资源简介

第十一节 专题:求圆锥曲线的轨迹方程
▍知识点1:直接法求轨迹方程
当动点直接与已知条件发生联系时,在设出曲线上动点的坐标为后,可根据题设条件将普通语言运用基本公式（如两点间距离公式、点到直线的距离公式、斜率公式等）变换成表示动点坐标间的关系式（等式）,从而得到轨迹方程.
［对应练习:题型1］
▍知识点2:定义法求轨迹方程
若动点运动的几何条件满足某种已知曲线的定义（如圆、椭圆、双曲线、抛物线）,可以设出其标准方程,然后用待定系数法求解,这种求轨迹方程的方法称为定义法.
［对应练习:题型2］
▍知识点3:代入法（相关点法）求轨迹方程
如果动点的运动是由另外某一点的运动引发的,而该点的运动规律已知,（该点坐标满足某已知曲线方程）,则可以设出,用表示出相关点的坐标,然后把的坐标代入已知曲线方程,即可得到动点的轨迹方程.
［对应练习:题型3］
▍知识点4:点差法求轨迹方程
圆锥曲线中与弦的中点有关的轨迹问题可用点差法,其基本方法是把弦的两端点的坐标代入圆锥曲线方程,然而相减,利用平方差公式可得,,,等关系式,由于弦的中点的坐标满足,且直线的斜率为,由此可求得弦中点的轨迹方程.
［对应练习:题型4］
▍知识点5:参数法求轨迹方程
动点的运动主要是由于某个参数的变化引起的,且所求轨迹的动点的坐标之间的关系不易找到,也没有相关信息可用时,可先考虑将,用一个或几个参数来表示,消去参数得轨迹方程,此法称为参数法.参数法中常选变角、变斜率等为参数,然后用这个参数表示动点的坐标,即,再消参.
［对应练习:题型5］
▍知识点6:交轨法
交轨法一般用于求两动曲线交点的轨迹方程.该问题常用参数法和交轨法进行处理,交轨法是对参数方程法的一种优化,参数方程法是联立两个曲线方程,解出交点的参数方程,然后再消参求出轨迹,而交轨法是直接把两个曲线方程中的参数消去,得到轨迹方程.所以用交规法求动点轨迹方程时,不一定非要求出交点坐标,只要能消掉参数,得出点的两个坐标间的关系即可.
［对应练习:题型6］
定义法求轨迹方程
【典例 1】一个动圆与定圆:相内切,且与定直线相切,则此动圆的圆心M的轨迹方程是（　　）
A. B.
C. D.
【练习 2】（2024·全国高二专题）平面直角坐标系中点满足,则点的轨迹为（ ）
A.线段 B.圆 C.椭圆 D.不存在
【练习 3】已知动圆与圆外切,与圆内切;则动圆圆心的轨迹方程为 .
【练习 4】（24·长沙）已知圆N:,直线,圆M与圆N外切,且与直线相切,则点M的轨迹方程为 .
【练习 5】一动圆过定点,且与已知圆:相切,则动圆圆心的轨迹方程是_______________.
【练习 6】（2024·河南）已知圆, ,动圆与圆,均外切,则圆心的轨迹方程为______________.
【练习 7】已知是圆上的一动点,点,线段的垂直平分线交直线于点,则点的轨迹方程为______________.
【练习 8】如果点M（x,y）在运动过程中,总满足关系式,那么点M的轨迹方程为______________.
【练习 9】设复数满足,在复平面内对应的点为,则在复平面内的轨迹方程为 .
【练习 10】（2023·辽宁）已知,则复数在复平面内所对应点的轨迹方程为 .
直接法求轨迹方程
【典例 11】已知两点,,点P满足,求点P的轨迹方程.
【练习 12】已知圆:,动圆与圆外切,且与定直线相切,设动点的轨迹为.求的方程.
【练习 13】曲线C上任意一点P到点F（2,0）的距离与它到直线x＝4的距离之比等于,求曲线C的轨迹方程.
【练习 14】已知点A,B,P是平面内的一个动点,直线PA与PB的斜率之积是,求动点P的轨迹方程.
【练习 15】已知点和直线l:x=8,过动点P作PQ⊥l,垂足为Q,且.求动点P的轨迹方程.
【练习 16】已知平面上的动点到点和的距离之比为,求点的轨迹方程.
【练习 17】（2024·贵州三模）过点的直线与圆相交于不同的两点,求线段的中点的轨迹方程.
【练习 18】设动点M到定点的距离与它到直线的距离之比为,求点M的轨迹方程.
【练习 19】动点到定点与定直线的距离之和为4,求点的轨迹方程.
【练习 20】平面上动点到定点的距离比到轴的距离大,求动点的轨迹方程.
【练习 21】在边长为的正内有一动点P,已知,求点P的轨迹方程.
【练习 22】（2023·全国高三专题练习）已知两条直线和,有一动圆与及都相交,并且、被截在圆内的两条弦长分别是26和24,求动圆圆心的轨迹方程.
相关点法求轨迹方程
【典例 23】已知点是曲线上任意一点,,连接并延长至,使得,求动点Q的轨迹方程.
【练习 24】点P为椭圆上的任意一点,O为原点,M满足,求点M的轨迹方程.
【练习 25】已知点是圆上的动点,过点作轴,垂足为,点在线段上,且,求点的轨迹方程.
【练习 26】设分别是直线和上的动点,且满足,求的中点的轨迹方程.
【练习 27】双曲线的两个焦点分别为、,双曲线的两条渐近线分别为直线,若点、分别在上,且满足,求线段的中点的轨迹方程.
【练习 28】已知面积为16的正方形ABCD的顶点A、B分别在x轴和y轴上滑动,O为坐标原点, ,求动点P的轨迹方程.
【练习 29】已知分别为椭圆的左、右焦点,是椭圆E上一动点,G点是三角形的重心,求点G的轨迹方程.
【练习 30】设平面直角坐标系中,O为原点,N为动点, ,,过点M作轴于点,过点N作轴于点,M与不重合,N与不重合,设,求点T的轨迹方程.
【练习 31】已知椭圆的上 下顶点分别为,点是椭圆上异于的动点,记分别为直线的斜率.点满足.
（1）证明:是定值,并求出该定值;
（2）求动点的轨迹方程.
【练习 32】如图,为椭圆上的动点,过作椭圆的切线交圆于、,过、作切线交于,求的轨迹方程.
点差法求轨迹方程
【典例 33】已知椭圆,求斜率为的平行弦中点的轨迹方程.
【练习 34】已知椭圆的弦所在直线过点,求弦中点的轨迹方程.
【练习 35】已知椭圆,求该椭圆所有斜率为的弦的中点的轨迹方程.
【练习 36】已知双曲线的左、右焦点分别为,,过点的动直线与双曲线相交于两点.若动点满足（为坐标原点）,求点的轨迹方程.
