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第五讲：一元二次不等式与常见不等式解法总结与题型归纳
知识再现
1、一元二次不等式
一元二次不等式的解集：
Δ=b2-4ac Δ＞0 Δ=0 Δ＜0
y=ax2+bx+c （a＞0）的图象
ax2+bx+c=0 （a＞0）的根 x1= x2= x1= x2=- 没有实数根
ax2+bx+c＞0 （a＞0）的解集 x＜x1或x＞x2 （x1＜x2） x≠- 全体实数
ax2+bx+c＜0 （a＞0）的解集 x1＜x＜x2 （x1＜x2） 无解 无解
一元二次不等式的快速解法.解一个一元二次不等式，可以按照一下步骤处理：
（1）化二次项系数为正；
（2） 若二次三项式能分解成两个一次因式的积，则求出两根．
（3）写出解集
“”型的解为(口诀：“大于号”两边分，大于大根或小于小根)；
“”型的解为(口诀：“小于号”中间夹，大于小根且小于大根)；
2、分式不等式
（1） （2）
（3） （4）
3、绝对值不等式
（1）
（2）；
；
（3）含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分段法和图象法求解
方法技巧与总结
1、已知关于的不等式的解集为（其中），解关于的不等式．
由的解集为，得:的解集为，即关于的不等式的解集为．
已知关于的不等式的解集为，解关于的不等式．
由的解集为，得:的解集为即关于的不等式的解集为．
2、已知关于的不等式的解集为（其中），解关于的不等式．
由的解集为，得:的解集为即关于的不等式的解集为．
3、已知关于的不等式的解集为，解关于的不等式．
由的解集为，得:的解集为即关于的不等式的解集为，以此类推．
4、已知关于的一元二次不等式的解集为，则一定满足；
5、已知关于的一元二次不等式的解集为，则一定满足；
6、已知关于的一元二次不等式的解集为，则一定满足；
7、已知关于的一元二次不等式的解集为，则一定满足．
题型一：一元二次不等式的解法
例1.解下列不等式
(1) (2). (3)
(4) (5) (6)
例2.已知函数（m是常数）的图象过点．
(1)求的解析式；
(2)求不等式的解集．
例3.已知集合，则___________．
变式训练
1.解下列不等式
(1)； (2)； (3)．
(4)； (5)； (6).
(7). (8). (9).
(10).
题型二：含参数一元二次不等式的解法
例3.已知，则关于x的不等式的解集是（　　）
A．或 B．或
C． D．
例4.已知关于的不等式的解为，求的值．
例5.设，则关于的不等式的解集为（ ）
A．或 B．{x|x>a}
C．或 D．
变式训练
1.若，则关于的不等式的解集为（ ）
A． B．
C．或 D．或
2．若关于x的不等式的解集中恰有4个正整数，则实数m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
题型三：二次函数根的分布问题
例6.方程的两根都大于，则实数的取值范围是_____．
例7．已知方程的两根分别在区间，之内，则实数的取值范围为______．
变式训练
1.方程的两根均大于1，则实数的取值范围是_______
2.为何值时，关于的方程 的两根：
为正数根；（2）为异号根且负根绝对值大于正根；（3）都大于1；（4）一根大于2，一根小于2；（5）两根在0，2之间.
题型四：一元二次不等式恒成立问题
例8.当时，不等式恒成立，求的取值范围．
例9.关于实数x的不等式．
(1)若，求该不等式解集；
(2)若该不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围．
变式训练
1.若不等式的解集是．
(1)解不等式；
(2)b为何值时，的解集为R．
2.（1）已知，不等式恒成立，求实数a的取值范围；
（2）已知，若不等式有解，求实数a的取值范围.
题型五：分式不等式的解法
例10.解下列分式不等式：
例11.不等式是的解集为______．
例12.若不等式的解集为，则不等式的解集为___________.
变式训练
1.解下列不等式
（1） （2） （3) (4)
2.不等式的解集为___________.
