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【3】（1）5;（2）证明见解析.
第十五节 专题:圆锥曲线中的定值问题 解析:（1）依题意得 F 1，0 ,
所以直线 l 的方程为 y 2 x 1 .
重点题型专练
设直线 l 与抛物线的交点为 A x1，y1 , B x2，y2 ,
x2 2
【1 1 y】（ ） 1 ;（2）为定值,证明见解析. y 2 x 1
4 3 由 2 得,
2
y 4x x 3x 1 0
,

解析:（1）由题意, MNF2 的周长为 8,可得 4a 8 ,解得 a 2 ,
所以 x1 x2 3 , x1x2 1 .
c b2 1
由椭圆离心率 e 1 ,解得2 b
2 3 . 所以 AB AF BF x
a a 2 1
x2 p 3 2 5 .
（2）证明:设直线 l 的方程为 x ky 12 ,x y2
所以椭圆 C 的方程 1 .
4 3 直线 l 与抛物线的交点为 A x1，y1 , B x2，y2 ,
（2）由题意,当直线 AB的斜率不存在时, x ky 1
A x , y B x , x 由
2
2 得, y 4ky 4 0 ,此时不妨设 0 0 , 0 0 . y 4x
x2 x2 12 所以 y y 4k , y y
又 A , B 两点在椭圆 C 上,∴ 0 0 1 2, x , 1 2 1 2
4 .
4 3 0 7 因为 OA OB x1，y1 x2，y2 x1x2 y1y2 ky1 1 ky2 1 y1y2
∴点 O 到直线 AB d
12 2 21
的距离 . k 2 y y k y y 1 y y 4k 2 4k 2
7 7 1 2 1 2 1 2
1 4 3 .

当直线 AB的斜率存在时,设直线 AB的方程为 y kx m . 所以 OA OB 为定值.
【4】（1） 8 ;（2）证明见解析.
y kx m
A x , y B x , y 2 2 y
2
设 1 1 , 2 2 ,联立方程 x y , 解析:（1）由双曲线 C : x2 1可得 a 1 ,1 b 2 ,所以 2
4 3
c a2 b2 1 2 3
,
消去 y 得 3 4k 2 x2 8kmx 4m2 12 0 .
所以 F 3,0 ,设 A x1, y1 , B x2 , y ,8km 2 2
由已知 0 , x1 x2 x x
4m 12
, ,
3 4k 2 1 2 3 4k 2 3 0
k 1
由 OA OB ,则 OA OB x1x2 y1y2 0 ,即 x1x2 kx1 m
PF
kx m 0 0 ,所以直线 l 的方程为 y x 3 ,2 , 3
2
整理得: k 1 x 21x2 km x1 x2 m 0 , y x 3
由 联立得: x22 2 2 3x 5 0 ,
k 2 1 4m
2 12 8k 2m2
m2 0 7m2 12 k 2 2x y 2∴ 2 2 ,整理得 1 ,满足3 4k 3 4k 所以 x1 x2 2 3, x1x2 5 ,
0 .
2 2
m 12 2 21 AF BF x1 3 y 21 x2 3 y 22 2 x1 3 x2 3
∴点 O 到直线 AB的距离 d 为定值.
1 k 2 7 7 2 x1x2 3 x1 x2 3 2 5 3 2 3 3 8 .
2 21
综上可知,点 O 到直线 AB的距离 d 为定值.
7 （2）由题意知直线
l 的斜率存在,不妨设直线 l : y kx 3 ,
x2 y kx 32 1 y2 1 2 2【 】（ ） ;（2）证明见解析. 由 2 2 可得: k 2 x 2 3kx 5 0 ,3 2x y 2
x0 x 所以
解析:（1）设 M x, y , P x0 , y

0 ,由题意可得, x 2 20 y0 3 , 3 , 2 3k 5 3 y y 33 0 x x , x1x2 2 , MA x1, y1 , MB x , y 1 2 ,2 k 2 k 2 4
2 2 4
x 20 x
则 ,代入 x 20 y
2 x
0 3 ,整理得 y
2 1 3 3 5 3 5 3 ;
y 3y 3 MA MB x1x2 y1 y2 x1x2 kx1 kx2 0 4 4 4 4
x2
即所求 M 的轨迹的方程为 y2 1 ;
3 1 k 2 x1x 5 3 752 k x x 4 1 2 16
（2）设直线 AB 的方程为 y kx m , A x1, y1 , B x2 , y2 , 5 5 3k 2 3k 75 35 2 35 1 k .所以 MA MB 为定值.2 2
因为以 AB为直径的圆经过原点 O ,所以 AOB ,则 k 2 4 2 k 16 16 16
2 2 2
x y 3
OA OB x x y y 0 【5】（1） 1 ;（2） m .1 2 1 2 , 4 3 2
x x kx m kx m 0 1 k 2即 1 2 1 2 ,即 x1x2 km x1 x 22 m 0 ; 解析:（1）由题意可知 2a TF1 TF 5 32 4 ,∴ a 2 ,而 c 1 ,2 2
y kx m 2 2
2 y x2 3 kx m 2 3 ∴ b2
x y
联立 x 消去 得 ,整理得 a
2 c2 3 ,∴椭圆 E的方程为 1 .
y
2 1 4 3
3 （2）①若直线 l的斜率不存在,易得 OA OB OM ON 3 ,
1 3k 2 x2 6kmx 3m2 3 0 , ②若直线 l的斜率存在,设其方程为 y kx m , A x1, y1 , B x2 , y2 ,
6km y kx m
x 1
x2 1 3k 2 x1 x2 y1 yN , 2 2 2则 2 2 2 2 2 2 则 ,联立 x y 得2 , 36k m 12 1 3k m 1 0 ,即 m 1 3k , 2 2
3m 3 14 3
x1 x2 1 3k 2
2 2 2 4k 2 3 x2 8kmx 4m2 12 0 ,3m 3 6km 4m 3 3k
所以 1 k 2 22 km 2 m 0 ,整理得 2 0 ,则1 3k 1 3k 1 3k x x 8km 4m2 12且 2 2 4k 2 , x 3 1x2 ,3 3k 2 4k 2 3m2 ,满足 m2 1 3k 2 ,
4 y yOA OB OM ON x1x2 y1y2 m
1 2
m m2 3 3k 2 3 3 2
又点 O 到直线 AB的距离为 2 m
1 k 2 1 k 4 1 k 2 4 2 x1x2 kx1 m kx2 m kx1 m kx2 m 2
为定值.
{#{QQABLQahwwCwkARACZ7aV0GMCwoQsJGTLSoORUCcOAYCiRFAFCA=}#}
2
k 2 1 x x km x x m2 km x x m2 由① ②得 x1 9 x2 9 81y2 y2 ,所以 x2 9 x2 2 21 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 9 x1 x2 ,即2
2 2
2 x1 x 2
9 .
k 2 1 x x km 21 2 x1 x2 k 1 4m 12 km 8km 2 4k 2 3 2 4k 2 3 由① ②得 x21 9 x22 9 9 y2 y2 ,得 y2 21 2 1 y2 1 .
2
12k 2 4m2 12 3 4k 3 4m2 3 4m2 3
3 因为 OP OM ON ,
4k 2 3 4k 2 3 4k 2 3 2 2 2 2所以 MN OP ON OM ON OM3
要使上式为常数,必须且只需 4m2 3 0 ,即 m ,此时易知 0
2 2 2 2 2 ON OM 2ON OM ON OM 2ON OM