参数法求轨迹方程
【典例 37】平面上一动点C的坐标为,则点C的轨迹E的方程为 .
【练习 38】,,当时,线段的中点轨迹方程为 .
【练习 39】方程（t为参数）所表示的圆的圆心轨迹方程是 .
【练习 40】（2017·北京高二）已知正方形的四个顶点分别为,,,,点, 分别在线段,上运动,且,设与交于点,求点的轨迹方程.
【练习 41】已知与圆的两个交点分别为A、,弦的中点为,求点的轨迹方程.
【练习 42】设椭圆方程为,过点的直线l交椭圆于点A,B, O是坐标原点,点P满足,当l绕点M旋转时,求动点P的轨迹方程.
【练习 43】过抛物线（）的顶点作两条互相垂直的弦、，求弦的中点的轨迹方程．
【练习 44】已知拋物线,过其焦点作两条相互垂直且不平行于轴的直线,分别交抛物线于点和点的中点分别为,求线段的中点的轨迹方程.
【练习 45】已知抛物线的焦点到准线的距离为2,直线与抛物线交于两点,过点作抛物线的切线,若交于点,求点的轨迹方程.
【练习 46】直线在轴上的截距为且交抛物线于、两点,点为抛物线的顶点,过点、分别作抛物线对称轴的平行线与直线交于、两点.分别过点、作抛物线的切线,求两条切线的交点的轨迹方程.
【练习 47】已知抛物线的焦点为F,过点F的直线与C交于M,N两点,过点M,N分别作C的切线,,两切线交于点P,求点P的轨迹方程.
【练习 48】（22·西安模拟）已知椭圆C:,经过定点斜率不为0的直线l交C于E,F两点,A,B分别为椭圆C的左,右两顶点.求直线AE与BF的交点P的轨迹方程.
交轨法求轨迹方程
【典例 49】（2023·贵州高三统考期末）已知直线,,当任意的实数m变化时,求直线与的交点的轨迹方程.
【练习 50】求两动直线与的交点的轨迹方程.
【练习 51】已知椭圆,点A,B分别是它的左 右顶点,一条垂直于x轴的动直线l与椭圆相交于P,Q两点,求直线与直线的交点的轨迹方程.
【练习 52】如图,椭圆（）,动圆,,点分别为的左,右顶点,与相交于四点,求直线与直线交点的轨迹方程.
【练习 53】过椭圆的右焦点作一条斜率为的直线交椭圆于,两点,交轴于点, 为弦的中点,过点作直线的垂线交于点,求点的轨迹方程.
【练习 54】已知椭圆, 过椭圆的右焦点作直线,交椭圆与,两点. 是的中点, 求的轨迹.
【练习 55】过椭圆的左顶点作直线与椭圆相交,另一交点为,点是的中点,点在直线上,且,求直线与直线的交点的轨迹方程.
【练习 56】（2023·高三专题）抛物线, 为坐标原点,、在抛物线上,且,过作交于,求点轨迹方程.
【练习 57】已知椭圆C:,若动点P为椭圆C外一点,且过点P的椭圆C的两条切线相互垂直,求点P的轨迹方程.
【练习 58】（2024·全国高三专题）已知抛物线,过顶点的两弦互相垂直,求以为直径的两圆的另一交点的轨迹方程.
【练习 59】（2021·全国高三专题）已知点、以及直线,设长为的线段在直线l上移动（如图所示）,求直线和的交点M的轨迹方程.
【练习 60】（2023·全国高三专题）由圆外一点引圆的割线交圆于两点,求弦AB的中点M的轨迹方程.（请分别用直接法、定义法、交轨法、参数法、点差法进行求解）C2 3,0 ,半径 r2 3 ,
第十一节 专题:圆锥曲线的轨迹方程
设动圆半径为 r ,由条件可得 MC1 r 3, MC2 r 1, ,即
重点题型专练 MC1 MC2 2 C1C2 6 ,
则根据双曲线的定义可知,点 M 是以 C1 , C2 为左右焦点,以 2为实轴长
【1】D
的双曲线的右支,
解析:设动圆 M的半径为 r,依题意: MF r 1 , 则 a 1 , c 3 ,可得 b2 c2 a2 8 ,
y2
所以曲线 C 的方程为 x2 1 x 1 .
8
x2 y2
【7】 1
4 5
解析:如图所示:
点 M到定直线 x 2 的距离为 d r 1 ,
所以动点 M到定点 F 2,0 的距离等于到定直线 x 2 的距离,
即 M的轨迹为以 F为焦点, x 2 为准线的抛物线,
所以此动圆的圆心 M的轨迹方程是 y2 8x .故选:D.
【2】A
解析:因为 (x 1)2 y2 (x 1)2 y2 2 ,表示点 P(x, y) 到两点 ∵ P 是圆 F1 上一动点,点 F2 的坐标为 3,0 ,线段 PF2 的垂直平分线交
F1(1,0),F2 ( 1,0) 的距离之和为 2,又 | F1F2 | 2 ,则点 P 的轨迹就是线段 直线 PF1 于点 Q ,
F1F2 .故选:A ∴ QP QF2 , QF1 QF2 QF1 QP PF1 ,
x2 y2
【3】 1
16 12 ∵ P 是圆 F1 上一动点,∴ PF1 4 ,∴ QF1 QF2 4 ,
解析:由 O1 : (x 2)
2 y 2 1 ,即 O1 2,0 ,半径为 1 , ∴ F2 3,0 , F1 3,0 , F1F2 6 4 ,
O2 : (x 2)
2 y 2 49 ,即 O2 2,0 ,半径为 7 , ∴点 Q 的轨迹为以 F1、F2 为焦点的双曲线,且 a 2 , c 3 ,得 b 5 ,
有 O1O2 2 2 4 7 1 6 , Q x
2 y2
∴点 的轨迹方程为 1 .
O O 4 5故圆 1 与圆 2 为内含关系,
x2 y2
设动圆 M 半径为 r ,由动圆 M 与圆 O1 : (x 2)
2 y 2 1外切,故 【8】 112 3
MO1 1 r , 2解析: x2 y 3 x2 2 y 3 4 3 可看作 M x, y 到 0，3 ， 0， 3
由动圆 M 与圆 O 2 22 : (x 2) y 49 内切,故 MO2 7 r ,
的距离之和为 4 3 ,由于 4 3 6 ,所以点 M 的轨迹是以 0，3 ， 0， 3 为
又圆 O1 与圆 O2 为内含关系,故点 M 在圆 O2 内部,故
x2 y2
MO 7 r 7 r , 焦点,长轴长为 4 3 的椭圆,即 12 12 3
有 MO MO 7 r 1 r 8 OO , x2 y21 2 1 2
【9】 1
