资源简介

湖南省益阳市2026届高三9月教学质量监测数学试题
注意事项：
1.本试卷包括试题卷和答题卡两部分；试题卷共4页，19小题，满分150分.考试时量120分钟.
2.答题前，考生务必将自己的姓名 考号等填写在答题卡指定位置.请按答题卡的要求在答题卡上作答，在本试题卷和草稿纸上作答无效.
3.考试结束后，将答题卡交回.
试题卷
一 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知，则（ ）
A. B. C. D. 或
2. 已知复数，则（ ）
A. B. 2 C. D. 10
3. 若，则（ ）
A.
B.
C.
D.
4. 已知函数的图象关于直线对称，则的取值可以是（ ）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
5. 在中，为的中点，为平面内一点，且，则（ ）
A. 最大值为
B. 的最大值为
C. 的最大值为
D. 的最大值为
6. 四名同学各掷骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数．根据四名同学的统计结果，可以判断出一定没有出现点数6的是（ ）
A. 平均数为3，中位数为2 B. 平均数为2，方差为2.4
C. 中位数为3，众数为2 D. 中位数为3，方差为2.8
7. 已知，，且，则（ ）
A. B.
C. D.
8. 已知抛物线的焦点为，过作直线交抛物线于两点，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
二 多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分.
9. 在正方体中，为的中点，，则（ ）
A.
B. 平面
C. 与平面所成的角为
D. 四棱锥体积为9
10. 在平面直角坐标系中，圆的半径为1，点在圆上，则（ ）
A. 轴与圆可能相切
B 直线与圆可能相交
C. 轴被圆所截得的弦长的最大值是2
D. 原点与圆上的点的距离的最大值为
11. 若，当时，记.数列的通项公式为，其前项和为，设，则下列结论正确的有（ ）
A.
B. 若，则或16
C.
D. ，当时，
三 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 曲线在点处的切线的方程为______．
13. 我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层灯数为_____________
14. 已知定义在上的奇函数满足，且当时，.函数与函数的图象的所有交点的横坐标之和为__________.
四 解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
15. 在5道数学试题中有3道代数题和2道几何题，每次从中随机抽出1道题，抽出题不再放回.
（1）如果从中抽2道题，求恰好抽到一道代数题和一道几何题的概率；
（2）如果从中抽3道题，记表示抽到代数题的道数，求随机变量的分布列和数学期望.
16. 已知的内角所对的边分别为，且.
（1）求；
（2）若，求的取值范围.
17. 如图，在三棱柱中，侧面为菱形，，底面为等边三角形，平面平面，点分别是的中点.
（1）证明：平面平面；
（2）若，点在直线上，且平面与平面的夹角的余弦值为，求线段的长.
18. 已知函数.
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）当时，，求的取值范围；
（3）若，证明：.
19. 动圆与圆和圆都内切，记动圆圆心的轨迹为.
（1）求方程；
（2）已知圆锥曲线具有如下性质：若圆锥曲线的方程为，则曲线上一点处的切线方程为：，试运用该性质解决以下问题：点为直线上一点（不在轴上），过点作的两条切线，切点分别为.
（i）证明：直线过定点；
（ii）点关于轴的对称点为，连接交轴于点，设的面积分别为，求的最大值.
数学参考答案及评分标准
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．B 2．D 3．C 4．B 5．A 6．B 7．D 8．C
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分。
9．BD 10．AC 11．ACD
11题C选项提示：当时，．
当时，．
因为．
又满足的整数n共有2m个．
故．
所以，．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12． 13．3 14．-9
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（本小题满分13分）
解：（1）设事件“从中抽2道题，恰好抽到一道代数题和一道几何题”，
. 5分
（2）根据题意，可能的取值为1,2,3
11分
所以的分布列为
1 2 3
故随机变量的期望． 13分
16.（本小题满分15分）
解：（1）由已知及正弦定理得． 2分
化简得．
因为，所以． 4分
又，所以，. 6分
（2）由及得：. 8分
11分
在△ABC中，由（1）知，所以，，.
故，所以，. 15分
17．（本小题满分15分）
解：（1）如图，取的中点，连接，因为侧面A1ACC1为菱形，∠A1AC=60°，
所以．又因为平面A1ACC1⊥平面ABC，
平面A1ACC1∩平面，
平面A1ACC1，所以平面ABC． 2分
又因为E是A1C1的中点，所以，四边
形A1OCE为平行四边形，所以A1O∥CE．所以CE⊥平面ABC． 4分
又平面DEC，所以平面DEC⊥平面ABC． 6分
（2）连接，因为为等边三角形，则．
所以两两垂直．则以为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，
因为AB=2，所以．
故，
．
设，则，
即．， 9分
．
设平面的一个法向量为，
则则，取，则，．
故平面的一个法向量为．
又由（1）可知平面的一个法向量为， 12分
由题意可得，即．
解得．又，所以，线段CF的长为2． 15分
18．（本小题满分17分）
解：（1）当a=2时，．
所以，． 2分
所以，当时，，单调递增．
当时，，单调递减．
综上，的单调递增区间为，单调递减区间为． 4分
（2）当，成立，等价于当时，成立．
因为，设，则． 6分
所以，单调递减，即单调递减．
当时，．所以，单调递减，，符合题意. 9分
当时，，所以存在，使得当时，．
此时单调递增，，不符合题意.
综上，. 11分
（3）由（2）知，当时，成立，令，，
则． 13分
当时，． 15分
所以，．
当时，．
综上，． 17分
19．（本小题满分17分）
解：（1）设动圆的半径为r，由已知得圆C1和圆C2的半径分别为，
因为与C1，C2都内切，所以|C1|=-r,|C2|=r -,
所以|C1|+|C2|=，又C1（-2,0），C2（2,0），
故|C1C2|=4<．所以，点的轨迹是以C1、C2为焦点的椭圆． 3分
设的方程为：，则2a=,2c=4,所以b2=a2-c2=4．
故的方程为． 4分
（i）证明：设M（x1，y1），N（x2，y2），P（8，t）（t≠0），由题意得，切线PM的
方程为，切线PN的方程为， 6分
因为两条切线都经过点P（8，t），所以，
故直线MN的方程为：，当y=0时，x=1,
故直线MN过定点（1,0）． 8分
（ii）设直线MN的方程为：x=my+1(m≠0),
联立，整理得(m2+2)y2+2my-7=0,
由韦达定理得， 10分
又(x1, -y1),所以直线N的方程为，令y=0得，
14分
所以，直线M'N经过定点Q(8,0)．又C2(2,0),
所以， ．
当且仅当时，即时取等号．所以，． 17分

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