题型六：含绝对值不等式解法
例13.解绝对值不等式
（1） (2) (3)
(4) (5) (6)
变式训练
1.解下列绝对值不等式
（1）. （2）
（3） （4）第五讲：一元二次不等式与常见不等式解法总结与题型归纳
知识再现
1、一元二次不等式
一元二次不等式的解集：
Δ=b2-4ac Δ＞0 Δ=0 Δ＜0
y=ax2+bx+c （a＞0）的图象
ax2+bx+c=0 （a＞0）的根 x1= x2= x1= x2=- 没有实数根
ax2+bx+c＞0 （a＞0）的解集 x＜x1或x＞x2 （x1＜x2） x≠- 全体实数
ax2+bx+c＜0 （a＞0）的解集 x1＜x＜x2 （x1＜x2） 无解 无解
一元二次不等式的快速解法.解一个一元二次不等式，可以按照一下步骤处理：
（1）化二次项系数为正；
（2） 若二次三项式能分解成两个一次因式的积，则求出两根．
（3）写出解集
“”型的解为(口诀：“大于号”两边分，大于大根或小于小根)；
“”型的解为(口诀：“小于号”中间夹，大于小根且小于大根)；
2、分式不等式
（1） （2）
（3） （4）
3、绝对值不等式
（1）
（2）；
；
（3）含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分段法和图象法求解
方法技巧与总结
1、已知关于的不等式的解集为（其中），解关于的不等式．
由的解集为，得:的解集为，即关于的不等式的解集为．
已知关于的不等式的解集为，解关于的不等式．
由的解集为，得:的解集为即关于的不等式的解集为．
2、已知关于的不等式的解集为（其中），解关于的不等式．
由的解集为，得:的解集为即关于的不等式的解集为．
3、已知关于的不等式的解集为，解关于的不等式．
由的解集为，得:的解集为即关于的不等式的解集为，以此类推．
4、已知关于的一元二次不等式的解集为，则一定满足；
5、已知关于的一元二次不等式的解集为，则一定满足；
6、已知关于的一元二次不等式的解集为，则一定满足；
7、已知关于的一元二次不等式的解集为，则一定满足．
题型一：一元二次不等式的解法
例1.解下列不等式
(1) (2). (3)
(4) (5) (6)
【答案】(1)(2)(3)
(4)或；(5)；(6)不等式无解
【解析】(1)，所以不等式的解集为.
故答案为：
原不等式可化为，由于，
方程的两根为，，∴不等式的解集为.
(3)所以不等式的解集为.
(4)不等式可化为，∴不等式的解是或.
(5)不等式可化为，∴不等式的解是.
(6)不等式可化为．∴不等式无解.
例2.已知函数（m是常数）的图象过点．
(1)求的解析式；
(2)求不等式的解集．
【解析】(1)由题意，，所以．所以的解析式为．
(2)不等式等价于．解得．
所以不等式的解集为．
例3.已知集合，则___________．
【答案】【解析】；故答案为：
变式训练
1.解下列不等式
(1)； (2)； (3)．
(4)； (5)； (6).
(7). (8). (9).
(10).
【答案】(1)；(2)；(3)或.
(4)或；(5)；(6)或.
(7)或；(8)；(9)或；(10)；
【解析】(1)由题意，不等式，可化为，
所以不不等式的解集为；
(2)由题意，可得，所以不等式的解集为；
(3)由不等式，可化为，即，
所以不等式的解集为或.
(4)不等式即为，解得或，
因此，不等式的解集为或；
(5)不等式即为，解得，
因此，不等式的解集为；
不等式即为，即，解得或.因此，不等式的解集为或.
原不等式等价于，解得不等式的解集为：或；
(8)由于，并且开口向上，故原不等式的解集为空集；
(9)原不等式等价于，即，解得不等式的解集为：或；
(10)由，解得不等式的解集为：；
题型二：含参数一元二次不等式的解法
例3.已知，则关于x的不等式的解集是（　　）
A．或 B．或
C． D．
解析：因为方程的解为或，且，
所以不等式的解集是.故选：D.
