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第七讲 基本不等式知识总结与题型归纳
知识再现
1、基本不等式
若，则，当且仅当时取等号；为重要不等式，
如果，那么，当且仅当时，等号成立．其中，叫作的算术平均数，叫作的几何平均数．即正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．
几个重要的不等式
（1）
（2）基本不等式：如果，则（当且仅当“”时取“”）．
特例：（同号）．
（3）其他变形：
①（沟通两和与两平方和的不等关系式）
②（沟通两积与两平方和的不等关系式）
③（沟通两积与两和的不等关系式）
④重要不等式串：即
调和平均值几何平均值算数平均值平方平均值（注意等号成立的条件）．
2、和为定值积最大，积为定值和最小
已知．
（1）如果（定值），则（当且仅当“”时取“=”）．即“和为定值，积有最大值”．
（2）如果（定值），则（当且仅当“”时取“=”）．即积为定值，和有最小值”．
3、常见求最值模型
模型一：，当且仅当时等号成立；
模型二：，当且仅当时等号成立；
模型三：，当且仅当时等号成立；
模型四：，当且仅当时等号成立．
题型一：基本不等式及其应用
例1.现有如图所示图形，点在半圆上，点在直径上，且，设，，则该图形可以完成的无字证明为（ ）
A． B．
C． D．
例2.下列不等式恒成立的是（ ）
A． B．
C． D．
例3.（多选）给出下列命题中，其中为真命题的是（ ）
A.已知，则成立；
B.已知且，则成立；
C.已知，则的最小值为2；
D.已知，，则成立．
变式训练
1.（多选）已知，，给出下列四个不等式，其中正确的不等式有（ ）
A． B． C． D．
2.（多选）下列各不等式，其中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3.（多选）下列结论中正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
题型二：直接法求最值
例4.已知，那么的最小值是( )
A．1 B．2 C．4 D．5
例5.已知a＞0，b＞0，且a+2b＝ab，则ab的最小值是（　　）
A．4 B．8 C．16 D．32
例6.若实数a，b满足，则ab的最大值为（ ）
A．2 B．1 C． D．
变式训练
1.若，，，则的取值范围是（ ）
A．， B． C．， D．
2.已知，且，则的最大值为（ ）
A．2 B．5 C． D．
3.已知，则的最小值是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．6
题型三：常规凑配法求最值
例7.函数的最小值是（ ）
A． B． C． D．
例8.设，为正数，且，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
例9.当时，则的最大值为( )
A． B． C． D．
例10.若，则函数的最小值为___________.
变式训练
1．设，则函数的最大值为( )
A．2 B． C． D．
2．已知，则的取值范围为( )
A． B． C． D．
3．若，都是正数，且，则的最大值为 。
题型四：消参法求最值
例11.若正实数，满足，则的最大值为______．
例12.已知a＞0，且a2－b＋4＝0，则（ ）
A．有最大值 B．有最大值 C．有最小值 D．有最小值
例13.已知实数x，y满足，且，则的最小值为（ ）
A． B．8 C． D．
变式训练
1.设正实数、、满足，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
2.已知正实数满足，则的最小值为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
3.已知a＞0，且a2－b＋4＝0，则（ ）
A．有最大值 B．有最大值 C．有最小值 D．有最小值
题型五：换元法求最值
例14.已知，，，则取到最小值为 ________．
例15.若，且，则的最小值为________
变式训练
1.对任意正数x，y，不等式恒成立，则实数k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
题型六：“1”的代换求最值
例16.若正数满足，则的最小值是（ ）
A． B． C．5 D．6
例17.若，则的最小值为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
例18.已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
变式训练
1.已知p，q为正实数且，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
2.已知正数x，y满足，则的最小值（ ）
A． B． C． D．
3.若两个正实数满足，且不等式有解，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
题型七：利用基本不等式证明不等式
例19.已知a，b，c均为正实数.