恒成立,且 OA OB OM 3 ON 3 2 2,符合题意.综上所述, m .
2 2 OM ON
6 x
2
【 】（1） y2 1 ;（2）证明见解析. 2 x21 y21 x2 y2 9 2 2
2 2 2 9 1 20 2 ,因此 2 为定值.
解析:（1 C x y）因为椭圆 : 2 2 1
MN OP
（ a b c ）上的点 M 到 C 的两焦
a b x2 y2
1
点的距离之和为 6,所以 2a 6 ,解得 a 3 , 【7】（1） （2）见解析6 3
C 2 2 c 2 2 2 2又 的离心率为 ,所以 , c 2 2 , 4 1 a b 2
3 a 3 解析:（1）由题设,得 2 ＝1,①且 ＝ ,②a b2 a 2
x2 2 2
又 c2 a2 b2 ,所以 b 1 ,所以 C 的标准方程为 y2 1 ;
9 由①、②解得 a
2＝6,b2 x y＝3,故椭圆 C的方程为 ＋ ＝1.
6 3
（2）法一:设 M x1, y1 ,当直线 MN 的斜率不存在时, N x1, y1 , （2）设直线 MP的斜率为 k,则直线 MQ的斜率为－k,
1 y y 1 记 P（x1,y1）、Q（x2,y2）.1 1
因为直线 OM , ON 的斜率之积为 ,所以 x x 9 ,即
x21 9y
2 ,
9 1 设直线 MP的方程为 y＋1＝k（x＋2）,与椭圆 C的方程联立,得（1＋2k
2）
1 1
x2＋（8k2－4k）x＋8k2－8k－4＝0,
2 9 1
又 M N
x
, 在椭圆 y2 1 上,所以 x2 , y2 . 8k 21 1 2 x 2x 8k 4 4k
2 4k＋2
9 2 2 则－ , 1是该方程的两根,则－ 1＝ 2 ,即 x1＝ 2 .
2 2
1＋2k 1＋2k
2 2因为 OP OM ON ,所以 MN OP ON OM ON OM 4k 2 4k＋2
设直线 MQ的方程为 y＋1＝－k（x＋2）,同理得 x2＝ .
2 2 2 2 1＋2k 2
ON OM 2ON OM ON OM 2ON OM 因 y1＋1＝k（x1＋2）,y2＋1＝－k（x2＋2）,
2 2 9 1
2 OM ON

4 x21 y21 4 202 2 ;
8k
y1－y2 （k x1＋2) k（x2＋2） k（x＋x ＋4） 1＋2k 2故 kPQ＝ ＝ ＝ 1 2 ＝ ＝1,
当直线 MN 的斜率存在时,设直线 MN 的方程为 y kx m （ m 0 ）, x1－x2 x 8k1－x2 x1－x2
1＋2k 2
y kx m,
因此直线 PQ的斜率为定值.
联立方程得 x2 消去 y ,得 1 9k 2 x2 18kxm 9m2 9 02 ,
y 1,
9 【8】（1） [0,1] ;（2）证明见解析.
218km 4 1 9k 2 9m2 9 36 9k 2 m2 1 0 , 解析:（1）因为焦距 2c 2 ,则 c 1 ,所以左焦点 F1 1,0 ,右焦点 F2 1,0
N x , y x x 18km x x 9m
2 9
设 2 2 ,则 1 2 2 , .1 9k 1 2 1 9k 2 2a QF1 QF2 [ 1 ( 1)]
2 ( 2 0) 2 ( 1 1)] 2 ( 2 0) 2 2 2
2 2
因为直线 OM , ON
1 2
的斜率之积为 ,
9 所以 a 2 ,所以 a
2 2,b2 1 x ,所以椭圆方程为 y2 1 .
2
y kx m1 y2 1 kx2 m km x x m2 1所以 k2 1 2 , 设点 P x, y ,x1 x2 x1x2 x1x2 9 2 2
18k 2m2 则 PF1 PF2=( 1 x, y) 1 x, y x 2 1 y 2 x 2 1 1
x x

m2 2 2
k 2 1 9k
2 1
即 ,得 2m2 9k 2

9m2 9 9 1 ,满足
0 .
因为 x [ 2 , 2 ] ,所以 PF1 PF 的取值范围为: [0,1]2
1 9k 2 l
（2）设直线 的方程为
y k x 1 （ k 0 ）
因为 OP OM ON , x2
2 2 2
2
2 y 1
所以 MN OP ON OM ON OM 联立 2 消去 y 得 2k 2 1 x2 4k 2x 2k 2 2 0
2 2 2
y k x 1 k 0
2
ON OM 2ON OM ON OM 2ON OM
2 0 A x , y B x , y
2
其中: 2k 1 0 , ,不妨设 1 1 , 2 2 , M 为线段 AB的中
2
2 OM ON 2 x2 y2 x2 y2 4 16 1 1 2 22 2 x x
9 1 2
点
2
4 16
4k
x1 x2
2
2x x 则 x1 x 2 2 ,
9 1 2 2k 1
x x 2k 2 k
2 2 9m2 9 2 2 1 216 18km 16 18km 2 9m 9 所以 xM , yM k x 1
4 2 2k
2 1 M 2k 2 1
9 1 9k 2 1 9k 2
4
9

