资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
5.3 实际问题与一元一次方程 题型过关练
【题型1】配套问题
（2025春 唐河县期末）用白铁皮做罐头盒，每张铁皮可制盒身25个或制盒底40个，一个盒身与两个盒底配成一套．现在有36张白铁皮，若用x张制盒身，剩下的制盒底，可使所制的盒身与盒底正好配套，则下面所列方程正确的是（　　）
A．2×25x＝40（36﹣x） B．2×40x＝25（36﹣x）
C．40x＝2×25（36﹣x） D．25x＝2×40（36﹣x）
方法点拨 m件A产品与n件B产品配套： A产品的数量×n=B产品的数量×m．
【变式1】　（2025春 海伦市期末）如图是一辆自行车的前、后齿轮，前齿轮有48个齿，后齿轮有16个齿．当前齿轮转15圈时，后齿轮转（　　）圈．
A．5 B．15 C．30 D．45
【变式2】　（2025春 宁阳县期末）某茶具生产车间共有25名工人，每人每天可生产3个茶壶或者7只茶杯，一个茶壶与6只茶杯配套．为使每天生产的茶壶和茶杯刚好配套，需要有（　　）名工人生产茶壶．
A．7 B．10 C．18 D．23
【变式3】　（2025春 南关区期末）某车间有26名工人，每人每天可以生产12个螺母或20个螺栓．1个螺栓需要配2个螺母，为使每天生产的螺栓和螺母刚好配套，安排x名工人生产螺栓，其他工人生产螺母，根据题意，下列方程正确的是（　　）
A．2×20x＝12（26﹣x） B．20x＝12（26﹣x）
C．20x＝2×12（26﹣x） D．12x＝20（26﹣x）
【题型2】工程问题
（2025春 上蔡县校级月考）2025年央视春晚，16个机器人穿着花棉袄、手持红手绢，与舞蹈演员默契配合，上演了一场创意融合的舞蹈《秧BOT》，展示出中国强大的科技实力．现在越来越多的机器人应用于各类工作中，已知某项工程，甲机器人单独做需9天完成，乙机器人单独做需12天完成，现在甲先单独做了2天，然后甲、乙合作，求完成这项工程甲、乙合作了多少天．若设完成此项工程甲、乙合作了x天，则下列方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
方法点拨 工作量=工作效率×工作时间； 工作效率=工作量÷工作时间； 工作时间=工作量÷工作效率．
【变式1】　（2025 新昌县一模）某工程甲单独完成要45天，乙单独完成要30天，若乙先单独干22天，剩下的由甲单独完成．问甲、乙一共用几天可以完成全部工作，若设甲、乙共用x天完成，则符合题意的方程是（　　）
A．1 B．1
C．1 D．1
【变式2】　（2025春 东方期中）甲、乙两个工程队共有100人，且甲队的人数比乙队的人数的4倍少10人．如果设乙队的人数为x人，则所列的方程为（　　）
A．4x+x＝100 B．4x+x﹣10＝100
C．x+4（x﹣10）＝100 D．x﹣10+x＝100
【变式3】　（2025 南宁模拟）一项工程，甲单独做需8天完成，乙单独做需6天完成，现在甲先做3天，然后乙再加入，设此项工程共用x天完成，由题意得方程（　　）
A． B．
C． D．
【题型3】销售问题
（2025 铁东区三模）《九章算术》“盈不足”中有如下记载：今有共买琎（jìn），人出半，盈四；人出少半，不足三．问人数、进价各几何？译文：今有人合伙买琎石，每人出钱，会多4钱；每人出钱，又差3钱．问人数和琎石的价格各是多少？设人数为x，则可列方程为（　　）
A．2（x+4）＝3（x﹣3） B．2（x﹣4）＝3（x+3）
C． D．
方法点拨 商品的利润率=； 商品利润=商品售价－商品进价（或成本）．
【变式1】　（2025春 南江县校级月考）一家商店把某商品按标价的八折出售仍可获利15%，若该商品的进价是45元，若设标价为x元，则可列得方程（　　）
A． B．
C． D．
【变式2】　（2025春 高平市月考）实践与探索
为实现乡村振兴战略，解决农村特产销售难问题，政府积极推动农村电商高质量发展，让商家远程看货，云端订货，解决了销售渠道不畅的问题．某电商用8400元购进甲、乙两种商品，其中乙商品的件数比甲商品件数的倍多15件，甲、乙两种商品的进价和售价如表：
类别 甲 乙
进价（元/件） 32 40
售价（元/件） 39 50
若规定：销售利润为售价与进价的差．该电商将购进的甲、乙两种商品全部售完后一共可获得利润多少元？
【变式3】　（2025春 宝山区校级期末）一件商品，先以盈利60%的价格作为定价，后因季节原因又打对折出售，此时这件商品亏损了48元，求这件商品的进价．
【题型4】比赛积分问题