故动圆圆心 M 的轨迹为以 O1 2,0 、 O2 2,0 为焦点, 8 为长轴长的椭 3 4
解析:因为 z x y i 且 z i z i 4 ,所以
圆,则半长轴长为 4 ,半短轴长为 42 22 2 3 ,故动圆圆心 M 的轨迹
2 2
x2 y2 x2 y2 x
2 y 1 x2 y 1 4 2 ,
方程为 1 .故答案为: 1 .
16 12 16 12 所以 z 在复平面内的轨迹是以 0, 1 和 0,1 为焦点, 2a 4 为长轴的椭
【4】 x2 12y
x2 y2 x2 y2
2 圆,所以 z的轨迹方程为 1 故答案为: 1
解析:由题意得,直线 l: y 1 ,且圆 N: x2 y 3 4 , 3 4 3 4
设圆 M半径为 r,则点 M到 l＇: y= 3与点 M到点 N 2 2的距离相等,都是 【10 y x】 1
r 2 ,故点 M的轨迹是以 N为焦点,以 l＇为准线的抛物线,故方程为 9 4
x2 12y .故答案为: x2 12y 解析:∵复数 z 在复平面内所对应点 P x, y ,
又 z 5i z 5i 6 ,
∴ x2 2 2y 5 x2 y 5 6 ,
即点 P x, y 到点 A 0, 5 ,和 B 0, 5 的距离之和为 6,且两定点的
距离为 2 5 6 ,
x2 y2 故点 P 的运动轨迹是以点 A,B 为焦点的椭圆,且 2a 6,2c 2 5 ,
【5】 1
4 12 故 b a2 c2 2 ,
解析:已知圆 N : x 4 2 y 2 16 圆心 N 4,0 ,半径为 4, 2 2
∴复数 z在复平面内所对应点 P x, y y x的轨迹方程为: 1 ,
动圆圆心为 P ,半径为 r , 9 4
当两圆外切时: PM r, PN r 4 ,所以 PM PN 4 y2 2; x故答案为: 1 .
当两圆内切时: PM r, PN r 4 ,所以 PM PN 4
9 4
;
【11】 x2 y2 16
即 PM PN 4 ,表示动点 P到两定点的距离之差为常数 4,符合双曲
解析:设 P x, y ,
线的定义,所以 P在以M、N为焦点的双曲线上,且 2a 4 , 2c 8 ,
2 2 ∴ PM ( 2 x, y) , PN (2 x, y) ,因为 PM PN 12 ,所以
2 x y b c a2 16 4 2 3 ,所以轨迹方程为: 1 .
4 12 x
2 4 y2 12 ,即 x2 y2 16 .
2 【12】 y2 8x
【6 x2 y】 1 x 1
8 解析:设 P x, y ,圆 P 的半径为 R ,由题可知,点 P 在直线 x 3 右侧,
解析:由题意可知:圆 C1 的圆心 C1 3,0 ,半径 r1 3 ,圆 C2 的圆心
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因为圆 P 与定直线 x 3 相切,所以 R x 3 . 可得 x2 (y 1)2 | y 3| 4 ,
又圆 P 与圆 F 2外切,所以 R | PF | 1 x 2 y 2 1 , ①当 y 3 时,有 x2 (y 1)2 y 1 ,化简得 x2 4y ;
2
所以 x 3 x 2 y 2 1 ,化简得 y2 8x ,即 E 的方程为 y2 8x . ②当 y 3时,有 x2 (y 1)2 7 y ,化简得 x2 12(y 4) ,
2
13 x y
2
1 2 4y, y 3【 】
8 4 综上所述:点 M 的轨迹方程为
x .
12(y 4), y 3
2x 2 y2 2 2 1 2 2 4x, x 0解析:设 P x, y ,由题意 x 2 y2 x 4 , 【20】 y
x 4 2 2 0, x 0
x2 y2 x2 y2 x2 y2 解析:设点 P 的坐标为 x, y ,
化简得 1 ,即 C的方程为 1 .故答案为: 1 .
8 4 8 4 8 4 因为动点 P 到定点 F 1,0 的距离比到 y轴的距离大 1 ,
x2
【14】 y2 1 x ± 2 22 所以 x 1 y 2 x 1 ,
解析:设 P(x,y) x 2 , 2 2 4x, x 0 2 4x, x 0即 y 2x 2 x , y ,动点 P 的轨迹方程为 y ,
y y 1 0, x 0 0, x 0
由 kAP·kBP x 2 x 2 2 , 2 4x, x 0故答案为: y .
x2 0, x 0
整理得 y2 1 x ± 2 ,
2 2【21】 x2 y 3a 4a2 , 0 y 2 3 a
x2
故动点 P的轨迹 C的方程为 y2 1 x ± 2 , 解析:如图,以 BC 所在直线为 x 轴,以 BC 的中垂线为 y2 轴,建立平面
2 直角坐标系,x
故答案为: y2 1 x ± 2
2 则 B a,0 , C a,0 , A 0, 3a ,设 P x, y ,
x2 y215 1 PB 2 x a 2 y2 PC 2 x a 2 2
2
【 】 因为 , y2 , PA x2 y 3a ,
16 12
P(x, y) Q(8, y) PA 2 PB 2 2解析:设 ,则 , 而 PC ,
1 1
由 (PC PQ) · (PC PQ) =0,得 4 | PC |2 | PQ |2 , 2 2 2 22 2 则 x y 3a x a y2 x a y2 ,
2 2
即 4 (x 2)
2 y2 (x 8)
2 (y y)2 x y 2 ,化简得 1 ,16 12 化简得 x
2 y 3a 4a2 ,
x2 y2
所以点 P在椭圆上,即动点 P的轨迹方程为 1 . 由题意知 0 y 2 3 a ,
16 12
2
x2 y2 所以点 P的轨迹方程为 x2 y 3a 1 4a
2 , 0 y 2 3 a .
故答案为:
16 12
【16】 (x 6)2 y2 48
解析:设 P(x, y) ,因为动点 P 到点 O(0,0) 和 A(2,0) 3的距离之比为 ,
2
(x 0)2 (y 0)2 3 x2 y2 3
所以 ,
2 2 2

