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第十八节 专题:圆锥曲线中的范围与最值问题
向量关系的取值范围
【1】已知椭圆的焦距为4,过焦点且垂直于轴的弦长为.
（1）求椭圆的方程;
（2）过椭圆右焦点的直线交椭圆于点,设椭圆的左焦点为,求的取值范围.
【2】已知是平面上的动点, 且点与、的距离之和为.点的轨迹为曲线.
（1）求动点的轨迹的方程;
（2）不与轴垂直的直线过点且交曲线于两点, 曲线与轴的交点为,当时,求的取值范围.
【3】已知抛物线及点.
（1）以抛物线焦点为圆心,为半径作圆,求圆与抛物线交点的横坐标;
（2）、是抛物线上不同的两点,且直线与轴不垂直,弦的垂直平分线恰好经过点,求的范围.
【4】如图,已如椭圆:的右焦点为,点,分别是椭圆的上 下顶点,点是直线:上的一个动点（与轴交点除外）,直线交椭圆于另一点.
（1）若直线过椭圆的右焦点,求的面积;
（2）记直线,的斜率分别为,,求证:为定值.
（3）求的取值范围.
斜率关系的取值范围
【5】已知双曲线的两个焦点分别为,,动点满足.
（1）求动点的轨迹的方程;
（2）若轨迹上存在两点,满足（,分别为直线,的斜率）,求直线的斜率的取值范围.
【6】已知椭圆的方程为,左、右焦点分别是,,若椭圆上的点到,的距离和等于.
（1）写出椭圆的方程和焦点坐标;
（2）直线过定点,且与椭圆交于不同的两点,,若为钝角（为坐标原点）,求直线的斜率的取值范围.
【7】已知圆,点,P是圆M上一动点,若线段PN的垂直平分线与PM交于点Q.
（1）求点Q的轨迹方程C;
（2）若直线l与曲线C交于A,B两点,,直线DA与直线DB的斜率之积为,求直线l斜率的取值范围.
【8】已知圆,,是圆上的一个动点,的中垂线交于点.
（1）求点的轨迹的方程;
（2）若斜率为的直线与点的轨迹交于不同的两点,,且线段的垂直平分线过定点,求的取值范围.
线段长度的取值范围
【9】如图,已知,直线,是平面上的动点,过点P作l的垂线,垂足为点Q,且.
（1）求动点P的轨迹C的方程;
（2）过点F的直线交轨迹C于A、B两点,交直线l于点M;
①已知,求的值;
②求的最小值.
【10】已知椭圆的长轴长是,以其短轴为直径的圆过椭圆的焦点.
（1）求椭圆E的方程;
（2）过椭圆E左焦点作不与坐标轴垂直的直线,交椭圆于M,N两点,线段的垂直平分线与y轴负半轴交于点Q,若点Q的纵坐标的最大值是,求的最小值;
【11】平面直角坐标系中,直线与椭圆相交于、两点,与圆相交于、两点.
（1）若,求实数的值;
（2）求的取值范围.
【12】已知椭圆:的左右焦点分别为,左顶点为,离心率为,上顶点,的面积为
（1）求椭圆的方程;
（2）设直线:与椭圆相交于不同的两点,是线段的中点.若经过点的直线与直线垂直于点,求的取值范围.
【13】已知抛物线的顶点为,焦点.
（1）求抛物线的方程;
（2）过作直线交抛物线于两点.若直线、分别交直线:于、两点,求的最小值.
【14】已知椭圆C:过点,为椭圆的左右顶点,且直线的斜率的乘积为.
（1）求椭圆C的方程;
（2）过右焦点F的直线与椭圆C交于M,N两
点,线段MN的垂直平分线交直线于点P,交直线于点Q,求的最小值.
面积关系的取值范围
【15】已知椭圆过点,椭圆的焦距为2.
（1）求椭圆的方程;
（2）设直线过点,且斜率为,若椭圆上存在两点关于直线对称,为坐标原点,求的取值范围及面积的最大值.
【16】已知椭圆焦点在轴上,下顶点为,且离心率.直线经过点.
（1）求椭圆的标准方程;
（2）若直线与椭圆相切,求直线的方程;
（3）若直线与椭圆相交于不同的两点 ,求面积的最大值.
【17】在平面直角坐标系中,已知,动点到直线的距离等于.动点的轨迹记为曲线.
（1）求曲线的方程;
（2）已知,过点的动直线与曲线交于,两点,记和的面积分别为和,求的最大值.
【18】已知椭圆:（）的离心率为,且其长轴长与焦距之和为,直线,与椭圆分别交于点,,,,且.
（1）求椭圆的标准方程;
（2）求四边形面积的最大值.
坐标或截距的取值范围
【19】已知抛物线,点是的焦点,为坐标原点,过点的直线与相交于两点.
（1）求向量与的数量积;
（2）设,若,求在轴上截距的取值范围.
【20】已知抛物线,直线交抛物线C于M、N两点,且线段中点的纵坐标为2.
（1）求抛物线C的方程;
（2）是否存在正数m,对于过点,且与抛物线C有两个交点A,B,都有抛物线C的焦点F在以为直径的圆内？若存在,求出m的取值范围;若不存在,请说明理由.
【21】椭圆两焦点分别为、,且离心率;
（1）设E是直线与椭圆的一个交点,求取最小值时椭圆的方程;
（2）已知,是否存在斜率为k的直线l与（1）中的椭圆交于不同的两点A、B,使得点N在线段AB的垂直平分线上,若存在,求出直线l在y轴上截距的范围;若不存在,说明理由.
【22】已知抛物线:的焦点为,过的直线与抛物线交于,两点,当,两点的纵坐标相同时,.
（1）求抛物线的方程;
（2）若,为上两个动点,,为的中点,求点纵坐标的最小值.44 6 2 32 1第十八节 125 3 9 k 2 2 .
专题:圆锥曲线中的范围与最值问题 3
44 ,12 AM NB AN MB 的取值范围是
重点题型专练 5
.

