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第十节 专题:圆锥曲线离心率问题专练
▍求离心率的值及范围的思路与方法
（1）直接法:若已知,可直接利用求解.若已知,或,可借助于求出或,再代入公式求解.
（2）方程法:若,的值不可求,则可根据条件建立,,的关系式,借助于,转化为关于,的齐次方程或不等式,再将方程或不等式两边同除以的最高次幂,得到关于的方程或不等式,即可求得的值或范围.
无论哪种方法,最后的目的都是建立,,的数量关系.求离心率及离心率取值范围的问题解题思虑往往涉及多个知识点,对学生的综合分析能力要求较高.通过对问题的不同思考方向和思路,可以把离心率的问题分为一下几种类型:
类型1:对于简单离心率问题,可以通过圆锥曲线的定义与相关性质直接求解得到,,的关系式.
类型2:通过定义与给定的条件对几何特征关系与性质进行分析,通过几何关系设法得到数量关系,建立,,的关系式.
类型3:利用圆锥曲线的有界性,可以得到,,的不等式关系,往往用于求离心率取值范围的题型.
类型4:对于数量关系较为复杂的题型,可尝试将各边关系通过,,表示出来,再通过正余弦定理解三角形,建立,,的数量关系式.
类型5:坐标法也是处理离心率的一种方法,可将向量比例等问题转化为坐标形式,在坐标系中建立数量关系.也可采用联立方程的方式,得到交点坐标的关系式,通过坐标关系找到,,的数量关系.
通过圆锥曲线性质求解
【1】已知双曲线的上、下焦点分别为,点在该双曲线上,则双曲线离心率为（ ）
A.4 B.3 C.2 D.
【2】（2024·江西高二阶段练习）已知,椭圆:和:的离心率分别为,,则（ ）
A. B.
C. D.,的大小不确定
【3】已知椭圆的焦距大于2,则其离心率的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【4】已知椭圆 中,,则椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【5】已知是椭圆的两个焦点,若椭圆上存在点P,使得,则椭圆的离心率为 .
【6】已知双曲线 的一条渐近线方程是,则的离心率是_______.
【7】若椭圆 的离心率为,则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【8】若双曲线 的一条渐近线经过点,则双曲线的离心率为_______.
【9】已知为双曲线的两个焦点,为上一点,若,且为等腰三角形,则的离心率为（ ）
A. B.2 C.或 D.2或3
【10】（2024·全国模拟）在中,, 以顶点为焦点且过点的双曲线离心率记为,以顶点为焦点且过点的双曲线离心率记为,则_______.
【11】设圆锥曲线的两个焦点分别为,.若曲线上存在点P满足,则曲线的离心率等于（ ）
A. B. C.或 D.或
【12】双曲线: 的右焦点为,且点到双曲线的一条渐近线的距离为1,则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【13】已知双曲线与直线无公共点,则双曲线离心率的最大值是（ ）
A. B.2 C. D.
【14】设双曲线的左右焦点分别为,过作平行于轴的直线交于两点,若,则的离心率为 .
通过几何特征建立数量关系
【15】已知椭圆的上顶点、下顶点和两个焦点构成正方形,则该椭圆的离心率为 .
【16】已知椭圆 的左、右焦点分别为、,点P为C上一点,若,且,则椭圆C的离心率为________.
【17】已知双曲线C的顶点为,,虚轴的一个端点为B,且是一个等边三角形,则双曲线C的离心率为（ ）
A.2 B. C.3 D.
【18】P是椭圆 上的一点,F为椭圆的右焦点,轴,过点P作斜率为的直线恰好经过左顶点,则椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【19】已知 是椭圆的两焦点,过且垂直于轴的直线与椭圆交于 两点,若为直角三角形,则该椭圆离心率的值为（ ）
A. B. C. D.
【20】已知椭圆C: 的左焦点为F,若F关于直线l:对称的点在椭圆C上,则椭圆的离心率为（ ）
A. B.
C. D.
【21】已知椭圆E: 的左、右焦点分别为,,若E上恰有4个不同的点P,使得为直角三角形,则E的离心率的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【22】（2024·河北邢台高二练习）已知,分别是椭圆的左、右焦点,动直线与交于两点,当的周长最大时,,则的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【23】（2024·江苏一模）在平面直角坐标系中,已知为双曲线的右顶点,以为直径的圆与的一条渐近线交于另一点,若,则的离心率为（ ）
A. B.2 C. D.4
【24】已知椭圆 的右焦点为,上、下顶点分别为,, 是的中点,若,则椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【25】已知椭圆 的左、右焦点分别是,,是椭圆上关于原点对称的两点,且,若,其中为坐标原点,则椭圆的离心率是（ ）
A. B. C. D.
【26】已知双曲线的一个顶点为,虚轴的一个端点为,直线与的一条渐近线相交于点,点恰在以实轴为直径的圆上,则的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【27】已知双曲线的左,右焦点分别为.点在上,点在轴上, ,则的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【28】已知双曲线的左 右焦点分别为,点在轴上,点在曲线上, ,则的离心率为（ ）
A. B. C.2 D.
【29】如图,、是双曲线的左、右焦点,过的直线与双曲线的左、右两支分别交于点,若, ,,则双曲线的离心率为（ ）
A.4 B. C. D.
【30】（2024·浙江）双曲线 的左、右焦点分别为,点是双曲线左支上一点,,直线交双曲线的另一支于点,,则双曲线的离心率（ ）
A. B. C. D.
【31】已知双曲线 的左、右焦点为,,若双曲线右支上存在点,使得线段被直线垂直平分,则双曲线的离心率为（ ）
A. B.
C. D.
【32】已知是双曲线的左焦点,为坐标原点,过且斜率为的直线与的左支交于点,右支交于点,, ,则的离心率为（ ）
A.3 B.2 C. D.
【33】双曲线 的右焦点为,点在轴的正半轴上,直线与在第一象限的交点为,,且,则的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【34】（2024·青海海南一模）已知为坐标原点,为双曲线的左焦点,直线与交于两点（点在第一象限）,若,且,则的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【35】（2024·遵义三模）若点,分别是双曲线的左、右焦点,过作倾斜角为的直线l与双曲线的左、右两支分别交于A,B两点,且,则双曲线的离心率为（ ）
A. B.2 C. D.
【36】已知双曲线: 的左、右焦点分别为,,过的直线与的右支交于,两点,且,若,则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【37】（2024·陕西西安模拟预测）如图,已知,是双曲线C:的左、右焦点,P,Q为双曲线C上两点,满足,且,则双曲线C的离心率为 .
【38】（2024·四川南充三模）已知点F是双曲线的左焦点,点是该双曲线的右顶点,过点且垂直于x轴的直线与双曲线交于两点,若,则该双曲线离心率的取值范围为 .
【39】（2023·吉林一模）已知双曲线C:（,）的左、右焦点分别为,,若在C上存在点P（不是顶点）,使得,则C的离心率的取值范围为 .
利用有界性建立不等式关系
【40】已知椭圆的左、右焦点分别为,,椭圆上点到焦点的最大距离为3,最小距离为1,则椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【41】（2023·河南高三练习）已知,分别为双曲线的左、右焦点,点在的右支上,点在直线上,若,则双曲线的离心率的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【42】已知双曲线 左,右焦点分别为,若双曲线左支上存在点使得,则离心率的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【43】（2024·辽宁沈阳高二上阶段练习）双曲线:的左、右焦点为,,若点在双曲线右支上,且,则双曲线离心率的值不可能是（ ）
A. B. C. D.
【44】（2024·全国模拟）已知双曲线 的左、右焦点分别为为上一点,且,则的离心率的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【45】（2024·昆明高三练习）已知椭圆 ,F1,F2分别为椭圆的左、右焦点,若椭圆上存在一点P,使得,则该椭圆离心率的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【46】（2024·广东高三一模）已知椭圆 的左、右焦点分别为为椭圆上一点,且,则椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【47】（2024·山西高三三模）已知椭圆 的左、右焦点分别为,若C上存在一点P,使线段的中垂线过点,则C的离心率的最小值是 .
【48】若双曲线C:的左、右焦点分别为,,点P是其右支上的动点,与其左支交于点Q.若存在P,使得,则C的离心率的取值范围为 .
【49】已知双曲线,为其右焦点,O为坐标原点若左支上存在一点P,使得的中点M满足,则双曲线的离心率e的取值范围是 .
【50】（2022·贵州毕节高三阶段练习）已知双曲线:的左、右焦点为,,是双曲线的右支上一点,且,则双曲线的离心率的取值范围为 .
【51】（2021·重庆沙坪坝高二上阶段练习）椭圆的右焦点为,直线与x轴的交点为A,在椭圆E上存在点P满足线段的垂直平分线过点F,则椭圆E离心率的取值范围是 .
【52】已知F是椭圆的右焦点,O是坐标原点,点M是的中点,椭圆上有且只有右顶点与点M的距离最近,求该椭圆的离心率的取值范围 .
【53】（2024·江西宜春高一阶段练习）已知双曲线左,右焦点分别为,,若双曲线右支上存在点使得,则离心率的取值范围为 .
利用解三角形建立关系
【54】（2024·云南）已知椭圆 的左、右焦点分别为,,点是椭圆短轴的一个端点,且,则椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【55】已知双曲线的左、右焦点是是双曲线上一点,且,则双曲线的离心率是（　　）
A.7 B. C. D.
【56】已知,是双曲线C的两个焦点,P为C上一点,且,,则C的离心率为（ ）
A. B. C. D.3
【57】（2024·南昌二模）已知双曲线 的左、右焦点分别为,双曲线的右支上有一点与双曲线的左支交于,线段的中点为,且满足,若,则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【58】椭圆 左、右焦点为,过点且斜率为的直线与椭圆的一个交点为,若,则椭圆的离心率为（ ）
A. B.或 C.或 D.或
【59】（2024·江苏南通高三下开学考试）已知双曲线的左、右焦点分别为,点P在C的左支上,,的周长为,则C的离心率为（ ）
A.2 B. C. D.
【60】（2024·江苏高三练习）在平面直角坐标系中,设是双曲线 的左、右焦点,过的直线与双曲线的两支分别交于点若为正三角形,则该双曲线的离心率为（ ）
A. B.2 C. D.
【61】（2024·四川成都模拟）设点,分别为双曲线的左、右焦点,点A,B分别在双曲线C的左,右支上.若, ,且,则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【62】（2024·浙江宁波高三期末）已知为双曲线:的一个焦点,C上的A,B两点关于原点对称,且,,则C的离心率是（ ）
A. B. C. D.
【63】（2022·全国高三专题练习）已知,是椭圆的两个焦点,为椭圆上一点,,则椭圆离心率的取值范围为 .
【64】已知是椭圆的左右焦点,上两点满足:, ,则椭圆的离心率是（ ）
A. B. C. D.
【65】（2024·全国模拟预测）已知,分别为双曲线的左、右焦点,过的直线与双曲线C左支相交于A,B两点,若,,则双曲线C的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【66】已知双曲线的左、右焦点分别是, ,点A,B是其右支上的两点,, ,则该双曲线的离心率是（ ）
A. B. C. D.
【67】设,是椭圆和双曲线的公共焦点,是它们的一个公共点,且,若双曲线的离心率为,则椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【68】已知双曲线的左、右焦点分别是,,经过的直线与双曲线的右支相交于,两点,且,则双曲线的离心率等于（ ）
A. B. C.2 D.3
【69】（2024·湖南长沙二模）已知,分别为椭圆的左 右焦点,为椭圆的上顶点,过作的垂线,并与椭圆交于点,且满足,则椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【70】（2024·陕西西安二模）如图,已知双曲线 的左、右焦点分别为, ,点在上,点在轴上,,,三点共线,若直线的斜率为,直线的斜率为,则双曲线的离心率是（ ）
【71】（2024·浙江）双曲线 的左右焦点分别为是双曲线右支上一点,点关于平分线的对称点也在此双曲线上,且,则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【72】在以为原点的平面直角坐标系中,和分别为双曲线 的左 右焦点,点为右支上一点,且是以为顶点的直角三角形,延长交的左支于点,若点为线段上靠近点的五等分点,则的离心率为 .
利用坐标法或联立方程求解
【73】（2024·贵州高二）已知椭圆 的上顶点为P,左焦点为F,直线PF与C的另一个交点为Q,若,则C的离心率（ ）
A. B. C. D.
【74】已知是双曲线的左、右顶点,点在上,为等腰三角形,且顶角为,则的离心率为（ ）
A. B.2 C. D.
【75】（2024·海南高三阶段练习）已知为双曲线上一点,为的右焦点,若,则的离心率为（ ）
A. B. C.2 D.
【76】（2024·贵州黔西高三阶段练习）若过双曲线的一个焦点作双曲线的一条渐近线的垂线,垂线交轴于点（为双曲线的半焦距）,则此双曲线的离心率是（ ）
A. B. C. D.
【77】（2024·福建泉州高三开学考试）已知双曲线的左右顶点分别为,点均在上,且关于轴对称.若直线的斜率之积为,则该双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【78】（2024·湖北模拟）已知椭圆 的右顶点为,直线与椭圆交于A,B两点,直线PA,PB的斜率乘积为,则椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【79】设,分别是椭圆的右顶点和上焦点,点在上,且,则的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【80】已知A,B是椭圆E:（）的左右顶点,若椭圆上存在点满足,则椭圆E的离心率的取值范围为________.
【81】已知椭圆 ,,分别为椭圆的左 右顶点,若在椭圆上存在一点,使得,则椭圆的离心率的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【82】已知F是椭圆E:的右焦点,A为E的右顶点,,若直线AB与E交于点C,且,则椭圆E的离心率为（　　）
A. B. C. D.
【83】（2023·陕西宝鸡模拟）已知焦点在x轴上的椭圆C:上顶点A与右顶点C连线与过下顶点B和右焦点F的直线交于点P,若∠APB为钝角,则椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【84】已知双曲线 的右焦点为,直线过点且与双曲线的渐近线分别交于点,,则该双曲线的离心率为（　　）
A. B. C. D.
【85】如图,已知双曲线的右焦点为,点分别在的两条渐近线上,且在第一象限,为坐标原点,若, ,则双曲线的离心率为（ ）

