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§3.3 抛物线
目录 题型1：抛物线定义的应用 5 题型2：求抛物线的标准方程 9 题型3：抛物线的焦点弦 13 题型4：直线与抛物线的相交问题 24 直线与抛物线的位置关系 25 弦长问题 27 中点弦问题 31 切线问题 34 题型5：与抛物线有关的最值（范围）问题 41 求抛物线上一点到定点的最值 41 求抛物线上一点到定直线的最值 46 题型6：抛物线在实际问题中的应用 49
抛物线的定义
我们把平面内与一个定点F和一条定直线l（l不经过点F）距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线。
定点F不在定直线l上，否则动点M的轨迹不是抛物线，而是过点F垂直于直线l的一条直线．
抛物线的标准方程
标准方程
图形
焦点坐标
准线方程
抛物线的标准方程中参数p的几何意义是:抛物线的焦点到准线的距离(即焦准距),所以p的值永远大于0。当抛物线标准方程中一次项的系数为负值时,不要出现 的错误。
抛物线的简单几何性质
标准 方程
图形
开口 开口向右 开口向左 开口向上 开口向下
范围
对称轴
焦点
准线 方程
顶点
离心率 抛物线上的点 M 与焦点F 的距离和点M 到准线的距离d 的比，叫做抛物线的离心率，用e表示，由抛物线的定义可知，.
焦半径
点与抛物线的位置关系
点和抛物线位置关系的讨论：
点在抛物线内；
点在抛物线上；
点在抛物线外。
直线与抛物线的位置关系
直线与抛物线的位置关系有三种情况：相交、相切、相离。
设直线，抛物线，将直线方程与抛物线方程联立，整理成关于的方程，
①若，
当时，直线与抛物线相交，有两个公共点；
当时，直线与抛物线相切，有个公共点；
当时，直线与抛物线相离，无公共点.
②若，则直线与抛物线只有一个公共点，此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合.
因此直线与抛物线只有一个交点是直线与抛物线相切的必要不充分条件。
直线与抛物线的相交弦
与抛物线有关的弦长问题
当直线与抛物线相交于，两点，则弦长：（为直线的斜率，且）.
焦点弦的常用性质
如图，是抛物线过焦点的一条弦，直线的倾斜角为，设,过点分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为点，为准线与轴的交点。对于抛物线的焦点弦，有如下结论：
①两点的横、纵坐标之积均为定值，即，。
②若位于轴上方，位于轴下方，则，。
证明：因为，所以，同理可证得，。
③，抛物线的通径长为，通径是最短的焦点弦。
④设弦所在直线的斜率为，则。
⑤。
⑥。
⑦以为直径的圆必与准线相切.
⑧以(或)为直径为圆与轴相切。
⑨以为直径的圆过点,。
⑩三点共线，三点也共线。
与焦点弦有关的切线性质
如图,是抛物线过焦点的一条弦,分别过作抛物线的切线,两切线交于点P,连接PF,则有以下结论:
①点P的轨迹是一条直线,即抛物线的准线。
②两切线互相垂直,即。
③。
④点P的坐标为。
非焦点弦性质
①已知直线与抛物线交于，若，则直线过定点，反之亦然。
②已知是抛物线上任意一点,点N(a,0)是抛物线的对称轴上一点，则
过抛物线对称轴上一定点的弦的性质
①过点的直线与抛物线交于两点，则(定值) ,(定值)， (定值)。
②若直线与抛物线交于两点，且(定值)，则直线过定点。
题型1：抛物线定义的应用
通常把抛物线上某点到焦点的距离转化为该点到准线的距离,或者把抛物线上某点到准线的距离转化为该点到焦点的距离,然后根据平面几何的相关知识求解。
已知点在抛物线上，且点到抛物线焦点的距离等于点到直线的距离，则（　　）
A．1 B．2
C．3 D．4
【答案】B
【难度】0.94
【知识点】抛物线的焦半径公式
【分析】根据抛物线的定义及题意列出关系式即可.
【详解】抛物线的准线为，则由抛物线的定义可知，点到抛物线焦点的距离为，
故由题意可得，，得.
故选：B
已知抛物线上的点M与焦点F的距离为6，则M到y轴的距离为（ ）
A． B． C．2 D．4
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】抛物线定义的理解、根据抛物线方程求焦点或准线
【分析】设，根据抛物线的定义可知，结合抛物线方程运算求解即可.
【详解】由抛物线可知准线为，
设，
根据抛物线的定义可知，即，
由抛物线方程可得，即，
所以M到y轴的距离为.
故选：B.
已知抛物线的焦点为F，准线为l，点A在抛物线C上，点B在准线l上，若是边长为2的等边三角形，则的值是（ ）.
A．1 B． C．2 D．
【答案】A
【难度】0.85
【知识点】抛物线定义的理解、根据抛物线的方程求参数
【分析】利用抛物线定义可知，再由等边三角形的边长为2即可求得.
【详解】根据题意，易知，由抛物线定义可得，
设准线与l的交点为，如下图所示：