（2024秋 呈贡区校级期末）足球比赛积分规则为：胜一场记3分，平一场得1分，负一场得0分，一个队进行了13场比赛，其中负了4场共得19分，那么这个队胜了（　　）场．
A．3 B．2 C．1 D．5
方法点拨 比赛总场数=胜场场数＋平场场数+负场场数； 比赛总积分=胜场积分＋平场积分+负场积分．
【变式1】　（2025春 南安市期末）2025年第四届中国青少年足球联赛（福建赛区）暨福建青少年足球联赛男子初中年龄段U13组比赛，南安代表队问鼎省级联赛冠军．在本次足球联赛中，常规时间内胜一场得3分，负一场得0分；若常规时间内打平，则采取直接互罚球点球的方式决定该场胜负，点球胜一场得2分，负一场得0分．已知某支球队7场比赛皆取得胜利，总积分是18分，则这支球队在常规时间内打平以点球获胜的场数是　　 ．
【变式2】　（2024秋 广水市期末）在某年全国足球中超联赛的前10场比赛中，某队保持连续不败，共积22分，按比赛规则，胜一场得3分，平一场得1分，则该队共胜了　　 场．
【变式3】　（2024秋 西吉县校级期末）足球比赛的记分规则为：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，一个队打了20场比赛，负了6场，共积32分，那么该队胜多少场？若设该队胜x场，则可列方程为 　　 ．
【题型5】行程问题
（2025 石家庄二模）《九章算术》中记载：“今有善行者行一百步，不善行者行六十步；今不善行者先行一百步，善行者追之，问几何步及之？”译文：“现有走路快的人走100步，走路慢的人只能走60步；现在让走路慢的人先走100步，走路快的人开始追赶，问走路快的人走多少步才能追上走路慢的人？”设走路快的人走x步，则下列说法错误的是（　　）
A．走路快的人和走路慢的人的速度比为5：3
B．可得方程：60x＝100x﹣100
C．x的值为250
D．可得方程：
方法点拨 1．相遇问题： 快车行驶路程＋慢车行驶路程=原距离． 2．追及问题： 快车行驶路程－慢车行驶路程=原距离（同时不同地出发）． 快车行驶路程=慢车行驶路程（同地不同时出发）． 3．航行问题： 顺流速度=静水速度＋水流速度； 逆流速度=静水速度－水流速度； 水流速度=（顺流速度－逆流速度）．
【变式1】　（2025春 拱墅区期末）甲，乙两车匀速地从A地行驶到B地，已知甲车原计划行驶速度为50kmh，实际提速到60km/h，实际行驶时间比原计划缩短了1h．设乙车行驶速度为vkm/h（0＜v≤80），行驶的时间为th，则（　　）
A．
B．AB两地的距离为480km
C．乙车行驶的最短时间为3h
D．乙车行驶的时间可能为4h
【变式2】　（2025 广州模拟）深中通道于2024年6月30日正式通车试运营，该通道全长24千米，这一里程碑式的交通项目为粤港澳大湾区带来了前所未有的便捷和机遇．已知甲、乙两车分别从该通道的起点和终点相向而行，已知甲车速度为85km/h，乙车速度为92km/h，甲车出发5千米后乙车才出发，设乙车出发x小时后两车相遇，则可列方程为（　　）
A．85x+92x＝24 B．85x+92x﹣5＝24
C．92x﹣85x＝24 D．85x+92x＝24﹣5
【变式3】　（2024秋 商水县期末）两船从同一港口同时出发反向而行，甲船顺水，乙船逆水，两船在静水中的速度都是30千米/时，水流速度是a千米/时
（1）甲船顺水的速度是　　 千米/时；乙船逆水的速度是　　 千米/时；
（2）3小时后两船相距多远？
（3）若a＝10，3小时后甲船能比乙船多航行70千米吗？请说明理由．
【题型6】储蓄类问题
（2024春 长宁区期中）小杰妈妈去银行存款，银行一年定期储蓄的年利率是1.5%，小杰妈妈两年后取出的本利和共61800元，设她存入银行的本金为x元，那么下列方程中，正确的是（　　）
A．1.5%×2x＝61800 B．x+1.5%×2x＝61800
C．（1+1.5%）×2x＝61800 D．2（1+1.5%x）＝61800
方法点拨 利息=本金×利率×期数； 本息和=本金+利息=本金×（1+利率×期数）．
【变式1】　（2023秋 忠县校级月考）两年前，李叔叔在银行存了一笔两年的定期存款，年利率是2.75%，到期后取出，得到本金和利息总共21100元，设李叔叔存入的本金为x元，则下列方程正确的是（　　）
A．2×2.75%x＝21100 B．x+2.75%x＝21100
C．x+2×2.5%x＝21100 D．2（x+2.75%x）＝21100
【变式2】　（2025 吉林四模）某银行二年定期储蓄的年利率是2.25%，小杰的父亲取出二年到期的本利和共26125元，那么小杰的父亲存入的本金是 　　 元．
【变式3】　（2025 雁塔区校级模拟）某商场将一种商品按原价的八折出售，此时商品的利润率是6%．已知这种商品的成本价为400元，则这种商品的原价是　　 元．
