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2025年全国中学生数学奥林匹克竞赛（预赛)
暨2025年全国高中数学联合竞赛
加试(B卷)参考答案及评分标准
说明：
1.评阅试卷时，请严格按照本评分标准的评分档次给分。
2,如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可
参考本评分标准适当划分档次评分，10分为一个档次，不得增加其他中间档次.
一.（本题满分40分）设a,b,c>0,a+b+c=3,记
S=a+ab+abc+bc+c.
(1)证明：S≤5：
(2)若S=3,求b的取值范围，
解：(I)由于S=abc+(a+cb+1),利用均值不等式及a+b+c=3,得
c≤++9
a+e+s++=4
两式相加得S≤5.
…20分
(2)由S=3及a+b+c=3,可知b(a+ac+c)=S-a-c=b,又b>0,故
a+ac+c=1,即(a+1)(c+1)=2,
由a>0知a+1>1,由c>0知a+1=2<2.注意到函数f=x+在
c+1
[山，√2]上严格减，在[V2,2]上严格增，且f)=3,(W2)=22,f(2)=3,故白
a∈0,2)知a+1+2∈22,3).
a+1
从而6=3-a-c=5-+1+吊25-2，
…40分
1
二.（本题满分40分）如图，在△ABC中，D为边BC的中点，∠BAC平
分线上的两点E,F满足∠AEB=∠AFC=180°-∠BAC,△AFB的外接圆与
△AEC的外接圆交于A及另一点P.证明：A,P,D三点共线.
(答题时请将图画在答卷纸上)
D
证明：用A,B,C分别记△ABC的三个内角，4，b,c分别表示角A,B,C所对
边的长.由条件知∠BAE=∠FAC=号，结合LAB=∠CFA=180P-A,可知
EB1=4cF=兰所以能-二-2cas
…10分
设△AFB的外接圆与△AEC的外接圆分别再次交边BC于点S和T,
连接S,则∠CSF=∠BAF=子，并且
∠SFC=360°-∠CFA-∠AFS=(I80°-∠CFA)+(180°-∠AFS)=A+B,
故由正弦定理知CS-sin∠SFC。sin(A+B)_sinC
CF sin.∠CSF
sin4
A
sin
2
2
于是Cs=sinC
.cr=sinC.AC=2sin
-b=2bc
sin
A
A
sin
sin
a
2
2
cos
2
同理得BT=2bc,所以BT=CS.
…30分
a
结合DB=DC,可得DS=DT,所以DB·DS=DC·DT,即点D在△AFB
的外接圆与△AEC的外接圆的根轴上，故A,P,D三点共线.
…40分
22025年全国中学生数学奥林匹克竞赛（预赛)
暨2025年全国高中数学联合竞赛
加试试题（B卷)
一。
(本题满分40分)设a,b,c>0,a+b+c=3,记
S=a+ab+abc+bc+c.
(1)证明：S≤5；
(2)若S=3,求b的取值范围.
二.（本题满分40分）如图，在△ABC中，D为边BC的中点，∠BAC平
分线上的两点E,F满足∠AEB=∠AFC=180°-∠BAC,△AFB的外接圆与
△AEC的外接圆交于A及另一点P.证明：A,P,D三点共线.
(答题时请将图画在答卷纸上)
B
三.（本题满分50分)给定整数n≥2.设A是由n个不同的正整数构成的
集合，记m为集合B={x+z|x,y,z∈A的元素个数.证明：m≥n2+n-1,并
且存在集合A使得m=n2+n-1.
四.（本题满分50分）求具有下述性质的所有正整数n:存在n的一个倍数
N,其在十进制表示下含有0,1,2，，9中每一个数码，并且对任意
i∈{0，l,2,…,9},可以删去N的十进制表示中的一个数码i,使所得的数仍是n
的倍数.

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