A. B. C. D.
【86】（2020·安徽芜湖高二上期末）已知双曲线C:的左、右焦点分别为,右顶点为B,虚轴的上端点为C,若线段BC与双曲线的渐近线的交点为E,且,则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【87】已知双曲线:的左、右焦点分别为,,点在的右支上,与的一条渐近线平行,交的另一条渐近线于点,若,则的离心率为（ ）

A. B. C.2 D.
【88】（2024·厦门三模）已知双曲线 ,过右焦点作一条渐近线的垂线,垂足为,点在上,且,则的离心率为_________.
【89】已知双曲线的左、右焦点分别为,,过的直线与C的两条渐近线分别交于A,B两点,若A为线段的中点,且,则C的离心率为（ ）
A. B.2 C. D.3
【90】（2024·全国三模）已知双曲线C: 的左、右焦点分别为,,且离心率为,过点的直线l与C的一条渐近线垂直相交于点D,则__________.
【91】已知为双曲线的右顶点,为坐标原点,为双曲线上两点,且,直线的斜率分别为4和,则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.2
【92】（2024·陕西榆林三模）设为双曲线的上,下焦点,点为的上顶点,以为直径的圆交的一条渐近线于两点,若,则的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【93】已知椭圆（）的左顶点为A,过椭圆右焦点作与轴垂直的直线与椭圆在第一象限交于点,若直线的斜率的取值范围是,则椭圆的离心率的取值范围是_____.
【94】已知椭圆 ,斜率为2的直线与椭圆相交于M, N,两点,MN的中点坐标为,则椭圆C的离心率是（ ）
A. B. C. D.
【95】已知椭圆 的左、右焦点分别为,直线 与椭圆交于两点,直线与椭圆交于另一点,若直线与的斜率之积为,则椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【96】（2024·陕西宝鸡）已知直线与双曲线交于两点,点是弦的中点,则双曲线的离心率为（ ）
A.2 B. C. D.3
【97】（2023·陕西二模）已知双曲线C: 上有不同的三点A,B,P,且A,B关于原点对称,直线PA,PB的斜率分别为,,且,则离心率e的取值范围是 .
【98】已知、是双曲线上的两点,是线段的中点,且直线,的斜率分别是、,若,则双曲线的离心率是（ ）
A. B. C.2 D.不确定
【99】已知双曲线的右焦点为,其左右顶点分别为,过且与轴垂直的直线交双曲线于两点,设线段的中点为,若直线与直线的交点在轴上,则双曲线的离心率为（ ）
A.2 B.3 C. D.
【100】（2024·河北三模）如图,双曲线 的左焦点,且,,直线FA分别与双曲线的两条渐近线交于M,N两点.若,则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【101】（2024·江西赣州高三下期中）如图,已知双曲线:（,）的右焦点为,点是双曲线的渐近线上的一点,点是双曲线左支上的一点.若四边形是一个平行四边形,且,则双曲线的离心率是（ ）
A. B.2 C. D.3
【102】（多选）已知直线与双曲线交于两点,为的中点,为坐标原点,若直线的斜率小于,则双曲线的离心率可能为（ ）
A.2 B.3 C. D.
【103】（2024·安徽合肥高二下期中）已知双曲线（,）的右焦点为,经过点作直线与双曲线的一条渐近线垂直,垂足为点,直线与双曲线的另一条渐近线相交于点,若,则双曲线的离心率 .
【104】（2024·四川成都高二下期中）已知分别是双曲线的左 右顶点,直角的顶点在轴上,顶点在双曲线的一条渐近线上,且斜边的中点为,则双曲线的离心率为 .
【105】（2024·泰州模拟）已知双曲线 的左焦点直线与双曲线交于两点,若,则双曲线的离心率为 .2c F F 5
第十节 专题:圆锥曲线离心率专练 或 PF2 3k , PF1 F1F2 5k
1 2
,则 C 的离心率 e .
2a PF1 PF2 2
故选:C
重点题型专练 15
【10】
1 C 2【 】
解析:因为 ABC 90 ,| AB | 12,| BC | 5 | AC | 13
解析:由题意, F1 0, 4 、 F2 0,4 、 P 6,4
,所以 ,
,
根据双曲线定义得
则 F 21F2 2c 8 , PF1 6
2 2
4 4 10 , PF 22 6 4 4 6 , e | AB | 12 3 | BC | 51 e 5| AC | | BC | 13 5 2 , 2 | AC | | AB | 13 12 ,
2a PF PF 10 6 4 e 2c 8则 1 2 ,则 2 .故选:C.2a 4 e e 3 15所以 1 2 5 .
【2】A 2 2
2 2 2 2 【11】Ca b a 1 b 1 a2 b2解析:由题可知, e21 , e2 ,则 e2 e21 2 , 解析:设该圆锥曲线的离心率为 e ,a2 2 a2 1 a2 1 F1F2 3 1
故 e1 e2 .故选:A 当该圆锥曲线为椭圆时, e ,PF1 PF2 4 2 2
【3】C
解析:因为 m 4 ,所以 a2 m , b2 4 ,则 2c 2 a2 b2 2 m 4 2 , F1F2 3 3当该圆锥曲线为双曲线时, e .
PF PF 4 2 2
c2 m 4 4 4 1 5 1 2
解得 m 5 ,此时 e2 2 1 1 ,所以 e ,1 .故a m m 5 5 1 3 5 即曲线 的离心率等于 或 .故选:C.
2 2
选:C.
【12】A
【4】B
2 2 x
2 y2
x y a b 0 解析:因为双曲线 C : 1 （ a 02 2 , b 0 ）的右焦点为 F 3,0 ,解析:由椭圆 C : 2 2 1 , a ba b
且渐近线方程为 bx ay 0 ,
2
则椭圆 C e c b的离心率 1 , 3b
a a2 所以焦点 F 到渐近线的距离 d 12 2 ,化简得a b a
2 8b2 ,