【题型7】方案选择类问题
（2024秋 新乡期末）“天下无双圣境，世界第一仙山”的老君山，是河南洛阳5A级著名旅游景区．某旅行社准备组织游客游览老君山．游览门票票价为130元/人，经营方为旅行社推出两种优惠方案．
方案一：所有门票一律九折；
方案二：如果人数超过100人，则超出人数的票价打七折．
（1）若游客为x（x＞100）人，则方案一的费用为　 元，方案二的费用　　 元；
（2）①旅行社准备租车送游客去老君山，如果单独租用60座的客车若干辆，则刚好坐满；若单独租用45座客车，则需多租2辆，且余15个空座位，求该旅行社共有多少名游客游览老君山．（司机不占用客车座位数）
②在①的条件下，旅行社采用哪种优惠方案购买门票更省钱？
方法点拨 常见方案决策问题的解题策略： （1）根据题中的数量关系设未知数． （2）列出各方案的式子． （3）算出每种方案需要的费用（或利润）． （4）根据计算结果比较大小，确定最优方案．
【变式1】　（2024秋 顺义区期末）某食品加工厂计划到草莓种植基地购买一批草莓，种植基地对购买量在1200千克（含1200千克）以上的有两种销售方案，方案一：每千克25元，由基地送货上门；方案二：每千克22元，由食品加工厂自己运回，已知该食品加工厂租车从基地到工厂的运输费为4200元．
（1）食品加工厂购买多少千克草莓时，选择两种购买方案所需的费用相同？
（2）如果食品加工厂计划购买2500千克草莓，选择哪种方案省钱？为什么？
【变式2】　（2024秋 泸县期末）为发展校园足球运动，某校决定购买一批足球运动装备，市场调查发现：甲、乙两商场以同样的价格出售同种品牌的足球队服和足球，已知每套队服比每个足球多50元，两套队服与三个足球的费用相等．
（1）求每套队服和每个足球的价格是多少？
（2）经洽谈，甲商场优惠方案是：每购买十套队服，送一个足球；乙商场优惠方案是：若购买队服超过80套，则购买足球打八折．若该校购买100套队服和a个足球（其中a≥10且为整数）．
①请用含a的式子表示：
甲商场所花的费用　　 ；
乙商场所花的费用　　 ；
当购买的足球数a为何值时在两家商场购买所花的费用一样？
【变式3】　（2025春 衡南县校级月考）某中学准备组织七年级学生看电影《我和我的祖国》，由各班班长负责买票，票价每张20元．七（1）班班长问售票员买团体票是否可以优惠，售票员说：“50人以上的团体票有两种优惠方案，方案一：全体人员可打八折；方案二：若打九折，有7人可免票．”
（1）七（2）班有61名学生，选择哪种方案更省钱？
（2）七（1）班班长思考一会儿说：“我们班有50人以上，无论选择哪种方案，要付的钱是一样的．”你知道七（1）班有多少名学生吗？
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
5.3 实际问题与一元一次方程 题型过关练
【题型1】配套问题
（2025春 唐河县期末）用白铁皮做罐头盒，每张铁皮可制盒身25个或制盒底40个，一个盒身与两个盒底配成一套．现在有36张白铁皮，若用x张制盒身，剩下的制盒底，可使所制的盒身与盒底正好配套，则下面所列方程正确的是（　　）
A．2×25x＝40（36﹣x） B．2×40x＝25（36﹣x）
C．40x＝2×25（36﹣x） D．25x＝2×40（36﹣x）
【答案】A
【分析】由白铁皮的总张数及制作盒身的张数，可得出用（36﹣x）张制作盒底，再根据制作盒底的总个数是制作盒身总个数的2倍，即可列出关于x的一元一次方程，此题得解．
【解答】解：∵共有36张白铁皮，且用x张制盒身，
∴用（36﹣x）张制盒底．
根据题意得：2×25x＝40（36﹣x）．
故选：A．
方法点拨 m件A产品与n件B产品配套： A产品的数量×n=B产品的数量×m．
【变式1】　（2025春 海伦市期末）如图是一辆自行车的前、后齿轮，前齿轮有48个齿，后齿轮有16个齿．当前齿轮转15圈时，后齿轮转（　　）圈．
A．5 B．15 C．30 D．45
【答案】D
【分析】设后齿轮转x圈，根据前齿轮的齿数×前齿轮转的圈数＝后齿轮的齿数×后齿轮转的圈数列出方程，解方程即可求解，
【解答】解：设后齿轮转x圈，
则16x＝48×15，
∴x＝45，
故选：D．
【变式2】　（2025春 宁阳县期末）某茶具生产车间共有25名工人，每人每天可生产3个茶壶或者7只茶杯，一个茶壶与6只茶杯配套．为使每天生产的茶壶和茶杯刚好配套，需要有（　　）名工人生产茶壶．
A．7 B．10 C．18 D．23
【答案】A