2m2
2m2
yk M 1所以 OM 所以 kOM k
1
l k
1
为定值.
16 xM 2k 2k 2
4 9 20 .综上, 2 2
9 MN OP
为定值. 2
【9 x】（1） y2 1 ;（2）证明见解析.
2
法二:设 M x1, y1 , N x2 , y
1
2 ,因为直线 OM , ON 的斜率之积为 ,9 x2 y2 2
y y 1 解析:（1）∵椭圆 C : 2 2 1 a b 0 过点 1, ,1 2 2
所以 x x 9 ,即
x1x2 9y1y2 .
a b
1 2 1 1
x2 ∴ 2 2 1 .①
因为 M M x1, y1 , N x2 , y2 在椭圆 C : y2 1 上, a 2b9 2 c2 1 b2 a2 c2 c2 1
x2 9y2 9 x2 9y2 9 又∵椭圆 C 离心率为 ,∴ 2 ,∴ 所以 , , 2 a 2 a2 a2
1 .②
1 1 2 2 a2 2
可得 x21 9 9y
2
1 ①,
x2 9 9y22 2 ②,
{#{QQABLQahwwCwkARACZ7aV0GMCwoQsJGTLSoORUCcOAYCiRFAFCA=}#}
1 1
1
a2 2b2 a2 2 x2
联立①②得 2 ,解得 2 ,∴椭圆 C 的方程为 y
2 1 .
b 1 b 1 2 2 2 a2
1
2 【11 x y】（1） 1 ;（2）斜率为定值 ,理由见解析.
16 12 2
（2）方法一:当直线 l 斜率不存在时,则 k1 k2 ,∴ k1 k2 0 ; 解析:（1）∵椭圆 C 的中点在原点,焦点在 x 轴上,
当直线 l 斜率存在时,设直线 l : y k x 1 , l 与椭圆交点 x2 y2
∴设椭圆 C 的方程为 2 2 1 , a b 0 ,
y k (x 1). a b
A x , y B x , y 1 1 , 2 2 .联立 x2 , 1
y2 1 椭圆的离心率等于 ,一个顶点恰好是抛物线 x
2 8 3y 的焦点,
2
2
c 1
y 2k 2 1 x2 4k 2消去 并整理得 x 2k 2 2 0 .由于 8k 2 8 0 , ∴ b 2 3 , ,a 2
2 2 2 1 2
∴ x x
4k x x 2k 2 , 又∵ a2 b2 c2, ,∴ a 12 a ,解得 a 4 ,1 2 2k 2 1 1 2 2k 2 1 4
2 2
y y k x1 1 k x2 1 x y
∴ k k 1 2 ∴椭圆 C 的方程为 1 .1 2 x 2 x 2 x 2 x 2 16 121 2 1 2
（2）当 APQ BPQ 时, PA , PB 的斜率之和为 0,
2kx1x2 3k x1 x 2 4k
x , 设直线 PA 的斜为 k ,则 PB 的斜率为 k ,设 A x1, y1 , B x2 , y2 ,1 2 x2 2
3
2kx x 3k x x 4k 4k 4k 12k
3 8k 3 4k 设直线 PA 的方程为 y 3 k x 2 ,
∵ 1 2 1 2 k2k 2
0 ,∴
1 1
k2 0 . y 3 k x 2

综上所述, k1 k2 0 . 由 x2 y2 ,消去 y 并整理,
1
方法二:当直线 l 斜率为 0 时,∵ k1 k2 0 ,则 k1 k2 0 ; 16 12
当直线 l 斜率不为 0时,设直线 l : x my 1设 l 与椭圆交点 3 4k 2 x2得: 8 3 2k kx 4 3 2k 2 48 0 ,
A x1, y1 , B x2 , y2 , 8 2k 3 k
∴ x 2 ,
x my 1, 1 3 4k 2
2 2
联立 x2 ,消去 x 并整理得 m 2 y 2my 1 0 .由于
y2 1 设 PB 的直线方程为 y 3 k x 2 ,
2 8k 2k 3 8k 2k 3
4m2 4 m2 2 0 同理,得 x 2 ,, 2 3 4k 2 3 4k 2
2m 1 16k 2 12 x x 48k∴ y ∴ x x , ,1 y2 , y y , 1 2 1 2 2m2 2 1 2 m2 2 3 4k 2 3 4k
y y y y y y k x 2 3 k x 2 3 k x x 4k 1
∴ k1 k
1 2 1 2 1 2 1 2 1 22 kAB ,x1 2 x2 2 my1 1 my2 1 x1 x2 x1 x2 x1 x2 2
2m 2m 1
2my y y y ∴ AB的斜率为定值 .
1 2 1 2
2
m 2 m
2 2 0 . 2
my1 1 my2 1 my1 1 my2 1 12 1 x
2 y2
【 】（ ） 1 ;（2）证明见解析.
∴ k1 k2 0 ,综上所述, k1 k2 0 . 4 3
y2 x2 1 c 1 a
2
【10 c 1, a 2】（1） 1 ;（2）证明见解析. 解析:（ ）由题可得 , 4 ,解得
3 2 a 2 c
2 2
解析:（1）由题得双曲线的焦点为 F1(0,1),F2 (0, 1) ,设椭圆方程为 又 a2 b2 c2
x y
,可得 b2 3 ,所以椭圆 C的方程为: 1
4 3
y2 x2
2 2 1(a b 0) ,a b （2） A 2,0 ,设 AM的方程为 y k1 x 2 ,设 M x1, y1 ,
1
由题得 | PF || PF |
1
4 2 3, | PF || PF y k1 x 2
2 1 2 2 1 2
| 8(2 3) ,
由 x2 y2 ,消去 y 整理得
由余弦定理得 1 4 3
4=|PF |21 PF |
2 2 | PF 32 1 || PF2 | (| PF1 | | PF2 |)
2 2 | PF1 || PF
2 2 2 2
2 | (3 4k1 )x 16k1 x 16k1 12 0 , 0 ,2
16k 2
x 2 1
2 | PF1 || PF |
3
2 ,
1
3 4k 22 1 8k
2
1 6
由韦达定理可得: ,解得 x
16k 2 12 1

3 4k 2
,代入
所以 | PF1 | + | PF2 | 2a 2 3, a 3 .

