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第二章　有理数的运算
2.3　有理数的乘方
2.3.1　乘方
第1课时　乘方的相关概念及运算
知识点1　有理数乘方的意义
1.下列可以表示7a的是( )
A. B.
C. D.
2.下列式子中,不正确的是( )
A.-102=(-10)×(-10) B.32=3×3
C.(-)3=(-)×× D.(-2)3=-23
3.甲、乙、丙、丁四位同学,学了有理数的乘方之后,发表了一下自己的见解:
甲:25是2个5相加;乙:-与不相等;
丙:(-6)5中底数是-6,指数是5;丁:m7是m个7相乘.
其中,观点正确的有( )
A.0个 B.1个
C.2个 D.3个
4.对于(-2)4与-24,下列说法正确的是( )
A.它们的意义相同 B.它们的结果相等
C.它们的意义不同,结果相等 D.它们的意义不同,结果不等
知识点2　有理数乘方的运算
5.在数-(+5),-12,(-1)2 021,(-)2,|-3|中,负数有( )
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
6.下列计算结果互为相反数的是( )
A.(-5)2与-52. B.+(-5)与-|-5|
C.(-2)3与-23 D.(-3)2与-22
7.用计算器计算(-2.4)3,其结果为　 　.
8.若(a-1)2+|b-2|=0,则(a-b)2 025的值是　 　.
9.计算(-1)2 025×(-2)2的结果为　 　.
10.计算:
(1)(-)3; (2)-.
11.下列说法中,错误的是( )
A.一个数的平方不可能是负数 B.一个数的平方一定是正数
C.一个非零有理数的偶次方是正数 D.一个负数的奇次方是负数
12.《庄子》中记载:“一尺之棰,日取其半,万世不竭.”这句话的意思是一尺长的木棍,每天截取它的一半,永远也截不完.若按此方式截一根长为1的木棍,第5天截取后木棍剩余的长度是( )
A.1- B.1- C. D.
13.我们规定:若一个整数能表示成a2+b2(a,b是整数,且a≠b)的形式,则称这个数为“完美数”.例如,10是“完美数”,理由:因为10=32+12,所以10是“完美数”.下列各数中,是“完美数”的是( )
A.18 B.48 C.29 D.28
14.(规律探究)观察下列算式:
21=2,22=4,23=8,24=16,25=32,26=64,27=128,28=256,….根据上述算式中的规律,你认为220的末位数字是( )
A.2 B.4 C.6 D.8
15.有一张厚度是0.1 mm的纸,将它对折1次后,厚度为(2×0.1)mm.
(1)对折4次后,厚度是多少
(2)对折15次后,厚度是多少
(3)如果一层楼的高度约为3 m,那么把这张纸对折15次后,其厚度与一层楼的高度相比,哪个大 (215=32 768)
16.定义:若10x=N,则x=log10N,称x为以10为底N的对数,简记为lgN.其满足运算法则:lgM+lgN=lg(M·N)(M>0,N>0).例如:因为102=
100,所以2=lg100,亦即lg100=2;lg4+lg3=lg12.根据上述定义和运算法则,计算(lg2)2+lg2×lg5+lg5的结果为( )
A.5 B.2 C.1 D.0
第2课时　有理数的混合运算
知识点1　有理数的混合运算
1.下列四个式子中,计算结果最大的是( )
A.-23+(-1)2 B.-23-(-1)2
C.-23×(-1)2 D.-23÷(-1)2
2.(数学文化)中国是世界上首先使用负数的国家.请计算以下涉及“负数”的式子的值:-10-(-2)3=( )
A.-4 B.-16 C.-2 D.-18
3.对有理数a,b,规定运算如下:a b=a-ab,则-2 3的值为( )
A.-10 B.-6 C.6 D.4
4.如图是嘉淇计算“-22+6-×3”的过程,开始出错的步骤是( )
-22+6-×3 =-4+6-1第一步 =-4+6第二步 =2.第三步
A.第一步 B.第二步
C.第三步 D.嘉淇的计算过程正确
5.已知|x|=3,y2=4,且xy<0,则(x+y)2 023的值为　 　.