（1）求证：.
（2）若，求证：.
例20.设a，b，c均为正数，且，证明：
（1）；
（2）．
变式训练
1.设a，b，c均为正数，且，证明：
(1)；
(2)．
题型八：基本不等式与其他知识综合
例21.已知点在直线上，则的最小值为（ ）
A．2 B． C． D．4
例22.下列函数中最小值为4的是（ ）
A． B．
C． D．
例23.已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则的最大值为（ ）
A．13 B．12 C．9 D．6
例24.记正项等差数列的前n项和为，，则的最大值为（ ）
A．9 B．16 C．25 D．50
例25.函数（且）的图象恒过定点A，若点A在直线上，其中，，则的最大值为___________.
例26.在中，为上的一点，满足.若为上的一点，满足，则与的关系为 ；的最小值为 .第七讲 基本不等式知识总结与题型归纳
知识再现
1、基本不等式
若，则，当且仅当时取等号；为重要不等式，
如果，那么，当且仅当时，等号成立．其中，叫作的算术平均数，叫作的几何平均数．即正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．
几个重要的不等式
（1）
（2）基本不等式：如果，则（当且仅当“”时取“”）．
特例：（同号）．
（3）其他变形：
①（沟通两和与两平方和的不等关系式）
②（沟通两积与两平方和的不等关系式）
③（沟通两积与两和的不等关系式）
④重要不等式串：即
调和平均值几何平均值算数平均值平方平均值（注意等号成立的条件）．
2、和为定值积最大，积为定值和最小
已知．
（1）如果（定值），则（当且仅当“”时取“=”）．即“和为定值，积有最大值”．
（2）如果（定值），则（当且仅当“”时取“=”）．即积为定值，和有最小值”．
3、常见求最值模型
模型一：，当且仅当时等号成立；
模型二：，当且仅当时等号成立；
模型三：，当且仅当时等号成立；
模型四：，当且仅当时等号成立．
题型一：基本不等式及其应用
例1.现有如图所示图形，点在半圆上，点在直径上，且，设，，则该图形可以完成的无字证明为（ ）
A． B．
C． D．
解析：设，可得圆的半径为，
又由，
在直角中，可得，
因为，所以，当且仅当时取等号．故选：D.
例2.下列不等式恒成立的是（ ）
A． B．
C． D．
解析：对于A选项，当时，不等式显然不成立，故错误；
对于B选项，成立的条件为，故错误；
对于C选项，当时，不等式显然不成立，故错误；
对于D选项，由于，故，正确.
故选：D
例3.（多选）给出下列命题中，其中为真命题的是（ ）
A.已知，则成立；
B.已知且，则成立；
C.已知，则的最小值为2；
D.已知，，则成立．
解析：当时，A中的不等式是错误的，A错；
因为与同号，所以是正确的，且，即时等号成立，所以B中的基本不等式计算是正确的，B对；
（当时，无解，等号不成立），故C错；
因为，所以且，且，即时等号成立，所以D中的基本不等式运算是正确的，D对．故选: BD．
变式训练
1.（多选）已知，，给出下列四个不等式，其中正确的不等式有（ ）
A． B． C． D．
解析：对A：因为，，且，所以，A错误；
对B：因为，，所以，
当且仅当时等号成立，故选项B正确；
对C：因为，当且仅当，
即时等号成立，但，所以，故选项C正确；
对D：因为，，所以，所以，
所以，当且仅当时等号成立，故选项D错误.故选：BC.
2.（多选）下列各不等式，其中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
解析：对A，当时，，故A错误；
对B，，当且仅当，即时等号成立，故B正确；
对C，当时，，故C错误；
对D，由，故，
当且仅当时等号成立，即时等号成立，故D正确.故选：BD
3.（多选）下列结论中正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
解析：当时，，故A错误；
当时，，则，故B错误；
当，时，，，
相加可得，故C正确；当，时，，故D正确.