2x
1 1
1 2
y2 x2
3 4k1
所以 b2 3 1 2 所以椭圆方程为 1 ;
3 2 12k1
8k 21 6 12k y k1 x 2
1
,求得 y1 M ,3 4k 2 ,即 3 4k 2 3 4k 2

（2）设点 P x0 , y0 ,过点 P 的椭圆 C 的切线 l 的方程为 1 1 1
y y k x x , B 2,0 ,设 BN的方程为 y k2 x 2 ,设 N x2 , y2 ,0 0
y y k x x y k2 x 2
0 0 2 2 2联立 y2 x2 得 3 2k 2 x2 4k y0 kx0 x 2 kx0 y0 6 y 0 , 由 x y ,消去 整理得1 1
3 2 4 3
(3 4k 22 2 2 )x
2 16k 2x 16k 2 12 0 , 0 ,
因 l 与椭圆相切,故 4k y0 kx0 4 3 2k 2 kx0 y0 6
2 2 2

0 ,
16k 2
x 2 2
整理可得 2 x 2 k 2 2kx y y 2 3 0 2 2 20 0 0 0 3 4k2 8k2 6
由韦达定理可得: ,解得 x 2 2 3 4k 2 ,代入
设满足题意的椭圆 C 的两条切线的斜率分别为 k ,k ,则 16k2 12 21 2 2x2 2
3 y 2 3 4k2
k 01 k2 2 x 2 , 12k 20 8k 6 12ky k x 2 y 2 N 2 , 2

2 ,求得 2 2 ,即 2 2
2 2 x
2
0 2 3 4k2 3 4k2 3 4k2
因 P 在圆 O 上,所以 x0 y0 5 ,因此 k1 k2 2 1 , 2 x0 又直线 MN恒过椭圆的左焦点 F1 ,则 M F1 / / N F1
故两切线斜率之积为定值 1 .
{#{QQABLQahwwCwkARACZ7aV0GMCwoQsJGTLSoORUCcOAYCiRFAFCA=}#}
4k 2 9 12k 1 1 12k
2
2 3 12k x
2 y2
M F 2 4 10又 1 , , N F1 , 【15】（1） 1 ;（2） .3 4k 2 3 4k 2 3 4k 2 1 1 2 3 4k
2
2 4 2 9
4k 21 9 12k2 12k
2
1 12k2 3 c 2
3 4k 2
2 ,即 4k k 3 k 3k 0
1 3 4k2 3 4k
2 3 4k 2 1 2 1 21 2 a 2
1 3 a2 4k k
k , k 0 4k k 3 0 k 3k 0 1 3 1 解析:（1）由题意可得
1,解得 ,所以椭圆 C 的方程
1 2 , 1 2 , 1 2 ,即 k 所以 k 为定值
a2 2b2 b2 2
2 2 a2 b2 c2
2 2
【13】（1 x y） 1 ;（2）存在;答案见解析.
4 3
x2 y2
解析:（1） c 1 , a 2 ,∴ b2 3 , 为 1 .
4 2
x2 y2
所以椭圆 C 的标准方程: 1 . （2）设 A x , y , B x , y , AB中点为 E x , y ,
4 3 1 1 2 2 0 0
（2）假设存在这样的点 Q ,且设 Q 0,t , y x m
由 x2 y2 得 3x2 4mx 2m2 4 0 , 16m
2 12 2m2 4 0 得
3x2 4y2 12 1
直线 l : y

kx 1 ,联立 得 4 2
y kx 1 6 m 6 ,
3 4k 2 x2 8kx 8 0 , 96 2k 2 1 0 . 4m 2m2x x x x , x x 4 x 1 2 2m ,所以 , y x m m ,
A x , y B x , y x x 8k x x 8
1 2 3 1 2 3 0 2 3 0 0 3
设 1 1 , 2 2 ,则 1 2 2 , 1 2 3 4k 3 4k 2
.
1 m 1
若 OQA OQB 成立,则直线 QA QB
y
与 的倾斜角互补,斜率互为相反 0
由 PA PB ,有 PE AB 3,所以 k 3 3 1 ,得 m 1 ,
数, PE x 2m0
kx1 1 t kx2 1 t 3kQA kQB 0 ,即 0x . 4 21 x2 所以 x1 x2 , x1x2 ,
3 3即 kx1 1 t x2 kx2 1 t x1 0 ,整理得: 2kx1x2 1 t x1 x2 0 ,
AB 1 k 2 x x 4x x 2 16 2 4 5 8 8k 1 2 1 2 4 ,
所以 2k 2 1 t 2 0 ,则 16k 8k 1 t 0 ,即 9 3 33 4k 3 4k
1
8k 3 t 0 .若 8k 3 t 0与 k 无关,则 t 3 . 1 0 1
此时,点 P 0, 到直线 AB : x y 1 0 的距离 3 2 2 ,
故在 y 轴上存在点 Q 0,3 3 d ,使得当 k 变动时,总有 OQA OQB . 2 3
【14】（1 30） ;（2）是定值, AOB 90 . PAB 1 1 4 5 2 2 4 10所以△ 的面积 S AB d .
6 2 2 3 3 9
1 N x , y x2 2解析:（ ）设双曲线上任意一点为 0 0 , y【16】（1） 1 ;（2）是定值,理由见解析.
则 2x 20 y
2
0 1
4 3
,
x2 y2 1 c 1
y 2 1 解析:（1）椭圆 2 2 1(a b 0) 离心率为 ,即 e ,
PN 2 2x0 0 y0 1 0 y 2 2y a b 2 a 22 0 0 1 ∵点 G(0,2) 与椭圆的左、右顶点可以构成等腰直角三角形,
2
3 y 2 5 30
∴ a 2 ,
0 ,2 3