因此与平行，又是边长为2的等边三角形，
所以，即,
可得，即.
故选：A
已知抛物线，焦点为F，第一象限的点A、B均在抛物线上，，，，则直线的斜率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】抛物线定义的理解、抛物线的焦半径公式
【分析】根据焦半径公式作辅助线于点，可知直线的倾斜角为，根据边长即可得出斜率.
【详解】设抛物线准线为，过两点分别作，垂足分别为，
作于点，如下图所示：
易知，可得，
在直角三角形中，，，
可得直线的倾斜角为，易知，
所以,
即直线的斜率为.
故选：B
（多选）已知点在抛物线上，且，其中为抛物线的焦点，则（ ）
A．抛物线的准线为 B．点的坐标为
C． D．过点作轴于点，则的面积为
【答案】AD
【难度】0.85
【知识点】抛物线定义的理解、根据抛物线方程求焦点或准线、抛物线中的三角形或四边形面积问题
【分析】根据抛物线的定义得，进而得到准线、焦点判断A、B；将代入抛物线判断C；求出三角形面积判断D.
【详解】根据抛物线的定义知，，则，
所以抛物线的准线为，焦点，A对，B错；
将代入抛物线，得，C错；
由轴于点，则，故，所以的面积为，D对.
故选：AD
（多选）下列关于抛物线的图象的几何特征描述正确的是（ ）
A．顶点坐标是 B．对称轴方程为
C．焦点坐标为 D．准线方程为
【答案】AC
【难度】0.65
【知识点】根据抛物线方程求焦点或准线
【分析】利用函数图像的平移变换，将抛物线的方程转化为标准形式，再根据抛物线的几何性质求解即可.
【详解】由题意可得抛物线的图象可由的图象向左平移个单位，再向上平移个单位得到，
因为抛物线即的顶点坐标为，对称轴方程为，焦点坐标为，准线方程为，
所以抛物线的顶点坐标为，对称轴方程为，焦点坐标为，准线方程为，
所以AC说法正确，BD说法错误；
故选：AC
题型2：求抛物线的标准方程
直接法:直接利用题中已知条件确定参数p;
待定系数法:先设出抛物线的方程,再根据题中条件确定参数p;当焦点位置不确定时，应分类讨论。①当焦点在轴上，设方程为；②当焦点在轴上，设方程为.
定义法:先判定所求点的轨迹符合抛物线的定义,进而求出方程。
根据下列条件分别求出抛物线的标准方程：
(1)准线方程为；
(2)焦点在轴上，焦点到准线的距离为5；
(3)经过点；
(4)焦点为直线与坐标轴的交点.
【答案】(1)
(2)和
(3)或
(4)或
【难度】0.65
【知识点】根据焦点或准线写出抛物线的标准方程、根据抛物线上的点求标准方程
【分析】（1）根据条件可知抛物线开口向下，设方程为，由可得结果.
（2）根据条件可设方程为，结合焦点到准线的距离可得结果.
（3）根据点坐标确定抛物线开口方向，分类讨论，设出标准方程，代入坐标可得结果.
（4）求直线与坐标轴交点，分类讨论可得结果.
【详解】（1）∵抛物线的准线交轴于正半轴，∴抛物线开口向下，
设方程为，由得，故所求抛物线的标准方程为.
（2）由抛物线的焦点在轴上可设方程为，
由焦点到准线的距离为5得，，
∴抛物线的标准方程为或.
（3）∵点在第三象限，∴抛物线开口向左或向下，
设所求抛物线的标准方程为或.
若抛物线的标准方程为，则，解得；
若抛物线的标准方程为，则，解得.
∴抛物线的标准方程为或.
（4）∵直线与坐标轴交点坐标为或，
∴抛物线的焦点为或.
当焦点为时，，，此时抛物线的标准方程为，
当焦点为时，，，此时抛物线的标准方程为，
∴抛物线的标准方程为或.
若抛物线上一点到其焦点的距离为9，则该抛物线的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【难度】0.94
【知识点】抛物线定义的理解、根据抛物线上的点求标准方程
【分析】将抛物线上点到焦点的距离转化为到准线的距离求解.
【详解】抛物线的准线方程为，
所以点P到焦点的距离为，
所以，抛物线的方程为.
故选：B.
已知是抛物线的焦点，是第一象限内抛物线上一点，在抛物线准线上的射影为，，，则抛物线的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【难度】0.85
【知识点】抛物线定义的理解、根据定义求抛物线的标准方程
【分析】由图结合抛物线定义可得为正三角形，据此可得答案.
【详解】抛物线焦点为，准线为.
由抛物线定义可得，又，则为正三角形.
则，设，又过F做PQ垂线，垂足为G，
则，则，又，准线为
则，则.故抛物线方程为：.
故选：D
已知圆：与定直线：，动圆与圆外切且与直线相切，记动圆的圆心的轨迹为曲线，则曲线的方程为 .
【答案】
【难度】0.85
【知识点】求抛物线的轨迹方程
【分析】设，由点线距离及两点距离公式列式化简即可.
【详解】设，动圆与圆外切且与直线相切，则有，化简得.
故曲线的方程为.
故答案为：
在平面内，到定点的距离比到定直线的距离大1的动点的轨迹方程是 ．
【答案】
【难度】0.65
【知识点】利用抛物线定义求动点轨迹、求抛物线的轨迹方程
【分析】先根据已知条件将动点到定点与定直线的距离关系进行转化，再依据抛物线定义确定其轨迹方程．
【详解】由已知可得动点满足到定点的距离等于到定直线的距离，
由抛物线定义知动点的轨迹方程为焦点在x轴上的抛物线，且焦点为，则，.因此轨迹方程为：．
故答案为：.
在平面直角坐标系中，动点N到定点的距离比它到y轴的距离大1，则动点N的轨迹方程为 .
【答案】或
【难度】0.65
【知识点】求平面两点间的距离、求平面轨迹方程、求抛物线的轨迹方程
【分析】先设，再结合两点间距离公式，化简求解即可.
【详解】设为轨迹上任意点，则两边平方，
得，
所以动点N的轨迹方程为或.
故答案为：或.
题型3：抛物线的焦点弦
证明与焦点弦有关的问题时,通常有两种途径:
①几何法，几何法主要是利用抛物线的定义、平面几何知识，并结合图形使问题得以解决。
②代数法，代数法主要是联立直线方程与抛物线方程，此时注意“设而不求”思想的妙用。
通过焦半径公式,可得出抛物线中的一个性质:经过抛物线C的焦点F且与x轴的夹角为 的直线与抛物线C相交于A,B两点,若,则，当直线AB的斜率k存在时,满足。
若抛物线的焦点为，直线：与抛物线交于A，B两点，且，则（ ）
A．4 B． C．2 D．
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】求直线与抛物线相交所得弦的弦长、根据韦达定理求参数
【分析】联立直线的方程和抛物线方程，化简写出根与系数关系，利用求得，根据抛物线的弦长公式求得正确答案.
【详解】抛物线的焦点，
直线过抛物线的焦点，
设，根据抛物线的定义可知，
由，消去并化简得，
所以，
由两边平方得，
，
所以.
故选：D
过抛物线的焦点作倾斜角为的直线，交抛物线于，两点，交抛物线的准线于点，若，则的值为（ ）
A．2 B．3 C． D．
【答案】A
【难度】0.85
【知识点】利用焦半径公式解决直线与抛物线交点问题
【分析】做于，做于，设做，则，，
由题意得，可得答案.
【详解】
如图做于，做于，所以，
由直线的倾斜角为，得，，
设做，则，，
所以，所以，
故选：A .
已知为抛物线的焦点，过作两条互相垂直的直线和与交于两点，与交于两点，则的最小值为 ．
【答案】24
【难度】0.65
【知识点】求直线与抛物线相交所得弦的弦长、与抛物线焦点弦有关的几何性质
【分析】解法一，利用抛物线的弦长公式，联立直线方程与抛物线方程，利用韦达定理，结合图形利用基本不等式可得；
解法二，设直线的倾斜角为，利用抛物线中的二级结论得到，，再利用函数性质可得.
【详解】解法一 由题意，和都不与坐标轴垂直，
可设，则．
将代入，消去并整理得，
设,
则，所以．同理可得，
所以，当且仅当，即时取等号，故的最小值为24.
解法二 如图，设直线的倾斜角为，易知两直线都不与坐标轴垂直，不妨设，
则，因为，所以的倾斜角为，从而，
故，
所以当时，，取得最小值24.
故答案为：.
（多选）已知抛物线：的焦点到准线的距离是4，直线过它的焦点且与交于，两点，为弦的中点，则下列说法正确的是（ ）
A．抛物线的焦点坐标是
B．
C．若，则
D．若以为圆心的圆与的准线相切，则是该圆的一条直径
【答案】ABD
【难度】0.85
【知识点】利用焦半径公式解决直线与抛物线交点问题、与抛物线焦点弦有关的几何性质、根据焦点或准线写出抛物线的标准方程
【分析】对选项A，根据题意得到，即可判断A正确，对选项B，分别对直线斜率存在和不存在进行讨论，即可判断B正确，对选项C，根据焦点弦的公式即可判断C错误，对选项D，首先过分别向准线作垂线，垂足为，再结合抛物线的概念即可判断D正确.
【详解】对选项A，抛物线：的焦点到准线的距离是4，
所以，，故A正确.
对选项B，当直线的斜率不存在时，，所以，
当直线的斜率存在时，设，
得：，所以.
故B正确.
对选项C，，故C错误.
对选项D，如图所示：