6.计算:
(1)9+5×(-3)-(-2)2÷4;
(2)6×(-)-32÷(-12);
(3)18+32+(-2)3-(-4)2×5-|-4|.
知识点2　利用乘方特点探求规律性变化
7.有按照一定规律排列的数:-2,4,-8,16,-32,64,….则第n个数为( )
A.(-1)2·n2 B.(-1)n·2n
C.(-1)n+1·2n D.(-1)n·2n
8.观察图中“品”字形中各数之间的规律,根据观察到的规律得出b的值为　 　.
9.“发现问题比解决问题更重要”,这句话启发我们:要想学会数学,需要观察、发现问题,探索问题的规律性,要有一双敏锐的眼睛.请先观察下列算式,再填空.
32-1=8×1,52-32=8×2.
(1)72-52=8×　 　; (2)92-72=8×　 　;
(3)(　 　)2-92=8×5; (4)132-(　 　)2=8×　 　;
(5)通过观察、归纳,用含字母n的式子表示这一规律:　 　.
10.(2024温州月考)如图是一个数值转换机示意图,当输入x的值为3,y的值为-4时,输出的结果为( )
A.-5 B.11 C.-29 D.35
11.(2024德州月考)为了求1+2+22+23+…+22 022的值,可令S=1+2+22+
23+…+22 022,则2S=2+22+23+…+22 023,因此2S-S=22 023-1,所以1+2+22+
23+…+22 022=22 023-1,仿照以上方法计算出1+5+52+53+…+52 022的值是( )
A.52 022-1 B.52 023-1 C.-1 D.
12.我们常用的数是十进制数,计算机程序使用的是二进制数(只有数码0和1),它们两者之间可以互相换算,如将(101)2,(1011)2换算成十进制数应为(101)2=1×22+0×21+1×20=4+0+1=5;(1011)2=1×23+0×
22+1×21+1×20=8+0+2+1=11.按此方式,将二进制数(1001)2换算成十进制数和将十进制数13换算成二进制数的结果分别为( )
A.9,(1101)2 B.9,(1110)2
C.17,(1101)2 D.17,(1110)2
13.请你只在“加、减、乘、除和括号”中选择使用,可以重复,将四个数-2,4,-6,8组成算式(四个数都用且每个数只能用一次),使运算结果为24,你列出的算式是　 　.
(只写一种)
14.数字运算蕴藏着许多不为人知的奥妙,下面就让我们来做一个数字游戏:
第一步:取一个自然数n1=4,计算+2得a1;
第二步:计算出a1各数位上的数字之和得n2,再计算+2得a2;
第三步:计算出a2各数位上的数字之和得n3,再计算+2得a3;….
以此类推,则a2 022=　 　.
15.阅读材料:对于任何数,我们规定符号=ad-bc.例如:=
2×4-3×1=5.
(1)按照这个规定,请你计算的值;
(2)按照这个规定,请你计算当|m+3|+(n-1)2=0时,的值.
16.(1)计算(-1+5)2与(-1)2+2×(-1)×5+52的值.
(2)计算[2+(-4)]2与22+2×2×(-4)+(-4)2的值.
(3)观察(1)(2)的计算结果,你发现了什么规律 根据你发现的规律,解答下列题目:
若(a+2 022)2+|b-2 021|=0,求a2+2ab+b2的值.第二章　有理数的运算
2.3　有理数的乘方
2.3.1　乘方
第1课时　乘方的相关概念及运算
知识点1　有理数乘方的意义
1.下列可以表示7a的是(D)
A. B.
C. D.
2.下列式子中,不正确的是(A)
A.-102=(-10)×(-10) B.32=3×3
C.(-)3=(-)×× D.(-2)3=-23
3.甲、乙、丙、丁四位同学,学了有理数的乘方之后,发表了一下自己的见解:
甲:25是2个5相加;乙:-与不相等;
丙:(-6)5中底数是-6,指数是5;丁:m7是m个7相乘.