6 6
2 2
综上有: c 1
x y
, b 3 ,故椭圆方程为 1 ,
y 2
4 3
当 0 时,等号成立,即点 P 0,1 到双曲线 C上点的距离的最小值为3 （2）由直线与椭圆交于 M ,N 两点,联立方程:
30 y kx m
; 2 2
6 x
2 y2 ,整理得 3 4k x 8kmx 4 m2 3 0 ,
1
（2）设直线 l 的方程为: y kx b , 4 3
因为直线 l 与圆相切, 设 M x1, y1 ,N x2 , y2 ,则
所以圆 M 的圆心 0,0 到直线 l 的距离等于圆的半径 1 , 2 8km 16 3 4k 2 m2 3 48 4k 2 3 m2 0
b
即 1 b2 1 k 2 ,① {x x 8km1 2
1 k 2 3 4k 2 ,
2
设 A x1, y1 ,B x2 , y2 , 4 m 3 x1x2
3 4k
2
2x2 y2 1
由 消 y 得, y y kx m kx m k 2x x mky kx b 1 2 x x m
2
kOM kON
1 2 1 2 1 2
x1x2 x1x2 x1x2
2 k 2 x2 2kbx b2 1 0 , 4k 2 m2 3 8k 2m2 m2 3 4k 2 3 m2 4k 2 3
由题意知: 2 k 2 0 , 2 ,4 m 3 4 m2 3 4
4k 2b2 4 2 k 2 b2 1 4k 2 16 0 ,
2m2 4k 2 3 ,
x x 2kb 1 2 2 MN 1 k 2 · x x 1 k 2 4 3 4k
2 3 m2 4 3 m
2 k 1 2 2 1 k
2 ,2
由韦达定理得 , 3 4k 2m
x x b
2 1
1 2 |m | 2 k 2 原点 O 到 l 的距离 d
1 k 2
,
b2x x 1 k
2 2
由①得: 1 2 2 k 2 2 k 2
, MN 1 4 3 m m
S OMN d 1 k
2 2 3 为定值;2
y y k 2x 2 2b
2 k 2 2 k 2 2 2 2m 1 k
则 1 2 1x2 kb x1 x2 b ,2 k 2 2 k 2 x2 y2
2 【17】（1） 1 ;（2） 2 6 .
OA OB x x y y k 2 2 k
2 8 4
因为 1 2 1 2 0 ,2 k 2 2 k 2
1 e2 c
2 1 b2 1
AOB 90 . 解析:（ ）由 2 ,得所以 为定值 a 2 a2
,
2
将 Q 代入椭圆 C 的方程可得 b2 4 ,所以 a2 8 ,
{#{QQABLQahwwCwkARACZ7aV0GMCwoQsJGTLSoORUCcOAYCiRFAFCA=}#}
x2 y2 2
故椭圆 C 的方程为 1 .
8 4 2 1 2k 2
1 2k

3 2 2 1 2k
2 3 6 .

（2）当直线的斜率 k 不存在时, PN 方程为: x 2 或 x 2 , 1 2k 2 2 2
从而有 PN 2 3 ,
综上可得,△PAC 面积 S 3 6为定值 .
S 1
2
所以 PN
1
OM 2 3 2 2 2 6 .
2 2 【19】（1） 2 2 x y 2 2 0 ;（2）证明见解析.
当直线 PN 的斜率 k 存在时, 解析:（1）直线 l 斜率不为 0, F (1,0) ,设直线 l : x ty 1 ,
设直线 PN 方程为: y kx m m 0 , P x1，y1 , N x2，y2 . 设 A x1, y1 ,B x2 , y2 ,
将 PN 2 2 2的方程代入 C 整理得: 1 2k x 4kmx 2m 8 0 , 因为 A点在 x轴上方,所以 y1 0, y2 0
x x 4km
2 x ty 1
所以 1 2
2m 8
2 , x1 x2 , 由 ,得 y
2 4ty 4 0
1 2k 1 2k 2 y
2 4x
y y 2m k x x 2m , y1 y2 4t , y1y2 41 2 1 2 1 2k 2
AF 2FB 1 x1, y1 2 x2 1, y y 2y 4km 2m 2 1 2
由 OM OP ON 得: M ，
1 2k 2 1
,
2k 2 y1 y2 4t y1 8t
由 代入 y1y2 4
将 M 点坐标代入椭圆 C 方程得: m2 1 2k 2 . y1 2y2 y2 4t
m 1
点 O 到直线 PN 的距离 d , 因 y1 0 ,所以 t 0 ,解得 t
1 k 2 2 2
2 所以 AB所在直线方程为 2 2 x y 2 2 0PN 1 k x1 x2 ,
（2）设 AB中点为 N xN , yN
S d PN m x1 x2 1 2k
2 x1 x 16k
2 8m 22 32 2 6 . y1 y2
综上,平行四边形 OPMN 的面积 S 为定值 2 6 . yN 2t ,xN 2t
2 1 N 2t 2 1,2t2
x2 y2 3 6
【18】（1） 1 ;（2）是定值, . 所以 AB中垂线 l : y 2t t x 2t 2 1 D 2t 2 3,0
4 2 2
|DF | 2t 21 3x y 3 2 0 x 3 1 2t
2 2
解析:（ ）∵直线 与 轴的交点为
a2 b2 2 2 2 2 2 | AB | x2 x1 y2 y1 ty2 ty y y 2 ,0 1 2 1 ,∴ c 2 ,∴ ,
a b 2 2 2 2 1 t y1 y2 4y 2 22 2 1y2 1 t 16t 16
∴解得 a 2
x y
, b 2 ,∴椭圆的方程为 1 . 2
4 2 4t 4
（2）若直线 l 的斜率不存在,则 MO 在 x 轴上,此时 OP a 2 ,因为点 | AB | 4t
2 4
2
|DF | 2t 2 2 （定值）
O为△PAC
2
的重心,所以 OM 1 ,将 x 1 代入椭圆方程,可得 2
2 【20 x】（1） y2 1 ;（2） OP OQ 2 .
2

