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5.6.1　匀速圆周运动的数学模型
一、 单项选择题
1 (2024南海桂城中学月考)函数f(x)＝2sin 的周期、振幅、初相分别是(　　)
A. ，2， B. 4π，－2，－
C. ，2， D. 4π，2，
2 (2024厦门质量检测)将函数f(x)＝sin 2x＋cos 2x的图象向右平移个单位长度后，得到y＝g(x)的图象，则下列结论中正确的是(　　)
A. g(x)＝2sin 2x
B. g(x)＝2sin
C. g(x)＝2sin
D. g(x)＝2sin
3 将函数y＝sin ωx(其中ω>0)的图象向右平移个单位长度，所得图象经过点，则ω的最小值是(　　)
A. B. 1
C. D. 2
4 要得到函数y＝sin 的图象，只需将函数y＝cos 的图象(　　)
A. 向左平移个单位长度
B. 向右平移个单位长度
C. 向左平移个单位长度
D. 向右平移个单位长度
5 将函数y＝sin x的图象上所有点的横坐标都变为原来的，纵坐标不变，再把图象向左平移个单位长度，这时对应于这个图象的解析式为(　　)
A. y＝sin B. y＝－sin 2x
C. y＝sin D. y＝cos 2x
6 (2024河北月考)为了得到函数f(x)＝3·cos ＋1的图象，将函数g(x)＝3sin2x＋6sinx cos x－3cos2x＋1的图象(　　)
A．向右平移个单位长度
B. 向左平移个单位长度
C. 向右平移个单位长度
D. 向左平移个单位长度
7 (2024亳州五中月考)函数y＝f(x)的图象由函数y＝2sin 的图象向左平移φ(φ>0)个单位长度得到，若函数y＝f(x)的图象关于原点对称，则φ的最小值为(　　)
A. B.
C. D.
二、 多项选择题
8 要得到y＝sin ＋1的图象，可以将函数y＝sin x＋1图象上所有的点(　　)
A. 向右平移个单位长度，再把横坐标缩短到原来的，纵坐标不变
B. 向右平移个单位长度，再把横坐标缩短到原来的，纵坐标不变
C. 横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再向右平移个单位长度
D. 横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再向右平移个单位长度
9 (2024遵义期末)已知函数f(x)＝3sin (3x＋)，则下列结论中正确的是(　　)
A. 函数f(x)的最小正周期是
B. 函数f(x)在区间上单调递增
C. 直线x＝是函数f(x)图象的一条对称轴
D. 函数f(x)的图象可以由函数g(x)＝3sin 3x的图象向左平移个单位长度得到
三、 填空题
10 将函数f(x)＝sin x＋cos x，x∈R图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变)，再将所得图象向左平移个单位长度，得到g(x)的图象，则函数g(x)的解析式为________．
11 将函数y＝3sin (2x＋)的图象向右平移个单位长度得到函数y＝f(x)的图象，若f(α)＝，则f(2α＋)＝________．
12 写出一个同时满足下列三个性质的函数：f(x)＝________．
①f(x)为奇函数；②f(x＋1)为偶函数；③f(x)在R上的值域为[－2，2].
四、 解答题
13 某同学用“五点法”画函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)＋B(其中A>0，ω>0，|φ|<)在某一个周期内的图象时，列表并填入部分数据，如表：
ωx＋φ 0 π 2π
x
A sin (ωx＋φ)＋B 3 －1
(1) 请根据上表中的部分数据，求函数f(x)的解析式；
(2) 若定义在区间上的函数g(x)＝af(x)＋b的最大值为7，最小值为1，求实数a，b的值．
14 由函数y＝sin x的图象经过怎样的变换，可以得到函数y＝－2sin ＋1的图象？
15 (2024湖南期末)已知函数f(x)＝3sin (2x＋)的部分图象如图所示．
(1) 写出图中x0，y0的值；
(2) 将函数f(x)的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上所有点的纵坐标缩短为原来的，横坐标不变，得到函数g(x)的图象，求方程g(x)＝在区间[－π，π]上的解．
5.6.1　匀速圆周运动的数学模型
1. D　由题意，得函数f(x)的振幅是2，初相是，最小正周期是T＝＝4π.
2. A　因为f(x)＝sin 2x＋cos 2x＝2sin ，所以g(x)＝2sin ＝2sin 2x.
3. D　将函数y＝sin ωx(其中ω>0)的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数为y＝sin .因为所得图象经过点，所以sin ＝sin ＝0，所以＝kπ，k∈Z，即ω＝2k，k∈Z.又ω>0，故ω的最小值是2.