2 2 【3】（1） x 2 ;（2） 7,9x y .
【1】（1） 1. ;（2） [ 4,14].
8 4 解析:（1）由已知得 F 1,0 ,则 PF 3 ,所以圆 F 的方程为
x2 y2
解析:（1）椭圆 E : 1(a b 0) 的焦距是 4 ,所以焦点坐标是 x 1
2
y 2 9 ,
a2 b2
2
( 2,0) , (2,0) x 1 y 2 9由 ,得 x22 2x 8 0 ,
由题可得,椭圆 E 过 (2, 2 ) 点, y 4x
2 解得: x 2 x 4 x 0 2a 0 2 (2 2) 2 4 2 , 或 ,由于 ,所以
x 2 ,
所以,圆 F 与抛物线交点的横坐标为 2 ;
a 2 2 ,b 2. y21 y
2
2
x2 y2 （2）设弦 AB 的中点为 M ,设 A , y1 、 B , y2 、 M x0 , y0 , 椭圆 E 的方程是 1. 4 4
8 4
y2 21 y2 y1 y2 F ( 2,0), (2,0), 则 x , y 2（ ）由题易得,左焦点 右焦点坐标为 0 0 ,设线段 AB的中垂线的方程为8 2
若直线 l 垂直于 x 轴,则点 M (2, 2 ),N (2, 2 ),
y k x 4 k 0 ,
FM FN (4, 2 ) (4, 2 ) 14. y1 y2 4 2 1
若直线 l 不垂直于 x 轴,可设 l 的方程为 y k(x 2), 设点 k 则直线 AB的斜率 AB y2 2 y 2k1 y2 y1 y2 y0 k , 0 ,
M (x1, y1),N (x2 , y

2 ), 4 4
将直线 l 的方程代入椭圆 E 的方程得到 (2k 2 1)x2 8k 2x 8k 2 8 0, y0 k x0 4 k 0 , x0 2 ,
x 8k
2 8k 2 8 1
则 1 x2 2 ,x1 x2 2 . 则直线 AB的方程为 y y0 x 2 ,即 k y y 2 x ,2k 1 2k 1 k 0

FM FN (x1 2, y1) (x2 2, y2 ) k y y 2 x y2
02 2 由 ,得 ky ky 2 ,即 y
2 4ky 8k 2 8 0 ,
(1 k )x1x2 2(1 k )(x1 x2) 4(1 k
2 ) 2 y 4x
0 4
28k 2 4 14 18 16k
2 32k 2 32 16k 2 32 0 , 0 k 2 2 ,
2k 2 1 2k 2
.
1 y 21 y2 4k , y1y2 8k 8 ,
0 18

18, 4 FM FN 14 , y2 2
2
2k 2 1 1 y2 y1y2 1
FA FB 1 4
1
4
y1y 2 4 4 y
2 2
1 y 2 1 y1y 2
FM FN 的取值范围是 [ 4,14].
2
x2 y2 44 y1y2 1 y y 2 3 y y 1 4 k 2 1 2 4k 2 3【2】（1） 1 （2） ,12 8k 2 1 2 1 2 8 1 4k 4 7 7,9 3 2 5 4 4 2 2

解析:（1）依题意,点 P的轨迹 E是以 F1( 1,0)、F2 (1,0) 为焦点,长轴为 FA FB的范围是 7,9 .
2 3 的椭圆,
【4 3】（1） ;（2）详见解析;（3） 9,
E : x
2 y2 7
设 2 2 1 ,则 a 3,c a
2 b2 1
a b 解析:（1）由题意 B 0,1 ,C 0, 1 ,焦点 F 3,0 ,
2 2
故轨迹 E x y的方程为 1 .
3 2 x y当直线 PM 过椭圆的右焦点 F 时,则直线 PM 的方程为 13 1 ,即（2）设直线 l方程为 y＝k（x＋1）
x2 y2 3
代入 E的方程 1 ,整理得 2 3k 2 x2 6k 2x 3k 2 6 0 . y x 1 ,
3 2 3
设点 M x1, y1 ,N x2 , y2 , x2 2 y 1 8 3 x
x x 6k
2 3k 2 x 0,x x 6
4 7 8 3 1
可得 . 联立 ,解得 或 （舍）,即 M , .1 2 2 3k 2 1 2 2 3k 2 3 1 y 1
7 7
y x 1
y

