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22.2二次函数与一元二次方程
第 1课时 二次函数与一元二次方程 (1)
基础巩固提优
1.(2025·广西钦州期中)已知抛物线 与x轴交于点A(1,0),B(-3,0),则关于x的方程 的解是（ ）.
2.已知二次函数 的图象与x轴有交点，则k 的取值范围是（ ）.
且k≠0
且k≠0
3.分类讨论思想已知函数 的图象与坐标轴恰有两个公共点，则实数m 的值为 .
4.若二次函数 的图象经过点(1，0)，则关于x 的一元二次方程 的根为 .
5.(2025·福建南平期中)已知二次函数 (m是常数).
(1)求证：不论m为何值，该函数的图象与x轴没有公共点.
(2)把该函数的图象沿 y 轴向下平移多少个单位长度后，顶点在x轴上
思维拓展提优
6.(2023·衡阳中考)已知m>n>0,若关于x 的方程 的解为 关于x的方程 的解为x ， 则下列结论正确的是（ ）.
A. x C. x 7.(2025·浙江台州路桥区期中)二次函数 bx+c(a≠0)的图象如图所示，则下列正确的是( ).
A. a<0 B. b<0
C. c<0
8.(2024·徐州中考)在平面直角坐标系中，将二次函数 y=(x-2023)(x-2024)+5的图象向下平移5个单位长度，所得抛物线与x轴有两个公共点 P,Q,则PQ= .
9.把二次函数 的图象向上平移1个单位长度，再向右平移3 个单位长度，如果平移后所得抛物线与坐标轴有且只有一个公共点，那么m 应满足条件： .
10.中考新考法 新定义问题 规定：如果两个函数的图象关于 y 轴对称，那么称这两个函数互为“Y函数”.例如:函数y=x+3与y=-x+3互为“Y函数”.若函数 k—3的图象与x轴只有一个交点，则它的“Y函数”图象与x轴的交点坐标为 .
11.(浙江宁波鄞州中学大讲堂自主招生)设m，n为正整数，且m≠2，如果对一切实数t，二次函数y= 的图象与x轴的两个交点间的距离不小于|2t+n|，求m，n的值.
12.(山东滨州惠民自主招生)已知抛物线
(1)求证：此抛物线与x轴必有两个不同的交点；
(2)若此抛物线与直线y=x-3m+3的一个交点在y轴上，求m的值.
延伸探究提优
13.中考新考法 整点存在性问题 在平面直角坐标系中，若点的横坐标、纵坐标都为整数，则称这样的点为整点.设函数 6a)x-4a+4(实数a 为常数)的图象为图象T.
(1)求证：无论a 取什么实数，图象 T 与x轴总有公共点.
(2)是否存在整数a，使图象 T 与x轴的公共点中有整点 若存在，求所有整数a 的值；若不存在，请说明理由.
14.整体思想(2024·云南中考)已知抛物线 bx-1的对称轴是直线 设m 是抛物线 与 x 轴交点的横坐标，记
(1)求b 的值;
(2)比较M与 的大小.
第 2课时 二次函数与一元二次方程(2)
基础巩固提优
1.如图,点A(2.18,-0.51),B(2.68,0.54)在二次函数 的图象上，则方程 的一个近似值可能是（ ）.
A. 2.18 B. 2.68 C. - 0.51 D. 2.45
2.教材P46例·变式 小颖用计算器探索方程 bx+c=0的根，作出如图所示的图象，并求得一个近似根x=-3.4，则方程的另一个近似根(精确到0.1)为 .
3.可以用如下方法求方程 的实数根的范围：
利用函数 的图象可知，当x=0时,y<0,当x=-1时,y>0,所以方程有一个根在-1和0之间.
(1)参考上面的方法，求方程 0的另一个根在哪两个连续整数之间；
(2)若方程 有一个根在0 和1之间，求c 的取值范围.
思维拓展提优
4.(2024·甘孜州中考)二次函数 0)的图象如图所示，给出下列结论：①c<0； ③当-1A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③
5.(2024·达州模拟)如图所示是抛物线 bx+c(a≠0)的部分图象,其顶点坐标为(1,n),且与x轴的一个交点在点(3,0)和(4,0)之间,则下列结论:①a-b+c>0;②3a+c>0; ；④一元二次方程。 n+1没有实数根.其中正确的结论个数是（ ）.
A. 1 B.2 C. 3 D.4
6.如表是二次函数 的自变量x与函数值y的对应关系，则一元二次方程 的一个解x 的取值范围是 .
x 6.1 6.2 6.3 6.4
-0.3 -0.1 0.2 0.4
7.(湖北黄冈自主招生)已知 当1≤m≤3时，y<0恒成立，那么实数x的取值范围是
8.如图，抛物线 的顶点为C(1,4),且与y 轴交于点 D(0,3),与x 轴交于A,B两点.
(1)求此抛物线的解析式.