4. D　因为函数y＝sin ＝cos (－)＝cos [(x－)－]，所以只需将函数y＝cos (－)的图象向右平移个单位长度，即可得到函数y＝sin 的图象．
5. D　y＝sin xy＝sin 2xy＝sin ＝cos 2x.
6. D　由题意，得g(x)＝3sin2x＋6sinx cos x－3cos2x＋1＝3sin2x－3cos 2x＋1＝3sin ＋1＝3·sin ＋1＝3cos ＋1，设将函数g(x)的图象向左平移φ个单位长度后，得到了f(x)的图象，则3cos ＝3cos ＝3cos ＋1，所以2φ－＝－＋2kπ，k∈Z，解得φ＝＋kπ，k∈Z，即将函数g(x)的图象向左平移个单位长度可得f(x)的图象．
7. D　由题意，得f(x)＝2sin .因为函数f(x)的图象关于原点对称，所以f(0)＝2sin ＝0，所以φ＋＝kπ，k∈Z，解得φ＝－＋2kπ，k∈Z.又φ>0，所以φmin＝.
8. BC　将y＝sin x＋1图象上所有的点向右平移个单位长度，得到y＝sin (x－)＋1的图象，再将y＝sin (x－)＋1图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到y＝sin (2x－)＋1的图象，故A错误，B正确；将y＝sin x＋1图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到y＝sin 2x＋1的图象，再将y＝sin 2x＋1图象上所有的点向右平移个单位长度，得到y＝sin [2(x－)]＋1＝sin (2x－)＋1的图象，故C正确，D错误．故选BC.
9. AC　对于A，函数f(x)的最小正周期是T＝，故A正确；对于B，当－≤x≤时，－≤3x＋≤π，由正弦函数的图象，得函数f(x)在区间上不单调，故B错误；对于C，因为f＝3sin ＝3＝f(x)max，所以直线x＝是函数f(x)图象的一条对称轴，故C正确；对于D，因为f(x)＝3sin ＝3sin ，所以函数f(x)的图象可以由函数g(x)＝3sin 3x的图象向左平移个单位长度得到，故D错误．故选AC.
10. g(x)＝2sin 　由题意，得f(x)＝2sin (x＋)，将f(x)图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍，得函数y＝2sin 的图象，再将所得图象向左平移个单位长度，所以g(x)＝2sin ＝2sin .
11. 　将函数y＝3sin (2x＋)的图象向右平移个单位长度，得到函数y＝f(x)＝3sin (2x－)的图象．若f(α)＝3sin (2α－)＝，则sin (2α－)＝，故f(2α＋)＝3sin [2(2α＋)－]＝3sin (4α＋)＝3cos (－4α)＝3cos (4α－)＝3×[1－2sin2(2α－)]＝3×(1－2×)＝.
12. 2sin (答案不唯一)　由②可知f(x＋1)＝f(1－x)，所以f(x＋2)＝f(－x)＝－f(x)，f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，所以f(x)是周期为4的奇函数，f(x＋1)是周期为4的偶函数．不妨设f(x)＝A sin ωx，则T＝，解得ω＝.由③可知A＝±2，所以f(x)＝2sin 或f(x)＝－2sin .
13. (1) 由题意，得函数f(x)的最小正周期T＝2×＝π，所以ω＝＝2，
由得
故f(x)＝2sin (2x＋φ)＋1.
由表可知，2×＋φ＝π＋2kπ，k∈Z，且|φ|<，
解得φ＝，
所以f(x)＝2sin (2x＋)＋1.
(2) 由(1)可知g(x)＝2a sin ＋a＋b，
由－≤x≤，得－≤2x＋≤，
所以－≤sin ≤1.
当a>0时，g(x)的最大值是3a＋b＝7，最小值是b＝1，解得a＝2，b＝1；
当a<0时，g(x)的最大值是b＝7，最小值是3a＋b＝1，解得a＝－2，b＝7.
综上，a＝2，b＝1或a＝－2，b＝7.
14. 将y＝sin x的图象上所有点的纵坐标变为原来的2倍(横坐标不变)，得到y＝2sin x的图象；再将y＝2sin x的图象关于x轴作对称变换，得到y＝－2sin x的图象；再将y＝－2sin x的图象上所有点的横坐标变为原来的，得到y＝－2sin 2x的图象；再将y＝－2sin 2x的图象向右平移个单位长度，得到y＝－2sin 的图象；最后将y＝－2sin 的图象向上平移1个单位长度，即可得到y＝－2sin ＋1的图象．
15. (1) 令2x＋＝＋2kπ，k∈Z，
解得x＝＋kπ，k∈Z，
由图象，得x0＝，y0＝f(x)max，
所以y0＝f(x)max＝3.
(2) 由(1)及题意，得g(x)＝sin ＝sin ，
由g(x)＝，得sin ＝，
所以2x－＝2kπ＋或2x－＝2kπ＋，k∈Z，
解得x＝kπ＋或x＝kπ＋，k∈Z.
又x∈[－π，π]，
所以x＝－，x＝或x＝±.

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