【分析】设有x名工人生产茶壶，则有（25﹣x）名工人生产茶杯，利用生产茶杯的总数量是生产茶壶总数量的6倍，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：设有x名工人生产茶壶，则有（25﹣x）名工人生产茶杯，
根据题意得：7（25﹣x）＝6×3x，
解得：x＝7，
∴需要有7名工人生产茶壶．
故选：A．
【变式3】　（2025春 南关区期末）某车间有26名工人，每人每天可以生产12个螺母或20个螺栓．1个螺栓需要配2个螺母，为使每天生产的螺栓和螺母刚好配套，安排x名工人生产螺栓，其他工人生产螺母，根据题意，下列方程正确的是（　　）
A．2×20x＝12（26﹣x） B．20x＝12（26﹣x）
C．20x＝2×12（26﹣x） D．12x＝20（26﹣x）
【答案】A
【分析】设安排x名工人生产螺栓，则其他（26﹣x）名工人生产螺母，根据：1个螺栓需要配2个螺母，且每天生产的螺栓和螺母刚好配套，即可列出方程．
【解答】解：根据题意可列方程：2×20x＝12（26﹣x）．
故选：A．
【题型2】工程问题
（2025春 上蔡县校级月考）2025年央视春晚，16个机器人穿着花棉袄、手持红手绢，与舞蹈演员默契配合，上演了一场创意融合的舞蹈《秧BOT》，展示出中国强大的科技实力．现在越来越多的机器人应用于各类工作中，已知某项工程，甲机器人单独做需9天完成，乙机器人单独做需12天完成，现在甲先单独做了2天，然后甲、乙合作，求完成这项工程甲、乙合作了多少天．若设完成此项工程甲、乙合作了x天，则下列方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】利用甲完成的工程量+乙完成的工程量＝总工程量，即可列出关于x的一元一次方程，此题得解．
【解答】解：设完成此项工程甲、乙合作了x天，则甲一共用（x+2）天，
根据题意得：1．
故选：A．
方法点拨 工作量=工作效率×工作时间； 工作效率=工作量÷工作时间； 工作时间=工作量÷工作效率．
【变式1】　（2025 新昌县一模）某工程甲单独完成要45天，乙单独完成要30天，若乙先单独干22天，剩下的由甲单独完成．问甲、乙一共用几天可以完成全部工作，若设甲、乙共用x天完成，则符合题意的方程是（　　）
A．1 B．1
C．1 D．1
【答案】A
【分析】首先理解题意找出题中的等量关系：甲完成的工作量+乙完成的工作量＝总的工作量，根据此列方程即可．
【解答】解：设甲、乙共用x天完成，则甲单独干了（x﹣22）天，本题中把总的工作量看成整体1，则甲每天完成全部工作的，乙每天完成全部工作的．
根据等量关系列方程得：1，
故选：A．
【变式2】　（2025春 东方期中）甲、乙两个工程队共有100人，且甲队的人数比乙队的人数的4倍少10人．如果设乙队的人数为x人，则所列的方程为（　　）
A．4x+x＝100 B．4x+x﹣10＝100
C．x+4（x﹣10）＝100 D．x﹣10+x＝100
【答案】B
【分析】设乙队的人数为x人，根据甲、乙两个工程队共有100人，且甲队的人数比乙队的人数的4倍少10人可列出方程．
【解答】解：设乙队的人数为x人，
4x+x﹣10＝100．
故选：B．
【变式3】　（2025 南宁模拟）一项工程，甲单独做需8天完成，乙单独做需6天完成，现在甲先做3天，然后乙再加入，设此项工程共用x天完成，由题意得方程（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据行程问题进行列方程即可．
【解答】解：；
故选：A．
【题型3】销售问题
（2025 铁东区三模）《九章算术》“盈不足”中有如下记载：今有共买琎（jìn），人出半，盈四；人出少半，不足三．问人数、进价各几何？译文：今有人合伙买琎石，每人出钱，会多4钱；每人出钱，又差3钱．问人数和琎石的价格各是多少？设人数为x，则可列方程为（　　）
A．2（x+4）＝3（x﹣3） B．2（x﹣4）＝3（x+3）
C． D．
【答案】D
【分析】由钱数不变，根据“每人出钱，会多4钱；每人出钱，又差3钱”即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．
【解答】解：根据“每人出钱，会多4钱；每人出钱，又差3钱”可得：，
故选：D．
方法点拨 商品的利润率=； 商品利润=商品售价－商品进价（或成本）．
【变式1】　（2025春 南江县校级月考）一家商店把某商品按标价的八折出售仍可获利15%，若该商品的进价是45元，若设标价为x元，则可列得方程（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据（售价﹣进价）÷进价＝利润率，可以列出相应的方程．
【解答】解：由题意可得，
15%，
故选：A．