(2)若直线 BD 的解析式为y= mx+n,请直接写出不等式 的解集.
(3)在第一象限的抛物线上是否存在一个点 P，使得四边形ABPD 的面积等于 10 若存在，请求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由.
9.(2025·安徽合肥 45 中期中改编)已知抛物线 y= 经过A(3,0),对称轴是直线x=1,点B(n-1,y ),C(2n+3,y )两点在抛物线上.
(1)求抛物线的解析式；
(2)若B,C两点在直线x=1的两侧,且y >y ，请直接写出n的取值范围.
延伸探究提优
10.中考新考法 函数图象和性质探究某班“数学兴趣小组”对函数 的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整.
(1)自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值列表如下：
x … -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 …
y -5 0 3 154 4 3 4 154 m 0 一5 …
其中,m= ;
(2)根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中，直接画出该函数的图象；
(3)观察函数图象，写出一条该函数的性质: ;
(4)已知函数y=-x+4的图象如图所示，结合你所画的函数图象.直接写出方程· 2|x|+3=-x+4的解.(保留一位小数,误差不超过0.2)
22.2二次函数与一元二次方程
第1课时 二次函数与一元二次方程(1)
1. C
2. B [解析]∵二次函数 的图象与x轴有交点， 且k≠0,
解得 且k≠0.故选B.
归纳总结 抛物线. 和x 轴的交点个数：当 时，抛物线与x轴有2个交点；当△= 时，抛物线与x轴有1个交点；当 4ac<0时，抛物线与x 轴没有交点.
3.1或 [解析]当m=0时,y=-1,
切勿忽略对该种情况的讨论与坐标轴只有一个交点，不符合题意；
当m≠0时,∵函数 的图象与坐标轴恰有两个公共点，∴有以下两种情况：
①过坐标原点,m-1=0,解得m=1;
②与x，y轴各一个交点， 解得m=0(舍去)或
综上所述，m的值为1或
易错警示 函数的图象与坐标轴恰有两个公共点个数，需对函数分情况讨论，另外，抛物线与坐标轴恰有两个公共点也要分类讨论，否则易出错.
5.
∴一元二次方程 没有实数解，即不论m为何值，该函数的图象与x轴没有公共点.
(2)将二次函数 化成顶点式，得y=
∵函数向下平移后，顶点在x 轴上，
∴平移后得到二次函数 的图象，它的顶点坐标是(m，0)，∴把该函数的图象沿 y轴向下平移3个单位长度后，顶点在x轴上.
6. B [解析]关于x的方程 的解为抛物线 与直线y=m的交点的横坐标，关于x的方程. 的解为抛物线 3与直线y=n的交点的横坐标，如图：
由图可知， 故选 B.
7. B[解析]由题意，得抛物线开口向上，且与y轴交于正半轴,∴a>0,c>0,故 A,C错误.又对称轴是直线 x= 故 B正确.∵抛物线与x轴有两个不同的交点，. ,故D错误.故选 B.
8.1 [解析]将二次函数y=(x-2023)(x-2024)+5的图象向下平移5个单位长度，所得抛物线的解析式为 y=(x-2023)(x-2024),令y=(x-2023)(x-2024)=0,则x-2023=0或x-2024=0,
解得x=2023或2024,∴PQ=2024-2023=1.
9. m>3 [解析]∵把二次函数 m-4的图象向上平移1个单位长度，再向右平移3个单位长度，∴平移后所得抛物线的解析式为y=(x+2- ∵平移后所得抛物线与坐标轴有且只有一个公共点,∴△=4-4(m-2)<0,∴m>3.
10.(3,0)或(4,0) [解析]当k=0时,函数解析式为 y=-x-3，它的“Y函数”解析式为y=x-3，它们的图象与x轴都只有一个交点，∴它的“Y函数”图象与x轴的交点坐标为(3,0);
当k≠0时，此函数为二次函数，若二次函数 (k-1)x+k-3的图象与x轴只有一个交点，则二次函数的顶点在x 轴上，即 解得
k=-1，∴二次函数的解析式为 ∴它的“Y函数”解析式为 4) ,令y=0,则 解得x=4,∴二次函数的“Y函数”图象与x轴的交点坐标为(4，0).
综上，它的“Y函数”图象与x 轴的交点坐标为(3，0)或(4,0).
11.因为一元二次方程 的两根分别为 mt和-3，所以二次函数 的图象与x轴的两个交点间的距离为|mt+3|.
由题意,得| mt+3|≥|2t+n|,即( 即
由题意，知 ，且上式对一切实数t恒成立，
∵m,n为正整数, 或
12.(1)令y=0, ∴方程有两个不相等的实数根，∴原抛物线与x轴必有两个不同的交点.
(2)令x=0,根据题意,有 解得m=-3或m=1.