(x 2) (y 0)2 2 (x 2) y 4
,
即: 4x2 4y2 3(x2 4x 4) 3y2 ,
(x 1)2 y2
所以 x2 y2 12x 12 ,即 (x 6)2 y2 48 , 【22】 165 65
所以点 P 的轨迹方程是 (x 6)2 y2 48 . 解析:设圆心 M 的坐标为 (x, y) ,圆的半径为 r ,点 M 到 l1 、l2 的距离分
故答案为: (x 6)2 y2 48 别为 d1 、 d2 ,
17 x 2【 】 3 y 2 4 25 C 则 d 2 132 r 2 , d 2 2 2 2 2 2（在圆 内的一部分） 1 2 12 r ,得 d2 d1 5 .
解析:设 P x, y ,根据线段 MN 的中点为 P ,则 CP MN ,即 CP AP d | 2x 3y 2 | d | 3x 2y 3|, 由题意可得: 1 , 2 ,即
13 13
所以 CP AP 0 ,又 A 6, 8 , C 0,0 , AP x 6, y 8 , CP P x, y , 2 2
3x 2y 3 2x 3y 2
x x 6 y y 8 0 x 3 2 2

所以 ,即 y 4 25 , 25 ,13 13
所以点 P 的轨迹是以 3, 4 为圆心,半径为5的圆在圆 C 内的一部分. (x 1)2 y2
化简得 x2 2x 1 y2 65 .即 1 .
x2 y2 65 65
【18】 1 2 2
4 5 (x 1) y故答案为: 1.
M (x, y) 2 2 4
65 65
解析:设点 ,所以 MF (x 3) y ,M到直线 l : x 的距离
3 1【23】 y x2 6x 20
4 2
为 x3 解析:设动点 Q 的坐标 x, y ,点 P 坐标

(x 3)2 y2 3 x1, y1 , AQ x 2, y ，PA 2 x1, y1 ,
2 2 3 4
由题意得 4 x 2
,即 (x 3) y x2 3 , 因为 AQ 2PA ,所以 x 2 2 2 x1 , y 0 2 0 y1 ,
3
x 6 x y
2 2 可得 1 , y1 ,9 16 8x 2 2
所以 (x 3)2 y2 x
2 x y
4 ,整理得
1 ,
9 3 4 5 2
y x2 y 6 x
1
2代入
x2 y2 1 1
1 ,得 1 ,整理得 y x 6x 20 ,
M 2 2
2
所以点 的轨迹方程为 1 .
4 5
所以动点 Q
1 2
2 的轨迹方程为 y x 6x 20 .【19】 x 4y 2
解析:设 M (x, y) ,因为动点 M 到定点 A(0,1)与定直线 l : y 3的距离之 y 1故答案为: x2 6x 20
和为 4, 2
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4x2 y2
【24】 1 . x 2 2 2 2 m25 4 3 m 3x
解析:设点 M (x, y)
则 ,得 ,
, y 0 0 n

n 3y
1 2 2 3
由 OM OP 得点 P(2x,2y) x y,而点 P 为椭圆 1上的任意一点,
2 25 16 又 P 是椭圆 E上一动点,
(2x)2 (2y)2 4x2 y2 2于是得 1 ,整理得: 1 3x, 2 2 23y 1 ,即 x 9y 1 ,又 G点是三角形 PF F 的重25 16 25 4 1 29
4x2 y2 4x2 y2
所以点 M 的轨迹方程是 1 .故答案为: 1 心, y 0 ,所以点 G的轨迹方程为 x
2 9y2 1(y 0) .
25 4 25 4
30 5x2 y2【 】 362 x 0且y 0 x
【25】 y2 1
9 解析:设点 N (x0 , y0 ) ,因为 ON 6 ,所以有 x 2 y 20 0 36 ,因为
解析:设 P x, y , A m,n ,则 B x,0 ,
1 1 ON 5OM M (
5 5
,所以有 x0 , y0 ) ,由题意可
因为 PB AB ,则 BP BA , 5 5
3 3 5
1 知: M1(0, y0 ) , N1(x0 ,0) ,因为 M 与 M1 不重合, N 与 N1 不重合,所
0 m x1
5
m x
则 0, y m x,n 3 ,可得 ,解得 ,即 A x,3y . 3 y 1 n n 3y 以 x0 0 且 y0 0 , MM1 N1N
5 5
x ,0
5 0
0, y0 x0 , y0 ,
3
5
2 5
因为点 A 在圆 x2 2
x
y 9 上,则 x2 9y2 9 ,即 y2 1 , 设 T (x, y) ,因为 OT MM1 N1N ,所以有 x x0 , y y0 ,而
9 5
x 20 y
2
0 36 ,所以 5x
2 y2 36 ,又因为 x0 0 且 y0 0 ,
故答案为: 5x2 y2 36 （ x 0 且 y 0）.
1
31 1 2 y
2
【 】（ ）证明见解析, （ ） x2 1
2 x 0 2
解析:（1）由题意可知 A1 0, 2 ,A2 0, 2 ,
y2 设点 P x0 , y0 ,显然
【26】 x2 1
16 x2 y2 x2 y2 2 2x 0, 0 0 1. 0 1 0
2 y
0
2 y
, 0 10
解析:设 A x1,2x1 , B x2 , 2x2 , M x, y
2
, 4 2 4 2 2 x0 2
2
x x x x y0 2 y0 2 y0 2 1
因为 M 为 AB的中点,则 M 1 2 ,x1 x ,故 x 1 22 , y x x , k1k2 2 ,为定值.1 2
2 2 x0 x0 x0 2
AB 2 2又因为 x1 x2 2x1 2x
2
2 16 y2 4x
2
,所以 16 ,即
y2 2x2 y 1 ,所以点M的轨迹方程为 x2 1 .
16 16
x2
【27】 y2 1
4
2
解析:双曲线方程为 y2
x
1 ,从而其渐近线方程为 y 2 x .
2 2
（2）设点 Q x, y , x 0 ,
设 A x1, y1 , B x2 , y2 ,线段 AB的中点 M (x, y) , x
2 2 QA1 PA1 , y
0
由于 0 2 , kQA ,1
由已知不妨设 y1 x , y x y 22 1 2 2 2
, 0
x0
2 QA 2x x x 2 y y 1 的方程:
y x 2 ①.
从而 2y y y x x , 1 2 1 1 2 2 , y 22 1 2 0
x
2 2 0
由 3 | AB | 2 F1F2 得 3 x1 x2 y1 y QA2 PA2 , kQA ,2 2 2 3 , 2 y0 2
(2 2 y)2 x
2
所以 ( 2x)2 (2 2 )2 ,即 y2 1 , x QA 04 的方程: y x 21 y ②0 2
2
则M 的轨迹 C x的方程为 y2 1 . y2 2 x
4 由①②联立可得: x 0 0x ,
2 2 0
2
【28 x y】 1 x y 29 4 0 0 2代入①可得 y 2 y 0 2 2 y 0 ,
解析:设 P(x, y) ,不妨令 A(x1,0) , B(0, y
y0 2 x0
2 )
正方形 ABCD 的面积为 16,则 AB 4 ,则 x 2 y 2 16 , x即点 Q 0

1 2 , y0
2
3
x x 43 1 4 1 x x x
2 2
1 0
2x
由 OP OA OB ,可得 ,即 3 , , Py y 点 x0 , y
x0 y
0 满足: 0 1 ,
4 2 y 1 y y

