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广西钦州市第十三中学2025秋季学期高一年级第三周考试数学试卷
注意事项:
1.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，
2.四答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需
改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。四答非选择题时,将答案写在签题卡上。
写在本试卷上无效。
3.考试结来后,将本试卷和答题卡一并交回
一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分）
1．已知且，则的最小值为（ ）
A．4 B．6 C． D．8
2．若，则下列命题正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
3．若，则的最小值为（ ）
A．13 B．26 C． D．
4．若，则的值可能是（ ）
A．B．C． D．
5．若，则与的大小关系是（ ）
A．B．C． D．
6．若，则恒成立的一个充分条件是（ ）
A． B． C． D．
7．某工厂第一年的年产量为A，第二年的年产量的增长率为，第三年的年产量的增长率为，这两年的年产量的平均增长率为，则（ ）
A． B． C． D．
8．设，则下列选项中不正确的是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（共3小题，每小题6分，共18分）
9．设正实数满足，则（ ）
A．有最大值为B．有最小值为C．有最小值为5 D．有最大值为
10．下列说法错误的是（ ）
A．若，则B．若，则C．若，则 D．若，则
11．若，则下列命题正确的是（ ）
A．若且，则 B．若，则
C．若，则 D．若且，则
第II卷（非选择题）
三、填空题（共3小题，每小题5分，共15分）
12．已知，，且，则的最小值为 .
13．不等式的解集是 .
14．刘老师沿着某公园的环形道（周长大于）按逆时针方向跑步，他从起点出发、并用软件记录了运动轨迹，他每跑，软件会在运动轨迹上标注出相应的里程数.已知刘老师共跑了，恰好回到起点，前的记录数据如图所示，则刘老师总共跑的圈数为 .

四、解答题（共5小题，共77分）
15．已知正数、满足．
(1)求的最大值，并求出此时、的值；
(2)求的最小值，并求出此时、的值．
16．（1）已知，，求的取值范围；
（2）已知，且，求的最小值.
17．已知为正实数，利用基本不等式证明（1），确定（2），并指出等号成立的条件，然后解（3）中的问题．
(1)请根据基本不等式，证明；
(2)请根据（1）中的结论，确定与的大小关系（无须推导）；
(3)若，求的最小值．
18．某厂家拟2024年举行某产品的促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）万件与年促销费用万元满足(为常数)，如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是2万件.已知生产该产品的固定投入为8万元，每生产一万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（此处每件产品年平均成本按元来计算）.
(1)求的值；
(2)该厂家2024年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？
19．对在直角坐标系的第一象限内的任意两点作如下定义：若，那么称点是点的“上位点”.同时点是点的“下位点”；
(1)试写出点的一个“上位点”坐标和一个“下位点”坐标；
(2)已知点是点的“上位点”，判断点是否既是点的“上位点”，又是点的“下位点”，证明你的结论；
(3)设正整数满足以下条件：对集合内的任意元素，总存在正整数，使得点既是点的“下位点”，又是点的“上位点”，求正整数的最小值.
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A B D D A B B C BC ACD
题号 11
答案 BC
12． 13． 14．8
15．(1)当且仅当时，的最大值为1
(2)，时，的最小值为
16．（1）；（2）.
17．（1）因为，所以，当且仅当时等号成立，
所以，当且仅当时等号成立．
又，当且仅当时等号成立，
所以，当且仅当时等号成立．
（2），当且仅当时等号成立．
推导如下：
由于，当且仅当时等号成立，
令， 得，
即，故，
所以，当且仅当时等号成立.
（3）因为，所以，当且仅当时等号成立，所以，
因此，当且仅当时等号成立，所以的最小值为3．
18．(1)(2)3万元
19．(1)
（2）点既是点的“上位点”，又是点的“下位点”，证明如下：
因为点是点的“上位点”，所以，
因为，
所以，所以点是点的“下位点”，
因为，
所以，所以点是点的“上位点”；
所以点既是点的“上位点”，又是点的“下位点”；
（3）若正整数满足条件，在时恒成立，
由（2）中的结论可知，时，满足条件，
若，由于，
则对时不恒成立，
因此的最小值为4039．

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