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母题变式提优(二) 二次函数图象上的交点问题
母题学方法1 确定图象临界状态
(1)根据已知条件画出确定的图象；(2)将直线在坐标系中上下平移，找到符合题意的临界位置(常见位置：
①抛物线的顶点；②图象的交点；③与抛物线的切点)；(3)联立直线与抛物线的解析式得到一元二次方程，根据△求解；(4)临界位置之间的部分即为满足题意的部分.
1.如图,已知抛物线c 的顶点为A(-1,4),与y轴的交点为D(0,3).
(1)请直接写出c 的解析式；
(2)若直线l :y=x+m与c 仅有唯一的交点，求m 的值；
(3)若抛物线 c 关于 y 轴对称的抛物线记作c ，平行于x轴的直线记作l :y=n.试结合图象回答：当n为何值时，l 与c 和c 共有：①两个交点；②三个交点；③四个交点.
子题练思维
变式1.1 (2025·陕西宝鸡期中)如图,抛物线 y= 与x轴交于点A 和点B(4,0),与 y轴交于点C(0,4),点 E 在抛物线上.
(1)求抛物线的解析式；
(2)点 E 在第一象限内,过点 E 作 EF∥y 轴,交BC 于点 F,作EH∥x轴,交抛物线于点 H,点 H在点E 的左侧，以线段 EF，EH 为邻边作矩形EFGH,当矩形 EFGH 的周长为11时,求线段EH 的长.
变式1.2 (2025·河北保定期中)如图,抛物线 y= 与x轴交于点A 和点B(4，0),与 y 轴交于点 C,对称轴为直线 x =3,OC=4OA.
(1)求抛物线的解析式；
(2)P为直线BC 下方抛物线上一动点，过点 P作y轴的平行线与直线BC 交于点Q.嘉嘉说：当点 P 与点A 重合时，PQ长最大；琪琪说：当点 P的横坐标为1时，△PBC 的面积为6.请选择其中一人的说法进行说理.
母题学方法2 端点值代入法
(1)确定由抛物线和线段所在直线的解析式得到的方程；(2)抛物线与线段 AB 仅有一个交点C 时的情况(以开口向上为例)：①如图(1)，满足条件△=0，且 ;②如图(2),满足条件△>0,且x=xB时， 时， ③如图(3)，满足条件△>0,且x=xB时, 时，
2.在平面直角坐标系xOy 中，二次函数 bx+c 的图象经过点 A(0,-4)和B(-2,2).
(1)求c 的值，并用含 a 的式子表示b；
(2)当-2(3)直线AB 上有一点C(m,5),将点 C 向右平移4个单位长度，得到点 D，若抛物线与线段CD 只有一个公共点，求a 的取值范围.
子题练思维
变式2.1已知抛物线 0)与x 轴交于A,B 两点(点 A 在点B 左侧),与y轴交于点C，顶点为点 D.
(1)抛物线的对称轴为 ，点A 的坐标为 ;
(2)已知点 M(2,-4),N(1,-4),连接 MN所得的线段与该抛物线有交点，直接写出 m 的取值范围.
变式2.2如图，点A，B为x轴上的点，点C为y 轴上一点，OA=OC=6，对称轴为直线x=-2的抛物线经过A,B,C三点.
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点 F 在对称轴上运动，将线段 BC 绕着点 F逆时针方向旋转 90°后得到线段 B C ，当点 B 与C 恰有一点落在抛物线上时，求点 F 的坐标.
1.(1)∵抛物线c 的顶点为A(-1,4),
∴设抛物线c 的解析式为. 把D(0,3)代入. ,得3=a+4,∴a=-1,∴抛物线c 的解析式为. 即
(2)由 得
∵直线l :y=x+m与c 仅有唯一的交点,
∴△=9-4m+12=0,解得
(3)∵抛物线c 关于y轴对称的抛物线记作c ，
∴抛物线c 的顶点坐标为(1,4),与y轴的交点为(0,3),
∴抛物线c 的解析式为.