【变式2】　（2025春 高平市月考）实践与探索
为实现乡村振兴战略，解决农村特产销售难问题，政府积极推动农村电商高质量发展，让商家远程看货，云端订货，解决了销售渠道不畅的问题．某电商用8400元购进甲、乙两种商品，其中乙商品的件数比甲商品件数的倍多15件，甲、乙两种商品的进价和售价如表：
类别 甲 乙
进价（元/件） 32 40
售价（元/件） 39 50
若规定：销售利润为售价与进价的差．该电商将购进的甲、乙两种商品全部售完后一共可获得利润多少元？
【答案】1950元．
【分析】设该电商购进甲种商品x件，则乙的件数为件．根据题意列方程即可求解．
【解答】解：设该电商购进甲种商品x件，则乙的件数为件，
根据题意得：，
解得：x＝150，
则，
利润为：（39﹣32）×150+（50﹣40）×90＝1950（元），
答：该电商将购进的甲、乙两种商品全部售完后一共可获得利润1950元．
【变式3】　（2025春 宝山区校级期末）一件商品，先以盈利60%的价格作为定价，后因季节原因又打对折出售，此时这件商品亏损了48元，求这件商品的进价．
【答案】这件商品的进价是240元．
【分析】设这件商品的进价是x元，则定价为（1+60%）x元，实际售价为0.5（1+60%）x，根据这件商品亏损了48元，列出一元一次方程，解方程即可．
【解答】解：设这件商品的进价是x元，则定价为（1+60%）x元，实际售价为0.5（1+60%）x，
由题意得：x﹣0.5（1+60%）x＝48，
解得：x＝240，
答：这件商品的进价是240元．
【题型4】比赛积分问题
（2024秋 呈贡区校级期末）足球比赛积分规则为：胜一场记3分，平一场得1分，负一场得0分，一个队进行了13场比赛，其中负了4场共得19分，那么这个队胜了（　　）场．
A．3 B．2 C．1 D．5
【答案】D
【分析】首先设该队共平x场，则该队胜了13﹣x﹣4＝（9﹣x）场，胜场得分是3（9﹣x）分，平场得分是x分，根据题意找出题中的等量关系：平场得分+胜场得分＝19分，根据此列方程即可．
【解答】解：设该队共平x场，则该队胜了13﹣x﹣4＝（9﹣x）场，
根据题意得：3（9﹣x）+x＝19，
解得：x＝4，
该队胜了9﹣4＝5场．
故选：D．
方法点拨 比赛总场数=胜场场数＋平场场数+负场场数； 比赛总积分=胜场积分＋平场积分+负场积分．
【变式1】　（2025春 南安市期末）2025年第四届中国青少年足球联赛（福建赛区）暨福建青少年足球联赛男子初中年龄段U13组比赛，南安代表队问鼎省级联赛冠军．在本次足球联赛中，常规时间内胜一场得3分，负一场得0分；若常规时间内打平，则采取直接互罚球点球的方式决定该场胜负，点球胜一场得2分，负一场得0分．已知某支球队7场比赛皆取得胜利，总积分是18分，则这支球队在常规时间内打平以点球获胜的场数是　　 ．
【答案】3．
【分析】设这支球队在常规时间内打平以点球获胜的场数是x，则这支球队在常规时间内获胜的场数是（7﹣x），利用这支球队的总积分＝3×这支球队在常规时间内获胜的场数+2×这支球队在常规时间内打平以点球获胜的场数，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：设这支球队在常规时间内打平以点球获胜的场数是x，则这支球队在常规时间内获胜的场数是（7﹣x），
根据题意得：3（7﹣x）+2x＝18，
解得：x＝3，
∴这支球队在常规时间内打平以点球获胜的场数是3．
故答案为：3．
【变式2】　（2024秋 广水市期末）在某年全国足球中超联赛的前10场比赛中，某队保持连续不败，共积22分，按比赛规则，胜一场得3分，平一场得1分，则该队共胜了　　 场．
【答案】6．
【分析】根据题意，列出方程，解方程即可求解．
【解答】解：设该队共胜了x场，根据题意可得：
3x+（10﹣x）＝22，
2x+10＝22，
2x＝12，
解得：x＝6，
故该队共胜了6场．
故答案为：6．
【变式3】　（2024秋 西吉县校级期末）足球比赛的记分规则为：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，一个队打了20场比赛，负了6场，共积32分，那么该队胜多少场？若设该队胜x场，则可列方程为 　　 ．
【答案】3x+（20﹣x﹣6）＝32．
【分析】设该队胜x场，根据记分规则和得分总数，可列方程3x+（20﹣x﹣6）＝32．
【解答】解：设该队胜x场，依题意得：3x+（20﹣x﹣6）＝32．
故答案为：3x+（20﹣x﹣6）＝32．
【题型5】行程问题