2y 0 4 22 2
2 2 2
y y
2 代入可得 x
2 1, 点 Q 的轨迹方程为: x2 1 x 0
4x x2 y22 2 2
则 3
2y 16 ,整理得 1
9 4
2
32 x y
2
【 】 1 .
【29】 x2 9y2 1(y 0) 72 96
x2 解析:设点 P x0，y0 ,先证明椭圆 C1 在点 P 处的切线方程为
解析: F 21,F2 分别为椭圆 E : y 1的左、右焦9 x0x y 0
y
1 .
点, F1( 2 2 ,0), F 8 62 (2 2 ,0)
设 G(x, y), P(m,n) ,G点是三角形 PF1F2 的重心
{#{QQABDQ6hwwAYkAYACJ7aV0H8CQgQsJITJYoOAVAcKAYCiQFIBCA=}#}
x0x y0 y 1 整理得 3x
2 4y2 3x 4y 0 x 1 ;
8 6
联立 ,可得 x2 2x x x2 0 , 4x2 4x2 当 x2 2 0 0 0 0 0 , 1 x2 时,则直线 AB方程为 x 1 ,代入椭圆方程解得
x y
1 8 6 A
3 3
1, ,B 1,
2 2


x x y y
故椭圆 C 0 01 在点 P 处的切线方程为 1 .8 6 所以 F 1，0 满足上述方程,故点 F 的轨迹方程 3x
2 4y2 3x 4y 0 .
设点 M x1，y1 ,再证圆 C2 在点 M 处的切线方程为 x1x y1y 24 . y x【35】 2 x 2
2
y
当直线 OM 1的斜率存在且不为零时, k 1 1OM ,圆 Cx 2 在点 M 处的切线 解析:设斜率为 的直线方程为 y x b ,与椭圆的交点为1 2 2
x
k 1 A x1, y1 ,B x斜率为 , 2 , y2 ,y1 y2 y1 1 x1 x2 y2 y1
x 设中点坐标为 x, y ,则 , x, y
∴圆 C 1在点 M 处的切线方程为 y y x x ,即 x1 x2 2 2 2
,
2 1 y 11 x 2
2 2 1 y 2x1x y1y x1 y1 24 , 1 4 1 x1 x2 x x
OM M 所以 2 ,两式相减可得
2 y2 y1 y2 y1 ,当直线 的斜率不存在且为零时,在点 处的切线满足上式. x2 y 2 4
N x，y C N 2 1设点 2 2 ,则圆 2 在点 处的切线方程为 x2x y 2 y 24 , 4
mx1 ny1 24 x x2 y y x
设点 Q m，n 2 1,则 , y y ,即 y ,
mx2 ny2 24 4 x1 x
2 1
2 2
∴点 M 、 N 的坐标满足方程 mx ny 24 , x2
y2 1 2
故直线 MN 的方程为 mx ny 24 , 4 x由于在椭圆内部,由 得 bx b2 1 0 ,
x x y y 1 2
由于直线 mx ny 24 与直线 0 0 1 重合, y x b
8 6 2
mx ny 24 3x x 4y y 24 b2 2 b2即直线 与直线 重合, 所以 10 0 0 时,即 b 2 直线与椭圆相切,
m x2
m 3x x0 此时由 2x 1 0解得 x 2 或 x 2 ,0
3 2∴ ,即 ,
n 4y0 y n 所以 2 x 2 , 0 4 x
x2 y2 m2 n2 所求得轨迹方程为 y 2 2 x 2 .由于点 P 在椭圆 C1 上,则 0 0 1 ,即 1 ,8 6 72 96 x
故答案为: y 2 x 2 .
x2 y2 2
因此,点 Q 的轨迹方程为 1 .
72 96
4 4 【36】 (x 6)2 y2 4
【33】 x 4y 0( x )
3 3 2 2
PQ 解析: x
2 y2 x y 2 ,即 1 ,故 F
P x , y ,Q x , y 2,0 , F 2,0 ,设解析:设弦的两个端点分别为 1 1 2 2 , 的中点为 2 2 1 2
M x, y . M (x, y) , A x1, y1 , B x2 , y2 .
x 2 2
则 1 y 2 1
x
①, 2 y 2 1②
2 1 2 2
x 2- 1 x
2
① ②得: 2 y 2 y 22 1 2 0 ,
x1 x 2
y1 y 2 y1 y2 02 x x .1 2
y y
又 x1 x2 2x, y1 y 2y,
1 2 2 , x 4y 0 . 2 x1 x2 则 F1M (x 2, y) , F1A x1 2, y1 , F1B x2 2, y2 , F1O (2,0) ,
由于弦中点轨迹在已知椭圆内, x 2 x x 6 x x x 4
2 由 F1M F1A F1B FO
1 2 1 2
1 得 即 ,x
y2 1 4
y y1 y2 y1 y2 y
联立 2 x
3 x 4 , y x 4y 0 于是 AB的中点坐标为 2 2 .
4 4
故斜率为 2 的平行弦中点的轨迹方程: x 4y 0( x ) y
3 3 y y y
【34】 3x2 4y2 3x 4y 0 当 AB不与 x 轴垂直时,
1 2 2 ,即
x x x 41 2 2 x 8

A x , y B x , y F x, y
x1 x 2AB 2
2x
解析:设 1 1 ， 2 2 ,弦 的中点 ,则 ,
y y1 y2 2y y1 y2 x x .x 8 1 2
x2 2
1
y
1 1 又因为 A,B 两点在双曲线上,所以 x2 y2 2 21 1 2 , x2 y2 2 ,
4 3
将 A，B代入椭圆方程得 ,
x2 y2 两式相减得 x1 x2 x1 x2 y1 y2 y 1 y2 ,即2 2 1
4 3 x1 x2 (x 4) y1 y2 y .
x1 x2 x1 x2 y1 y2 y y两式相减得 1 2 y y y 0 , 将 1 2 x1 x2 代入上式,化简得 (x 6)2 y2 4 .
4 3 x 8
x x x 2y y y 当 AB与 x 轴垂直时, x1 x2 2 ,求得 M (8,0) ,也满足上述方程.
所以 1 2 1 2 0 ,
2 3 综上所述:点 M 的轨迹方程是 (x 6)2 y2 4 .
x 2y y1 y2 0 x 2y y1 y
2
当 x1 x2 时,
2 0
, 【37
x
】 y2 1
2 3 x1 x2 2 3 x1 x2 2
y1 y2 y 1k k x 2y y 1
x
因为 ,所以 ,则 0 , 解析:令 x 2 cos , y sin ,所以 cos , y sin ,故EF AB x1 x2 x 1 2 3 x 1 2
{#{QQABDQ6hwwAYkAYACJ7aV0H8CQgQsJITJYoOAVAcKAYCiQFIBCA=}#}
2
x x2 x2 k
y2 cos2 sin
2 1 ,进而 y2 1 ,故答案为: y2 1 x 2 ①
2 2 2 设点 P的坐标为 x, y 4 k,则 ,4
x2 2
y 2 ②
【38 y】 1 4 k
2 8 4x
2 2
解析:因为 A 2cos ,4sin , B 2sin , 4cos 由①÷②得 k , y ,代入②整理得 4x y y 0 ③
2sin 2cos , 4sin 4cos 当 lAB 的斜率不存在时,A、B中点为坐标原点（0,0）,也满足方程③,所以 中点坐标为
2 2
,
所以点 P的轨迹方程为 4x2 y2 y 0 .
即 sin cos ,2sin 2cos , 【43】 y2 p(x 2p)
设点 (x, y) 为线段 AB的中点轨迹上任一点的坐标, 1
解析:设直线 OA的斜率为 k(k 0) ，则直线 OB的斜率为 ．
x sin cos k
x sin cos , y ∵直线 OA的方程为 y kx，
y 2sin 2cos sin cos
,