b2 1 8 b2
又因为 a 3b ,则 0 2
a2
1 2 1 ,所以9 9 a b 9 3 2所以双曲线的离心率 e 1 .故选:A.
a2
b2
8 4
e 1 2 2 2 ,1 . 【13】Da 3
y b x
2 y2
故选:B 解析:双曲线的渐近线方程为: x ,若双曲线 2 2 1a a b
2
【5】 a 0 b 0 y 2x 0 b3 （ , ）与直线 无公共点,则应有 2 ,所以离心率a
解析:因为 PF2 2 PF1 F1F2 2c ,所以 PF2 2c, PF1 c , c b 2
c 2 e 1 5 ,故选:D
由椭圆定义得 PF2 PF1 2a ,即 3c 2a ,故离心率 . a a a 3
2 3
故答案为: 【14】
3 2
5 解析:由题可知
A,B,F2 三点横坐标相等,设 A 在第一象限,将 x c 代入
【6】 x2 y22
2 2 1
y2 x2 a a b
解析:因双曲线 E : 2 2 1(a 0,b 0) 的一条渐近线方程为 y x ,a b b y b
2 b2 b2 2b2 b2
得 ,即 A c, ,B c, ,故 AB 10 , AF2 5 ,a
2 a
a a a a
依题意, ,
b
又 AF1 AF2 2a ,得 AF1 AF2 2a 2a 5 13 ,解得 a 4 ,代入
e c a
2 b2
则其离心率为 2 1 (
b )2 1 ( 1)2 5 . b2 2 2 2 c 6 3
a a a 2 2 5 得 b2 20 ,故 c a b 36, ,即 c 6 ,所以 e .a a 4 2
【7】A 3
解析:由题意, 故答案为: 2
x2 y2 2 2
在椭圆 Γ1 : 2 2 1 a b 0
a b 1
中,离心率 e
a b 1
2 ,a 2
2 2 2
∴ 4b2 2
a 4 y x
3a ,即 2 ,在双曲线 Γ2 : 2 2 1 中,b 3 b a
a2 b2 7 21
∴双曲线的离心率 e2 2 .故选:A.b 3 3 【15 2】
5 2
【8】
4 解析:易知 b c 2,所以 a b2 c2 2c ,离心率为 .故答案
x2 y2 b 2
解析:由题意得 1 的渐近线方程为 y x ,
a2 b2 a 2
为:
b b 3 c b2 a2 2 2
显然 4,3 在 y x b 5上,故 ,故
a a 4 e
,
a a2
1 2 a 4 3
【16】
5 3
即双曲线的离心率为 .
4 解析: P点椭圆 C 上的点,
【9】C PF1 + PF2 2a
解析:因为 PF1 : PF2 5 :3 ,所以可设 PF1 5k(k 0), PF2 3k ,
依题意可得: PF1 5k , PF2 F1F2 3k ,则 C 的离心率
e 2c
F1F2 3 ;
2a PF1 PF2 2
{#{QQABDQahwwi4kAZACJ7aV0GcCgoQsIOTLSoOQUCaOAYCSBNIBCA=}#}
PF2 F1F2 ,且 PF1F2 30 4a AB AB 4a ,当且仅当 A,F2 ,B 三点共线时等号成立,
PF 2 4 a,PF a 即直线 x m 过点 F2 时 ABF 的周长最大,此时2 3 1
1
3
b2 2
PF F FF 2 PF 2 PF 2在△ 中, AF2 , AF1 2a
b
,
1 2 1 2 2 1 a a
(2c)2 ( 2 a)2 ( 4
b2
即 a)2
1
,整理得: c2 a2 1 3即 e2 , e AF 2a 3 3 3 3 3 1 5
2 2
所以 a
b 3 2 b 1 1
b2 3 ,即 2 ,所以
e 1 2 ,即 e ,
【17】A AF2 a 4 a 4 2
a
解析:由△BA1A2 是一个等边三角形,可得 b 3a 即 b2 3a2 ,则有
故选:D.
c2 a2
c
3a2 ,即 c2 4a2 则双曲线 C的离心率 e 2 故选:A
a
【18】C
解析:
【23】B
b
b2 解析:由题意得, OM ⊥ AM ,双曲线的一条渐近线方程为 y x ,
如图所示, | PF | ,| AF | a c a,
a b AMtan AOM bb2 故 ,即 ,a OM a
由题得 a 1 , 3b2 a2 ac, 3a2 3c2 a2 ac,
a c 3 AM 1 1又 b ,所以 OM a ,
2 2 23c2 ac 2a2 0, 3e2所以 e 2 0, e .故选:C
3 2 2 2 1 2 1由勾股定理得 OM AM OA ,即 a b2 a2 ,
【19】D 4 4
解析:如图示, 2
解得 b2 3a2 , e c b 1 2 ,故选:B.
a a2
【24】C
详解:由已知 FB1 MB2 ,且 M 是 FB1 的中点
则 B1B2 B2F ,即 2b a ,
2
所以 a 4b2 4 a2 c2 ,
c2 3
e c 3由椭圆的对称性知 ABF1 为等腰直角三角形,所以△AF1F2 为等腰直角
即 2 ,所以 .故选:C.a 4 a 2
三角形.
由椭圆的定义知: AF1 AF2 2a ,而 F1F2 AF2 2c ,所以
AF1 2a AF2 2a 2c 2 2c .
c 1
所以 a 2 1 c ,所以离心率 e 2 1a 2 1 .故选:D
【25】C
【20】A
详解:由椭圆的对称性可得 AF2 BF1 ,
解析:设 F关于直线 l: y 3x 对称的点为 P,右焦点为 F2 ,
则 AF AF AF 3 AF 4 AF 2a ,
再设 FP的中点为M,由于 O也为 FF2 的中点,故 OM∥PF2 , OM PF , 1 2 2 2 2
1 3
焦点 △PFF2 中, F2PF
π
, PF F
π
,所以 PF 2csin
π
3c , 所以 AF2 a , AF1 a ,
2 2 3 3 2 2

PF π
又 OA OF2 OF1 ,得 F AF 90 ,
2 2ccos c
1 2
,由椭圆的定义可知 PF PF2 3c c 2a ,3 2 2
AF AF 1 a2 9 a2 5所以 1 2 a
2 F1F2 4c
2
c 2 4 4 2
解得 e 3 1a 3 1 .故选:A. c 5 10
所以 e .故选:C.
a 8 4
【21】D
解析:设 E的上顶点为 A, 【26】B
因为 E上恰有 4 个不同的点 P,使得△PF 2 21F2 为直角三角形, x y解析:不妨设双曲线, 1 a 0，b 0 , A a,0 , B 0,b ,
c c2 a
2 b2
所以 F1AF
1
2 90 ,则 1 ,所以 c2 a2 c2 ,即 2 ,b a 2
2
故 E的离心率的取值范围为 0, .故选:D b
2 kAB ,a
所以直线 AB与其中一条渐近线平行,
又 直线 AB与另一渐近线相交于点 P ,
PAO POA ,即 AP OP ,
【22】D
又 OP OA a ,
解析:因为 ABF1 的周长为:
PAO
AF1 BF1 AB 2a AF2 2a BF2 AB 4a AB AF2 BF2
为等边三角形,
{#{QQABDQahwwi4kAZACJ7aV0GcCgoQsIOTLSoOQUCaOAYCSBNIBCA=}#}
b 2 3
kAB 3
c b
, e 1 2 ,故选:B. 由已知线段 PF2 被直线 y x 垂直平分,a a a2 3
【27】A 可知 OF1 OF2 OP , OA PF2 ,
解析:设 F2A m ,则 BF2 3m, BA 4m , 所以 PF1 PF2 ,