（2025 石家庄二模）《九章算术》中记载：“今有善行者行一百步，不善行者行六十步；今不善行者先行一百步，善行者追之，问几何步及之？”译文：“现有走路快的人走100步，走路慢的人只能走60步；现在让走路慢的人先走100步，走路快的人开始追赶，问走路快的人走多少步才能追上走路慢的人？”设走路快的人走x步，则下列说法错误的是（　　）
A．走路快的人和走路慢的人的速度比为5：3
B．可得方程：60x＝100x﹣100
C．x的值为250
D．可得方程：
【答案】B
【分析】A．利用速度之比＝相同时间内的路程之比，可得出两人的速度比为100：60＝5：3；
B．设走路快的人走x步，则走路慢的人走（x﹣100）步，利用时间＝路程÷速度，结合时间相同，可列出关于x的一元一次方程；
C．设走路快的人走x步，则走路慢的人走（x﹣100）步，利用时间＝路程÷速度，结合时间相同，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出x的值；
D．设走路快的人走x步，则走路慢的人走（x﹣100）步，利用时间＝路程÷速度，结合时间相同，可列出关于x的一元一次方程．
【解答】解：A．∵在相同时间内，走路快的人走100步，走路慢的人只能走60步，
∴两人的速度比为100：60＝5：3，选项A不符合题意；
B．设走路快的人走x步，则走路慢的人走（x﹣100）步，
根据题意得：，
即60x＝100x﹣10000，选项B符合题意；
C．设走路快的人走x步，则走路慢的人走（x﹣100）步，
根据题意得：，
即60x＝100x﹣10000，
解得：x＝250，选项C不符合题意；
D．设走路快的人走x步，则走路慢的人走（x﹣100）步，
根据题意得：，
即，选项D不符合题意．
故选：B．
方法点拨 1．相遇问题： 快车行驶路程＋慢车行驶路程=原距离． 2．追及问题： 快车行驶路程－慢车行驶路程=原距离（同时不同地出发）． 快车行驶路程=慢车行驶路程（同地不同时出发）． 3．航行问题： 顺流速度=静水速度＋水流速度； 逆流速度=静水速度－水流速度； 水流速度=（顺流速度－逆流速度）．
【变式1】　（2025春 拱墅区期末）甲，乙两车匀速地从A地行驶到B地，已知甲车原计划行驶速度为50kmh，实际提速到60km/h，实际行驶时间比原计划缩短了1h．设乙车行驶速度为vkm/h（0＜v≤80），行驶的时间为th，则（　　）
A．
B．AB两地的距离为480km
C．乙车行驶的最短时间为3h
D．乙车行驶的时间可能为4h
【答案】D
【分析】设甲车原计划行驶的时间为mh，根据路程＝速度×时间求出m＝300，再根据时间、路程、速度的关系即可求解．
【解答】解：设甲车原计划行驶的时间为mh，由题意得，
50m＝60（m﹣1），
解得m＝6，
s＝50×6＝300，
∴AB两地的距离为300km，故B不合题意；
∵乙车行驶速度为vkm/h（0＜v≤80），行驶的时间为th，
∴v，故A不合题意；
∵0＜v≤80，
∴t，故C不合题意，D符合题意．
故选：D．
【变式2】　（2025 广州模拟）深中通道于2024年6月30日正式通车试运营，该通道全长24千米，这一里程碑式的交通项目为粤港澳大湾区带来了前所未有的便捷和机遇．已知甲、乙两车分别从该通道的起点和终点相向而行，已知甲车速度为85km/h，乙车速度为92km/h，甲车出发5千米后乙车才出发，设乙车出发x小时后两车相遇，则可列方程为（　　）
A．85x+92x＝24 B．85x+92x﹣5＝24
C．92x﹣85x＝24 D．85x+92x＝24﹣5
【答案】D
【分析】设乙车出发x小时后两车相遇，根据该通道全长24千米，列方程即可得到结论．
【解答】解：设乙车出发x小时后两车相遇，根据题意得，85x+92x+5＝24，
故选：D．
【变式3】　（2024秋 商水县期末）两船从同一港口同时出发反向而行，甲船顺水，乙船逆水，两船在静水中的速度都是30千米/时，水流速度是a千米/时
（1）甲船顺水的速度是　　 千米/时；乙船逆水的速度是　　 千米/时；
（2）3小时后两船相距多远？
（3）若a＝10，3小时后甲船能比乙船多航行70千米吗？请说明理由．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）甲船顺水的速度＝水速+船速，乙船逆水的速度＝船速﹣水速；
（2）反向出发，两船相距路程为：甲路程+乙路程＝顺水速度×3+逆水速度×3＝（30+a）×3+（30﹣a）×3；
（3）顺水航行的速度＝静水速度+水流速度，逆水航行速度＝静水速度﹣水流速度，路程＝速度×时间，根据此等量关系可列式求解．
【解答】解：（1）甲船顺水的速度是 （30+a）千米/时；乙船逆水的速度是 （30﹣a）千米/时；
故答案为：（30+a）；（30﹣a）；