y 2 1 x
2 6

6 2 2
4
,即 AM ,所以 x y
2 2 解析:（1）因为椭圆 E : 2 2 1(a b 0) 过点 0,1 ,所以 b 1 ;a b
S PM AM 3 6 3 6 ; e c 2又 ,a 2 b2 c2 ,所以 a2 .2 2 2a 2
若直线 l 的斜率存在,设直线 l 的方程为 y kx m ,代入椭圆方程, x2
即椭圆方程为 y2 1 .
整理得 1 2k 2 x2 4kmx 2m2 4 0 2
（2）设 A(x1, y1),B(x2 , y ) M (x , y )
设 A ,则x1, y1 , C x2 , y2 2 1 1,
x2
4km 2 m2 2 2m y2 1x x , x x , y y k x x 2m . 由 2 ,得 (1 2k 2 )x2 4ktx 2t 2 2 0 ,1 2 1 2k 2 1 2 1 2 1 2 21 2k 2 1 2k y kx t
由题意点 O为△PAC 的重心,设 P x0 , y0 ,
x1 x
16k 2t 2 4(1 2k 2 )(2t 2 2) 0
则 2
x0 y 0 , 1
y2 y0 0 ,
3 3 4kt
所以 x x
4km 1 2
2 ,
所以 x0 x1 x2 2 , y0
2m 1 2ky y ,
1 2k 1 2 1 2k 2 2t 2 2 x
2 2 2 2 1
x2
2 2 4k m 2m 1 2k 1 2k
2
x y 2
代入椭圆 1 ,得 2 2 1 m
4 2 ,1 2k 2 1 2k 2 2 在直线 l : y kx t(k 0) 中,令 y 0 ,则 x t t ,即 P( ,0) ,
k k
m
O y y设坐标原点 到直线 l 的距离为 d,则 d 2 1
2 直线 lMB : y y2 (x xx x 2
) ,令 y 0 ,
1 k 2 1
PAC S 1则△ 的面积 AC 3d xx 1
y2 x2 y1 2kx1 x2 t (x1 x2 ) 4k 2k
2 则 ,即 Q(
2k
,0) ,
y1 y2 k (x1 x2 ) 2t 2t t t
1
1 k 2
m
x1 x2 32 所以 OP OQ
t ( 2k ) 2
2 OP OQ 21 k k t
,即
3 x2 x 2
2 1
x2 m 【21】（1） y 1 ;（2）证明见解析.
4
2 2 2 2
3 4km 2 m 2 1
4 m 解析:（1）由已知,a=2b.
x y
又椭圆 2 1(a b 0) 过点 P( 3, ) ,
2 1 2k 2 1 2k 2 a b
2 2

1
3 2 2 2 1 2k 2 m2 故 3 4 1 ,解得 b2 1 .
m 4b2 b2
2 1 2k 2
{#{QQABLQahwwCwkARACZ7aV0GMCwoQsJGTLSoORUCcOAYCiRFAFCA=}#}
E x
2
所以椭圆 的方程是 y2 1 . （2）由题可得直线斜率存在,设直线 l的方程为 y k x 1 ,
4 y k x 11
（2 ）设直线 l的方程为 y x m(m 0) , A(x1, y1),B(x2 , y2 ) , 由 x2 消去 y,整理得: 1 2k 2 x2 4k 2x 2k 2 2 02 , y2 1
x2
2
y2 1 2 4k
由方程组 4 得 x2 2mx 2m2 2 0 ,①, x1 x 2

1 1 2k
2
y x m 设 A x1, y1 , B x2 , y2 ,则 2 ,
2 2k 2
x1x2 1 2k 2
方程①的判别式为 4(2 m2) ,由 0 ,
2 m2 0 2 m 2 . 又 F 1,0 , P 0, k ,则 PA x1, y1 k , AF 即 ,解得 1 x1, y1 ,
由①得 x x 2m,x x 2m 2 2 . x1 2 1 2 由 PA 1AF
1
可得 x1 1 1 x1 ,所以 1 1 x1
所以 M点坐标为 ( m,
m ) y 1,直线 OM方程为 x ,
2 2 x2
同理可得 2 ,
x2 1 x2
y2 1 4 2 2 . x1 x2 x1 x2 2x x x x 2x x由方程组 ,得 C( 2 , ),D( 2 , ) 1 2所以 1 2 1 2 1 2
y 1 x 2 2 1 x1 1 x2 1 x1 1 x2 1 x1 x2 x1x2 2 4k 2 2 2k
2 2
MC MD 5 5 5
2
所以 ( m 2 ) ( 2 m) (2 m 2) . 1 2k 1 2k
2
2 2 4 2 2
4 所以, 1 2 为定值 4 .
1 4k 2k 2
1 2 1 2 5 1 2k
2 1 2k 2
又 MA MB AB [(x1 x2 ) (y1 y 2 )
2] [(x1 x2 )
2 4x1x2 ]4 4 16 2 2 18
5 【24】（1） C :
x y
1 ;（2）是定值,为 ,理由详见解析.
[4m2 4(2m2 2)] 5 (2 m2 ) . MA MB = MC MD . 9 5 5所以
16 4 18
2 解析:是定值,为 ,理由如下:
22 1 x y
2 4 5
【 】（ ） 1 ;（2）是, .
4 3 3 （1）设 E 、O 、 F 三点到直线 l1 的距离分别为 d1 、 d 、 d2 , O 为 EF
1 9 1 的中点, 2 2
a 4b a 2 ∵直线 l 与圆 O : x
2
1 y2 9 相切,∴ d 3

解析:（1）由已知 e
c 1
,解得
a 2
b 3 ∴ ME MF d1 d2 2d 6 4

c2 a2 b2 c 1 ∴动点 M 的轨迹是以 E 、 F 为焦点,长轴长为 6 的椭圆

∴ 2a b , a 3 , c 2 , b
2 a2 c2 5
2 2
C x
2 y2
所以椭圆 的方程为 1 所以动点 M
x y
的轨迹 C : 1 .
4 3 9 5
（2）由（1）可知 F 1,0 （2）①当 l2 斜率为 0时, N 0,0 , F 2,0 ,不妨取 A 3,0 , B 3,0 ,
依题意可知直线 l 的斜率不为 0 ,故可设直线 l 的方程为 x my 1 ∴ NA 3,0 AF 5,0 3, ,则 1 ,
2 2 5 x y
1 18
由 4 3 ,消去 x NB 3,0 , BF 1,0 ,则 2 3 ,∴ 1 2 .