由于 F1,F 关于 y2 轴对称,故 BF1 BF2 3m ,又因为 F B AB , 所以△PF1F2 是以 F1F1 2 为斜边的直角三角形,
又直线 y 3 x 3 的斜率为 ,
3 3
可得 POF
π
2 ,所以 OF2P
π
,
6 3
所以 PF2 OP OF1 OF2 c , PF1 3 PF2 3c
由双曲线定义可知 PF1 PF2 2a ,即 PF1 2a c ,
所以 AF1 5m, F1F2 3 2m ,所以 2a 4m,2c 3 2m e
3 2
,所以 ,
4 e c 2所以 2a c 3c ,整理可得 3 1 ,故选:A.
故选:A. a 3 1
【28】D 【32】B
2 x2 2解析:如图,令 AB x ,由 F1A F1B ,得 AF1 AF2 2x , y3 解析:如图所示,双曲线 E : Fa2 b2
1的右焦点为 1 , MF 的中点为 P ,
又 AB BF2 ,则 BF2 3x, BF1 3x, BF1 BF2 3 3 x 2a , 连接 MF1 , PF1 ,
因为 MN 3NF , O 为 FF1 的中点,所以 ON / /PF1 ,则 MF PF1 ,可得
即 a 3 3 x ,又由 F1F2 2c BF
2
1 BF
2
2 2 3x ,得 c 3x ,2 MF1 FF1 2c ,
c 3x
e 3 1 7 MF 3
a 3 3 ,故选:D. 又因为 tan MFF1 ,所以 cos MFF1 ,x 3 2 FF1 4
2
则 MF 3c , MF MF1 3c 2c c 2a
c
,可得 e 2 ,
a
所以 E 的离心率为 2 .故选:B.
【29】D
解析:因为 AB 8 , BF2 6 , AF2 10 ,
AF 2所以 2 BF
2 AB 2 ,所以 ABF 90 . 【33】A2 2
解析:设双曲线的左焦点为 F1 ,连接 BF1 , F1P ,
由双曲线的定义得: BF1 BF2 2a, AF1 AF2 2a ,
由 BP 4PF ,则 BF 5PF ,又 BP BF 4 PF 5 PF 20a
2
,
所以 AF1 8 6 10 AF1 AF1 4 ,
PF a BP 4a BF 5a
所以 BF1 BF2 8 4 6 6 2a a 3
所以 ,则 , ,
2 2 2 2 2 2 根据双曲线的性质有 BF1 5a ,又 F1P PF 2a ,所以 F P 3a ,在 Rt BF1F2 中, F1F2 BF
1
1 BF2 12 6 180 4c c 3 5
2 2 2
c 3 5 所以 BF1 BP F1P ,所以 PF1 BP ,即 FPF
π
1 ,
所以 e 5 .故双曲线的离心率为 5 .故选:D. 2
a 3 2
FF 2 PF 2 FP 2 c 10 10a2 4c2 e c 10【30】C 又 1 1 ,即 ,即 2 ,所以 .a 4 a 2
解析:设 NF2 n ,则 MN 2n , MF2 3n , 故选:A
由双曲线定义得 MF2 MF1 2a ,故 MF1 3n 2a ,
由勾股定理得 MF
2 2 2 2 2
1 MF2 F1F2 ,即 9n 3n 2a 4c2 ①,
连接 NF1 ,则 NF1 NF2 2a ,故 NF1 2a n ,
2 2 2 2 2
由勾股定理得 MF1 MN NF1 ,即 4n
2 3n 2a 2a n ②,
4
由②得 n a
c
,代入①得 20a2 4c2 ,故 5 .
3 a
【34】B
解析:设双曲线右焦点为 F2 c,0 ,连接 AF2 ,
故选:C 由对称性可知, AF2 BF , OF2 OF , OA OB ,
因为 OA OF ,所以 OF2 OF OA OB ,
故四边形 AFBF2 为矩形, AF2 ⊥ AF ,
【31】A
因为 AF BF 2 ,所以 AF AF2 2 ,
由双曲线定义可得 AF AF2 2a 2 3 ,
2
由勾股定理得 AF
2
AF 22 F1F
2
2 2 3 b2 12 4b2 ,
解析:
2
由题意得 AF AF2 2 AF AF 2 22 AF AF2 ,
即 12 4 12 4b2 ,解得 b2 1 ,
故 c2 3 b2 4 ,解得 c 2 ,
如图所示,设直线 y 3 x 交 PF2 于 A , c 2 2 3
3 离心率为 .a 3 3
连接 OP , PF1 ,
{#{QQABDQahwwi4kAZACJ7aV0GcCgoQsIOTLSoOQUCaOAYCSBNIBCA=}#}
10
故答案为:
2
故选:B
【35】D
解析:过 F2 作 F2N AB 于点 N,如图, 【38】 1, 3 1
解析:如图所示,根据双曲线的对称性得,在 EAB 中 EAB EBA ,
又因为 AEB 120 ,
所以在 Rt AEF 中, AEF 60 ,
即 tan AEF
| AF |
3
| EF |
所以 | AF | 3 | EF | ,
设 F2A F2B m
2
, b
又因为 AB为通径,即 | AF | , | EF | a c ,
π a
因为直线 l的倾斜角为 , F1F2 2c ,6 b2所以 3(a c) ,且 c2 a2 b2 ,
所以在 Rt△F1F2N 中, NF2 c, NF1 3c , a
所以 c2 a2 3(a2 ac) ,
由双曲线的定义得 F1B F2B 2a , F2A F1A 2a ,
即 c2 3ac (1 3)a2 0 ,
所以 F1B 2a m, F1A m 2a ,
e2 3e 1 3 0
所以 AB F1B F1A 4a
即 ,
,
因为 F A F B m 解得 1 e 3 1 ,2 2 ,
e 1
所以
又因为双曲线离心率 ,
AF2B为等腰三角形,
所以该双曲线的离心率取值范围为: 1 e 3 1 .
又因为 F2N AB ,
所以 N为 AB的中点, 故答案为: 1, 3 1 .
所以 AN 2a ,
可得 F1A NF1 AN 3c 2a ,
因此 m 3c ,
在 Rt ANF
2 2 2
2 中, F2A NF2 AN ,
2
所以 3c 4a2 c c2 ,即 c 2a ,所以 e 2 .故选:D.a
【36】B 【39】 ( 2 ,2)
解析:如图:设 AF2 t ,则 BF2 2t , 解析:设 PF y1 与 轴交点 Q ,连接 QF2 , 由对称性可
知, QF1F2 QF2F1 ,如图所示,
根据双曲线的定义,可得 AF1 2a t , BF1 2a 2t ,
PF F
因为 AF AB 0 ,所以 BAF 90 又∵, 2 1
3 PF1F2 ,∴ PF2Q PQF2 2 PF1F2 ,∴ PQ PF2 .
1 1
2 2 2 2 2 又∵
PF1 PF2 2a ,∴ PF1 PF2 PF1 PQ QF 2a ,
AF1 AF2 F1F2 2a t t 2
1
2c
所以 2 2 2 2 2 2 在 Rt QOF1 中, QF1 OF1 ,∴ 2a c
c
,∴ e 2 ,
AF1 AB BF1 2a t 3t 2a 2t a

由 2a t 2 3t 2 2a 2t 2 2a 3t , 180由 PF2F1 3 PF1F2 ,且三角形的内角和为 180 , PF1F 2 454
代入 2a t 2 t2 2 2c 可得 17a2 9c2 e c 17 .故选:B OF
a 3 cos PF F 1 cos45 c 21 2 ,即 ,则 e
c
2.
QF1 2a 2 a
37 10【 】
2 综上, e ( 2 ,2) .故答案为: ( 2 ,2) .
解析:延长 QF2 与双曲线交于点 P ,
【40】A
因为 F1P//F2P ,根据对称性可知 F1P F2P ,
a c 3
设 F P F P t ,则 F P F Q 3t , 解析:设椭圆的半焦距为
c ,由题意可得 ,解得 a 2 , c 1 ,所
2 1 2 2 a c 1
可得 F2P F1P 2t 2a ,即 t a , c 1以椭圆 C的离心率 e ,故选:A.
所以 P Q 4t 4a ,则 QF1 QF2 2a 5a , F1P F
a 2
2P 3a ,
【41】D
P Q 2 FP 2 QF 2即 ,可知 F P Q F PF 90 1 1 1 1 2 , c2 a2
解析:设 P 点的横坐标为 x0 , F1F2 QP , x 2c ,即2 2 2 0
在 P F1F2 中,由勾股定理得 F2P F1P F1F
c
2 ,
x 2c c
2 a2 c2 a2 1 5
2 2 2 c 10 0
,由题可知 2c a , e2 e 1 0 ,得 e .
即 a 3a 4c ,解得 e . c c 2
a 2
故选:D.
{#{QQABDQahwwi4kAZACJ7aV0GcCgoQsIOTLSoOQUCaOAYCSBNIBCA=}#}
【42】A
3
解析:由题意: c 2a a
1
c c 3a e c 6 .故选:A
2 2 a
【43】D
解析:由点 P 在双曲线右支上,且 PF1 7 PF2 ,
a
根据双曲线的定义,可得 PF1 PF2 6 PF2 2a ,可得 PF2 ,3 【49】 1,
4

a 4a 3
结合双曲线的几何性质,可得 PF2 c a ,可得 c ,所以3 3
解析:设 F1 为双曲线的左焦点,则根据中位线定理, PF1 2 |OM |
1
c ,
e c 4 4
4
,又因为 e 1 ,所以离心率的取值范围为 (1, ] ,结合选项,可
a 3 3 1
于是 c c a 0 1
c 4
,解得 ,因此双曲线的离心率的取值范围是
得 D 项,不符合题意.故选:D. 4 a 3
【44】D 1, 4 .故答案为: 1,
4
.
解析:由双曲线 E 的对称性不妨取 P 为 E 的右支上一点, 3 3


可得 PF1 PF2 2a ,即 PF1 PF2 2a , 【50】 (1，2]
又由由 PF1 PF2 4b 可得 2 PF2 2a 4b ,即 PF2 2b a , PF1 PF2 2a
解析:设双曲线 C 的焦距为 2c ,由题可知 解得
因为 PF2 的最小值为 c a ,（当点 P 为 E 的右顶点时, PF2 取得最小 PF1 PF2 3a
2
值） c
c a 2b a c 2b PF1 3a , PF2 a ,由 PF2 c a 得 a c a ,则 2 ,故只需 ,即 . a
2 2 2 2 c 2 3 即双曲线 C 的离心率的取值范围为 (1,2] .故答案为: (1,2] .所以 c 4b 4c 4a ,得 ,故 E 的离心率的取值范围为
a 3 1
【51】 e 1
2 3 2
1, .故选:D. 2
3 解析:由中垂线的性质可得: | PF | | AF |
a
c ,又有 a c | PF | a c ,
c
2
于是 a c a c a c , ac c2 a2 c2 ac c2 , e e2 1 e2 e e2 ,
c
又 e 1
1
,解得: e 1
1
.故答案为: e 1 .
2 2

