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2025年全国中学生数学奥林匹克竞赛（预赛）
暨2025年全国高中数学联合竞赛
一试试题(B卷)
一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分.
1.设集合A={a21a∈Z,a2≥2025}，B={21b∈Z,9≤b≤14，则A∩B的
元素个数为
2.若sin20°sin25°+sina=cos20°cos25°，则cos2a的值为
3.若1og3x,log(3x,1og2,(9x)成等比数列，则正数x的值为
4.设复数z满足z+i与z2+2i均为实数(i为虚数单位)，则23+3i的值
为
5.若x,y>0且x+y=1,则y+1++2的最小值为
X
y
6.设五，E分别为椭圆T子+
+京=1(a>b>0)的左、右焦点，若T上存在
一点P,使得直线FP,FP的斜率分别为号，2，则r的离心率为
7.平面中的3个单位向量8,6，c满足a-6≥分，6c≤-，则6+3+d的最
大值与最小值之和为
8.从20个数1,2,3，…，20中选出4个不同的数（不计顺序），使它们的乘积为
2025的倍数，则不同选法的数目为
二、解答题：本大题共3小题，满分56分.解答应写出文字说明、证明过
程或演算步骤。
9.(本题满分16分)设f(x)是定义域为R的函数，g(x)=(x-1)f(x),
h()=)+x.若g为奇函数，)为偶函数，求f03f9的值，
f(2)f(4)…f(100)
10.（本题满分20分)在平面直角坐标系中，一条过点(0,1)的直线1经过点
集工={x,川产=x+3引x划中的四个点(x,)6=12,3,4).求1+1+上+1
X1 X2 X3 X4
的取值范围，
11.（本题满分20分)对整数n≥3，在一个棱长均为1的正n棱柱的所有3n
条棱中，随机选取两条不同的棱1，，将事件“1所在直线与，所在直线平行”发
生的概率记为P·是否存在两个不同的正整数k,1(k,1≥3)满足P=P？证明你
的结论.2025年全国中学生数学奥林匹克竞赛（预赛）
暨2025年全国高中数学联合竞赛
一试(B卷)参考答案及评分标准
说明：
1.评阅试卷时，请依据本评分标准.填空题只设8分和0分两档；其他各
题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不得增加其他中间档次
2.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷
时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第9小题4分为一个档次，
第10、11小题5分为一个档次，不得增加其他中间档次.
一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分，
1.设集合A={a21a∈Z,a2≥2025}，B={21b∈Z,9≤b≤14}，则A∩B的
元素个数为
答案：2.
解：在B的元素中，2°，2"，2都不是平方数，2小于2025，所以它们都不
属于A,而22=642∈A,2=1282∈A,所以A∩B的元素个数为2.
2.若sin20°sin25°+sina=cos20°cos25°，则cos2a的值为
答案：0.
解：sina=c0s20c0s25°-sin20°sin25°=c0s(20°+259=cos45°=Y5
故cos2a=1-2sin2a=0.
3.若logx,log(3x),log7(9x)成等比数列，则正数x的值为
答案：3诚号
解设g=,则岁2告设特比数列.所以生当=2告，化
2,3
得？+21-3=0，解得1=1或-3.相应有x==3或27
4.设复数：满足z+i与z2+2i均为实数(i为虚数单位)，则2+3i的值
为
答案：√5】
解：由z+ieR,可设z=a-i(a∈R),则z2+2i=(a-i)2+2i.
再由z2+2i∈R可知m(z2+2i)=-2a+2=0,得a=1,故z=1-i.
计算得z3=-2-2i,因此3+31=-2+i=5,
5.若xy>0且x+y=1,则+1++2的最小值为
答案：3+2W6.
解：由条件并利用基本不等式，可知
y+1+x+2_+22+3r+22=3+2Y+3x
y
x y
≥3+2，
2y.3x=3+2N6.
当=3x(即x=6-2,y=3-6)时，+1++2取到最小值3+26.
x y
6设R,￡分别为椭圆r:号+茶=1>b>0)的左、右焦点，若r上存在
一点P,使得直线FP,P的斜率分别为号2，则Γ的离心率为
答案：⑤
解：将△PFF的三个内角∠FPF,∠PFF,∠PFF分别记为a,B,Y·
由条件易知P在第一象限，anB=2tam)=-2.进而
tana=tan(180°-B-y)=-tan(8+y）)=
tan 8+tan3
1-tan Btany 4
所以0m8-5=2
5
由于FF是T的焦距，PF+PE是r的长轴长，且由正弦定理知
FR PFI_IPRI
sina sinB sin
3
所以下的离心率e=
FR
sina
5
5
PF+PF siny+sinB
2w5+5
5
5
,平面中的3个单位肉盘云.五满足5≥分，6≤宁则6+5+的最
大值与最小值之和为
答案：5+1.
解：由条件知(a+b2=2+2a6≥3，(6+2=2+26.c≤1，结合三角不等
式知5-1=5-s6+-sa++s回+6+s+1=2.
当=05-传-传-}.6+6+到摄大2.
当-停5-停--(lo时，+6+取到最小v5-1.
因此a+b+c的最大值与最小值之和为2+(5-1)=√5+1.
8.从20个数1,2,3，…，20中选出4个不同的数（不计顺序），使它们的乘积为
2025的倍数，则不同选法的数目为
2

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