底边长显然大于0，即y＝10－2x＞0，所以x＜5.又两边之和大于第三边，所以2x＞10－2x，所以x＞，即此函数的定义域为{x|＜x＜5}．
7. A　因为函数y＝f(x)＋1的值域为(1，3)，所以18. BCD　B＝{y|y＝}＝{y|y≥1}＝[1，＋∞)，所以 RB＝(－∞，1).又A＝{－2，－1，0，1，2}，所以A∩( RB)＝{－2，－1，0}，故A正确；B＝[1，＋∞) [0，＋∞)，故B错误；A∪( RB)＝(－∞，1]∪{2}，故C错误；A∩B＝{1，2}，则A∩B的真子集有 ，{1}，{2}，共3个，故D错误．故选BCD.
9. AB　画出y＝x2的图象如下图所示，由x2＝4，解得x＝±2，由题意，得f(x)＝x2的值域为[0，4]，根据图象结合选项可知，f(x)的定义域可以是[0，2]，[－2，1].故选AB.
10. [0，2)∪(2，3)　当－1.511. [－1，2]　[，]　因为f(x)＝＋，所以解得－1≤x≤2，即f(x)的定义域为[－1，2].易知f(x)≥0，又f2(x)＝x＋1＋2＋2－x＝3＋2，对于y＝－x2＋x＋2，其图象开口向下，对称轴为直线x＝，所以当x＝时，y＝－x2＋x＋2有最大值；当x＝－1或x＝2时，y＝－x2＋x＋2有最小值0，所以当x∈[－1，2]时，y＝－x2＋x＋2的值域为[0，]，则f2(x)的值域为[3，6]，故f(x)的值域为[，].
12. 1　4　因为＝1＋，x2＋1∈[1，＋∞)，所以y＝1＋∈(1，4]，则∈{1，2，3，4}，故函数y＝的最小值为1，最大值为4.
13. 因为函数f(x)＝x2的定义域为[0，3]，
所以解得即0≤x≤1，
则函数g(x)的定义域为[0，1].
又g(x)＝f(2x)－f(x＋2)＝4x2－(x＋2)2＝x2－x－＝(2x2－x－1)，x∈[0，1]，其图象的对称轴为直线x＝，
所以g(x)min＝g＝－2，g(x)max＝g(1)＝0，
故g(x)的值域为[－2，0].
14. 由题意，得即
所以函数g(x)的定义域由(－a，1－a]∩(a，1＋a]确定．
因为－所以函数g(x)的定义域是(－a，1＋a].
15. (1) 由题意，得不等式(m2＋m－2)x2＋(m－1)x＋4≥0的解集为[－2，1]，
所以即
解得m＝－1，
故实数m的值为－1.
(2) 由题意，得不等式(m2＋m－2)x2＋(m－1)x＋4≥0在R上恒成立．
①当m2＋m－2＝0，即m＝1或m＝－2时，
若m＝1，则f(x)＝2，符合题意；
若m＝－2，则f(x)＝，定义域不是R，不满足条件．
②当m2＋m－2>0，即m>1或m<－2时，
Δ＝(m－1)2－16(m2＋m－2)＝－3(m－1)(5m＋11)≤0，解得m≤－或m≥1，此时m≤－或m>1.
综上，实数m的取值范围是(－∞，－]∪[1，＋∞).

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