（2）依题意得：（30+a）×3+（30﹣a）×3＝180（千米）；
答：3小时后两船相距180千米；
（3）依题意得：（30+10）×3﹣（30﹣10）×3＝60（千米）；
因为60＜70，
所以若a＝10，3小时后甲船不能比乙船多航行70千米．
【题型6】储蓄类问题
（2024春 长宁区期中）小杰妈妈去银行存款，银行一年定期储蓄的年利率是1.5%，小杰妈妈两年后取出的本利和共61800元，设她存入银行的本金为x元，那么下列方程中，正确的是（　　）
A．1.5%×2x＝61800 B．x+1.5%×2x＝61800
C．（1+1.5%）×2x＝61800 D．2（1+1.5%x）＝61800
【答案】B
【分析】设小明的这笔一年定期存款是x元，根据银行一年定期储蓄的年利率为1.5%．小明有一笔一年定期存款，如果到期后全取出，可取回61800元，可列出方程．
【解答】解：由题意可得，
x+x 1.5%×2＝61800，
即x+1.5%×2x＝61800，
故选：B．
方法点拨 利息=本金×利率×期数； 本息和=本金+利息=本金×（1+利率×期数）．
【变式1】　（2023秋 忠县校级月考）两年前，李叔叔在银行存了一笔两年的定期存款，年利率是2.75%，到期后取出，得到本金和利息总共21100元，设李叔叔存入的本金为x元，则下列方程正确的是（　　）
A．2×2.75%x＝21100 B．x+2.75%x＝21100
C．x+2×2.5%x＝21100 D．2（x+2.75%x）＝21100
【答案】C
【分析】根据“利息＝本金×利率×时间”（利率和时间应对应），代入数值，计算即可得出结论．
【解答】解：设李叔叔存入的本金为x元，
根据题意得出：x+2×2.75%x＝21100．
故选：C．
【变式2】　（2025 吉林四模）某银行二年定期储蓄的年利率是2.25%，小杰的父亲取出二年到期的本利和共26125元，那么小杰的父亲存入的本金是 　　 元．
【答案】见试题解答内容
【分析】先设小杰的父亲存入的本金是x元，然后根据本息和＝本金+利息列出相应的方程，再求解即可．
【解答】解：设小杰的父亲存入的本金是x元，
由题意可得：x+2.25%x×2＝26125，
解得x＝25000，
即小杰的父亲存入的本金是25000元，
故答案为：25000．
【变式3】　（2025 雁塔区校级模拟）某商场将一种商品按原价的八折出售，此时商品的利润率是6%．已知这种商品的成本价为400元，则这种商品的原价是　　 元．
【答案】530．
【分析】设这种商品的原价是x元，利用利润＝售价﹣成本价，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：设这种商品的原价是x元，
根据题意得：0.8x﹣400＝400×6%，
解得：x＝530，
∴这种商品的原价是530元．
故答案为：530．
【题型7】方案选择类问题
（2024秋 新乡期末）“天下无双圣境，世界第一仙山”的老君山，是河南洛阳5A级著名旅游景区．某旅行社准备组织游客游览老君山．游览门票票价为130元/人，经营方为旅行社推出两种优惠方案．
方案一：所有门票一律九折；
方案二：如果人数超过100人，则超出人数的票价打七折．
（1）若游客为x（x＞100）人，则方案一的费用为　 元，方案二的费用　　 元；
（2）①旅行社准备租车送游客去老君山，如果单独租用60座的客车若干辆，则刚好坐满；若单独租用45座客车，则需多租2辆，且余15个空座位，求该旅行社共有多少名游客游览老君山．（司机不占用客车座位数）
②在①的条件下，旅行社采用哪种优惠方案购买门票更省钱？
【答案】（1）117x，（91x+3900）；
（2）①该旅行社共有300名游客游览老君山；②旅行社采用方案二购买门票更省钱．
【分析】（1）根据题意列出代数式即可；
（2）设旅行社租用60座的客车a辆，根据题意列出方程60a＝45（a+2）﹣15，然后求出a的值，再代入求解即可；
②求出两种方案的费用，比较大小即可．
【解答】解：（1）方案一的费用为：130x×0.9＝117x（元），
方案二的费用为：100×130+（x﹣100）×130×0.7＝91x+3900（元），
故答案为：117x，（91x+3900）；
（2）①设旅行社租用60座的客车a辆，
由题意，得60a＝45（a+2）﹣15，
整理得，15a＝75，
解得a＝5，
所以游览老君山的游客为60×5＝300（名），
答：该旅行社共有300名游客游览老君山；
②在①的条件下：方案一的费用为117x＝117×300＝35100（元），
方案二的费用为91x+3900＝91×3900＝31200（元），
因为31200＜35100，
所以旅行社采用方案二购买门票更省钱，