过分别向准线作垂线，垂足为，
因为，
所以，
即：以为直径的圆与的准线相切，故D正确.
故选：ABD
已知点为抛物线的焦点，过的直线（倾斜角为锐角）与交于两点（点在第一象限），交其准线于点，过点作准线的垂线，垂足为，若，则 ．
【答案】2
【难度】0.65
【知识点】与抛物线焦点弦有关的几何性质、直线与抛物线交点相关问题、用和、差角的正切公式化简、求值
【分析】先联立方程计算求解的坐标，再求出所在直线斜率，可得的倾斜角，最后应用两角和的正切公式计算即可．
【详解】设所在直线方程为，
联立，得．
设，准线交x轴于点M，则，
又，，即，
联立 ，过的直线（倾斜角为锐角），解得（舍)或，
则，即，
设的倾斜角为，则，
由，， ，
可得；
故答案为：2．
过抛物线C：的焦点F作直线，，其中与C交于M，N两点，与C交于P、Q两点，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】与抛物线焦点弦有关的几何性质、直线与抛物线交点相关问题
【分析】设出直线方程，与抛物线方程联立，设，，结合根与系数的关系和抛物线定义化简，同理得，得解.
【详解】由题意知的斜率不为0，
设与联立，得，
因直线过焦点，所以，
设，，则，，
于是，
而，
所以，
同理，所以.
故选：B.
（多选）已知点是抛物线的焦点，是经过点的弦且，的斜率为，两点在轴上方．则下列结论中一定成立的是（ ）
A． B．四边形面积的最小值为
C． D．若，则直线的斜率为
【答案】ACD
【难度】0.65
【知识点】求直线与抛物线相交所得弦的弦长、抛物线中的三角形或四边形面积问题、与抛物线焦点弦有关的几何性质
【分析】由抛物线焦点弦直线方程可得，即可得到C；根据焦半径公式，即可确定D；利用即可判断B；设，，，联立得到即可判断A.
【详解】设直线的倾斜角为，则有，，
所以，C正确；
，，
若，则，，
直线的斜率为，D正确；
，所以B不正确；

设，，，
联立，得，
，
，
，所以A正确．
故选：ACD．
（多选）抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经拋物线反射后，沿平行于拋物线对称轴的方向射出.反之，平行于拋物线对称轴的入射光线经拋物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线为坐标原点，一束平行于轴的光线从点射入，经过上的点反射后，再经上另一点反射后，沿直线射出，经过点，则（ ）
A． B．平分
C． D．延长交直线于点，则三点共线
【答案】BD
【难度】0.4
【知识点】求直线与抛物线相交所得弦的弦长、根据抛物线方程求焦点或准线、直线与抛物线交点相关问题、根据韦达定理求参数
【分析】对于A，求出直线的方程并与抛物线方程联立，由韦达定理即可验证；对于BC，先将点坐标求出，由两点间距离公式求出即可验证C，再求出，即可得到，进一步由平面几何知识即可验证B，直接联立两直线方程，验证是否满足即可.
【详解】
对于A，由题意点，即点，抛物线焦点，
所以直线的方程为，即，
将其代入可得，由韦达定理可得到，故A错误；
对于BC，由题意知，，由B选项分析知，即，
从而证得，
所以，
由题意，所以，
所以，即 平分，故B正确，C错误；
对于D，因为，所以在直线方程中令，得，由B选项分析可知，所以由题意得，即的纵坐标相同得三点共线，故D正确.
故选：BD.
设抛物线的焦点为，经过点的动直线交抛物线于、两点，且．
(1)求抛物线的方程；
(2)若直线平分线段AB，求直线的倾斜角；
(3)若点 M 是抛物线的准线上的一点，直线的斜率分别为、、．求证：当时，为定值．
【答案】(1)；
(2)或；
(3)证明见解析.
【难度】0.65
【知识点】斜率与倾斜角的变化关系、抛物线中的定值问题、直线与抛物线交点相关问题、根据韦达定理求参数
【分析】（1）设直线的方程为，与抛物线方程联立，利用韦达定理法结合条件即得；
（2）根据韦达定理可得或，然后根据斜率与倾斜角的关系即得；
（3）利用斜率公式结合条件可得，然后利用韦达定理及斜率公式,即得.
【详解】（1）设直线的方程为，代入，
可得,
所以，又，
所以，又，
可得，
所以抛物线的方程为；
（2）由（1）可知，
设点D是线段AB的中点，则有，，
由题知点D在直线上，
所以，
解得或，
设直线l的倾斜角为，
则或，又，
故直线的倾斜角为或；
（3）由题可知，抛物线的准线方程为，
所以，可得，即，
由上知，又，
所以
，
所以为定值．
题型4：直线与抛物线的相交问题
代数法解决直线与抛物线相交问题的常用技巧：
巧设方程。如直线AB经过，若设直线方程为 ,则斜率不存在的情况需单独讨论,所以可将直线方程设为。
巧消未知数。解与抛物线有关的问题用代数法消元时,消去抛物线方程中的一次项计算量更小,如若抛物线方程为,则消去x的计算量更小。
已知点是抛物线(或)上两点,则(或）。
直线与抛物线的位置关系
已知抛物线的焦点为，过点且与抛物线有唯一公共点的直线有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】判断直线与抛物线的位置关系、直线与抛物线交点相关问题
【分析】分斜率不存在，斜率为0及斜率其他情况分类讨论，结合联立方程组应用判别式计算判断即可.
【详解】由抛物线的方程为知．
当过点的直线斜率不存在，即直线与轴重合时，满足直线与地物线有唯一公共点．
当过点的直线斜率为0时，直线方程为，满足直线与抛物线有唯一公共点．
当过点的直线斜率存在且不为0时，设直线方程为，
由得关于的方程，
令，解得，此时满足条件的直线有1条．
综上，过点与抛物线有唯一公共点的直线有3条，
故选：C．
已知抛物线的方程为，过点和点的直线与抛物线没有公共点，则实数取值范围是
A． B．
C． D．
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】判断直线与抛物线的位置关系
【分析】设出过和点的直线方程，与抛物线方程联立，根据直线与抛物线C没有公共点，所以判别式小于0，直接求得t的范围．
【详解】由题意知过和点两点的斜率，
∴设过A、B的直线方程为，与抛物线方程联立得x2﹣x+=0，
△=﹣8<0，∴t<或t>，
故选B.
已知抛物线过点.
(1)求抛物线的方程，并求其准线方程．
(2)若平行于(为坐标原点)的直线与抛物线有公共点,且直线与的距离等于，求直线的方程.
【答案】（1）；（2）
【难度】0.85
【知识点】判断直线与抛物线的位置关系、根据抛物线上的点求标准方程
【分析】（1）将代入抛物线方程求得p，则抛物线方程可得，进而根据抛物线的性质求得其准线方程；
（2）设平行于的直线方程为判断直线与抛物线的位置关系，利用平行直线间距离得到t值．
【详解】解：（1）将代入，得， 所以.
故所求的抛物线C的方程为，其准线方程为.
（2）设平行于的直线方程为
由得
因为直线与抛物线有公共点,
所以，解得.
另一方面，由直线与的距离等于2,
可得，解得.
因为，,
所以直线方程为:
弦长问题
弦长
直线与抛物线交于两点，若轴上存在点使得，则的面积为 ．
【答案】
【难度】0.65
【知识点】求直线与抛物线相交所得弦的弦长、抛物线中的三角形或四边形面积问题
【分析】联立方程，利用韦达定理可得，线段的中点，利用中垂线求得，进而可得面积.
【详解】设，
联立方程，消去x可得，
则，可得，
则，且，
可知线段的中点，则线段的中垂线方程为，
令，则，可得，
所以的面积为．
故答案为：.
已知抛物线E: ，，若直线过点P且与E交于A，B两点，直线l2过点P且与E交于C，D两点，且，，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】直线与抛物线交点相关问题
【分析】由得，求得代入抛物线方程得，，代入两点间的距离公式即得.
【详解】设，，则，，
由，结合图形得，
所以，解得，即，
将代入抛物线方程得，即，
解得或，
结合，所以不妨取，，
所以..
故选：A
已知抛物线，过点的直线与抛物线C相交于A，B两点，且的最小值为4.
(1)求p的值；
(2)若线段的中点为M，O为坐标原点，直线的斜率为，求直线的方程.
【答案】(1)
(2)或
【难度】0.65
【知识点】直线的点斜式方程及辨析、根据韦达定理求参数
【分析】（1）设直线方程，联立方程组化简得二次方程，利用根与系数的关系后表示出两点间的距离，从而得出的值；
（2）由（1）求出点的值，由斜率建立等式，求出参数值即可得到直线方程.
【详解】（1）设，，直线的方程为，
将其代入抛物线方程得，，，
由
，
因为，所以当时，取最小值，
所以，解得.
（2）设，则，，
所以，整理得，解得或，
直线的方程为或.
已知抛物线的准线方程为，直线与交于两点.
(1)求的标准方程.
(2)若，为坐标原点，证明：.
(3)若为的焦点，且的周长为，求的值.
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)
【难度】0.65
【知识点】求直线与抛物线相交所得弦的弦长、根据焦点或准线写出抛物线的标准方程、抛物线中的定值问题
【分析】（1）根据题意求出即可得解；
（2）将代入，设，利用韦达定理求出，证明即可；
（3）设，联立方程，利用韦达定理求出，利用抛物线的焦半径公式和弦长公式求出的周长，进而可得出答案.
【详解】（1）的标准方程为，
由的准线方程为，得，
故的标准方程为；
（2）将代入，得，
设，则，
，
所以，
所以，即；
（3）联立，得，
设，
则，所以，
所以，
，
所以的周长为，
因为函数为增函数，且，
所以方程的解为，
所以.