其中,观点正确的有(B)
A.0个 B.1个
C.2个 D.3个
4.对于(-2)4与-24,下列说法正确的是(D)
A.它们的意义相同 B.它们的结果相等
C.它们的意义不同,结果相等 D.它们的意义不同,结果不等
知识点2　有理数乘方的运算
5.在数-(+5),-12,(-1)2 021,(-)2,|-3|中,负数有(B)
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
6.下列计算结果互为相反数的是(A)
A.(-5)2与-52. B.+(-5)与-|-5|
C.(-2)3与-23 D.(-3)2与-22
7.用计算器计算(-2.4)3,其结果为　-13.824　.
8.若(a-1)2+|b-2|=0,则(a-b)2 025的值是　-1　.
9.计算(-1)2 025×(-2)2的结果为　-4　.
10.计算:
(1)(-)3; (2)-.
解:(1)(-)3=(-)×(-)×(-)=-.
(2)-=-=-.
11.下列说法中,错误的是(B)
A.一个数的平方不可能是负数 B.一个数的平方一定是正数
C.一个非零有理数的偶次方是正数 D.一个负数的奇次方是负数
12.《庄子》中记载:“一尺之棰,日取其半,万世不竭.”这句话的意思是一尺长的木棍,每天截取它的一半,永远也截不完.若按此方式截一根长为1的木棍,第5天截取后木棍剩余的长度是(C)
A.1- B.1- C. D.
13.我们规定:若一个整数能表示成a2+b2(a,b是整数,且a≠b)的形式,则称这个数为“完美数”.例如,10是“完美数”,理由:因为10=32+12,所以10是“完美数”.下列各数中,是“完美数”的是(C)
A.18 B.48 C.29 D.28
14.(规律探究)观察下列算式:
21=2,22=4,23=8,24=16,25=32,26=64,27=128,28=256,….根据上述算式中的规律,你认为220的末位数字是(C)
A.2 B.4 C.6 D.8
15.有一张厚度是0.1 mm的纸,将它对折1次后,厚度为(2×0.1)mm.
(1)对折4次后,厚度是多少
(2)对折15次后,厚度是多少
(3)如果一层楼的高度约为3 m,那么把这张纸对折15次后,其厚度与一层楼的高度相比,哪个大 (215=32 768)
解:(1)对折4次后,纸的厚度是24×0.1=1.6(mm).
(2)对折15次后,纸的厚度是215×0.1=3 276.8(mm).
(3)因为3 276.8 mm=3.276 8 m>3 m,
所以把这张纸对折15次后,其厚度大于一层楼的高度.
16.定义:若10x=N,则x=log10N,称x为以10为底N的对数,简记为lgN.其满足运算法则:lgM+lgN=lg(M·N)(M>0,N>0).例如:因为102=
100,所以2=lg100,亦即lg100=2;lg4+lg3=lg12.根据上述定义和运算法则,计算(lg2)2+lg2×lg5+lg5的结果为(C)
A.5 B.2 C.1 D.0
第2课时　有理数的混合运算
知识点1　有理数的混合运算
1.下列四个式子中,计算结果最大的是(A)
A.-23+(-1)2 B.-23-(-1)2
C.-23×(-1)2 D.-23÷(-1)2
2.(数学文化)中国是世界上首先使用负数的国家.请计算以下涉及“负数”的式子的值:-10-(-2)3=(C)
A.-4 B.-16 C.-2 D.-18
3.对有理数a,b,规定运算如下:a b=a-ab,则-2 3的值为(C)
A.-10 B.-6 C.6 D.4
4.如图是嘉淇计算“-22+6-×3”的过程,开始出错的步骤是(B)
-22+6-×3 =-4+6-1第一步 =-4+6第二步 =2.第三步
A.第一步 B.第二步
C.第三步 D.嘉淇的计算过程正确
5.已知|x|=3,y2=4,且xy<0,则(x+y)2 023的值为　-1或1　.
6.计算:
(1)9+5×(-3)-(-2)2÷4;
(2)6×(-)-32÷(-12);
(3)18+32+(-2)3-(-4)2×5-|-4|.
解:(1)9+5×(-3)-(-2)2÷4=9+(-15)-1=-7.
(2)6×(-)-32÷(-12)=6×(-)-9×(-)=-1+=-.
(3)18+32+(-2)3-(-4)2×5-|-4|=18+32+(-8)-16×5-4=18+32-8-80-4=-42.