【52】 0,
1
2
【45 】D
c
PF1 PF2 2b， 解析:由题,椭圆上只有右顶点
(a,0) 到点 M ,0 的距离最小,
解析: 所以 | PF1 | a b ,又 | PF1 |≤a c
2
,所以
PF1 PF2 2a， 设 Q(x, y) 是椭圆上的点, x [ a,a] ,
2
1 e c c 2 |MQ |2 x c c
2 2
b c y2 2 , ,故选:D. 2 x cx
c
b2 ,
a b2 c2 2 2 a 4
【46】D a2
对称轴是 x ,定义域是 x [ a,a] ,
解析:因为 PF1 4 PF2 , PF1 PF2 2a ,所以有 4 PF2 PF2 2a , 2c
PF 2a 8a
a2 1 1
故 , PF ,因为 PF a c,a c ,既有 a ,解得 e 0, 2 .故答案为:
0,
2 1 1 2c 5 5 2
a c 8a a c 1 e 8 , 1 e ,解得 e
3
,又因为椭圆离心率 【53】 1, 2 1
5 5 5
a c
e 3 0,1 ,所以 e ,1 .故选: D 解析:由题意可得点 P 不是双曲线的顶点,否则
5
sin PF1F2 sin PF F 2 1
1 无意义;
【47】
3 PF2 PF在△PF 11F2 中,由正弦定理得 ,
解析:设椭圆 C的半焦距为 c 0,a , sin PF1F2 sin PF2F1
由题意可知: PF2 F1F2 2c , a c PF 1 c c因为 sin PFF sin PF F ,所以 ,则
PF1 PF2 ,
1 2 2 1 PF2 a a
因为点 P 在双曲线右支上,所以 PF1 PF2 2a ,所以
c
PF PF 2a PF 2a
2
2 2 ,整理可得 ,a 2 c a
2
由双曲线的性质可得 PF2 c a
2a
,所以 c a ,化简可得
c a
2 2
a c 2c a c 1 a c a c 2ac a 0 ,所以
2
根据存在性结合椭圆性质可知: ,解得 , e 2e 1 0 ,解得 2 1 e 2 1 ,
3
因为 e 1 ,所以 1 e 2 1 ,则双曲线离心率的取值范围为 1, 2 1 .
c 1 1
可得 C的离心率 e ,1a 3 ,所以 C的离心率的最小值是 . 3 故答案为: 1, 2 1 .
1
故答案为: . 【54】C
3
2 2
48 1,2 解析:由题意可知 AF AF OA FO b
2 c 2 a , F1F2 2c
【 】 1 2 1
,

PF QF PQ PF PF 2 在△AF1F解析:因为 ,且 ,所以 2 中,由余弦定理得 4c
2 a2 a2 2a2 cos F1AF2 ,化简得
2 1 1 2
4c2 1 1PF1 PQ QF1 2 QF1 2a , a2 e2 3,则 ,所以 e ,故选:C.3 12 6
QF a QF c a c a a e c所以 1 ,由于 1 ,所以 ,解得 2 ,所以a
e 1,2 .故答案为: 1,2
{#{QQABDQahwwi4kAZACJ7aV0GcCgoQsIOTLSoOQUCaOAYCSBNIBCA=}#}
2
4c2 2a 7 c 49 2 c4 16
在△MF1F2 中,由余弦定理得 cos MFF
1
1 2
,
2 2 2c 2a 7 c
4
整理得 15c2 22ac 8a2 0 ,得 15e2 22e 8 0 ,即 5e 4 3e 2 0 ,
【55】B 4 2 4 2
C 解得 e 或 ,故椭圆 C 的离心率为 或 .故选:C.解析:设双曲线 的半焦距为 c(c 0) . 5 3 5 3
由题意,点 P 在双曲线 C 的右支上, PF 5, PF 3 . 【59】C1 2
PF 2 PF 2

FF 2 52 32 FF 2 1 PF2 PF1 2a
由余弦定理得 cos FPF 1 2 1 21 2
1 2 , 解析:令双曲线 C 的焦距为 2c ,依题意, ,解得
2 PF1 PF2 2 5 3 2 PF2 PF1 6a 2c
F F 7 2c 7 7解得 1 2 ,即 ,得 c , PF1 2a c2 ,
PF PF 2a 2 a 1 C PF 4a c根据双曲线定义得 21 2 ,解得 ,故双曲线 的离心
c 7 在△PF1F2 中, PF1F2 60 ,由余弦定理得
率 e .故选:B.
a 2 (4a c)2 4c2 (2a c)2 2 2c (2a c) 1 ,
2
整理得 c 2a ,所以双曲线 C的离心率为 2 .
故选:C
【56】C
解析:根据题意可知点 P 在右支上,则 | PF1 | | PF2 | 2a ,又 【60】D
| PF1 | 3 | PF2 | ,
解析:
| PF1 | 3a , | PF2 | a ,
9a2 a2 4c2 1 不妨设 A 在右支,则 | AB | | AF2 | |BF2 | m ,又 | AF1 | | AF2 | 2a , | F1F2 | 2c

,则在△PF1F2 中, cos F1PF2 ,2 3a a 6 则
c 3 | AB | | BF1 | | AF2 | 2a , | BF1 | 2a , | BF2 | 4a , ABF2 60 ,
3a 2c ,故 e .故选:C.
a 2 F1BF2 120 ,
【57】D F 2 2 21F2 BF1 BF2 2BF1 BF2cos120 ,
解析:由题意可知线段 AF2 的中点为 M ,且满足 BM AF2 ,则
2 2 2 1 2 2 2
| AB | | BF | , 4c 4a 16a 2 2a 4a 28a ,即 c 7a ,由 e 1 , e 72 .2
故△ABF2 为等腰三角形, 故选:D.
π
又 F1AF
【61】D
2 ,则△ABF2 为正三角形,3 解析: F1B 6F1A , A、B、 F1 三点共线,
根据双曲线定义知 AF1 AF2 2a AF1 AB BF , 1
设 F1B 6 F1A 6m ,由双曲线定义得 BF2 6m 2a , AF2 2a m ,
设 AB x ,则 BF2 BF1 2a x 4a ,
所以 AB 6m m 5m ,∵ AF2 BF2 , AB2 BF 22 AF
2
2
2 2 2 m 2a即 5m 6m 2a 2a m ,解得 或 m a ,3

AF BF 2a m 6m 2a m 4a m 2a由 2 2 ,则 ,得 ,所以 ,5 3
2 BF 3 4a 2
2
2a 4c 2 65
cos ABF cos F BF ,解得 e ,2 AB 5 1 2 2 4a 2a 5
在△AF1F2 中,由余弦定理知 故选:D.
x 2a 2 x2 4c2
cos60 52a
2 4c2 1
2 e 7 ,故选:D2x x 2a 48a 2
【58】C
解析:由题知 M 在 x 轴上方,直线 F1M 的斜率为 3 ,则
MF1F2 60 , cos MF1F
1
2 .2
【62】D
MF
由 F F 2c
2 7 7
, ,得 MF c , 解析:不妨设 F ,F1 分别为双曲线的左右焦点,连接 AF1 2 2 1,BF1 ,F1F2 8 4 因为 A,B两点关于原点对称,所以 AFBF1 为平行四边形,所以
FB AF1 ,

因为 FA AF1 2a , FA 2 FB 2 AF1 ,

所以 FA 4a, AF1 2a .
7 2
所以由椭圆的定义有 MF1 2a MF2 2a c .4 因为 FA FB FA FB cos AFB 3a
2 cos AFB 3a 3,所以 2 ;8a 8
在 AFF1 中,由余弦定理可得 4c2 16a2 4a2 2 4a 2acos FAF1 ,
{#{QQABDQahwwi4kAZACJ7aV0GcCgoQsIOTLSoOQUCaOAYCSBNIBCA=}#}
2 2 2
因为 cos FAF
3 9a 16a 9a 2
1 cos AFB ,所以 26a2 4c2 ,即 e
26
. 在△ABF2 中,由余弦定理,得 cos BAF2 .8 2 2 3a 4a 3
故选:D 又因为∣F1F∣2 2c ,于是在△AF1F2 中,由余弦定理
2 2 2
得 cos F AF 4a 16a 4c 2 ,整理得 7a21 2 3c2 ,2 2a 4a 3
c 7 21
所以 e .故选:C.
a 3 3
【66】B

解析:由 AF2 2F2B ,得 AB 3 BF 2
,结合题设有 AF1 3 BF2 ,
3
【63】 e ,1
2 由双曲线的定义知,
AF1 AF2 2a , BF1 BF2 2a ,又 AF1 AB ,

解析:方法一:解:设 F1PF2 ,由椭圆的定义得: | PF1 | | PF | 2a , AF1 AF 2a2

2
由余弦定理, 由 AF1 3 BF2 ,得 BF2 2a ,得 BF1 4a, AF1 AB 6a ,
PF 2 2 2

PF FF 2
: cos 1 2 1 2 4a 4c
2
1 2b
2 AF2 2 BF2
得 1 .
2 PF1 PF2 2 PF1 PF2 PF1 PF2 在 ABF1 中,由余弦定理,得
2 2 2 2
PF PF AF1 AB BF1 36a2 36a2 16a2 7
又 PF PF 1 2 a ,当且仅当 PF PF a cosA ,1 2 2 1 2 2 AF1 AB 2 6a 6a 9
时, PF1 PF
△AF F
2 取最大值,
在 1 2 中,由余弦定理,得
2b2 AF
2
1 AF
2 FF 2 2 2 2
cosA 2 1 2 36a 16a 6 7 3 33于是 cos 1, ,解得 a ,
a2 2 AF1 AF2 2 6a 4a 9 11
2 2 2
所以 cos120 1 2b b 1 b 3 2 1 2 e
2 1 c 3 33
2 a a 4 a2 4 e 所以双曲线的离心率为 a 3 33 3 .故选:B
且 0 e 1 3, e 1 . 11
2
3
故答案为: e ,1 .
2
方法二:通过椭圆张角的性质,可知在短轴端点时,夹角最大,再根据几
3
何关系可分析出 e ,1
2
【64】D 【67】B