中点弦问题
“中点弦”问题解题方法：
①点差法：将两个交点的坐标代入抛物线的方程作差，由求斜率，再由点斜式写出直线方程。
②传统法：设直线方程，并与抛物线的方程联立，消去x(或y)得到关于y(或x)的一元二次方程，由根与系数的关系，得两根之和即为中点纵(或横)坐标的2倍，从而求斜率，进而可写出直线方程。
设为抛物线的弦，，弦AB的中点为，则，直线AB的方程为。
已知斜率为2的直线与曲线交于两点，则线段的中点的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】抛物线的中点弦
【分析】利用点差法，即可求得，设直线的方程，与抛物线方程联立，运用韦达定理求解取值范围.
【详解】设,则，
两式相减得：，
即，
因为直线的斜率为2，所以，所以，
因为，所以.
设直线的方程为，由,
可得：，，解得：.
在直线上，则，，所以.
所以.
故选：C
已知点，不关于轴对称的，两点在抛物线上，为线段的中点，且，则点的横坐标为 .
【答案】4
【难度】0.85
【知识点】抛物线的中点弦
【分析】根据点差法可得，即可根据垂直满足的斜率关系求解.
【详解】设，，，
则由得.
因为，所以，解得.
故答案为：4
已知抛物线：的焦点为，点在抛物线上.
(1)求点的坐标和抛物线的准线方程；
(2)过点的直线与抛物线交于，两个不同点，若的中点为，求的面积.
【答案】(1)，准线方程为
(2)
【难度】0.65
【知识点】根据抛物线方程求焦点或准线、根据抛物线上的点求标准方程、抛物线中的三角形或四边形面积问题
【分析】（1）将点的坐标代入方程，求出，即可求出抛物线方程，再得到其焦点坐标与准线方程；
（2）设点，，利用点差法，求出直线的斜率得到直线的方程，利用弦长公式以及点到直线的距离，求解三角形的面积即可．
【详解】（1）解：因为点在抛物线上，所以，即，则，
所以抛物线方程为，则其焦点坐标为，准线方程为；
（2）解：设点，，因为的中点为，所以，，
所以，则，所以，
所以直线的斜率为，
所以直线的方程为，所以，即，
所以，
点到直线的距离，
所以．
切线问题
求抛物线的切线方程的方法：设出切线方程,并联立抛物线方程,消去y(或x)得一个关于x(或y)的一元二次方程,利用求出待定系数,即可得切线方程。
已知抛物线(或)及任一点,则
①若点为抛物线上一点,则过这点的切线方程为[或]。
②若点为抛物线外一点,则切点弦AB(两切点所在的弦)为[或]。
已知抛物线的焦点为，是该抛物线上的一个动点，为坐标原点，当点的纵坐标为时，.
(1)求抛物线的方程；
(2)动点在抛物线的准线上，过点作抛物线的两条切线分别交轴于两点，当的面积是时，求点的坐标.
【答案】(1)；
(2)或
【难度】0.65
【知识点】根据抛物线上的点求标准方程、抛物线中的三角形或四边形面积问题
【分析】（1）利用抛物线焦半径公式可得，结合和可构造方程求得，进而得到抛物线方程；
（2）设，可得切线方程，与抛物线方程联立知，则是的两根，由此可得韦达定理形式；求得坐标后，表示出，代入韦达定理的形式可构造方程求得结果.
【详解】（1）设，则点在轴上的射影点，
，，，，
又，
，解得：，抛物线的方程为：；
（2）设动点，
过点的抛物线切线斜率存在，则可设斜率为，则切线为：，
由得：，
则，即，
过可作抛物线的两条切线，则有两个不等实根，
可设两条切线斜率分别为，则；
切线与轴交于点；
切线与轴交于点；
，解得：，
或.
已知抛物线的焦点为，且与圆上点的距离的最小值为．
（1）求；
（2）若点在上，是的两条切线，是切点，求面积的最大值．
【答案】（1）；（2）.
【难度】0.4
【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、定点到圆上点的最值（范围）、求抛物线的切线方程、抛物线中的三角形或四边形面积问题
【分析】（1）根据圆的几何性质可得出关于的等式，即可解出的值；
（2）设点、、，利用导数求出直线、，进一步可求得直线的方程，将直线的方程与抛物线的方程联立，求出以及点到直线的距离，利用三角形的面积公式结合二次函数的基本性质可求得面积的最大值.
【详解】（1）[方法一]：利用二次函数性质求最小值
由题意知，，设圆M上的点，则．
所以．
从而有．
因为，所以当时，．
又，解之得，因此．
[方法二]【最优解】：利用圆的几何意义求最小值
抛物线的焦点为，，
所以，与圆上点的距离的最小值为，解得；
（2）[方法一]：切点弦方程+韦达定义判别式求弦长求面积法
抛物线的方程为，即，对该函数求导得，
设点、、，
直线的方程为，即，即，
同理可知，直线的方程为，
由于点为这两条直线的公共点，则，
所以，点A、的坐标满足方程，
所以，直线的方程为，
联立，可得，
由韦达定理可得，，
所以，，
点到直线的距离为，
所以，，
，
由已知可得，所以，当时，的面积取最大值.
[方法二]【最优解】：切点弦法+分割转化求面积+三角换元求最值
同方法一得到．
过P作y轴的平行线交于Q，则．
．
P点在圆M上，则
．
故当时的面积最大，最大值为．
[方法三]：直接设直线AB方程法
设切点A，B的坐标分别为，．
设，联立和抛物线C的方程得整理得．
判别式，即，且．
抛物线C的方程为，即，有．
则，整理得，同理可得．
联立方程可得点P的坐标为，即．
将点P的坐标代入圆M的方程，得，整理得．
由弦长公式得．
点P到直线的距离为．
所以，
其中，即．
当时，．
（多选）已知抛物线：的焦点为，过向第一象限作射线，过点作的切线，切点为，且，则（ ）
A．点的轨迹是抛物线的一部分 B．点的轨迹是直线的一部分
C．外心的轨迹是直线的一部分 D．外心的轨迹是抛物线的一部分
【答案】BD
【难度】0.4
【知识点】求平面轨迹方程、抛物线定义的理解
【分析】对于AB：设，建立起与，斜率的关系式，消元得到关于，的方程，即为点的轨迹方程；对于CD：先证明，可得到，由弦切角定理逆定理可知与外接圆相切，再由抛物线的定义可得到外心的轨迹.
【详解】对AB：不妨设，由已知,
设直线的斜率为①，倾斜角为，
切线斜率为，倾斜角为，
由正切和差公式：，
②，
设切线方程为，联立，
得，由得③，
将①③代入②得：，
化简并因式分解有：，
再代入回③，得：，又，则，故B正确，A错误；
对CD：设外心为，由选项B可知在的一条切线上，切点为；
把代入到中，
可得，得，所以；
又，，所以，
，，
，
，
，
，
，，
故，由弦切角定理逆定理可知与外接圆相切，
又，故其外心在为焦点，为准线的抛物线上，故C错误，D正确.
故选：BD