3 7
4 4 3k 22 6
|MN | 36k 1 k 2 x1 x2 4x1x2 1 k 2 x y 2 2

2 3k 2 3k
2 连 BF ,则直线 BF : 1 3 1 ,即
x 3y 3 0 ,
k 2 1 8 3 3 1 4 3 3 2 3
2 3k 2 M BF 7 7点 到直线 的距离为 d 7 3 ,又
2 2 2 7
由 |MN |
8
3 得, 4 3
k 1 8
3 , 12
5 3 2 3k 2 5
解得 k 2 1 . BF 2 .
因为 A( 3,0),B( 3,0) 1 1 3 3
故 S
所以 MBF
BF d 2 .
2 2 7 7

AM NB AN MB x1 3,y1 3 x2 , y 2 x2 3,y 2 3 x1 , y P m, 2 1 21 （2）设 ,且 m 0 ,则直线 PM 1的斜率为 k ,
0 m m
6 2x1x2 2y1y2 6 2x
2
1x2 2k x1 1 x2 1 1
. 则直线 PM 的方程为 y x 1 ,2 m
6 2 2k 2 x1x2 2k 2 x1 x 2k 2 2k 122 6 2 3k 2 y 1 x 1
6 2k
2 12 6 2 k
2 6 m 4 2 8
6 2 32 1 联立 2 化简得 1 2 x x 0 ,
由已知得 2 3k 2 3 k 2 2 3 9 2
x 2 mk 2
m

3 3
y 1
4
0 k 2 1 ,
M 8m , 4 m
2
解得 m2 2

4 m 4 ,
{#{QQABLQYlwwCQghQACJ7aV0GcCQgQkIOTLSoOAUAUKAYCSRNIFCA=}#}
4 m2 2
1 y 2 11 6 11 6 2 2m 4 2m 1 1 2 3 【7】（1） C : x 1 ;（2） k ,0 0, .所以 k1 m8m , k2 , 2 12

12
8m 4 0 m m

m2 4 解析:（1）由题意可知: QN QP ,又点 P是圆上的点,则 PM 2 2 ,
所以 k
3 1 3
k m 为定值. 且 PM PQ QM ,则 QN QM 2 2 21 2 ,由椭圆的定义可知,m 4 4

P m, 2 B 0,1 ,C 0, 1 PB m,3 点 Q的轨迹是以 MN为焦点的椭圆,其中: a 2 , c 1 , b 1 ,（3）∵ , , ,
y2
8m 4 m2 m3 12m m2 12 则点 Q的轨迹方程 C : x
2 1 ;
∴ PM 2 m,
2
m 4 m2
2 2 , 4 m 4 m2
,
4 （2）由已知得:直线 l 的斜率存在,设直线 l 的方程为: y kx m ,联立
m3 12m m2 12 m4 15m2 36 y2
所以 PB PM m,3 2 , 2
m 4 m
2 , 4 m2 4 x 1 方程 2 ,

令 m2 4 t 4 y kx m
2 2 2
2t 4 15 t 4 36 t 2 7t 8 8 消 y得: k 2 x 2kmx m 2 0 , 8k 2 8m2 16 0 ,解故 PB PM t 7 ,
t t t 得: m2 k 2 2 ,
8 2
因为 y t 7在 t 4, 上单调递增,
t 设 A x1, y1 , B x2 , y
2km m 2
2 ,则 x1 x2 2 ,x x k 2 1 2 k 2
,
2
8 8
所以 PB PM t 7 4 7 9 ,即
t 4 PB PM
的取值范围为 9, . y1 y2 kx1 m kx 22 m 1 m2 k 2
所以 kDA kDB
1
x 1 x 1 x 1 x 1 6 ,化简得 2

x2 1 1 1 2 1 2 m k 6
【5】（1） y2 1 （2） [ ,0) ( , )
4 2 2 当 m k 时,直线 l的方程为: y kx k 恒过 1,0 ,不符合题意;
解析:（1）由题设,若 F1( 3,0),F2 ( 3,0) , 13 13 13
PF PF 4 | F F | 2 3 P F ,F 当
m k 时,得 m k ,直线 l的方程为: y kx k 恒过 ,0
∴ 1 2 1 2 ,即动点 的轨迹是以 1 2 为焦点,长轴 11 11 11
长为 4的椭圆,
2 2 169 2 2 11 6 11 6
P C x
2 由 m k 2 得 k k 2 ,即 k ,0 0, .
∴动点 的轨迹 的方程为 y2 1 . 121 12 12
4
2 2
（2）由题设,设直线 AB : y kx b , A(x , y ),B(x , y ) x y 15 , , 15