知识点2　利用乘方特点探求规律性变化
7.有按照一定规律排列的数:-2,4,-8,16,-32,64,….则第n个数为(D)
A.(-1)2·n2 B.(-1)n·2n
C.(-1)n+1·2n D.(-1)n·2n
8.观察图中“品”字形中各数之间的规律,根据观察到的规律得出b的值为　141　.
9.“发现问题比解决问题更重要”,这句话启发我们:要想学会数学,需要观察、发现问题,探索问题的规律性,要有一双敏锐的眼睛.请先观察下列算式,再填空.
32-1=8×1,52-32=8×2.
(1)72-52=8×　3　; (2)92-72=8×　4　;
(3)(　11　)2-92=8×5; (4)132-(　11　)2=8×　6　;
(5)通过观察、归纳,用含字母n的式子表示这一规律:　(2n+1)2-(2n-1)2=8n(n为正整数)　.
10.(2024温州月考)如图是一个数值转换机示意图,当输入x的值为3,y的值为-4时,输出的结果为(C)
A.-5 B.11 C.-29 D.35
11.(2024德州月考)为了求1+2+22+23+…+22 022的值,可令S=1+2+22+
23+…+22 022,则2S=2+22+23+…+22 023,因此2S-S=22 023-1,所以1+2+22+
23+…+22 022=22 023-1,仿照以上方法计算出1+5+52+53+…+52 022的值是(D)
A.52 022-1 B.52 023-1 C.-1 D.
12.我们常用的数是十进制数,计算机程序使用的是二进制数(只有数码0和1),它们两者之间可以互相换算,如将(101)2,(1011)2换算成十进制数应为(101)2=1×22+0×21+1×20=4+0+1=5;(1011)2=1×23+0×
22+1×21+1×20=8+0+2+1=11.按此方式,将二进制数(1001)2换算成十进制数和将十进制数13换算成二进制数的结果分别为(A)
A.9,(1101)2 B.9,(1110)2
C.17,(1101)2 D.17,(1110)2
13.请你只在“加、减、乘、除和括号”中选择使用,可以重复,将四个数-2,4,-6,8组成算式(四个数都用且每个数只能用一次),使运算结果为24,你列出的算式是　8×(-6)÷[4÷(-2)](答案不唯一)　.
(只写一种)
14.数字运算蕴藏着许多不为人知的奥妙,下面就让我们来做一个数字游戏:
第一步:取一个自然数n1=4,计算+2得a1;
第二步:计算出a1各数位上的数字之和得n2,再计算+2得a2;
第三步:计算出a2各数位上的数字之和得n3,再计算+2得a3;….
以此类推,则a2 022=　38　.
15.阅读材料:对于任何数,我们规定符号=ad-bc.例如:=
2×4-3×1=5.
(1)按照这个规定,请你计算的值;
(2)按照这个规定,请你计算当|m+3|+(n-1)2=0时,的值.
解:(1)由题意得=-5×2-(-3)×6=-10+18=8;
(2)因为|m+3|+(n-1)2=0,|m+3|≥0,(n-1)2≥0,
所以|m+3|=(n-1)2=0,
所以m+3=0,n-1=0,所以m=-3,n=1,
所以=
==2×7-(-1)×(-7)
=7.
16.(1)计算(-1+5)2与(-1)2+2×(-1)×5+52的值.
(2)计算[2+(-4)]2与22+2×2×(-4)+(-4)2的值.
(3)观察(1)(2)的计算结果,你发现了什么规律 根据你发现的规律,解答下列题目:
若(a+2 022)2+|b-2 021|=0,求a2+2ab+b2的值.
解:(1)(-1+5)2=42=16,
(-1)2+2×(-1)×5+52=1+(-10)+25=16.
(2)[2+(-4)]2=(-2)2=4,
22+2×2×(-4)+(-4)2=4+(-16)+16=4.
(3)规律为两数和的平方等于两数的平方和加上两数积的2倍.
因为(a+2 022)2+|b-2 021|=0,
所以a+2 022=0,b-2 021=0,
解得a=-2 022,b=2 021,
则a2+2ab+b2=(a+b)2
=(-2 022+2 021)2
=(-1)2
=1.

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