题型5：与抛物线有关的最值（范围）问题
解与抛物线有关的最值问题主要有两种思路:一是利用抛物线的定义，进行到焦点的距离与到准线的距离的转化,数形结合，利用几何意义解决;二是利用抛物线的标准方程,进行消元代换，得到有关距离的含变量的代数式,借助目标函数最值的求法解法。
已知F为抛物线C的焦点，P为C上的点,A为定点,则有下列结论成立:
①的最小值
②的最大值=;
③的最小值
求抛物线上一点到定点的最值
在抛物线上求一点P，使其到焦点F的距离与到点的距离之和最小，则该点P的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】抛物线上的点到定点和焦点距离的和、差最值
【分析】先根据抛物线方程求出焦点坐标和准线方程，再由抛物线的定义知：，当三点共线时距离之和最小，进而先求出点纵坐标的值，代入到抛物线中可求得横坐标的值，从而得到答案.
【详解】由题意得抛物线的焦点为，准线方程为.
过点作于点，由定义可得，
所以，
由图可得，当三点共线时，最小，此时.
故点的纵坐标为1，所以横坐标．即点的坐标为．
故选：C.
已知为抛物线上的任意一点，为其焦点，为圆上的一点，则的最小值为 、
【答案】
【难度】0.65
【知识点】抛物线上的点到定点的距离及最值
【分析】取点，根据相似三角形得，则，再通过设点，结合两点距离公式和二次函数性质即可求出最小值.
【详解】由题意得，取点，设圆的圆心为，
则，所以，又因为，
所以，则，
.
，即求得最小值，
设，则，
令.
当时，，即的最小值为.
故答案为：.

点是抛物线的焦点，直线为抛物线的准线，点为直线上一动点，点在以为圆心，为半径的圆上，点在抛物线上，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】抛物线上的点到定点和焦点距离的和、差最值
【分析】根据抛物线的定义可得，利用，从而得到，即可求解.
【详解】
如图，过点P作于点N，根据抛物线的定义可得：，
所以，而
所以.
当且仅当点Q、点N、点M在同一条直线上时等号成立，所以有最大值1.
故选：B
已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点与圆的圆心重合，为上一动点，点. 若的最小值为2.
(1)求抛物线的标准方程;
(2)过焦点的直线与抛物线和圆自上而下依次交于四点，且满足， 求直线的方程.
【答案】(1)
(2)
【难度】0.65
【知识点】利用焦半径公式解决直线与抛物线交点问题、与抛物线焦点弦有关的几何性质、抛物线中的定直线、抛物线上的点到定点和焦点距离的和、差最值
【分析】（1）利用数形结合，求的最小值，即可求抛物线方程；
（2）利用数形结合，将条件转化为，再利用焦半径公式，并联立直线与抛物线方程，利用韦达定理，即可求解.
【详解】（1）由题意知抛物线标准方程为，
∵，∴在 抛物线开口内，
过点作准线垂线交于，则，
当三点共线时，最小，
∴，即，
所以抛物线的方程为.
（2）根据题意，可得，∵，
∴，化简得，
设，由焦半径公式可得，，，
代入上式得，
设直线的方程为，若，则，不满足上式；
由联立，整理得：，恒成立，
则，
所以
∴，
解得
所以直线的方程为，即.
求抛物线上一点到定直线的最值
已知是抛物线：上的一点，直线：，过点作与的夹角为的直线且与交于点，设为点到轴的距离，则的最小值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】抛物线上的点到定点和焦点距离的和、差最值
【分析】由抛物线的定义将转化为，设点到直线的距离为，由角所在直角三角形将转化，再由定点到定直线距离求出最小值即可．
【详解】设为抛物线的焦点．
设点到直线的距离为，
如图，
过作，
过点作与的夹角为的直线，交于点，
在中，，则，
所以，，
又的最小值为点到的距离，
即的最小值为，
所以的最小值为．
故选：B．
已知双曲线的左焦点到其一条渐近线的距离等于，抛物线的准线过双曲线的左焦点，则抛物线上一动点M到直线和的距离之和的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】求双曲线的焦点坐标、抛物线定义的理解、根据焦点或准线写出抛物线的标准方程、求抛物线上一点到定直线的最值
【分析】由题意求得双曲线的，继而可得抛物线方程，结合抛物线定义以及几何意义求解最值即可得答案.
【详解】由题意知双曲线的左焦点到其一条渐近线的距离为，
不妨取渐近线，即，
所以 ，，
又抛物线的准线过双曲线的左焦点，
即，则抛物线方程为，
过点M作垂直于直线，垂足为点A，作垂直于抛物线准线 于点C，连接，
根据抛物线的定义得，
设M到的距离为 ，M到直线的距离为，
则，
根据平面几何知识，可得当三点共线时，有最小值，
因为抛物线焦点到直线的距离为，
所以的最小值是，
所以抛物线上一动点M到直线和的距离之和的最小值为 ，
故选：D．
已知抛物线x2＝4y上有一条长为6的动弦AB，则AB的中点到x轴的最短距离为 .
【答案】2
【难度】0.65
【知识点】求抛物线上一点到定直线的最值
【分析】结合图像，可知且|AB|≤|AF|＋|BF|，由此可得|MM1|≥3，进而可求得AB的中点到x轴的最短距离为2.
【详解】由题意知，抛物线的准线l：，过点A作AA1⊥l交l于点A1，过点B作BB1⊥l交l于点B1，如图，
设弦AB的中点为M，过点M作MM1⊥l交l于点M1，则，
因为|AB|≤|AF|＋|BF|(F为抛物线的焦点)，即|AF|＋|BF|≥6，
又，所以|AA1|＋|BB1|≥6，即2|MM1|≥6，故|MM1|≥3，
所以点M到x轴的距离，故最短距离为2.
故答案为：2.
题型6：抛物线在实际问题中的应用
求解与抛物线有关的实际应用问题的步骤：
第一步：建系，建立适当的坐标系；
第二步：假设，设出合适的抛物线标准方程；
第三步：计算，通过计算求出抛物线标准方程；
第四步：求解，求出所要求的量；
第五步：还原，还原到实际问题中，从而解决实际问题。
如图，某高脚杯的轴截面为抛物线，往杯中缓慢倒水，当杯中的水深为时，水面宽度为，当水面再上升时，水面宽度为 .