x my 1
5
②当 l2 斜率不为 0时,
整理得 3m2 4 y2 6my 9 0
设 l2 : ty x 2 t 0 , A x1, y1 、 B x2 , y2 ,则 N
2
0, .
设 A x1, y1 , B x2 , y2 t
6m 9 2 2
则 y1 y2 , y1y2 则 NA 1ABF x1 ,y1 1 2 x1 , y1 1 1 3m2 4 3m2 4 t ty1
不妨设 y1 0 , y2 0 , 2
由 NB 2BF ,同理可得 2 1
2 2 2 2 2 2 tyAF x1 1 y my 1 1 y m 1 y m 1 y , 21 1 1 1 1
x ty 2
同理 BF m2 1 y m22 1 y 2 由 x2 y2 2 2,得 5t 9 y 20ty 25 0 ,
11 1 1 1 1 1 1 9 5
所以 AF BF m2 1 y m2 1 y m2 1 y 1 y2 y y 20t 251 2 ∴ 1 2 2 , y1y2 ,5t 9 5t 2 9
1 y y 1
2
y2 y1 4y1y2
2 1 2 2 2 y y 2 20 t 18
m2 1 y y m2 1 y y ∴ 1 2 2 2
1 2 2 ,
1 2 1 2 ty1 ty2 t y1y2 t 25 5
2
6m 9 18
2 4 综上, 1 2 2 为定值.1 3m 4 3m 4 4 5
2
m2 1 9 3 x
2 【25】（1） y
2 1 ;（2）是定值,定值为 6.
3m 4 2
1 1 4
即 . 解析:（1）由题意,点 A 0, 3 ,直线 AF2 的倾斜角为 60°,所以 c 1 ,AF BF 3
x2 2 在 Rt△AOF O AF
3
中,求得点 到直线 的距离是 ,
【23】（1） y 1 2 2;（2）存在,定值为 4 . 2
2
3
解析:（1）由题可得 a b2 c2 2 , 又由原点 O 到直线 AF 的距离是 a22 ,则 a2 2 ,所以 b2 a2 c2 1 ,
4
e c 2又 ,所以 c 1 E x
2
a 2 故 的标准方程为 y
2 1 .
2
b a2 c2 1 1 PF 2 1 1 PF 2 1
2 （2）①当点 P 为椭圆右顶点时,
1 , 2 ,
x 2 m F1My 1 2 1
n F2N 2 1因此椭圆方程为
2 1 1
所以 6 ;
m n
{#{QQABLQahwwCwkARACZ7aV0GMCwoQsJGTLSoORUCcOAYCiRFAFCA=}#}
1 1
②当点 P 为椭圆左顶点时,同理可得 6 ;
m n
③当点 P 不为椭圆顶点,即直线 PM , PN 的斜率均不为零时,
设直线 PM 的方程是 x 1 ry ,直线 PN 的方程是 x 1 sy ,
x2
分别代入椭圆方程 y2 1 ,
2
2
可得 r 2 y2 2ry 1 0 s2 2 y2和 2sy 1 0 ,
P x 1 1设 0 , y0 , M x1, y1 , N x2 , y2 ,则 y0 y1 , y y ,r 2 2 0 2 s2 2
1 y
由 F1M mPF
0 2 2
1 ,可得 y1 my0 ,则 ym y 0 r 2 ,1
x 1
由直线 PM 的方程 x 1 ry ,可得 r 0y ,0
1 2
所以 y0 r 2 2 2 x0 1 2y20 3 2x ,m 0
1 1 1
由 F2N nPF2 ,同理可得 3 2x0 ,所以 6 为定值.n m n
1 1
综上所述, 为定值 6.
m n
【26】（1） y2 4x （2） ( , 3) ( 3,0) (0,1) （3）定值为 2
解析:（1）因点 P(1,2) 在抛物线 C : y2 2px 上,则 22 2p 1 ,解得 p 2 ,
所以抛物线 C的方程为 y2 4x .
（2）令直线 l 的斜率为 k,则直线 l 方程为: y kx 1 ,
y kx 1
由 2 消去 y并整理得: k 2x2 2(k 2)x 1 0 ,
y 4x
k 2 0
因直线 l 与抛物线 C有两个不同的交点 A、B,则 ,
4(k 2)
2 4k 2 0
解得 k 1且 k 0 ,
又直线 PA,PB与 y 相交,而点（1,-2）在抛物线 C上,则直线 l 不能过点
（1,-2）,
否则 PA或 PB之一平行于 y轴,矛盾,因此 k 3 ,
综上得: k 1 , k 0 且 k 3 ,
所以直线 l 的斜率的取值范围 ( , 3) ( 3,0) (0,1) .