解析:由 AF2 2F B 可知 AF2 2 F2B ,设 F a a2 2B x ,则 解析:如图,设椭圆的长半轴长为 1 ,双曲线的半实轴长为 2 ,

AF2 2x , AF1 2a 2x, BF1 2a x , AB 3x ,
2
则由余弦定理可得 3x 2a 2x 2 2 2a x 2 2a 2x 2a x 4
5
化简可得 2a2 3ax 9x2 0 a 3x 2a 3x 0 ,故 a 3x , 2a 3x
（舍去）, 则根据椭圆及双曲线的定义得:
又 cos AF2F1 cos BF2F1 0 , PF1 PF2 2a1, PF1 PF2 2a2 ,
2 2 2
2x 4c2 2a 2x x2 4c2 2a x
所以 0 ,化简可得 PF1 a1 a2 , PF2 a1 a2 ,
2 2x 2c 2 x 2c
设 F1F2 2c, F1PF2 60

,
3c2 4ax 3a2 0 3c2 4a a 3a2 0 9c2 5a2 ,故
3 则在△PF1F2 中由余弦定理得:
3c 5a 5 e ,故选:D F
2
1F2 PF
2
1 PF
2
2 2 PF1 PF2 cosF1PF2 ,
3
4c2 a 2 2即 1 a2 a1 a2 2 a1 a2 a 1 a2 cos60
1 3
化简得: a2 3a2 4c2 ,所以 2 2 4(0 e1 1,e 1)1 2 e e 2 ,又因为双曲线的1 2
10
离心率为 e2 2 ,所以椭圆的离心率为 e1 ,故选:B.5
【68】C
【65】C 解析:令 |QF1 | m ,由 | PF1 |:| PQ |:|QF1 | 2 : 2 :1 ,得 | PF1 | | PQ | 2m ,
解析:如图,
sin AF F 2sin AF F 由双曲线的定义,得 | PF | | PF | |QF由 , sin BF F 3sin BF F , 1 2 1
| |QF2 | 2a ,则
1 2 2 1 1 2 2 1
| PF2 | 2m 2a,|QF | m 2a
结合正弦定理得 AF2 2 AF1 , BF2 3 BF
2 ,
1 ,
而 | PF2 | |QF2 | | PQ | 2m ,因此
由双曲线的定义得 AF2 AF1 2a, BF2 BF1 2a , m 4a , | PF1 | | PQ | 8a , |QF1 | 4a , |QF2 | 2a ,
所以 AF2 4a, AF1 2a, BF2 3a, BF1 a, AB 3a ,
{#{QQABDQahwwi4kAZACJ7aV0GcCgoQsIOTLSoOQUCaOAYCSBNIBCA=}#}
1 |QF | PF
2 PF 2 2 FF 2 2
cos FPF 1 2 1 2 9a a 4c
2 1
在等腰△PQF1 中,
1 ,
cos F 2 1 , 1 21QF2 2 PF1 PF2 2 3a
2 9
| PQ | 4
x2 y2 2 2 c 21
令双曲线 1 的半焦距为 c, 整理,得 3c 7a ,由 e 1 ,解得 e .
a2 b2 a 3
在 QF1F2 中,由余弦定理 21即双曲线的离心率为. 故选:B
得: | F 2 21F2 | |QF1 | |QF2 |
2 2 |QF1 ||QF2 | cos F1QF
3
2 ,
即 (2c)2 (4a)2 (2a)2 2 4a 2a
1
,整理得 c2 4a2 ,则 e2 4 ,
4
所以双曲线的离心率 e 2 .故选:C
【69】C
解析: 72 19【 】
2
解析:由点 A 为线段 BF 上靠近点 F 的五等分点,
如图所示,
设 D关于原点对称的点为 E ,则 DF1EF2 为平行四边形,
由 BF1 //DF2 可知, B , F1 , E 三点共线,且 EF2 BF2 ,
设 EF1 x ,则 EF2 2a x ,在 Rt EF B a2 2a x 2 22 中, x a ,解得
x 2 a ,
3
c 不妨设 AF m ,则 BF 5m, BA 4m ,连接 BF ,AF .
注意到 cos EF1F2 cos BF1F2 ,a 由双曲线的定义可知, AF m 2a, BF 5m 2a .
4 a2 4c2 16c a
2
由△OAF 是以 A 为顶点的直角三角形可知, OAF 90 ,
在 EF1F 中结合余弦定理可得,
9 9
2 8 ,a ac AF m
3 则 cos OFA ①.OF c
1
解得 a2 5 5c2 ,则 e2 ,所以 e ,故选:C. 2 25 FF | AF |
2 AF 2 2 2
5 在 AFF 中, cos OFA
4c m (m 2a)
②,
3 2 FF AF 2 2c m
【70】
2 在 BFF
2 2 2
解析:由题意,直线 BF
π
的斜率为 3 , BF F ,又 BF BF , FF | BF | BF 1 1 2 1 2 cos OFA cos F FB 4c
2 25m2 (5m 2a)2
3 中, 2 FF BF 2 2c 5m
所以△BF1F2 为等边三角形,故
③,
BF1 BF2 F1F2 2c BF F
π 2π
, 2 22 1 , F1F2A ,3 3 c a ma m由①②得 ,所以 c2 a2 m2 ma ;
c m c
在△AF1F2 中, tan F
5 3
2F1A 0 ,则 F F 2 22 1A 为锐角,11 c a 5ma m由①③得 ,所以 c2 a2 5m2 5ma .
5c m c
则 sin F F 5 3 11 32 1A ,cos F2F1A ,14 14 所以 m2 ma 5m2 5ma ,解得 m a ,2
sin A sin 2π 3 3 F F A c2 a2
9 a2 3 153 2 1
, a2 a214 所以 , 4 2 4
F 191F2 AF1 AF 2 2 c 19 19 19
由正弦定理, 2 , 所以 c a ,故 e .故答案为:
sin A sin F1F2A sin F F A 4 a 4 2 22 1
【73】D
2c AF1 AF 2
3 3 3 5 3 , 解析:由题意可得
P 0,b ,F c,0 ,
14 2 14 由于 | PF | 3|QF |
1
,所以 yQ b, x
4
Q c ,3 3
AF 141 c, AF
10
2 c , 2 23 3 4 1
Q c b由于 在椭圆上,所以 ,化简可得
由 AF1 AF
4
2 2a ,得 c 2a , e
c 3 3

3
. 1
3 a 2 a2 b2
【71】B c2 1 1
F F PF Q e
2 ,由于 0 e 1 2,故 e ,故选:D
解析:如图,设 1 关于 1 2 平分线的对称点为 ,则该角平分线为线 a2 2 2 2
段 F1Q 的垂直平分线,
所以 PF1 PQ ,且 P,F2 ,Q 三点共线,设 PF1 m, PF2 n ,
则 PQ m , m n 2a QF2 PQ n m n 2a ,所以
QF1 2a QF2 4a ,
在△PF1Q中,由余弦定理,得 【74】D
PF 2 PQ 2 QF 2 2 2
cos FPF 1 1 m m (4a)
2 解析:如图所示:
1 2 2 PF PQ 2m2
,
1
2 2
cos F PF 1 m m (4a)
2 1
又 1 2 ,所以 ,解得 m 3a ,所以 n a9 2m2
,
9
在△F1PF2 中,由余弦定理,得
{#{QQABDQahwwi4kAZACJ7aV0GcCgoQsIOTLSoOQUCaOAYCSBNIBCA=}#}
因为 ABM 为等腰三角形,且顶角为 120 , 5
【80】 0,
所以 AB BM 2a, ABM 120 ,过点 M 作 MN x 轴,垂足为 N , 3
在 Rt BMN 2 2中,则 BN a, MN 3a ,故 M (2a, 3a) , 解析:设 M m,n m n,则 1 , A 5,02 ,B(5,0) ,
代入双曲线方程得 2a
2 3a 2 25 b,解得 a2 b2 2 2 1 ,即 a c a2 , 1 m2 a2 b2 b2故 n n n2 25 b2 4 ,
所以 c2 2a2 ,解得 e 2 .故选:D kMA kMB m 5 m 5 m2 25 m2 25 25 9
【75】D
b2 100所以 ,
解析:由题意得 P 为 AB的中点,因为 A 0,b , B c,0 , 9
c b c a2 b2 b2 b2 5 5
则 P , ,因为点 P 在双曲线上,则代入双曲线方程有 故离心率为 e 2 1 2 1 ,
2 2 a a a 25 9 3
2 2
c b 5
又 0 e 1 ,故 e 0,
2 2 ,化简得 c
2 5a2 ,则 e2 5 , e 5 .故选:D. 3
a2 b2
1
【81】A
2 2
解析:由题意,椭圆 C : x y 1(a b 0) ,可得 M ( a,0) , N(a,0) ,
a2 b2
2
设 H x0 , y b0 ,代入椭圆的方程,可得 y2 2 20 a2 a x0 ,
b2 2 2
y y y 2 2 a xa 0 2则
【76】C kMH k
0 0 0 b 1
NH 2 2 2 2 2 ,0
,
x0 a x0 a x0 a x0 a a