例4.已知关于的不等式的解为，求的值．
分析：对应的一元二次方程的根是和，且对应的二次函数的图象开口向上．根据一元二次方程根与系数的关系可以求解．
解：由题意得：
例5.设，则关于的不等式的解集为（ ）
A．或 B．{x|x>a}
C．或 D．
解析：因为，所以等价于，
又因为当时，，所以不等式的解集为：或．
故选：A．
变式训练
1.若，则关于的不等式的解集为（ ）
A． B．
C．或 D．或
解析：方程的两个根为和，因为，所以，
故不等式的解集为．故选：B．
2．若关于x的不等式的解集中恰有4个正整数，则实数m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
解析：原不等式可化为，
若，则不等式的解是，不等式的解集中不可能有个正整数；
若，则不等式的解集为空集，不合乎题意；
若，则不等式的解为，所以该不等式的解集中的个正整数分别是、、、，所以，.因此，实数的取值范围是.故选：A.
3.关于x的不等式的解集为，则b的值为___．
解析：根据不等式的解集为，
可得方程的两个根为﹣2和3，且，
则，解得.故答案为：．
题型三：二次函数根的分布问题
例6.方程的两根都大于，则实数的取值范围是_____．
解析：由题意，方程的两根都大于，
令，可得，即，解得．
故答案为：.
例7．已知方程的两根分别在区间，之内，则实数的取值范围为______．
解析：方程 方程两根为，
若要满足题意，则，解得，故答案为：.
变式训练
1.方程的两根均大于1，则实数的取值范围是_______
解析：的两个根都大于
，解得 可求得实数的取值范围为 故答案为：
为何值时，关于的方程 的两根：
为正数根；（2）为异号根且负根绝对值大于正根；（3）都大于1；（4）一根大于2，一根小于2；（5）两根在0，2之间.
解析：设函数由题意可得，方程有两根设为，对称轴 ，解得或
（1）由题意可得或
（2）由题意可得
（3）由题意可得
（4）由题意可得
（5）由题意可得或
题型四：一元二次不等式恒成立问题
例8.当时，不等式恒成立，求的取值范围．
解析：由题意不等式对恒成立，
可设，，
则是关于的一次函数，要使题意成立只需，即，解，即得，解，即得，所以原不等式的解集为，所以的取值范围是．
例9.关于实数x的不等式．
(1)若，求该不等式解集；
(2)若该不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围．
解析：(1)当时，原不等式即为：，
解得，所以不等式解集；
(2)若不等式对一切实数恒成立，
当时，恒成立，故满足题意；
当时，要使得不等式对一切实数恒成立，
则 即，解得；综上：.
变式训练
1.若不等式的解集是．
(1)解不等式；
(2)b为何值时，的解集为R．
解析：（1）由题意得和1是方程的两个根，则有，解得，
所以不等式化为，，
解得或，所以不等式的解集为或
（2）由（1）可知的解集为R，
所以，解得，所以的取值范围为
2.（1）已知，不等式恒成立，求实数a的取值范围；
（2）已知，若不等式有解，求实数a的取值范围.
解析：令，当时，在上单调递减，在上单调递增，
，，
（1）因在恒成立，于是得，
所以实数a的取值范围是；
（2）因不等式在有解，于是得，
所以实数a的取值范围是.
题型五：分式不等式的解法
例10.解下列分式不等式：
解：（1），（2）（3）（4）
（5）
例11.不等式是的解集为______．
解析:由可得，整理可得：，则，解可得：.
所以不等式是的解集为: .故答案为：.
例12.若不等式的解集为，则不等式的解集为___________.
解析：由不等式的解集为，
可知方程有两根，故，
则不等式即等价于，
不等式的解集为，
则不等式的解集为，故答案为：.
变式训练
1.解下列不等式
（1） （2） （3) (4)
解：（1）（2） （3） （4）
2.不等式的解集为___________.
解析：,故答案为：.
题型六：含绝对值不等式解法
例13.解绝对值不等式
（1） (2) (3)
(4) (5) (6)
【答案】(1)(2)(3)或.(4)
(5)或(6)
【解析】(1)由得，所以，则，
所以原不等式的解集为；
(2)或，
解得或，所以不等式的解集为.
(3)当时，原不等式恒成立；
当时，原不等式两边平方，得，
令，则，解得或，
又，有或.
综上，原不等式的解集为或.
(4)由得，解得，故原不等式的解集为.
(5)由，可得或，
解得或，解集为或；
(6)因为，所以或，解得；解得，即原不等式的解集为
变式训练
1.解下列绝对值不等式
（1）. （2）
（3） （4）
解析：（1） （2）
（3） （4)

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