2 x 2p
y2 y kx
k 2 2p 2p
x2 sin cos 2 sin cos 2 2 , 联立方程 2 ，解得 ，即 A( , ) ，
4 y 2px

y 2p k
2 k

x2 2

y k
即当 R 时,线段 AB的中点轨迹方程为 1 ,
2 8 同理可得 B(2pk
2 , 2pk) ．
x2 y2
故答案为: 1 p 2
2 8 M p p
x pk
2 k 2
由中点坐标公式得 pk , pk ，即 ，消去 k 得
【39】 x 2y 0 k 2 k y p pk
解析:圆 x2 y2 4tx 2ty 3t 2 4 0 化为 (x 2t)2 (y t)2 2t 2 4 ,它 k
2 2
(2t,t) 2t 2 4 y p(x 2p) ∴点 M 的轨迹方程为 y p(x 2p)表示以 为圆心, 为半径的圆,
2
(x, y) x 2t
【44】 y x 3
设圆心坐标为 ,于是得 （t为参数）,消去 t得: x 2y 0 ,
y t 解析:设直线 AB的方程为 y k x 1 ,设 A x1, y1 , B x2 , y2 ,
所以所求圆心轨迹方程是 x 2y 0 .故答案为: x 2y 0 y2 4x 2 2
联立 ,得 k x 2k
2 4 x k 2 0
y x(1 x)(0 x 1) y k x 1 ,【40】
解析:设 D(0,m)(0 m 1) ,则 E(1,1 m) , 2k 2x 4 4得 1 x2 2 2 2 ,
所以直线 AD的方程为 x
y
1 , k k
m 2 2 2
直线 DE 的方程为: y (1 m)x ,设 G(x,y) , 所以 AB中点的横坐标为 1 ,纵坐标为 y k 1 1k 2 k 2
,
k
y
x 1 x m 2 2 1
则由 m ,可得 , 即 M 1 2 , ,将 k 换成 得 N 1 2k 2 , 2k ,
k k k y (1 m)x
y (1 m)m
1 1
消去 m可得 y 1 x 2x 0 x 1 . 得 MN 的中点 E 的坐标为 1 2 k , k
k k
,

【41 2】 x y2 x 0 x 0 x 1 1 k 2
解析:联立 l : x my 1
2
与 C : x2 y2 4 得: m2 1 y2 2my 3 0 , k即 ,得 y2 x 3 ,
1
设 A x1, y1 ,B x2 , y2 ,M x , y , y k0 0 k
y y 2m 3 【45】 y 2x(x 8则 或 x 0)1 2 m2
, y y
1 1 2 m2
,
1
解析:由焦点 F 到准线的距离为 2,可得抛物线 C : x2 4y .
2
x1 x2 m y1 y
2m 2
2 2 2 , 2m2 1 m2 x 1 由 x2 4y 可得 y ,
4
y y1 y2 m x x故 1 2 1 20 22 m2
, x ,
1 0 2 m2 1 x设在 P x1,
1 x
4 处的切线方程为
y 1 k x x1 ,
1 , m
4
所以点 M 的坐标为 2 m 1 m2 1 , x2
y 1 k x x x 2
1 联立 4
1 ,解 Δ k 2 kx 1 0
x
k 1
令 x 2 0 , y
m y
12 ,两式相除可得: m , 2 4 2m 1 m 1 x x 4y
x 1 m 2 2 x
2 x2 x x x x2代入 2 中,消去 可得, x y x 0 , 1m 1 所以在 P x1, 处的切线方程为 y
1 1
4 x x
1 1
4 2 1
,即 y ,
2 4
由于 x 0 ,故 y 0 ,即去除原点,
x2 x x x2
则点 M 的轨迹方程为: x2 y2 x 0 x 0 2. 同理在点 Q x2 , 处的切线方程为 y 2 2 ,
4 2 4
【42】 4x2 y2 y 0
x x x2 x x
解析:直线 l过点 M (0,1) ,点 M 1 1 1 2在椭圆内部,所以直线 l 总与椭圆相交.
y x
2 4 2 x x x x
当 l 的斜率存在时,设斜率为 k ,则 l 的方程为 y kx 1 . 联立 2 ,即 M
1 2 , 1 2
x x x x x 2 4
.
y 2 2 y 1 2
y kx 1 2 4 4

联立直线与椭圆的方程
x2 y
2 ,
1
2
x 4y
4 联立直线与抛物线方程: y k x 4 ,消去
y 得
x
2 4kx 16k 0 ,

消去 y 得 4 k 2 x2 2kx 3 0 , 由题 Δ 16k 2 64k 0 k 4 或 k 0 .
设 A x1, y1 、 B x2 , y2
2k
,则 x x 由韦达定理, x1 x2 4k ,x1x2 16k , ,1 2 4 k 2
,
得 M 2k ,4k ,其中 k 4或 k 0 ,故点 M 的轨迹方程为: y 2x(x 8或
则 y1 y2 k(x1 x )
8
2 2 ,4 k 2 x 0) .故答案为: y 2x(x 8或 x 0)
1
x a
x1 x2 y y
【46】
于是 OP (OA OB) 1 2
k 4

2
, , .
2 2

4 k 2 4 k 2

解析:设点 A x1, y1 、 B x2 , y2 ,
{#{QQABDQ6hwwAYkAYACJ7aV0H8CQgQsJITJYoOAVAcKAYCiQFIBCA=}#}
若直线 AB与 x 轴重合,则直线 AB与抛物线 y2 2px 只有一个交点,不 y
y
1 x 2
合乎题意. x1 2
联立方程 ,解得
x my a x my a
y
设直线 AB的方程为 ,联立 ,可得 y
2 x 2
y
2 2px x2 2
y2 2mpy 2pa 0 , 4my y 2y 6y 4my y 2 y y 8yx 1 2 1 2 1 2 1 2 2
4m2 p2 8pa 0 ,由韦达定理,可得 y1 y2 2mp , y y 2pa ,
y1 3y2 y1 y2 2y2
1 2
显然抛物线 y2 2px 2m 3在点 A 处切线斜率存在且不为 0 , ∵ y1 y2 , y y m 2 4 1 2 m 2 4
y21
设其方程为 y y1 k x , 8m 8y
2p 2
∴ x m 4
2
4
y2 2px 2m
m2
2y
4 2
由 y2 ,消去 xy y 并整理,解 1 k x
1 ∴P点的轨迹方程为 x 4
2p
Δ p 4y 21 k
2 8py1k 4p
2 0 k
y ,1
p y2
则抛物线 y2 2px 在点 A 1处切线方程为 y y1 y
x
2p ,即1
y2y 11y px ,2
y2
同理抛物线 y2 2px 在点 B 处切线方程为 y 22 y px ,2 249 x2 1 17【 】
2 y y 2