2
b
解析:不妨设双曲线的一个焦点为 F c,0 ,渐近线为 y x , c2a a
2
e2 1 1 2 1即 2 ,0 ,即 e ,1

b a a 2
.
2
则过点 F c,0 且与直线 y x 垂直的直线方程为 y x c ,
a b
ac 又因为 0 e 1 ,所以 e
2
,1 .故选:A.
令 x 0 ,则 y , 2
b
【82】B
ac
则 3c
b 1
,所以 , 解析:如图,
b a 3
c b2 1 10
所以此双曲线的离心率是 1 1 .故选:C.
a a 2 9 3
A a,0 ,B 0,2b x y,则 AB: 1 ,
a 2b
x2 y2 2 2
【77】C 在椭圆 x c
b C c,
b

a2 b2
1 中,取 ,可得 y ,则
a a
,

x2 y2
解析:设 P x1, y1 ,Q x1, y1 ,则 1 12 1 , 2a b2 b x y把 C c, 代入 1a ,
2 x21
a 2b
b 1 y y y 2 2
2所以 21 1 1
a b 1 , c b c b 可得 1 ,即 1 ,
x1 a x1 a x
2 a 21 x
2 a 2 a 2 4 a 2ab a 2a1
2 2 2 2 ∴ b 2a 2c ,则 b
2 a2 c2 2a 2 2c 4a2 8ac 4c2b 1 ,e c a b 1 b 5所以 2 .故选:C.a 4 a a a2 2 ∴ 5e2 8e 3 0 解得 e 3 （e=1 舍去）.故选:B.
【78】B 5
解析:由题可得 P(a,0) ,设 A x0 , y0 B x , y
【83】D
, 0 0 ,则 解析:设椭圆的半焦距为 c,
y y y2
k k 1 0 0 0 , 由题意可得: A 0,b ,B 0, b ,C a,0 ,F c,0 AP BP ,x0 a x 2 20 a a x0 4
可得: FB c, b ,AC a, b
x2 y2 2
,
0 0 y0 a
2 x2 b2
又 2 2 1
1
2
0
2 2 ,则 a
2 4b2 , c2 a2 b2 3b2 ,
a b b a a 4 由图可得:∠APB即为 FB,AC 的补角,
c2e2 3b
2 3
e 3

则 2 , .故选:B 若∠APB为钝角,即 FB,AC 为锐角,a 4b2 4 2
【79】A
由图可知 FB,AC 0 ,故原题意等价于
解析:令椭圆半焦距为 c,依题意, B(b,0),F2 (0,c) ,由 BF2 2F2P ,得
FB AC ac b
2 ac a 2 c 2 0 ,
F P 1 b c2 ( b,c) ( , ) ,2 2 2 整理得 e2 e 1 0 ,且 0 e 1 5 1,解得 0 e ,
b 3c 1 9 c2 2c 3
则 P( , ) ,而点 P 在椭圆上,于是 1 ,解得
2 2 e
,
4 4 a2 a 3 0, 5 1

所以椭圆的离心率的取值范围是 .
3 2
所以 C 的离心率为 .故选:A
3 故选:D.
{#{QQABDQahwwi4kAZACJ7aV0GcCgoQsIOTLSoOQUCaOAYCSBNIBCA=}#}
【84】C
2 c
2
A AC,BD x 即 c 2a
2 , 2 2 ,解得 e 2 ,所以双曲线 C 的离心率为 2 .解析:不妨设 在第二象限,如图, 垂直于 轴, a
2a y b代入 x y 故选:A,可得
a 0
2b ,可知 A 2a,2b ,
5
【88】
y 3
直线 l 过点 F 且与该双曲线的渐近线分别交于点 A 2a, y0 ,B 0 x, ,
3


1 B 2c 2a , 2b 则 BD AC ,所以
3 3 3
,

b 解析:
又 B 在双曲线的渐近线 y x 上,
a
2b b 2c 2a
可得 ,
3 a 3
c
解得 2 ,即双曲线的离心率为 2 . a
a 由右焦点 F 作一条渐近线的垂线,可设直线方程为: y (x c) ,b
a2
b
x
c
与该渐近线方程: y x ,联立方程组解得: ,
a y ab
故选:C c
a2 , ab

B x , y 即点 A坐标为 c c ,再设点 0 0 ,则由 FB 4FA可得:
2 2
【85】D

x0 c, y 4
a ab
a ab0 c, c c ,即 x0 4 3c, yc 0
4 ,
c
解析:由双曲线方程知:渐近线方程为 y
b
x , 2
a a2 2 ab
4 3c 4
OF QP OF //QP OF QP 把该点
B x0 , y0 代入椭圆方程可得: ,, , , c c 1
a2 b2
P b 设 t, t t 0 b c,则 Q t , t , 2t c t 2a a ,即 ,2 4 a 3 c 4 a
2
c
化简得: 1 ,由双曲线的离心率 e 可得:
c a c a
P c , bc c bc , Q , ,又 4 2 2 2 2a 2 2a 3e 4 2
25
1 ,解得: e ,因为双曲线的离心率 e 1 ,所以
3c bc QF , OP c , bc
e e 9
F c,0 , , 2 2a 2 2a
,
e 5 .
3c2 b2c2 b2 3
QF OP , QF OP 2 0 , 2 3 ,4 4a a 【89】B
解析:由题意可知,过 F1 的直线与 C的两条渐近线分别交于 A,B两点,
b2 双曲线的离心率 e 1 .故选:D.2 2 当两个交点分别在第二和第三象限时不符合,a
86 A A为线段
BF1 的中点,当交点在 x 轴上方或 x 轴下方时,根据对称性结果【 】
x2 y2 b 是一样的,选择一种即可,如图.
解析:双曲线 C: 1(a 0,b 0) 的渐近线方程为 y x2 2 ,a b a
由 B a,0 ,C 0,b ,可得直线 CB的方程为 bx ay ab ,
b
根据双曲线可得, F1( c,0) , F2 (c,0) ,两条渐近线方程 y x ,a
BF1 BF2 , O 为 F1F2 的中点,
b E a b y x , E CB BO OF OF c 联立渐近线方程 解得 ,即有 为 的中点, 1 2 ,又 A为线段 BF1的中点, OA 垂直平分 BF1 ,a 2 2 a b
BF E CF E F E CF B CF B 可设直线 BF1 为 y (x c) ①,直线 BF2 为 y (x c) ②,直线 BO 为由 1 1 ,即 1 平分 1 ,可得三角形 1 为等腰三角 b a
形,
y b x ③,
即有 CF1 BF1 ,即 b2 c2 a c , a
又 a2 b2 c2 ,可得 c2 2a2 2ac , c bc bc a c由②③得,交点坐标 B( , ) ,点 B 还在直线 BF 上, ( c) ,
c 2 2a
1 2a b 2
由 e 可得 e2 2e 2 0 ,解得 e 1 3 .故选:A.
a 可得 b2 3a2 ,
【87】A
c2
c
a2 b2 4a2 ,所以双曲线 C的离心率 e 2 ,故选:B
解析:令 F2 c,0
b
,由对称性,不妨设直线 PF2 的方程为 y x c , aa 1
b 【90】
y x c 3 a c bc c bc
由 ,解得 x , y ,即点 P 的坐标为 , , bb 2 2a 2 2a

解析:不妨设焦点 F2 c,0 ,其中一条渐近线为 y x ,则直线 l的方程
y x
a
a a
由 O 为 F F 的中点, OQ∥PF ,得 Q 为 PF 的中点,则点 Q 的坐标为 为 y x c ,1 2 1 2 b
3c bc 2
, b 4 4a , y x, x
a
,
a 2c D a , ab

由 解得 即 ,
9c2 b2c2
1 y
a ab x c , y , c c 代入双曲线的方程,有 2 ,16a 16a2b2 b c
{#{QQABDQahwwi4kAZACJ7aV0GcCgoQsIOTLSoOQUCaOAYCSBNIBCA=}#}
2 a 2 c 2c2 a2 b2 b b 2 2 2 1 1
因为 e 1 5 ,所以 2 , 因为 b a c ,所以 ,a2 a2 a a ac
,
a 2 4 3

a2 c2过点 D作 x 轴的垂线,垂足为 H ,如下图: 1 2
2 ,变形得到 4c ac 3a
2 0 ,
ac a 4
不等式两边同除以 a2 得, 4e2
3
e 3 0 ,解得 0 e ,
4
a2 c2 1 2 2
ac a2
,变形得到 3c ac 2a 0 ,
3
2 2 3
ab b 不等式两边同除以 a
2 得, 3e2 e 2 0 ,解得 e 1 ,故 e ,3 4 .
DH 3
于是 tan DF1F
2 1
2
c a2 2 F .1H c a b 2 4 3
c 2 a


【91】A

解析:由 AB AC 2AO 可得: O 是 BC 的中点,即 B,C 关于原点对称,
不妨假设点 B(m,n) ,则 C( m, n) ,
【94】B
由 A(a,0) 及直线 AB,AC
1
的斜率分别为 4 和 可得: 解析:解:设 M(x1, y1),N(x , y2 2 2
),
y 2 2 n 9a 1
x1
4 2
2 1
m a n 4m 4a
m a b

7
,联立解得: , 所以 2 2 ,两式相减得
n 1 2n m a 8a
y2 x 2n 2 2 1 m a 2 7 a b
2
9a 8a b (y1 y )(y y
2
2 1 2 ) a (x1 x2 )(x1 x2 ) 0 ,
所以把点 B( , ) 代入双曲线方程 E 得:
7 7 所以 b2 ( 2)(y1 y2 ) 2a2 (x1 x2 ) 0 ,
2 2
9a 8a 2 y1 y2 2
7
所以 b ( ) a 0 ,
7 1 81 64a
2 x1 x2
2 2 1
,
a b 49 49 c2 a2 所以 2b2 a2 0 ,
c 64 32 所以 2(a2 c
2 ) a2 0 2,所以 e .故选:B
再由 e 代入得: 49 e2 1 49 ,解得: e2 3 , 2a
【95】B
e 1, e 3 ,故选:A. 解析: 直线 l : y kx经过原点, 设 A x1 , y1 , B x1 , y1 , D x2 , y2 .
【92】C y2 y1 y2 y1 y 2 y 2
F F 2 2 2 k AD kBD
2 1
解析:由题意知以 1 2 为直径的圆的方程为 x y c , x
.
2 x1 x2 x1 x
2
2 x
2
1
y a
2
x A x1 y
2 2 2 2 2 2 2
根据对称性,不妨设一条渐近线方程为 , 在第二象限, 又 1
x2 y2 x1 x2 y1 y2
b a2 b2
1 , 2 2 1 , 两式相减,得a b a2

b2
0 .
2 2 2 2 2
y
a
x x b x b
y1 y 2
b b 1
b x2 x2
2 , ka AD kBD .