1 1 2 2 【8】（1） 1（2）
4 3
,
y y x y x y 5 5 1 2 2 1 1 2∴ 1x x x .1 2 1x2 解析:（1）由题意可知: | PQ | QF1 PF1 r 4 ,
联立轨迹 C 可得: (1 4k 2 )x2 8kbx 4b2 4 0 ,则 由 F2P 的中垂线 l 交 F1P于点 Q ,则 QF2 PQ ,
16(1 4k 2 b2) 0 , QF2 QF1 4 F1F2 2 ,
x x 8kb
2
x x 4(b 1)∴ , 则点 Q 的轨迹 E 为以 F1 , F2 为焦点, 4 为长轴长的椭圆,1 2 1 4k 2 1 2
,
1 4k 2
即 2a 4 , 2c 2 , b2 a2 c2 3 ,
b(x x ) 2k
x2 y1 x1y2 2kx1x2 b(x1 x2 ) ,则 2k
1 2 1
x x 1 b2 ,即
x2 y2
点 Q1 2 的轨迹 E 的方程为: 1 ;4 3
2k b2 1 ,
∵ 1 b2 4k 2 ,且 b2 2k 1 0 ,
∴ k(2k 1) 0 k
1 1
且 ,可得 k 0 或 k
1
.
2 2 2
x2
【6】（1） y2 1 ; F1 3,0 , F2 3,0 （2） , 2 2,
4
解析:（1）由题意得 2a 4 ,得 a 2 ,
3 x2 y2
又点 P 1, 在椭圆 2 1上,
2 a b
2
（2）设直线 l1 : y kx m , A x1, y1 , B x2 , y2 ,将 y kx m 代入椭圆方
3 程,消去 y 得 3 4k 2 x2 8kmx 4m2 12 01 ,
4 1 ,解得 b
2 1 ,
4 b2 (8km)2 4 3 4k 2 4m2所以 12 0 ,即 m2 4k 2 3①,
C x
2
椭圆 的方程为 y2 1 ,焦点 F1 3,0 , F2 3,0 .
4 由根与系数关系得 x1 x
8km
2 ,则3 4k 2
（2）由题意得直线 l 的斜率存在且不为 0 ,
2 y1 y k x
6m
2 1 x2 2m ,
设 l : y kx 2
x
,代入 y2 1 ,整理得 1 4k 2 2 2x 16kx 12 0 , 3 4k
4 4km
2 ,
3m
16k 4 所以线段 AB的中点 M 的坐标为 .1 4k 2 12 16 4k 2 3 0 2 3 2 2,得 k .① 3 4k 3 4k 4
1 1
设 A x1, y1 , B x2 , y2 , x x
16k 12
1 2 , x x . 又线段
AB的垂直平分线 l 的方程为 y x ,
1 4k 2 1 2 1 4k 2 k 3

AOB 为钝角, cos AOB 0 ,则 OA OB x1x2 y1y2 0 , 3m 1 4km 1 由点 M 在直线 l 上,得 2 2 ,
又 y1y2 kx1 2
3 4k k 3 4k 3
kx 2 2 2 k x1x2 2k x1 x2 4 ,
2 1 2
x1x2 y y 1 k 2 x x 2k x x 4 即 4k 3km 3 0 ,所以 m 4k 3 ②,1 2 1 2 1 2 3k
2
1 k 2 12 2k 16k 4 4 4 k
2 4k 2 3
2 2 0 , 由①②得
2
1 4k 1 4k 2 2 4k 3
,
1 4k 9k
k 2 4 .②
2
3 15 15
4k 3 0 , 4k 2 3 9k 2 2,所以 k ,即 k 或 k ,
由①②得 k 2 4 ,解得 k 2 或 k 2 , 5 5 5
k 的取值范围是 , 2 2, . 15 k 15 所以实数 的取值范围是 , , .
5 5
{#{QQABLQYlwwCQghQACJ7aV0GcCQgQkIOTLSoOAUAUKAYCSRNIFCA=}#}
【9】（1） y2 4x ;（2）① 0 ;② 16 . 4 2
当 m 1时, MN ;
解析:（1）设点 P(x, y) ,则 Q( 1, y)
min
,由 QP QF FP FQ , 3
得 (x 1,0) (2, y) (x 1, y) ( 2, y) , 化简得曲线 C 的方程为 y2 4x ; 【11 2】（1） k （2）
2
4,64
（2）由于直线 AB不能垂直于 y 轴,且又过 x 轴上的定点,
解析:（1）因为 OC OD ,且圆 O 的半径为 2 ,所以点 O 到直线 l 的距
2
设直线 AB的方程为 x my 1(m 0) ,则 M 1, m ,

离 d 2sin 2 .4
y2 4x，
设 A(x1, y1) , B(x2 , y

2 ) ,联立方程组
3 2
x my 1
所以 2， ,解得 k .k 2 1 2
y y 4m，
消去 x 得 y2 4my 4 0 , ( 4m)2 16 0 1 2 ,故 y kx 3
y1y2 4. （2）设 A x1, y1 、 B x2 , y

,由 y22 2 ,消 y 整理得x 1
2 4
由 MA 1AF , MB 2BF ,得 x1 1，y1 (1 x ， y ) m
1 1 1
4 k 2 x2 2 3kx 1 0 ,

x 1 y
2
， 22 2 2 (1 x2 ， y2 )
m 2 3k 4 4 k 2 16k 2 16 0 ,所以
2 2
利用对应的纵坐标相等,得 y y , y y ,整理得 2 3k x x 11 m 1 1 2 m 2 2 x1 x , 1 2 2 4 k 2 4 k 2
,
2 2
1 1 , 2 1 2my my , 所以 AB 1 k
2 x x 1 k 2 x x 4x x
1 2 1 2 1 2 1 2
y y
2 2 1 1 2 2 1 2 2 2 4m
2
0 2 3k 4 4 1 k 2所以 1 2 2 m y y m y . 1 k . 1 2 1y2 m 4 2 4 k 4 k 2 4 k 2