【答案】6
【难度】0.85
【知识点】抛物线的应用
【分析】建立平面直角坐标系，让抛物线的顶点与坐标原点重合，设抛物线的方程为，根据点在抛物线上求出，再根据求出，则答案可得.
【详解】如图建立平面直角坐标系，让抛物线的顶点与坐标原点重合，
则由题意可设抛物线的方程为，由题意可知点在抛物线上，
则，所以，
所以抛物线的方程为，
当水面再上升时，，此时有，解得，
所以此时的水面宽度为.

故答案为：6.
图1为一种卫星接收天线，其曲面与轴截面的交线为抛物线的一部分，已知该卫星接收天线的口径，深度，信号处理中心位于焦点处，以顶点为坐标原点，建立如图2所示的平面直角坐标系，则焦点的坐标为（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】根据抛物线方程求焦点或准线、求实际问题中的抛物线方程
【分析】根据题意，设抛物线方程为且，结合点在抛物线上求参数，即可得焦点坐标.
【详解】由题意，设抛物线方程为且，显然点在抛物线上，
所以，则，故焦点的坐标为.
故选：B
（多选）用于加热水和食物的太阳灶应用了抛物线的光学性质：一束平行于抛物线对称轴的光线，经过抛物面（抛物线绕它的对称轴旋转所得到的曲面叫抛物面）反射后，集中于它的焦点.用一过抛物线对称轴的平面截抛物面，将所截得的抛物线放在平面直角坐标系中，对称轴与轴重合，顶点与原点重合.若抛物线：的焦点为F，为坐标原点，一条平行于x轴的光线从点M射入，经过上的点反射，再经过上另一点反射后，沿直线射出，则（ ）

A．的准线方程为
B．
C．若点，则
D．设直线与的准线的交点为N，则点N不在直线上
【答案】ABC
【难度】0.65
【知识点】求直线与抛物线相交所得弦的弦长、与抛物线焦点弦有关的几何性质、根据抛物线方程求焦点或准线
【分析】由抛物线准线定义即可判断A；设，与抛物线方程联立并结合韦达定理即可求解判断B；求出点A、B，结合弦长公式即可求解判断C；由直线求出点A坐标，接着由求出点B纵坐标即可判断D.
【详解】对于A，因为抛物线：，所以抛物线C准线方程为，故A正确；
对于B， ，故可设，联立，
，，故，故B正确；
对于C，若点，则，则，
故，故C正确；
对于D，由题可得，令得，
所以，又由B可知，故点N在直线上，故D错误；

故选：ABC
如图，探照灯反射镜由抛物线的一部分绕对称轴旋转而成，光源位于抛物线的焦点处，这样可以保证发出的光线经过反射之后平行射出.已知灯口圆的直径为60cm，灯的深度为40cm.

(1)将反射镜的旋转轴与镜面的交点称为反射镜的顶点.光源应安置在旋转轴上与顶点相距多远的地方？
(2)为了使反射的光更亮，增大反射镜的面积，将灯口圆的直径增大到66cm，并且保持光源与顶点的距离不变.求探照灯的深度.
【答案】(1)
(2)48.4cm
【难度】0.85
【知识点】求实际问题中的抛物线方程
【分析】（1）在反射镜的轴截面上建立平面直角坐标系，利用代入法进行求解即可；
（2）运用代入法进行求解即可.
【详解】（1）如图，在反射镜的轴截面上建立平面直角坐标系，