故选：CD.
题型二：直接法求最值
例4.已知，那么的最小值是( )
A．1 B．2 C．4 D．5
解析：根据题意，，则，当且仅当时等号成立，即的最小值是4；故选：C.
例5.已知a＞0，b＞0，且a+2b＝ab，则ab的最小值是（　　）
A．4 B．8 C．16 D．32
解析：∵已知a＞0，b＞0，且a+2b＝ab，∴ab≥2，化简可得 2，
∴ab≥8，当且仅当a＝2b时等号成立，故ab的最小值是8，故选：B．
例6.若实数a，b满足，则ab的最大值为（ ）
A．2 B．1 C． D．
解析：∵，，∴，即，当且仅当时等号成立，
∴．故选：D．
变式训练
1.若，，，则的取值范围是（ ）
A．， B． C．， D．
解析：因为，所以，
即，当且仅当，即时取“”，
所以的取值范围是，.故选：A.
2.已知，且，则的最大值为（ ）
A．2 B．5 C． D．
解析：因为，所以，当且仅当时，等号成立.
所以的最大值为.故选：D
3.已知，则的最小值是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．6
解析：因为，可得，当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值是.故选：B.
题型三：常规凑配法求最值
例7.函数的最小值是（ ）
A． B． C． D．
解析：因为，所以，当且仅当，即时等号成立.所以函数的最小值是.故选：D.
例8.设，为正数，且，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
解析：由得，
，
当且仅当，即时取等号，故选：D.
例9.当时，则的最大值为( )
A． B． C． D．
解析：∵，，，
当，即时等号成立，∴，即最大值为，故选：D.
例10.若，则函数的最小值为___________.
【答案】3
【解析】
由题意，，
因为，所以，当且仅当，即时等号成立.
所以函数的最小值为3.
故答案为：3.
变式训练
1．设，则函数的最大值为( )
A．2 B． C． D．
解析：，，
，当且仅当，即时，等号成立，即函数的最大值为.故选：D
2．已知，则的取值范围为( )
A． B． C． D．
解析：，
若，则，时等号成立；
若，则，时等号成立
∴的取值范围为，故选：A.
3．若，都是正数，且，则的最大值为 。
解析：由题意，可知：
，当且仅当即时取等号；
题型四：消参法求最值
例11.若正实数，满足，则的最大值为______．
解析：因为正实数a，b满足b+3a＝2ab，所以a＝，
则＝＝＝﹣2 （）2+，当，即b＝2 时取得最大值．
故答案为：．
例12.已知a＞0，且a2－b＋4＝0，则（ ）
A．有最大值 B．有最大值 C．有最小值 D．有最小值
解析：因为，所以，
所以，
当且仅当时取等号，∴ 有最小值故选：D.
例13.已知实数x，y满足，且，则的最小值为（ ）
A． B．8 C． D．
解析：因为，且，所以，
从而，等号成立当且仅当，
所以的最小值为.故选：A.
变式训练
1.设正实数、、满足，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
解析：因为正实数、、满足，则，
所以，，
当且仅当时，即当时，等号成立，故的最大值为.故选：D.
2.已知正实数满足，则的最小值为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
解析：由，且，可得.所以.
又因为，
当且仅当，即时取等号，所以.
故选：B.
3.已知a＞0，且a2－b＋4＝0，则（ ）
A．有最大值 B．有最大值 C．有最小值 D．有最小值
解析：因为，所以，
所以，
当且仅当时取等号，∴ 有最小值故选：D.
题型五：换元法求最值
例14.已知，，，则取到最小值为 ________．
解析：令，∴，
∴
，当且仅当时，等号成立，
即的最小值是．
例15.若，且，则的最小值为_________
【答案】
解析：令，则，
则，即，
则
，
当且仅当，即时等号成立，故的最小值为.故答案为：.