②因为 MA x1 1 y
2 2
， 1 , MB m
x2 1，y2 ,所以有: 3
m 设圆心 O 到直线 l 的距离为 d ,2
1 k
MA MB (x1 1)(x 1)
2 2
2 (y1 )(y )m 2 m 2 3 1 4k 2
4 2 所以 CD 2 4 d 2 4
2
2 2 ,
x1x 1 k
1 k
2 1 x1 x2 y1y2 2 (y1 y2 ) , m m
y y 4m， 2 4 1 k 2 2 所以 AB CD 4 1 4k
2 16 1 4k 240
1 2
由上可知: , 2
.
4 k 1 k 2
2 64
y y 4. 4 k k
2 4
1 2
2
y 2 y 2
1 1 240
1 2 2 k
2 4 4 ,则 0 2 ,所以, AB CD 64 4,64 .因此有 x1x2 1,x x m( y y ) 2 4m 2 , k 4 4 k 2 4 16 1 2 1 2 2
所以 AB CD 的取值范围为 4,64 .4
所以 MA MB
4 4
2 4m
2 8 2 2 4m
2 8 16 ,当且仅当 2 4m
2 时 2
m m m 【12 x】（1） y2 1 ;（2） 0,2 .
取等号,即当 m 1时取等号, 2
解析:（1）由已知,有 b 1 .
因此 MA MB MA MB 16 .
1
2 又 S ABF a c b
2 1

1
【10 1 x】（ ） y2 1 4 2 2 2（2）
2 3 ∴ a c 2 1
2a 2 2 a 2 ∵ a2 b2 c2

解析:（1）由题意可得 b c ,解得 b 1 ,所以椭圆 E的方程为 ∴ a 2 ,c 1 .
a2 b2 c
2
c 1 x2
∴椭圆 C 的方程为 y2 1
x2 2
y2 1 ;
2 （2）①当 k 0 时,点 P 即为坐标原点 O ,点 Q 即为点 F2 ,则
（2）椭圆 E左焦点为 1,0 , PQ 1 , F1Q 2 .
设过椭圆 E左焦点的直线为 x my 1（ m存在且不为 0）, ∴ PQ F1Q 2 .
x2
y2 1 m2
2 ,则 m 2 ②当 k 0 时,直线 l 的方程为 y k x 12 .则直线 的方程为y 2my 1 0 ,设 M x1, y1 ,N x2 , y2 ,

x my 1 y
1
(x 1) ,即 x ky 1 0 .
k
4m2 4 m2 2 8m2 8 0 y y 2m则 ,且 1 2 2 , y y 11 2 , M xm 2 m2 2 设 1, y1 , N x2 , y2 .
2 m y k(x 1)
所以 MN 的中点为 m2
,
2 m2 2 ,

联立方程 x2 消去 y 得 (1 2k 2)x2 4k 2x 2k 2 2 2 0. 此时
y 1
m 2
因此线段 MN 的垂直平分线为 y 2 m
2
x 2 ,令 x 0m 2 m 2 ,则 8(k
2 1) 0.
m 2Q 的纵坐标为 ,因为与 y
4k 2k
2 轴交于负半轴,所以 m 0 ,又因为点 Q ∴ x1 x2 2 , y1 y2 k (x1 x 2) m 2 1 2k 2 1 2k 2
.
1 m 1 2
的纵坐标的最大值是 1 m 2 P( 2k,所以 2 ,即 , ∴ 2 ,
k
2 )3 m 2 3 1 2k 1 2k
2 2而 MN 1 m y y 4y y ∵ | PQ |为点 P 到直线 m的距离1 2 1 2
| 2k
2
2
2m 1 1 2k 2 2
1| 2
1 m2 ∴ 4 | PQ |
1 2k 3k 1
m2 2 m2 2 k 2 1 (1 2k 2 ) k 2 1
8m2 8 2 又 | F1Q | 为点 F1 1 到直线 m的距离 1 m2 2 2 m 1 2 2 2 1 m2 2 2 m2 2 | FQ | 2m 2 ∴ 1
k 2 1
{#{QQABLQYlwwCQghQACJ7aV0GcCQgQkIOTLSoOAUAUKAYCSRNIFCA=}#}
2(1 3k 2) PQ 3 4m2∴ | PQ | | F1Q | 9 3 5(1 2k 2 )(k 2 1) (4 m
2 1 )
MN 12 m2 1 12 m2 1
2 2 t 1令 1 3k t(t 1) ,则 k . 3 2 4 m2 1 5 ) 153
12 2
18t 18 1 m 1
3
| PQ | | F1Q | 2∴ (1 2t)(t 2) 52(t 1 ) 5 2 2 5 4 m2 1
t 当且仅当
1
m2
,即 m 时取“=”,
1 2
即 k 0 时, 0 | PQ | | F1Q | 2. PQ 15
综上,可知 | PQ | | FQ |的取值范围是 0,2 所以 的得最小值 .1 . MN 3
13 1 x2 4y 2 8 2【 】（ ） ;（ ） . x2 6 6 15 1 y2 1 2 k ,0 0, 25 【 】解析:（ ） ;（ ）2 2
; .
p
2 2
2
解析:（1）设抛物线 C 的方程为: x 2py p 0 ,则 1 ,解得: p 2 ,
2 x2 y2 2 3