以抛物线的顶点为原点，以旋转轴为x轴（抛物线开口方向是x轴的正方向），以1cm为单位长度，
则可设抛物线的标准方程为.
灯口圆与轴截面在第一象限内的交点A的坐标为，
代入抛物线方程得，
解得，则焦点坐标为.
故光源应安置在与顶点相距处；
（2）由（1）可得抛物线方程为.
灯口圆与轴截面在第一象限的交点的纵坐标变为.
故将代入抛物线方程求得.
此时，探照灯的深度为48.4cm.§3.3 抛物线
目录 题型1：抛物线定义的应用 5 题型2：求抛物线的标准方程 6 题型3：抛物线的焦点弦 7 题型4：直线与抛物线的相交问题 9 直线与抛物线的位置关系 10 弦长问题 10 中点弦问题 11 切线问题 12 题型5：与抛物线有关的最值（范围）问题 13 求抛物线上一点到定点的最值 13 求抛物线上一点到定直线的最值 14 题型6：抛物线在实际问题中的应用 14
抛物线的定义
我们把平面内与一个定点F和一条定直线l（l不经过点F）距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线。
定点F不在定直线l上，否则动点M的轨迹不是抛物线，而是过点F垂直于直线l的一条直线．
抛物线的标准方程
标准方程
图形
焦点坐标
准线方程
抛物线的标准方程中参数p的几何意义是:抛物线的焦点到准线的距离(即焦准距),所以p的值永远大于0。当抛物线标准方程中一次项的系数为负值时,不要出现 的错误。
抛物线的简单几何性质
标准 方程
图形
开口 开口向右 开口向左 开口向上 开口向下
范围
对称轴
焦点
准线 方程
顶点
离心率 抛物线上的点 M 与焦点F 的距离和点M 到准线的距离d 的比，叫做抛物线的离心率，用e表示，由抛物线的定义可知，.
焦半径
点与抛物线的位置关系
点和抛物线位置关系的讨论：
点在抛物线内；
点在抛物线上；
点在抛物线外。
直线与抛物线的位置关系
直线与抛物线的位置关系有三种情况：相交、相切、相离。
设直线，抛物线，将直线方程与抛物线方程联立，整理成关于的方程，
①若，
当时，直线与抛物线相交，有两个公共点；
当时，直线与抛物线相切，有个公共点；
当时，直线与抛物线相离，无公共点.
②若，则直线与抛物线只有一个公共点，此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合.
因此直线与抛物线只有一个交点是直线与抛物线相切的必要不充分条件。
直线与抛物线的相交弦
与抛物线有关的弦长问题
当直线与抛物线相交于，两点，则弦长：（为直线的斜率，且）.
焦点弦的常用性质
如图，是抛物线过焦点的一条弦，直线的倾斜角为，设,过点分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为点，为准线与轴的交点。对于抛物线的焦点弦，有如下结论：
①两点的横、纵坐标之积均为定值，即，。
②若位于轴上方，位于轴下方，则，。
证明：因为，所以，同理可证得，。
③，抛物线的通径长为，通径是最短的焦点弦。
④设弦所在直线的斜率为，则。
⑤。
⑥。
⑦以为直径的圆必与准线相切.
⑧以(或)为直径为圆与轴相切。
⑨以为直径的圆过点,。
⑩三点共线，三点也共线。
与焦点弦有关的切线性质
如图,是抛物线过焦点的一条弦,分别过作抛物线的切线,两切线交于点P,连接PF,则有以下结论:
①点P的轨迹是一条直线,即抛物线的准线。
②两切线互相垂直,即。
③。
④点P的坐标为。
非焦点弦性质
①已知直线与抛物线交于，若，则直线过定点，反之亦然。
②已知是抛物线上任意一点,点N(a,0)是抛物线的对称轴上一点，则
过抛物线对称轴上一定点的弦的性质
①过点的直线与抛物线交于两点，则(定值) ,(定值)， (定值)。
②若直线与抛物线交于两点，且(定值)，则直线过定点。
题型1：抛物线定义的应用
通常把抛物线上某点到焦点的距离转化为该点到准线的距离,或者把抛物线上某点到准线的距离转化为该点到焦点的距离,然后根据平面几何的相关知识求解。
已知点在抛物线上，且点到抛物线焦点的距离等于点到直线的距离，则（　　）
A．1 B．2
C．3 D．4
已知抛物线上的点M与焦点F的距离为6，则M到y轴的距离为（ ）
A． B． C．2 D．4
已知抛物线的焦点为F，准线为l，点A在抛物线C上，点B在准线l上，若是边长为2的等边三角形，则的值是（ ）.
A．1 B． C．2 D．
已知抛物线，焦点为F，第一象限的点A、B均在抛物线上，，，，则直线的斜率为（ ）
A． B． C． D．
（多选）已知点在抛物线上，且，其中为抛物线的焦点，则（ ）
A．抛物线的准线为 B．点的坐标为
C． D．过点作轴于点，则的面积为
（多选）下列关于抛物线的图象的几何特征描述正确的是（ ）
A．顶点坐标是 B．对称轴方程为
C．焦点坐标为 D．准线方程为
题型2：求抛物线的标准方程
直接法:直接利用题中已知条件确定参数p;
待定系数法:先设出抛物线的方程,再根据题中条件确定参数p;当焦点位置不确定时，应分类讨论。①当焦点在轴上，设方程为；②当焦点在轴上，设方程为.
定义法:先判定所求点的轨迹符合抛物线的定义,进而求出方程。
根据下列条件分别求出抛物线的标准方程：
(1)准线方程为；
(2)焦点在轴上，焦点到准线的距离为5；
(3)经过点；
(4)焦点为直线与坐标轴的交点.
若抛物线上一点到其焦点的距离为9，则该抛物线的方程为（ ）
A． B． C． D．
已知是抛物线的焦点，是第一象限内抛物线上一点，在抛物线准线上的射影为，，，则抛物线的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
已知圆：与定直线：，动圆与圆外切且与直线相切，记动圆的圆心的轨迹为曲线，则曲线的方程为 .
在平面内，到定点的距离比到定直线的距离大1的动点的轨迹方程是 ．
在平面直角坐标系中，动点N到定点的距离比它到y轴的距离大1，则动点N的轨迹方程为 .
题型3：抛物线的焦点弦
证明与焦点弦有关的问题时,通常有两种途径:
①几何法，几何法主要是利用抛物线的定义、平面几何知识，并结合图形使问题得以解决。
②代数法，代数法主要是联立直线方程与抛物线方程，此时注意“设而不求”思想的妙用。
通过焦半径公式,可得出抛物线中的一个性质:经过抛物线C的焦点F且与x轴的夹角为 的直线与抛物线C相交于A,B两点,若,则，当直线AB的斜率k存在时,满足。
若抛物线的焦点为，直线：与抛物线交于A，B两点，且，则（ ）
A．4 B． C．2 D．
过抛物线的焦点作倾斜角为的直线，交抛物线于，两点，交抛物线的准线于点，若，则的值为（ ）
A．2 B．3 C． D．
已知为抛物线的焦点，过作两条互相垂直的直线和与交于两点，与交于两点，则的最小值为 ．
（多选）已知抛物线：的焦点到准线的距离是4，直线过它的焦点且与交于，两点，为弦的中点，则下列说法正确的是（ ）
A．抛物线的焦点坐标是
B．
C．若，则
D．若以为圆心的圆与的准线相切，则是该圆的一条直径
已知点为抛物线的焦点，过的直线（倾斜角为锐角）与交于两点（点在第一象限），交其准线于点，过点作准线的垂线，垂足为，若，则 ．
过抛物线C：的焦点F作直线，，其中与C交于M，N两点，与C交于P、Q两点，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
（多选）已知点是抛物线的焦点，是经过点的弦且，的斜率为，两点在轴上方．则下列结论中一定成立的是（ ）
A． B．四边形面积的最小值为
C． D．若，则直线的斜率为
（多选）抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经拋物线反射后，沿平行于拋物线对称轴的方向射出.反之，平行于拋物线对称轴的入射光线经拋物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线为坐标原点，一束平行于轴的光线从点射入，经过上的点反射后，再经上另一点反射后，沿直线射出，经过点，则（ ）
A． B．平分
C． D．延长交直线于点，则三点共线
设抛物线的焦点为，经过点的动直线交抛物线于、两点，且．
(1)求抛物线的方程；
(2)若直线平分线段AB，求直线的倾斜角；
(3)若点 M 是抛物线的准线上的一点，直线的斜率分别为、、．求证：当时，为定值．
题型4：直线与抛物线的相交问题
代数法解决直线与抛物线相交问题的常用技巧：
巧设方程。如直线AB经过，若设直线方程为 ,则斜率不存在的情况需单独讨论,所以可将直线方程设为。
巧消未知数。解与抛物线有关的问题用代数法消元时,消去抛物线方程中的一次项计算量更小,如若抛物线方程为,则消去x的计算量更小。
已知点是抛物线(或)上两点,则(或）。
直线与抛物线的位置关系
已知抛物线的焦点为，过点且与抛物线有唯一公共点的直线有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
已知抛物线的方程为，过点和点的直线与抛物线没有公共点，则实数取值范围是
A． B．
C． D．
已知抛物线过点.
(1)求抛物线的方程，并求其准线方程．
(2)若平行于(为坐标原点)的直线与抛物线有公共点,且直线与的距离等于，求直线的方程.
弦长问题
弦长
直线与抛物线交于两点，若轴上存在点使得，则的面积为 ．
已知抛物线E: ，，若直线过点P且与E交于A，B两点，直线l2过点P且与E交于C，D两点，且，，则（　　）
A． B． C． D．
已知抛物线，过点的直线与抛物线C相交于A，B两点，且的最小值为4.
(1)求p的值；
(2)若线段的中点为M，O为坐标原点，直线的斜率为，求直线的方程.
已知抛物线的准线方程为，直线与交于两点.
(1)求的标准方程.
(2)若，为坐标原点，证明：.
(3)若为的焦点，且的周长为，求的值.
中点弦问题
“中点弦”问题解题方法：
①点差法：将两个交点的坐标代入抛物线的方程作差，由求斜率，再由点斜式写出直线方程。
②传统法：设直线方程，并与抛物线的方程联立，消去x(或y)得到关于y(或x)的一元二次方程，由根与系数的关系，得两根之和即为中点纵(或横)坐标的2倍，从而求斜率，进而可写出直线方程。
设为抛物线的弦，，弦AB的中点为，则，直线AB的方程为。
已知斜率为2的直线与曲线交于两点，则线段的中点的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
已知点，不关于轴对称的，两点在抛物线上，为线段的中点，且，则点的横坐标为 .
已知抛物线：的焦点为，点在抛物线上.
(1)求点的坐标和抛物线的准线方程；
(2)过点的直线与抛物线交于，两个不同点，若的中点为，求的面积.
切线问题
求抛物线的切线方程的方法：设出切线方程,并联立抛物线方程,消去y(或x)得一个关于x(或y)的一元二次方程,利用求出待定系数,即可得切线方程。
已知抛物线(或)及任一点,则
①若点为抛物线上一点,则过这点的切线方程为[或]。
②若点为抛物线外一点,则切点弦AB(两切点所在的弦)为[或]。
已知抛物线的焦点为，是该抛物线上的一个动点，为坐标原点，当点的纵坐标为时，.
(1)求抛物线的方程；
(2)动点在抛物线的准线上，过点作抛物线的两条切线分别交轴于两点，当的面积是时，求点的坐标.
已知抛物线的焦点为，且与圆上点的距离的最小值为．
（1）求；
（2）若点在上，是的两条切线，是切点，求面积的最大值．
（多选）已知抛物线：的焦点为，过向第一象限作射线，过点作的切线，切点为，且，则（ ）
A．点的轨迹是抛物线的一部分 B．点的轨迹是直线的一部分
C．外心的轨迹是直线的一部分 D．外心的轨迹是抛物线的一部分
题型5：与抛物线有关的最值（范围）问题
解与抛物线有关的最值问题主要有两种思路:一是利用抛物线的定义，进行到焦点的距离与到准线的距离的转化,数形结合，利用几何意义解决;二是利用抛物线的标准方程,进行消元代换，得到有关距离的含变量的代数式,借助目标函数最值的求法解法。
已知F为抛物线C的焦点，P为C上的点,A为定点,则有下列结论成立:
①的最小值
②的最大值=;
③的最小值
求抛物线上一点到定点的最值
在抛物线上求一点P，使其到焦点F的距离与到点的距离之和最小，则该点P的坐标为（ ）
A． B． C． D．
已知为抛物线上的任意一点，为其焦点，为圆上的一点，则的最小值为 、
点是抛物线的焦点，直线为抛物线的准线，点为直线上一动点，点在以为圆心，为半径的圆上，点在抛物线上，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点与圆的圆心重合，为上一动点，点. 若的最小值为2.
(1)求抛物线的标准方程;
(2)过焦点的直线与抛物线和圆自上而下依次交于四点，且满足， 求直线的方程.
求抛物线上一点到定直线的最值
已知是抛物线：上的一点，直线：，过点作与的夹角为的直线且与交于点，设为点到轴的距离，则的最小值为（　　）
A． B． C． D．
已知双曲线的左焦点到其一条渐近线的距离等于，抛物线的准线过双曲线的左焦点，则抛物线上一动点M到直线和的距离之和的最小值为（ ）
A． B． C． D．
已知抛物线x2＝4y上有一条长为6的动弦AB，则AB的中点到x轴的最短距离为 .
题型6：抛物线在实际问题中的应用
求解与抛物线有关的实际应用问题的步骤：
第一步：建系，建立适当的坐标系；
第二步：假设，设出合适的抛物线标准方程；
第三步：计算，通过计算求出抛物线标准方程；
第四步：求解，求出所要求的量；
第五步：还原，还原到实际问题中，从而解决实际问题。
如图，某高脚杯的轴截面为抛物线，往杯中缓慢倒水，当杯中的水深为时，水面宽度为，当水面再上升时，水面宽度为 .