答：旅行社采用方案二购买门票更省钱．
方法点拨 常见方案决策问题的解题策略： （1）根据题中的数量关系设未知数． （2）列出各方案的式子． （3）算出每种方案需要的费用（或利润）． （4）根据计算结果比较大小，确定最优方案．
【变式1】　（2024秋 顺义区期末）某食品加工厂计划到草莓种植基地购买一批草莓，种植基地对购买量在1200千克（含1200千克）以上的有两种销售方案，方案一：每千克25元，由基地送货上门；方案二：每千克22元，由食品加工厂自己运回，已知该食品加工厂租车从基地到工厂的运输费为4200元．
（1）食品加工厂购买多少千克草莓时，选择两种购买方案所需的费用相同？
（2）如果食品加工厂计划购买2500千克草莓，选择哪种方案省钱？为什么？
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）设食品加工厂购买x千克草莓时，选择两种购买方案所需的费用相同，根据种植基地给出的两种促销方案，结合选择两种购买方案所需的费用相同，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论；
（2）求出购买2500千克草莓时选择两种方案所需费用，比较后即可得出结论．
【解答】解：（1）设食品加工厂购买x千克草莓时，选择两种购买方案所需的费用相同，
根据题意得：25x＝22x+4200，
解得：x＝1400．
答：食品加工厂购买1400千克草莓时，选择两种购买方案所需的费用相同；
（2）选择方案二省钱，理由如下：
选择方案一所需费用为25×2500＝62500（元）；
选择方案二所需费用为22×2500+4200＝59200（元）．
∵62500＞59200，
∴选择方案二省钱．
【变式2】　（2024秋 泸县期末）为发展校园足球运动，某校决定购买一批足球运动装备，市场调查发现：甲、乙两商场以同样的价格出售同种品牌的足球队服和足球，已知每套队服比每个足球多50元，两套队服与三个足球的费用相等．
（1）求每套队服和每个足球的价格是多少？
（2）经洽谈，甲商场优惠方案是：每购买十套队服，送一个足球；乙商场优惠方案是：若购买队服超过80套，则购买足球打八折．若该校购买100套队服和a个足球（其中a≥10且为整数）．
①请用含a的式子表示：
甲商场所花的费用　　 ；
乙商场所花的费用　　 ；
当购买的足球数a为何值时在两家商场购买所花的费用一样？
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）设每个足球的定价是x元，则每套队服是（x+50）元，根据两套队服与三个足球的费用相等列出方程，解方程即可；
（2）根据甲、乙两商场的优惠方案即可求解；
【解答】解：（1）设每个足球的定价是x元，则每套队服是（x+50）元，根据题意得
2（x+50）＝3x，
解得x＝100，
x+50＝150．
答：每套队服150元，每个足球100元；
（2）到甲商场购买所花的费用为：150×100+100（a）＝100a+14000（元），
到乙商场购买所花的费用为：150×100+0.8×100 a＝80a+15000（元）；
两家商场购买所花的费用一样时，100a+14000＝80a+15000，
解得a＝50，
答：购买的足球数a为50时在两家商场购买所花的费用一样．
故答案为100a+14000，
【变式3】　（2025春 衡南县校级月考）某中学准备组织七年级学生看电影《我和我的祖国》，由各班班长负责买票，票价每张20元．七（1）班班长问售票员买团体票是否可以优惠，售票员说：“50人以上的团体票有两种优惠方案，方案一：全体人员可打八折；方案二：若打九折，有7人可免票．”
（1）七（2）班有61名学生，选择哪种方案更省钱？
（2）七（1）班班长思考一会儿说：“我们班有50人以上，无论选择哪种方案，要付的钱是一样的．”你知道七（1）班有多少名学生吗？
【答案】（1）七（2）班班长应选择方案二；
（2）七（1）班有 63人．
【分析】（1）根据题意分别计算出两种方案的费用，选择费用较少的即可；
（2）假设七（1）班有x人，根据两种方案价钱相同求出x的值即可．
【解答】解：（1）方案一：61×20×0.8＝976（元），
方案二：（61﹣7）×0.9×20＝972（元），
因为 972＜976，
故七（2）班班长应选择方案二；
（2）假设七（1）班有x人，根据题意列一元一次方程得，
x×20×0.8＝（x﹣7）×0.9×20，
整理得，2x＝126，
解得x＝63．
答：七（1）班有 63人．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