解析:（1）∵椭圆 C : 1 a b 0 过点 , 2 2 ,椭圆的焦距 抛物线 C 的方程为 x2 4y ; a b 2 2
（2）由题意知:直线 AB斜率存在,可设其方程为: y kx 1 , 为 2,
y kx 1 2 3
由 2 消去 y 整理得:x 4y x
2 4kx 4 0 , 2 2 1
4a 4b
∴ 2c 2 ,解得 a2 2 , b2 1 ,
x1 x2 4k
设 A x1, y1
2 2 2
, B x a b c2 , y2 , ,
x1x

2 4
2 2 x1 x2 x1 x2 4x1x2 4 k 2 1 , x∴椭圆 C的方程为 y2 1 .
2
y
y 1 x 2x1 2x x x
8
M
1 （2）由题意,设直线 AB 的方程为 y kx m k 0 , A x1, y1 ,B x2 , y2 2 ,由 1 解得点 M 的横坐标为: x1 y1 x1 4 x1 ,
x1 2
y x 2 4 x y2 1
2 2 2 28 由 ,整理化简可得 1 2k x 4kmx 2m 2 0 ,
同理可得点 N 的横坐标为: x N y kx m4 x , 2
∴ 0 ,即 2k 2 1 m2 ①,
MN 2 x x 2 8 8M N 24 x1 4 x
4km
2 且 x1 x
2m 2
2 1 2k 2
, x1 x2 ,1 2k 2
x x
8 2 1 2 8 2 k
2 1
x 2km m , ∴线段 AB中点的横坐标 0 2 ,纵坐标 y0 kx0 m x1x2 4 x1 x2 16 4k 3 2 ,1 2k 1 2k
2
4k 3 t t 0 k t 3 x y y
1 1
令 ,则 , 将 0 , 0 代入直线 l方程 x
1 2k
可得, m ②,
4 k 2 2
2 3
当 t 0时, MN 2 2
25 6
2 1 2 2 ,
由①②可得, k ,
t t 2
又∵ k 0 ,
2
t 0 MN 2 2 25 6 5 3 16 8 2当 时, 2 1 2 2 ,
6 6
t t t 5 25 5 ∴ k ,0 0, ,
2 2
综上所述,当 t
25 4
,即 k MN 8 2时, 的最小值是 . 2
3 3 5 ∵ AB 1 k 2 2x 1 k1 x2 4x1x2 2 8 1 2k 21 2k 8m
2 ,

x2 y2
【14】（1） 1 ;（2 15） . m
3 2 3 且原点 O 到直线 AB的距离 d ,
2 3 2 3 k
2 1
解析:（1）依题意, A1( a,0),A2 (a,0) ,则 3 3 2 ,解得 a2 3 , m
1 a 1 a 3 ∴ S
1 1
△AOB AB d 8 1 2k 2 8m 2 16m 8m 22 2 1 2k 2 4
1 4
又 2 1 ,于是得 b
2 2 ,
a 3b2 2 2m m2 ,
2 2 2
所以椭圆 C x y的方程为 1 ;
3 2 2 2
∴当 m 1时, S 的最大,且最大为 ,此时 k ,
（2）由（1）可得 F (1,0)
AOB
,显然直线 l 不垂直于y轴,设其方程为 x my 1 , 2 2
设点 M (x1, y1),N (x2 , y2 ) , 2 2故当 k 时, S AOB 的最大值为 .
x2 y2 2 2
1 2
由 3 2 消去 y并整理得 (2m2 3)y2 4my 4 0 , 【16】（1 x） y2 1 （2） y x 2 或 y x 2 3 3 （3）
x my 1 3 4
2 2
y y 4m
x y
则 , y y
4
, 解析:（1）设椭圆方程为 2 2 1
c 6
,由已知得 b 1 , ,
1 2 2m2 3 1 2 2m2 3 a b a 3
于是得 x2
又 a2 b2 c2 ,∴ a2 3 , b2 1 ,即椭圆方程为 y2 1 .
MN 1 m2 (y y )2 4y y 1 m2 ( 4m 4
3
21 2 1 2 2 ) 4 2m 3 2m2 3 （2）当直线 l 的斜率不存在时,显然不成立.可设直线 l 方程
m2 y kx 24 3 1
为: ,
2 ,2m 3 x2
y2 1 2 2
显然点 P的坐标 (xP , y ) 由 3 消去 y 整理得, 1 3k x 12kx 9 0 ,P
y y 2m 2 y kx 2
有: y 1 2P 2 , xP my 1
2m 3
1
2 2m 3 P 2m2 3 2m2
,
3 又 (12k)2 4 9 (1 3k 2 ) k 2 1 0 得, k 1 ,
而直线 PQ方程为: y yP m x xP , ∴直线 l 方程为: y x 2 或 y x 2 .
2 4m2 9 （3）设 M x , y , N x , y ,则 PQ 1 m 2 x 2 1 1 2 2P 1 m 2 ,2m 3
{#{QQABLQYlwwCQghQACJ7aV0GcCQgQkIOTLSoOAUAUKAYCSRNIFCA=}#}
O
0 k 1 k 1 x x 12k x x 9 设 为坐标原点,易知四边形
ACBD 的面积
由（2） ,得 或 , 1 2 2 ,1 3k 1
2 ,1 3k 2
S 4S 2 m x x 2 m 2 2x x 4x x
S S S 1 PD x 1 1
AOC 1 2 1 2 1 2
DAN PDM PDN PD x PD x x2 1 2 2 2 1 2
64k 2m2 4 4m2 12 3 4k 2 m2 3 4k 2 m22
12k 9 k 2 1 2 m 2 8 3 2
又 x1 x2 ( )
2 4 6 3 4k 2 3 4k 2
1 3k 2 1 3k 2 9k 4 6k 2 1
2
1 3 m 3 4k
2 m2
6
9(k 2 1) 16 24 2 , 8 3
2
2 4 3
,
k 2 1 3 4k
当且仅当 m2 3 4k 2 m2 ,即 2m2 3 4k 2 时取等号.
又 PD 3 S 3 3 3 3,∴ AMN , 22 2 4 将 2m 3 4k
2 与 2m2 k 6 联立,
k 21 3 3