图1为一种卫星接收天线，其曲面与轴截面的交线为抛物线的一部分，已知该卫星接收天线的口径，深度，信号处理中心位于焦点处，以顶点为坐标原点，建立如图2所示的平面直角坐标系，则焦点的坐标为（ ）

A． B． C． D．
（多选）用于加热水和食物的太阳灶应用了抛物线的光学性质：一束平行于抛物线对称轴的光线，经过抛物面（抛物线绕它的对称轴旋转所得到的曲面叫抛物面）反射后，集中于它的焦点.用一过抛物线对称轴的平面截抛物面，将所截得的抛物线放在平面直角坐标系中，对称轴与轴重合，顶点与原点重合.若抛物线：的焦点为F，为坐标原点，一条平行于x轴的光线从点M射入，经过上的点反射，再经过上另一点反射后，沿直线射出，则（ ）

A．的准线方程为
B．
C．若点，则
D．设直线与的准线的交点为N，则点N不在直线上
如图，探照灯反射镜由抛物线的一部分绕对称轴旋转而成，光源位于抛物线的焦点处，这样可以保证发出的光线经过反射之后平行射出.已知灯口圆的直径为60cm，灯的深度为40cm.

(1)将反射镜的旋转轴与镜面的交点称为反射镜的顶点.光源应安置在旋转轴上与顶点相距多远的地方？
(2)为了使反射的光更亮，增大反射镜的面积，将灯口圆的直径增大到66cm，并且保持光源与顶点的距离不变.求探照灯的深度.

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