4
y1y px
1
而 y y
2 x a y y1 y ,由 ,解得 , 2 , y m(x 2)1 2 2
y 2 解析:联立两直线得 ,将这两式相乘,消去参数 m,得y y px 2 m(y 1) x 22
2 y(y 1) (x 2)(x 2) ,
于是得两条切线的交点在直线 x a上,
2
2 2 2 1 17
又 y
y y
1 2 R ,所以两条切线的交点的轨迹方程为 x a . 即 x y y 4 0 ,可得轨迹方程为 x y 2
.
2 4
故答案为: x a . 2 1 17
47 y 1 故答案为: x
2 y
【 】 2

4
x2 x2 2 2
解析:设 M x ,
1 21 , N x2 ,
【50】 2x y 1 (x 0) .
4
,
4 2
解析:令 l : y kx 1 , l : y x 1 ,
易得 F 0,1 ,由题意知直线 MN 1 2的斜率一定存在, k
2
则设直线 MN 的方程为 y kx 1 k R , 则直线 l1 的斜率 k1 k ,直线 l2 的斜率 k2 ,所以 k1 kk 2 2 .
x2 4y, 2 易知 l1 过定点 A(0,1) , l2 过定点 B(0, 1)联立 .得 ,
y kx 1,
x 4kx 4 0
令 l1 与 l2 的交点为 P(x, y) ,因为 k1 , k2 存在,所以 x 0 ,
0 ,所以 x1 x2 4k , x1x2 4 . y 1 y 1
所以 k1 , k2 ,
x2 x x
设切线 l1 的方程为 y 1 k x x1 ,4 k k y 1 y 1所以 2 21 2 2 ,整理得 2x y 1 ,
x2 x x
y 1 k x x 2 2 2
联立 4 1 ,解 Δ k 2 kx
x
1
1 0 k x 1 所以交点 P 的轨迹方程为 2x y 1 (x 0) .
2 4 2 2 2
x 4y x y【51】 1（ x 2 ）
x2 2 4 2
所以在 M x ,
1 x x
1 处的切线方程为 y
1 1 x x 2 24 4 2 1 ,即 x y 解析:由椭圆 1 方程可知: a 2 ,则 A( 2,0) , B(2,0) ,
4 2
y x x
2
1 x 1 ①. 2 2
2 4 设 P(x0 , y0 ), x0 2,2 ,则 Q(x0 , y x0 y0 ) ,则 0 1 ,4 2
x x2
同理可得切线 l 的方程为 y 2 x 22 ②. y2 4 直线 AP 0的方程为: y (x 2) ,直线 BQx 2 的方程
x x1 x
0
解得 2 2k ,
2 yy 0为: (x 2) ,
2
y x1 x x1 x1 x x x
2 x x x0 2
代入①得, 1 2 1 1 2 1, 2
2 4 2 2 4 4 2 yy 0 (x2两式相乘可得 4) ,
所以点 P 的轨迹方程为 y 1
2
. x0 4
【48】 x 4 2 2 2 2 2
又因为 y2
x0 4 x x 4 x y
0 2(1 )
0 ,所以 y2 ,即 1 ,
解析:根据题意可得 A 2,0 ,F 2,0 ,设直线 4 2 2 4 2
2 2
l: x my 1,E x1, y1 ,F x , y x y2 2 , 所以直线 AP与直线 BQ 的交点 M 的轨迹方程是 1（ x 2 ）.4 2
x my 1
2 2
联立方程 x2 ,消去 x 得 m 4 y 2my 3 02
y 1
4
y y 2m∴ 1 2 , y y
3

m 2 4 1 2 m 2 4
y y
AE y 1 x 2 2根据题意可得直线 : x 2 ,BF: y x 2 1 x 2 22 2
【52 x y】 2 2 1 x a, y 0 a b
{#{QQABDQ6hwwAYkAYACJ7aV0H8CQgQsJITJYoOAVAcKAYCiQFIBCA=}#}
解析:设 A x1, y1 , B x1, y1 ,又 A 11 a,0 , A2 a,0 , 解析:设 OA : y kx ,则 OB : y x ,
k
y
则直线 A1A y
1
的方程为 x a x a …①;直线 A2B的方程为 y kx A( 2p , 2p1 2 得 2 ) 同理 B(2pk 2 , 2pk)
y 2px k ky
y 1 x a
x1 a
…②; 2p
2pk 1 k
k k k 1 ky2 AB 22
由①②得: y 1 2 2
2p 1 1
2 2 x a …③; 2 2pk 2 2 1 kx a k k 2 k k1 k
x2 y2 k 2 k 2pk3
由点 A x1,y1 在椭圆 C0 上可得: 1 1 AB: y 2pk (x 2pk ) x a2 b2 1 , 1 k 2 1 k 2 1 k 2
3
2 2 x
2
1 2 2 k 2pk k 2pk k y1 b 1
x y
a2
,代入③得: 1 x a, y 0 . y 2 x 2pk 2 2 x (x 2p) ....①
a2 b2 1 k 1 k 1 k 1 k
2 1 k 2

2
2
3 9 而 OP : y
1 k
x .....②
【53】 x y 2 . k
8 64 k
AB : y k x 1 A x , y B x , y y 2 (x 2p).......(1)解析:设直线 , 1 1 , 2 2 , 1 k
∵ P 为 AB与 OP的交点,联立①② 2
x2 y2 y 1 k 1 x................(2) k
联立直线与椭圆方程 4 3 ,消去 y

y k x 1 ①×②消去 k ,
y2 2 2 2 2 x 2p x ,∴ x
2 y2 2px 0 x 0 ,即为所求.
得: 3 4k x 8k x 4k 12 0 ,
【57】 x2 y2 3
8k 2 4k 2 12
则 x1 x2 , x x ,3 4k 2 1 2 3 4k 2 解析:设点 P x0 , y0 ,
x x 4k 2 y ①当两条切线斜率均存在时,设其中一条切线为 y k x x y ,另一
1 2 , 1
y2 x x 1 0 0 k 1 2 1
3k
,
2 3 4k 2 2 2 3 4k 2 条为 y k2 x x0 y0 ,
4k 2 3k 3 2
P 的坐标为 x 2 , 3 4k 3 ,直线
OP : y x ③, 2
4k
2
4k
y 1
联立方程 2 ,消去 P 得
直线 AB方程 y k x 1 中令 x 0 得 y k , E的坐标为 0, k , y k x x0 y0
EQ OP EQ y 4k
1 2
因为直线 , 的直线方程为 x k 2 2④, k x 2k y0 kx0 x y0 kx0 1 03 2 ,
2
y2 x2 3 x 3 2 9 2 2 2 1 2将③④联立相乘得到 ,即
4
x y . ∴ 4k y0 kx0 4 k 8

64 2
y0 kx0 1 0 ,
2 2 2 2
【54】 a y b x cx 0 x 2 1
即 1
0 k
2 x0y0k 1 y 22 2 0 0 ,
解析:（1）当 kAB 0 时, M (0,0)
（2）当 kAB 不存在时, M (c,0) x
2
k k 0