当 , S 的最大值为 . m 14 m
42
AMN
3 4 2 4可得 或 均满足 m2 4k 2 3 .
17 x
2 y2 k 3 1 k
【 】（1） 1 ;（2）最大值为 3.
4 3 4
解析:（1）设点 P(x, y) , 所以四边形 ACBD 面积的最大值为 4 3 .
当 x 6 时, P 到直线 x 6 的距离显然小于 PF ,故不满足题意; 3 8 8 3 【19】（1） 3 ;（2） ， ，
4 15

15 4
.
2 2 x 6 2 2 故 | x 6 | 2 (x 1) y 2 （ ）,即 4 x 2 (x 1) y ,
解析:（1）设 A,B坐标为 x1, y1 , x2 , y2 ,由题知直线倾斜角不可能为 0,2 2
整理得 3x2 4y2 12
x y
,即 1 ,
4 3 x my 1设直线 l 方程为: x my 1

.联立 2 得
x2 y2 y 4x
故曲线 C 的方程为 1 ;
4 3 y2 4my 4 0 , 16m2 16 0 ,
（2）由题意可知直线 l 的斜率不为 0,
y1 y2 4m
则可设直线 l 的方程为 x my 1 , B x1, y1 , D x2 , y , 由韦达定理得 y y 4 .2 1 2
x my 1 2 2
y1 y2 162 2
联立 x2 y2 ,整理得 3m 4 y 6my 9 0 , 0 显然成立, OA OB x1x2 y1y2 y1y2 4 3 .
1 16 16
4 3 向量 OA,OB 的数量积为 3 .
y y 6m y y 9所以 1 2 , 1 2 , y y 4m 3m2 4 3m2 4 2 1 2（ ）由（1）知 , FB AF y2 y
y
1
1y2 4
2 2
y y y y 2 4y y 6m 36 12 m 1所以 1 2 1 2 1 2 2 2 2 , y y 4m
3m 4 3m 4 3m 4
1 2
代入 y 得 1y2 4
S S 1
2
OA y 1 OA y 1 OA y y 12 m 1故 , 2 21 2 1 2 22 2 2 2 1 2 3m2 4 1 y1 4m 1 y 16m 1 1 2
y2
. . 4m .
2 t 1 2 2 1 4
2
设 t m 1 , ,则 m t 1 ,
y1 4
2
12t 12 2 1 S 11 S2 2 1 4m 2.则 3t 1 3t ,
t
f 11 2 在 9，16 为增函数
因为 t 1 ,所以 3t 4 （当且仅当 t 1时,等号成立）.
t
4m2 64 225 2 16 225 15 4 4 15 12 , , m , , m , , .S S 3 9 16

9 64
8 3
1 2 3 8 故 1 ,即 S1 S3t 2 的最大值为 3.
t 1 3 8 8 3 l 在 y轴上截距 的取值范围为 ， ， .
x2 y2 m 4 15