2 离心率为 e 1
b 2
.
联立 ,解得 或y a
,
y a 1 2 a 2 a
2 2
x2 y
2 c2 故选:B.
则 A b,a ,B b, a ,又 C 0, a ,

所以 CA b, 0 ,CB b, 2a ,

cos ACB CA CB b
2 1
则 2
4 2
CA CB b b2 ,即
b a ,
4a2 2 3
c c2 a2 b2 7 21
所以离心率 e .故选:C.2 2 【96】Aa a a 3 3 2 2 2 2
解析:设 A x1, y ,B x , y x,则 1 y1 x2 y21 2 2 a2 b2 1 ,且 1 ,a2 b2
x21 x
2 y2 2
所以 2 1
y2
a2

b2
0 ,整理得
x1 x2 x1 x2 y1 y2 y1 y到: 2 ,
a2 b2
2 , 3 【93】 3 4 因为 M 1,3 是弦 AB的中点,
解析:由题意得 F2 c,0 , A
2
a , 0 , 所以 x1 x2 2, y y 6,
y
1
y2 1 2 6 b1 2 x x ,所以 a2
2 即 3
x2 y2
b
y2 c2 b2 1 2 a
2
将 x c 代入 2 2 1 得,a b b2
1
a2

a2
,
b2
所以 e 1 ,故选:A.
b2 a2
2
解得 y ,
a 5
2 【97】 , 2 b
因为 B 在第一象限,故 B c, ,
2
a 解析:设 P x0 , y0 , A x1, y1 ,因为 A,B关于原点对称,所以 B x1, y1 ,
b2
0 2 y0 y1 y0 y y
2 2
故 AB 的斜率为 a b , k k 1 k k 0
y1
∴ PA , PB ,∴ PA PB 2 2 .
c a ac a2
x0 x1 x0 x1 x0 x1
2 2 2 2
1 1 x又因为点 P,A都在双曲线上,所以 0 y0 x1 y1因为直线 AB 的斜率的取值范围是 ,4 3 , 2
2 1 , 2 2 1 ,
a b a b
x2 x2 y2 y2b 2 1 1 两式相减得: 0 1 0 1所以 ,ac a 2 , 2
2 ,
4 3 a b
{#{QQABDQahwwi4kAZACJ7aV0GcCgoQsIOTLSoOQUCaOAYCSBNIBCA=}#}
y20 y
2 b21 由 BM BN 得 BQ MN ,故
kBQ kMN 1 ,
∴ x2 x20 1 a
2 ,
c2
b2 1 b b b2 6
∴ k k ,1
2 2
, 即 2 1a c c 化简得 a 2b ,所以离心率为 .PA PB 1 a2 2 4
2 3c
a 2
c2 a2
b
2 1
∴ 2 e 1 ,1
e2 5 ,2 故选:A.
a 4 , , 4 【101】A
5 5 解析:因为四边形 OFPM 是一个平行四边形,且 OM OP ,可得
∴ e 2 .故答案为:
2
, 2
2 OPF 90
o ,即 FP OP ,
【98】B x2 y2 b
由双曲线 C : 2 2 1,可得 F(c,0) ,渐近线方程为 y x ,即
解析:设点 P 、 Q 的坐标分别是 x1, y1 , x2 , y2 ,则点 M的坐标是 a b a
bx ay 0 ,
x1 x2 y, 1
y2
,
2 2
bc bc
可得 PF b 2 2,且 OP OF PF c 2 b 2 a ,
2 2
y y y y b a c
2
k 2 1 2 1从而 1 , kx x 2

x , x OP : y b x P( a
2 ab
2 1 2 1 因为直线 ,可得 , ) ,
y2 y2 a c c
k k 2 2 1由 1 2 ,得 2 2 2 2x x2 , M a ab b ab

2 1 又因为 MP OF c ,所以 c, 即 , ,
x2 y2 x2 y2 b2 b2 c c c c
又 1 12 2 1 ,
2
2
2
2 1 ,所以 y
2
1
2
2 x1 a2 , y2 x22 2 2 a2 ,a b a b a a b4 a2b2代入双曲线 C 方程,可得 4 4 2 2
2 2 2 2 a2

c2 b2 2
1 ,整理得 b a a c ,
b y c2 y1 b
于是 y2 y2 2 22 1 2a2 x2 x1 ,又 2x2 x2 ,得 a2 , 22 1 b4 4 2 2 2所以 a a a b ,可得 b2 a2 a2 b,即 2 2 ,
c2 a2 a
即 2 2 ,解得 c
2 3a2 ,从而 e 3 .故选: B .
a e 1 b
2
所以离心率 3 .故选:A.
【99 2】B a
解析:由题可
2 2 2
得: A( a,0) , B(a,0) , F(c,0) , M (c,
b ) , N (c,
b
) , P(c,
b ) ,
a a 2a
【102】BC
b 2 2
解析:由题意知 3 ,即 c a 3 ,所以 e 10 ,设a a
M x1, y1 ,N x2 , y2 ,
y 3x m

由 x2 y2 ,得 b2 9a2 x2 6ma2x a2m2 a2 2b2 b 0 ,c a 1
所以 k 2a c a ,直线 BP 的方程为: y (x a) , a
2 b2
BP 2ac a 2a 2Δ 6ma2 4 b2 9a2 a2m2 a2b2 4a2b2 m2 b2 9a2 0 ,
x 0 y c a
c a
令 ,解得: ,所以直线 BP 与 y 轴交点为 0, ,2 2

则
6ma2
b2
c a x1 x2 2 2 ,
由于 a c a ,则直线 AN 的方程为: y (x a) b 9akAN
,
a
c a a 18ma2 2m b2 9a2 2mb2 ,
x 0 y a c y
y y
AN 0,a c 1 2
3 x1 x2 2m 2 2 2 2
令 ,解得: ,所以直线 与 轴交点为 , b 9a b 9a
c a 3ma2 mb2 2 2
因为直线 BP 与直线 AN 的交点在 y 轴上,所以 a c
mb b
,解 得 P ,
2 b2 9a2 b2 9a2
,所以 kOP
3ma2

3a2
1 ,
c
得: c 3a ,所以双曲线 E 的离心率 e 3 ,故选:B 即 b2 3a2 ,c2 a2 3a2 ,可得 e 2 且 e 10 .故选:BC
a
【100】A
b 2
FA y x b x y
2
解析:直线 的方程为 ,双曲线 2 2 1 的渐近线方程为c a b
y b x ,
a
x2 y2
此渐近线方程可以写成
a2

b2
0 的形式,
103 2 3 b 【 】
y x b 3 c b2y x2 2a
2
联立 并消去 得 x a2 0 , 解析:易知 F(c,0)2 2 ,如图,由对称性不妨设直线
x y 2
2 2 0
c c MN : ty x c(t 0) , M (x1, y a b 1
)(y1 0),N (x2 , y2 ) ,
2 x2 y2
设 M xM , yM , N xN , y x x 2a cN ,由韦达定理得 M N 2 , 0b 由 a
2 b2 ,消 x 得到 (b2t 2 a2 )y2 2b2tcy b2c2 0 ,
ty x c
设线段 MN的中点为 Q xQ , y Q ,则 2
y y 2b tc b
2c2
xM x a
2c b c2 则 1 2 2 , y y ,x N , y x b , b t
2 a2 1 2 b2t2 a2
Q 2 b2 Q c Q b 因为 MN 3MF ,所以 (x2 x1, y2 y1) 3(c x1, y1) ,得到 y2 y1 3y1 ,
a2c c2
所以 Q , . 即 y2 2y1 , 2
b b
{#{QQABDQahwwi4kAZACJ7aV0GcCgoQsIOTLSoOQUCaOAYCSBNIBCA=}#}
2b2tc b2 2
将 y
c
2 2y1 代入 y1 y2 2 2 2 , y1y2 2 2 2 ,整理得到b t a b t a
9b2t 2 a2 ,
b b 2
又易知 t 2 2 2
b 1
,所以 9b ( ) a ,得到 3b2 a2 ,即 2 ,a a a 3
c b2e 1 1 1 2 3所以双曲线的离心率 ,
a a2 3 3
2 3
故答案: .
3
【104 7】
2
解析:易知 A( a,0),B(a,0) ,不妨设
lAC : y k(x a)(k 0) , lAD : y
1
(x a) ,
k
由 lAC : y k(x a) ,令 x 0 ,得到 y ka ,所以 C(0,ka) ,
1
y (x a)
又易知双曲线的渐近线方程为 y
b
x k,由 ,得到a
y
b
x
a
2 ab 2
x a y D( a , ab , ,所以 ) ,
kb a kb a kb a kb a
a2
2a kb a 2
由题有 ,消 k
b 3
整理得到 3a2 4b2 0 ,得到 2 , ka ab 0 a 4 kb a
c b2 3 7
所以双曲线的离心率 e 1 2 1 ,a a 4 2
7
故答案为: .
2
【105】4
解析:可知直线 y 3 x c 过左焦点 F1 c,0 ,斜率 k 3 ,
b
E 3 e c b
2
且直线与双曲线 相交,可知 ,则 1 2 ,
a a a
y 3 x c

2 2 x b2 3a2 y2 2 3b2cy 3b4联立方程 x y ,消去 可得 0 ,
2 2 1 a b
2 3b2A x , y c 3b
4
设 1 1 ,B x2 , y2 ,则 y1 y2 2 2 , y1y2 ,b 3a b2 3a2

由 F1B 3F1A 可知 y2 3y1 ,
2 3b2
2
c 3 3b c
与 y1 y2 联立可得 y2 3y1 b2 3a2 2 b2 , 3a2
2
3b4 2 4
代入 y y 可得 3 3b c 3b ,则 c21 2 2 2 16a
2 ,
b 3a 2 b2 3a
2 b2 3a2
c c2
所以双曲线 E 的离心率 e 2 4 ;a a
{#{QQABDQahwwi4kAZACJ7aV0GcCgoQsIOTLSoOQUCaOAYCSBNIBCA=}#}

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