13.(1)当4a+2=0,即 时，函数解析式为y=12x+6,令y=0,得 此时函数 6a)x-4a+4(实数a为常数)的图象与x轴有交点;
当 时， 为二次函数，
∴函数. 4(实数a 为常数)的图象与x轴有交点.
综上所述，无论a取什么实数，图象 T与x轴总有公共点.
(2)存在整数a，使图象 T与x轴的公共点中有整点.理由如下：
当 时，不符合题意；
不要忽视此种情况的存在
当 时，在 中,令y=0,得 解得 或 是整数,∴当2a+1是6的因数时, 是整数，
∴2a+1=-6或2a+1=-3或2a+1=-2或2a+1=-1或2a+1=1或2a+1=2或2a+1=3或2a+1=6,
解得 或(a=-2或 或a=-1或a=0或 或a=1或
∵a是整数,∴a=-2或a=-1或a=0或a=1.
思路引导 (1)分一次函数和二次函数两种情况分别证明函数图象 T 与x轴总有交点即可；(2)明确整点的定义是正确解答的前提，解答时分当 时和当 时讨论.
14.(1)∵抛物线 的对称轴是直线 解得b=-3.
(2)∵m是抛物线 与x轴交点的横坐标， 33m +10m=33(3m+1)+10m=99m+33+10m=109m+33,
由 可得
当 时， 即
当 时， 即
综上，当 时， 当 时，
第2课时 二次函数与一元二次方程(2)
1. D [解析]∵图象上有两点分别为A(2.18,-0.51),B(2.68,0.54),∴当x=2.18时,y=-0.51;当x=2.68时,y=0.54,∴当y=0时,2.182. x=1.4
3.(1)利用函数 的图象可知，当x=2时,y<0,当x=3时,y>0,所以方程的另一个根在2和3之间.
(2)∵函数 的图象的对称轴为直线x=1，方程 有一个根在0和1之间，
解得04. D [解析]∵函数图象与y轴交于负半轴,∴当x=0时,y=c<0,故①正确.∵函数的图象过点(-1,0),(3,0),∴a-b+c=0,且9a+3b+c=0,∴8a+4b=0.∴b=-2a,∴对称轴是直线 故②正确.∵x=-1或x=3时,y=0,且抛物线. 开口向上，∴当-15. D[解析]∵抛物线顶点坐标为(1，n)，∴抛物线对称轴为直线x=1.∵图象与x轴的一个交点在(3,0),(4,0)之间,∴图象与 x 轴另一交点在(-1,0),(-2,0)之间,∴x=-1时,y>0,即a-b+c>0,故①正确,符合题意.∵抛物线的对称轴为直线 时,y=3a+c>0,故②正确,符合题意.∵抛物线顶点坐标为(1，n)， 有两个相等实数根，. n)，故③正确，符合题意.∵ 的最大函数值为 没有实数根，故④正确，符合题意.故选 D.
6.6.3[解析]∵1≤m≤3,y<0,∴当m=3时, 解得 当m=1时, 解得-38.(1)设抛物线的解析式为.
代入D(0,3),得 ,解得a=-1,∴y=
此抛物线的解析式为
(2)令y=0,则 解得
∴A(-1,0),B(3,0).
∵D(0,3),
∴不等式 的解集为0(3)不存在.理由如下：
假设存在一个点 P，使得四边形ABPD 的面积等于10.
过P 点作 PE⊥AB 于E,交 DB 于 F,连接 PD,PB,如图，
∵A(-1,0),B(3,0),D(0,3),
∴AB=4,OD=3,
∵四边形 ABPD 的面积等于10,
把B,D的坐标代入y= mx+n,得 解得
∴直线 BD 的解析式为y=-x+3.
设 ,则F(x,-x+3),
∴PF=(-x +2x+3)-(-x+3)=-x +3x,
3x)·(3-x)=4,
整理，得
∴不存在这样的点 P，使得四边形 ABPD 的面积等于10.
知识拓展二次函数 (a,b,c 是常数,a≠0)与不等式的关系：①函数值y与某个数值m之间的不等关系，一般要转化成关于x的不等式，解不等式求得自变量x的取值范围；②利用两个函数图象在平面直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解，也可把两个函数解析式列成不等式求解.
9.(1)由题可得 解得
∴二次函数的解析式为
(2)若点 B 在对称轴直线x=1的左侧，点C 在对称轴直线x=1的右侧时，
由题意可得 解得-1若点C在对称轴直线x=1的左侧，点B 在对称轴直线x=1的右侧时，
由题意可得 不等式组无解.
综上所述,-110.(1)3 [解析]把x=2代入函数 中，得y=-4+4+3=3,∴m=3.
(2)描点，连线得出函数图象如图：
(3)函数图象关于y轴对称(答案不唯一)
(4)由图象可知方程 的解为
素养考向 本题主要运用了数形结合的核心素养.数形结合就是把两者结合起来考虑问题，充分利用代数、几何各自的优势，数形互化，共同解决问题.

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