15 4


【18】（1） 1 （2） 4 3
4 3 【20】（1）y2 4x ;（2）存在满足题意正数 m ,且 3 2 2 m 3 2 2 .
c 1
解析:（1）由题意可得: , 2a 2c 6 a 2 M (x , y ),N (x , y,解得: , c 1 , 解析:（1）设 1 1 2 2 ) ,
a 2
x y 1 0
所以 b a2 c2 3 , 由 2 得, y
2 2py 2p 0 ,则 y1 y2 2p ,由题意
y 2px
x2 y2
所以椭圆 E 的标准方程为 1 . 2p 2 2 , p 2 ,
4 3
所以抛物线方程为 y2 4x ;
（2）由题意知直线 AC 的斜率存在且不为 0 ,
（2）假设存在满足题意的点
P(m,0) ,显然直线的斜率存在,设直线方程
设直线 AC 的方程为 y kx m k 0 , A x1, y1 , C x2 , y2 ,
为 y k(x m) ,
2 2
把 y kx m
x y
与 1联立,整理得 y k(x m) k
4 3 由 2 得, y
2 y km 0 , k 0 时直线与抛物线没有两个交
y 4x 4 3 4k 2 x2 8kmx 4m2 12 0 , 点,
64k 2m2 4 3 4k 2由 4m2 12 0 2,得 m2 4k 2 3 , 由 k m 1 ,因为 m 0 , 0 恒成立,
x 8km 4m
2 12 y y 4且 1 2 1 x2 2 , x3 4k 1
x2 2 .3 4k 设 A(x1, y1),B(x2 , y2 ) ,则 k ,
y1y 4my y x1 kx 2k k 12 1 2 12 2 m x2 kx1 m 12x1x2所以 1 2 x x x x 焦点 F在以 AB 为直径的圆内,则 FA FB 0 , F (1,0) ,1 2 1 2
(2k 12)x x m x x FA FB (x1 1, y1) (x2 1, y2 ) (x1 1)(x2 1) y1y
1 2 1 2
2
0 ,
x x y y1 2 x1x2 (x1 x2 ) 1 y y
1
y 2y 2 ( 1 21 2 1 2 2m) 1 y1y16 k 2
(2k 12) 4m2 12
所以 (2k 12)x x 8km
2
, 41 2 m x1 x2 0 23 4k 2 3 4k 2 m 6m 1 2 0 ,k
整理得: 2m2 k 6 .
{#{QQABLQYlwwCQghQACJ7aV0GcCQgQkIOTLSoOAUAUKAYCSRNIFCA=}#}
m2 4 m 6m 1 2 恒成立,因为 k
2 0 ,所以 m2 6m 1 0 ,又 m 0 值, yE 1min ,k 2
所以 3 2 2 m 3 2 2 . 2
综上所述:当 0 m 4
m
时,点 E 纵坐标的最小值为 ;当 m≥ 4 时,点
所以存在满足题意正数 m ,且 3 2 2 m 3 2 2 . 16
2 m
【21 x】（1） y2 1 1.（2）存在,见解析 E 纵坐标的最小值为 .
3 2
6 b2 1 x2 y2
解析:解:（1） e ,
3 a2
椭圆方程可化为
3 3b2
2 1 ,与b
y x 2 联立,
消去 y化简得 4x2 12x 12 3b2 0 ,
144b2 2又由 16 12 3b 0 ,解得 b2 1 ,
此时 EF1 EF2 2 3b 2 3 ,当且仅当 b 1时, EF1 EF2 取最小值
x22 3 ,所以椭圆方程为 y2 1 .
3
x2
（2）设直线 l的方程为 y kx t ,代入 y2 1 ,消去 y整理得:
3
1 3k 2 x2 6ktx 3t 2 3 0
∵直线与椭圆交与不同的两点,
(6kt)2 12 t 2 1 1 3k 2 0 ,
即 t 2 1 3k 2 ,设 A x1, y1 , B x2 , y2
2
x 6kt1 x2 2 , x1x
3t 3
1 3k 2
,
1 3k 2
Q 3kt则 AB中点 2 ,
t
1 3k 1 3k 2
t
2 1
所以当 k 0 时, 1 3k
1

3kt ,k
1 3k 2
化简得 1 3k 2 2t ,代入 t 2 1 3k 2 得 2 t 0 ;
1 1
又 2t 1 3k 2 1 ,所以 t ,故 2 t ;
2 2
当 k 0 时, 1 t 1 ,
k 0 2 t 1综上, 时, ; k 0 时, 1 t 1 .
2
2
【22 m】（1） x2 4y ;（2）当 0 m 4时,点 E 纵坐标的最小值为 ;
16
m
当 m≥ 4时,点 E 纵坐标的最小值为 1 .
2
p
解析:（1）当 A , B 两点纵坐标相同时, A , B 的纵坐标均为 ,
2
由抛物线的定义知 AB 2p .
因为 | AB | 4 ,所以 p 2 ,
所以抛物线 C 的方程为 x2 4y .
（2）由题意知直线 PQ 的斜率存在,设直线 PQ 的方程为 y kx b ,
y kx b,
联立 y2 消去 并整理,得 2x 4y, x 4kx 4b 0
,

16k 2 16b 16 k 2 b 0 ,
设 P x1, y1 , Q x2 , y2 ,则 x1 x2 4k , x1x2 4b ,
PQ 1 k 2 2x1 x2 4x1x2 1 k 2 16k 2 16b m ,
m2 2
所以 b k16 1 k 2 ,符合 0 ,
m22 2
所以 y1 y2 k x1 x2 2b 4k 2b 2k8 1 k 2 ,
y1 y
2 2
2 m 2 m 2
所以点 E 的纵坐标 yE k k 1 12 16 1 k 2 16 1 k 2 ,
2 m
2
令 t k 1 1 ,则 yE t 1 .16t
m 2
当 1时,即 0 m 4
m
时,函数 yE t 1在 1, 上单调递增,4 16t
2
所以当 t 1 ,即 k 0
m
时, yE ;min 16
m 2
当 1
m m
,即 m≥ 4时,函数 yE t 1在 t 时取得最小4 16t 4
{#{QQABLQYlwwCQghQACJ7aV0GcCQgQkIOTLSoOAUAUKAYCSRNIFCA=}#}

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