∴①当直线l 过抛物线c 的顶点(-1，4)和抛物线c 的顶点(1,4)时,即n=4时,l 与c 和c 共有两个交点.
②当直线l 过点 D(0,3)时,即n=3时,l 与c 和c 共有三个交点.
③当3变式1.1 (1)∵抛物线图象经过点 B(4,0)和C(0,4), 解得
∴抛物线的解析式为
(2)设直线 BC 的解析式为y= kx+4,则0=4k+4,解得k=-1,∴直线BC的解析式为y=-x+4.
设 且0∵抛物线的对称轴为直线
.
依题意，得
解得x=5(舍去)或x=3,∴EH=2×3-2=4.
变式1.2 (1)∵抛物线与x轴交点A 和点B(4,0),对称轴为直线x=3,∴A(2,0),∴OA=2.
∵OC=4OA,∴OC=8,∴C(0,8).
由题意可得 解得
∴抛物线的解析式为
(2)选择嘉嘉.
设直线 BC 的解析式为y= mx+n.
由题意可得 解得
∴直线 BC 的解析式为y=-2x+8.
设点 P 的横坐标为k，则P(k,k -6k+8),Q(k,-2k+8),
∴当x=2时,PQ长最大,此时P(2,0),与点A 重合,
∴当点 P 与点A 重合时，PQ长最大.
选择琪琪.
设直线BC 的解析式为y= mx+n.把B(4,0),C(0,8)代入.y= mx+n,得 解得
∴直线 BC 的解析为y=-2x+8.
由题意可得点 P，Q的横坐标为1，
将x=1代入. ,得y=1-6+8=3,∴P(1,3),
将x=1代入y=-2x+8,得y=-2+8=6,
∴Q(1,6),∴PQ=6-3=3,
2.(1)把点 A(0,-4)和B(-2,2)分别代入 c中,得c=-4,4a-2b+c=2,∴b=2a-3.
(2)当a<0时，依题意得抛物线的对称轴需满足
解得
当a>0时，依题意得抛物线的对称轴需满足 解得
∴a 的取值范围是 或
(3)设直线AB 的表达式为y= kx+n,
则 解得
故直线AB解析式为y=-3x-4.
把C(m,5)代入,得m=-3,∴C(-3,5),由平移得 D(1,5).
①当a>0时，若抛物线与线段 CD 只有一个公共点，如图(1)
当x=1时,y=3a-7,
则抛物线上的点(1，3a-7)在点D 的下方，∴3a-7<5,解得a<4,∴0②当a<0时，若抛物线的顶点在线段CD上，
则抛物线与线段只有一个公共点，如图(2)，
即
解得 或
综上，a 的取值范围是0变式2.1 (1)直线x=1 (-1,0) [解析]抛物线的对称轴为直线
令
解得x=3或-1,
∴点 A,B 的坐标分别为(-1,0),(3,0).
(2)当抛物线过点 M时,4m-4m-3m=-4,解得
当抛物线过点(1,-4)时,m-2m-3m=-4,解得m=1.
∴m的取值范围为
变式2.2(1)由题意，得抛物线与x 轴交于A，B两点，与y轴交于点C,OA=OC=6,对称轴是直线x=-2,
∴A(-6,0),C(0,6),B(2,0).
设抛物线解析式为. ,将A,B 点的坐标代入，得 解得
∴抛物线解析式为
(2)如图,设点 F(-2,t).则点B 逆时针方向旋转90°后的坐标为 ，点C绕点 F 逆时针方向旋转90°后的坐标为
当B (t-2,t+4)在抛物线上时,
化简得 解得
时,F(-2,2),t =-4时,F(-2,-4).
经检验，此时点C 不在抛物线上.
当C (t-8,t+2)在抛物线上时, 2(t-8)+6,化简得 解得
∴当 时,F(-2,4),当t =6时,F(-2,6).
经检验，此时点 B 不在抛物线上.
综上,满足题意的点 F 的坐标为(-2,2),(-2,-4),(-2,4),(-2,6).

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