变式训练
1.对任意正数x，y，不等式恒成立，则实数k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
解析：令，则，
故，
当且仅当时等号成立，
故的最大值为，故，
故选：B.
题型六：“1”的代换求最值
例16.若正数满足，则的最小值是（ ）
A． B． C．5 D．6
解析：，当且仅当时等号成立，∴的最小值是5.故选：C
例17.若，则的最小值为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
解析：因为，所以，∴
，当且仅当时，即时取等号，所以的最小值为1.故选：D.
例18.已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
解析：因为不等式恒成立，则，
因为，，由可得，
所以，
当且仅当，即，时取等号，故，
所以，即，解得，则实数的取值范围是．
故选：B．
变式训练
1.已知p，q为正实数且，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
解：由可知，
，当，即时，“”成立，故选：A.
2.已知正数x，y满足，则的最小值（ ）
A． B． C． D．
解析:令，，则，即，
∴，
当且仅当，即，时，等号成立，故选：A.
3.若两个正实数满足，且不等式有解，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
解析：因为两个正实数满足，所以，
当且仅当，即时取等号，
因为不等式有解，所以大于的最小值，即，解得或，即实数的取值范围是，故选：C
题型七：利用基本不等式证明不等式
例19.已知a，b，c均为正实数.
（1）求证：.
（2）若，求证：.
解析：（1）∵a，b，c均为正实数，∴，当且仅当时，等号成立，
，当且仅当时，等号成立，
，当且仅当时，等号成立，
三式相加得，
当且仅当时，等号成立，∴.
（2）.
∵，，，∴（当且仅当时，等号成立），即.所以，即证.
例20.设a，b，c均为正数，且，证明：
（1）；
（2）．
解析：（1）因为，当且仅当时，等号成立，
，当且仅当时，等号成立，
，当且仅当时，等号成立，
所以，
即，
即，当且仅当时，等号成立.
（2）因为,
所以，当且仅当时，等号成立，
即，即，
所以，当且仅当时，等号成立.
变式训练
1.设a，b，c均为正数，且，证明：
(1)；
(2)．
解析：（1）因为，当且仅当时，等号成立，
，当且仅当时，等号成立，
，当且仅当时，等号成立，
所以，即，
即，当且仅当时，等号成立.
（2）因为,
所以，当且仅当时，等号成立，
即，即，
所以，当且仅当时，等号成立.
题型八：基本不等式与其他知识综合
例21.已知点在直线上，则的最小值为（ ）
A．2 B． C． D．4
解析：∵点在直线上，∴，
所以当且仅当时，等号成立故选：C.
例22.下列函数中最小值为4的是（ ）
A． B．
C． D．
解析：对于A，，当且仅当时取等号，所以其最小值为，A不符合题意；
对于B，因为，，当且仅当时取等号，等号取不到，所以其最小值不为，B不符合题意；
对于C，因为函数定义域为，而，，当且仅当，即时取等号，所以其最小值为，C符合题意；
对于D，，函数定义域为，而且，如当，，D不符合题意．
故选：C．
例23.已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则的最大值为（ ）
A．13 B．12 C．9 D．6
解析：由题，，则，
所以（当且仅当时，等号成立）．
故选：C．
例24.记正项等差数列的前n项和为，，则的最大值为（ ）
A．9 B．16 C．25 D．50
解析：∵，
又∵，∴，当且仅当时，取“=”
∴的最大值为25.故选：C
例25.函数（且）的图象恒过定点A，若点A在直线上，其中，，则的最大值为___________.
解：函数（且）的图象恒过定点A，，
点A在直线上，，
又，，，
，当且仅当，即时等号成立，所以的最大值为，
故答案为：.
例26.在中，为上的一点，满足.若为上的一点，满足，则与的关系为 ；的最小值为 .
解析：如图所示，
由得，即，
又，
所以，又为上的一点，所以，
因为，，所以，
当且仅当即时等号成立，所以的最小值为.
故答案为：；.

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