则 1 , 2 是方程 1 k
2 x0y
1
0k 1 y 20 0 的两个不等实根,
（3）当 AB斜率存在且不等于 0时,设 A x1, y1 ,B x , y
2 2
2 2 ,则
x21 y
2 2 2 1 2
2
1
2 1,
x2 y 2 1 y0
a b a2 b2
1 , 2
∴ k1k2 x 2 ,
0y2 y1 y2 y 2 2 1 1 b两式相减化简得: 2 , 即 k k
b
2
x2 x1 x
AB . OM 2 .
2 x1 a a 又∵两条切线相互垂直,
2 ∴ k k 1 ,
设 kAB k
1 2
,则 k bOM ,a2k 1
2 2 1 y
2
0
AB : y k(x c);OM : y b 22 x .两式相乘得: a
2 y2 b2 x cx 0 . ∴ x 2 1 ,a k 1 0
2
显然 (0,0),(c,0) M a2 y2 b2 2也满足上式,所以 的轨迹为 x cx 0 .
整理得 x 20 y
2
0 3 ,
2
55 1
2 2
【 】 x y
2 1 即点 P 的轨迹方程为 x y 3 ,
2 4 ②当两条切线中有一条斜率不存在时,即 A 、B 两点分别位于椭圆长轴
解析:显然, kAP 存在且不为 0 ,设 kAP kOQ k ,则 loQ : y kx , 故 与短轴的端点,
yQ 4k ,即 Q(4,4k) . P 的坐标为 2, 1 ,把点 P 2, 1 代入 x 2 y 20 0 3亦成立,
又 F(1,0)
4k
,则 kQF . 综上所述,点 P 的轨迹方程为: x
2 y2 3 .
3
2
4k 【58】 x y
2 4x 0 x 0
进而 lQF : y (x 1) .3 解析:解:易得直线 OA ,OB 的斜率存在,设 OA ,OB 的直线方程分别为
b2 3 x
又由椭圆中的“垂径定理”知: kOM kAP y kx , y k 02 . ,a 4 k
k 3 3进而 OM ,lOM : y x .
4
4k 4k y kx x k 2 x 0
直线 OA2 和抛物线联立得 ,解得 或 ,所以两直线方程相乘, 得 y x(x 1) . y
2 4x y 4 y 0
2 k
x 1 1化简, 得 y
2 .
2 4 A 4 , 4 k 2 k
,
2
x 1 即交点恒在 y
2 1 上. 2 2
2 4 2 2 OA , 2 2 以 为直径的圆的圆心为 k 2 k ,半径为 k 2
,
【56】 x2 2
k
y 2px 0 x 0
{#{QQABDQ6hwwAYkAYACJ7aV0H8CQgQsJITJYoOAVAcKAYCiQFIBCA=}#}
2 2 2 2
2 2 2 2 这两条直线的交点就是 M 点的轨迹.两方程相乘消去 k ,化简,
所以以 OA为直径的圆的方程为 x 2 y k k
, 2 2
k 2

k

得: x y 5x 12y 0 ,
2 2 2 2 其中 3 x 3 .
x 2 2

所以
y 2 2 2 2 k k k
0整理得 ［方法 4］:参数法
k 设过 P 点的割线方程为: y 12 k(x 5) ,它与圆 x2 y2 9 的两个交点
x x 4 y y 4 2 0
为 A 、 B,
k , k AB的中点为 M ,设 M (x, y),A x1, y1 ,B x2 , y2 .
k 2所以 x2 y2 4x 4ky 0①, y k (x 5) 12 2 2 2
1 由 x2 2
可得, 1 k x 2k 12 5k x 12 5ky 9 9 0 ,所
同理,以 代替 k 可得以 OB为直径的圆的方程为
k 2k 12 5k k 12 5k 12 5k
x2 y2 4k 2x 4ky 0 ②, 以, x1 x2 ,即有2 x , y 2 ,消去 k ,1 k 1 k 2 1 k
+ 1 k 2 x2 y2① ②得 4x 0 , 可求得 M 点的轨迹方程为: x2 y2 5x 12y 0 , 3 x 3 .
1 k 2 0 , x2 y2 4x 0 , ［方法 5］:点差法
OA ,OB M (x, y),A x , y ,B x , y x x 2x, y y 2y所以以 为直径的两圆的另一交点的轨迹方程 设 1 1 2 2 ,则 1 2 1 2 .
x2 y2 4x 0 x 0 ∵ x21 y21 9,x2 22 y2 9 .两式相减,整理,得
【59】 x2 y2 2x 2y 8 0 . x2 x1 x2 x1 y2 y1 y1 y2 0 .
解析:如图所示,∵点 A、B在直线 y x上,设点 A、B、M的坐标分别为 y2 y1 x1 x2 x
所以 ,即为 AB的斜率,
a,a , b,b , x, y ,其中 b a . x2 x1 y1 y2 y
当 y 2 时,由 P 2,2 、 A a,a 、 M x, y 12 y 12 y x三点共线, 而 AB的斜率又可表示为 , 5 x 5 x y ,化简并整理,得
x 2 a 2 2 x y
得

y 2 a 1 ,解出 a,得 a ①, x
2 y2 5x 12y 0 .
x y 4
其中 3 x 3 .
由 Q 0,2 、 B b,b 、 M x, y 三点共线,
x b 2x
得 ,解出 b,得 b y 2 b 2 x y 2 .②
由条件 AB 2 ,得 2 b a 2 .∴ b a 1 .③,
2x 2 x y
由①、②、③式得 1 .
x y 2 x y 4
整理得 x2 y2 2x 2y 8 0 .
当 y 2时,两直线 PA 和 QB的交点 M与点 P 2,2 或点 Q 0,2 重合,
得点 P和点 Q的坐标都满足方程 x2 y2 2x 2y 8 0 .
故 x2 y2 2x 2y 8 0 就是点 M的轨迹方程.
【60】 x2 y2 5x 12y 0 ,其中 3 x 3 .
解析:［方法一］:直接法
设弦 AB的中点 M 的坐标为 M (x, y) ,连接 OP、 OM ,则 OM AB .
在 OMP 中,由勾股定理有 x2 y2 (x 5)2 (y 12)2 169 ,而 M (x, y)
在圆内,
所以弦 AB的中点 M的轨迹方程为 x2 y2 5x 12y 0( 3 x 3) .
［方法 2］:定义法
因为 M 是 AB的中点,所以 OM AB ,所以点 M 的轨迹是以 OP为直
5 |OP | 13
径的圆,圆心为 ,6 ,半径为 2 ,所以该圆的方程 2 2
2 2
5 13
为: x (y 6)2 ,化简得 x2 y2 5x 12y 0( 3 x 3)
2 2
［方法 3］:交轨法
易知过 P 点的割线的斜率必然存在,设过 P 点的割线的斜率为 k ,
则过 P 点的割线方程为: y 12 k(x 5) .
∵ OM
1
AB 且过原点,∴ OM 的方程为 y x
k
{#{QQABDQ6hwwAYkAYACJ7aV0H8CQgQsJITJYoOAVAcKAYCiQFIBCA=}#}

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