（3）设点 M (0, yM ),N (0, yN ) , QM (0, yM 1) , QO (0, 1) ,

而 QM QO ,则 1 yM ,同理 1 yN ,
A(x , y ),B(x , y ) x x 2k 4设 1 1 2 2 ,由（2）知 1 2 2 ,x
1
k 1
x2 k 2
,
2 y 2 yy 2 1y 2 1 (x 1) 2 (x 1)直线 PA 方程: 1 x ,即 1 y
,
1 14
4
则 y 2 (x 1)2 y ,1
2y
x 0 y 1
2y
y 2令 ,得 M 2 y ,同理 N1 2 y
,
2
1 1 1 1 2 y1 2 y 8 2y+ 2 1
y2
于是得
1 yM 1 yN 2 y1 2 y2 (2 y1)(2 y2)
8 2(kx1 1)(kx2 1) 8 2[k
2x1x2 k(x1 x2) 1]
(1 kx1)(1 kx2 ) 1 k(x1 x2 ) k
2x1x2
8 1 2k 4 2(k 2 k
k 2 k 2
1) 8k 2 4
2
1 k 2k 4 1 2 k
2 4k 4
k k 2
1 1
所以 + 为定值 2.
{#{QQABLQahwwCwkARACZ7aV0GMCwoQsJGTLSoORUCcOAYCiRFAFCA=}#}第十五节 专题:圆锥曲线中的定值问题
距离为定值问题
【1】已知椭圆的两个焦点分别为,,离心率为,过的直线与椭圆交于,两点,且的周长为8.
（1）求椭圆的方程;
（2）若一条直线与椭圆分别交于,两点,且,试问点到直线的距离是否为定值,证明你的结论.
【2】在圆上任取一点,过点作轴的垂线段,为垂足,当在圆上运动时,线段上有一点,使得,
（1）求的轨迹的方程;
（2）若直线与椭圆相交于,两点,且以为直径的圆经过原点,求证:点到直线的距离为定值.
向量关系为定值问题
【3】设抛物线,为的焦点,过的直线与交于两点.
（1）设的斜率为,求的值;
（2）求证:为定值.
【4】已知双曲线,点坐标为,过的直线交双曲线于点.
（1）若直线又过的左焦点,求的值;
（2）若点的坐标为,求证:为定值.
【5】已知椭圆E:（）的焦点为,,且点在E上.
（1）求E的方程;
（2）已知过定点的动直线l交E于A,B两点,线段的中点为N,若为定值,试求m的值.
【6】已知椭圆:（）上的点到的两焦点的距离之和为6,的离心率为.
（1）求的标准方程;
（2）设坐标原点为,点在上,点满足,且直线,的斜率之积为,证明:为定值.
斜率关系为定值问题
【7】已知椭圆经过点,离心率为.过点M作倾斜角互补的两条直线分别与椭圆C交于异于M的另外两点P、Q.
（1）求椭圆C的方程;
（2）试判断直线PQ的斜率是否为定值,证明你的结论.
【8】已知椭圆:（）的左右焦点分别为,焦距为2,且经过点.直线过右焦点且不平行于坐标轴,与椭圆有两个不同的交点,,线段的中点为.
（1）点在椭圆上,求的取值范围;
（2）证明:直线的斜率与直线的斜率的乘积为定值;
【9】椭圆:过点,离心率为,其左、右焦点分别为,,且过焦点的直线交椭圆于,.
（1）求椭圆的方程;
（2）若点的坐标为,设直线与直线的斜率分别为,,试证明:.
【10】在平面直角坐标系中,椭圆与双曲线有相同的焦点,点是椭圆上一点,且的面积等于.
（1）求椭圆的方程;
（2）过圆上任意一点作椭圆的两条切线,若两条切线都存在斜率,求证:两切线斜率之积为定值.
【11】已知椭圆的中点在原点,焦点在轴上,离心率等于,它的一个顶点恰好是抛物线的焦点.
（1）求椭圆的方程;
（2）已知点,在椭圆上,点、是椭圆上不同的两个动点,且满足,试问直线的斜率是否为定值,请说明理由.
【12】如图所示,椭圆的离心率为,其右准线方程为,A、B分别为椭圆的左、右顶点,过点A、B作斜率分别为、,直线AM和直线BN分别与椭圆C交于点M,N（其中M在x轴上方,N在x轴下方）.
（1）求椭圆C的方程;
（2）若直线MN恒过椭圆的左焦点,求证:为定值.
角度关系为定值问题
【13】已知椭圆中心为原点,离心率,焦点.
（1）求椭圆的标准方程;
（2）过定点且斜率为的直线与椭圆交于,两点,在轴上是否存在点,使得当变动时,总有？说明理由.
【14】已知双曲线的方程.
（1）求点到双曲线C上点的距离的最小值;
（2）已知圆的切线（直线的斜率存在）与双曲线C交于A,B两点,那么∠AOB是否为定值 如果是,求出定值;如果不是,请说明理由.
面积关系为定值问题
【15】已知椭圆:离心率为,点在椭圆上,点坐标,直线:交椭圆于、两点,且.
（1）求椭圆的方程;
（2）求的面积.
【16】已知椭圆.离心率为,点与椭圆的左、右顶点可以构成等腰直角三角形.
（1）求椭圆的方程;
（2）若直线与椭圆交于两点,为坐标原点直线的斜率之积等于,试探求的面积是否为定值,并说明理由.
【17】已知椭圆:的离心率为,点在椭圆上,为坐标原点.
（1）求椭圆的方程;
（2）已知点为椭圆上的三点,若四边形为平行四边形,证明:四边形的面积为定值,并求该定值.
【18】已知椭圆的左焦点F在直线上,且.
（1）求椭圆的方程;
（2）直线与椭圆交于A、C两点,线段的中点为M,射线与椭圆交于点P,点O为的重心,探求面积S是否为定值,若是,则求出这个值;若不是,则求S的取值范围.
线段关系为定值问题
【19】如图,过抛物线的焦点F任作直线l,与抛物线交于A,B两点,AB与x轴不垂直,且点A位于x轴上方.AB的垂直平分线与x轴交于D点.
（1）若求AB所在的直线方程;
（2）求证:为定值.
【20】已知椭圆E:过点,离心率为.
（1）求椭圆方程;
（2）已知不过原点的直线与椭圆相交于两点,点关于轴的对称点为,直线分别与轴相交于点,求的值.
【21】已知椭圆E:的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点,点在椭圆E上.
（1）求椭圆E的方程;
（2）设不过原点O且斜率为的直线l与椭圆E交于不同的两点A,B,线段AB的中点为M,直线OM与椭圆E交于C,D,证明:.
【22】已知椭圆的离心率,为椭圆上一点.
（1）求椭圆的方程;
（2）已知为椭圆的右焦点,过点的直线交椭圆（异于椭圆顶点）于、两点,试判断是否为定值？若是,求出该定值;若不是,说明理由.
系数关系为定值问题
【23】已知椭圆C:（）的离心率为,短轴一个端点到右焦点F的距离为.
（1）求椭圆C的标准方程;
（2）过点F的直线l交椭圆于A B两点,交y轴于P点,设,,试判断是否为定值？请说明理由.
【24】已知直线与圆相切,动点到与两点的距离之和等于、两点到直线的距离之和.
（1）求动点的轨迹的方程;
（2）过点的直线交轨迹于不同两点、,交轴于点,已知,,试问是否等于定值,并说明理由.
【25】已知椭圆:的左、右焦点分别为,,点,直线的倾斜角为60°,原点到直线的距离是.
（1）求的方程;
（2）过上任一点作直线,分别交于,（异于的两点）,且,,探究是否为定值？若是,求出定值;若不是,请说明理由.
【26】已知点在抛物线上,过点的直线与抛物线C有两个不同的交点A、B,且直线PA交轴于M,直线PB交轴于N.
（1）求抛物线C的方程;
（2）求直线的斜率的取值范围;
（3）设O为原点,,求证: 为定值.

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