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专题提优特训7 二次函数 的图象和性质
题型1 把二次函数. 化成顶点式
1.(2025·北京房山区期末)将二次函数. 化成 的形式为（ ）.
2.(2025·陕西西安西咸新区期末)将二次函数 4x-7化为顶点式，下列结果正确的是（ ）.
3.(2025·江苏宿迁期末)二次函数 的顶点坐标是 .
题型2画二次函数 的图象
4.利用描点法画二次函数 的图象，列表如下：
x … -1 0 1 2 3
y -1 m -5 -1 n
(1)填空:表中m= ,n= ;
(2)在如图所示的平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象.
5.(2024·福建福州高新区实验中学月考)已知二次函数
(1)用配方法求函数图象顶点坐标、对称轴，并写出图象的开口方向；
(2)在所给网格中建立平面直角坐标系并直接画出此函数的图象.
题型3二次函数 的性质
6.已知二次函数 的y与x的部分对应值如下表，则下列判断中正确的是（ ）.
x … -1 0 1 3
y -3 1 3 1
A.抛物线开口向上
B.抛物线与 y 轴交于负半轴
C.当x大于1.5时，y随着x的增大而减小
D. 当x=4时,y>0
7.关于抛物线 下列说法错误的是（ ）.
A. 当a=-1时,对称轴是y轴
B.当a=2时，经过坐标原点O
C. 不论a 为何值,都过定点(1,-2)
D. a>0时,对称轴在 y 轴的左侧
题型4 已知二次函数图象上对称的两点求对称轴
8.已知抛物线 经过(-1,n)和(2,n)两点,则m+n的值为( ).
A. - 2 B. 0 C. 1 D. 2
9.已知二次函数 与x轴的两个交点坐标分别为A(-2,0)和B(3,0),则b的值为 .
10.若抛物线 经过点A(0,-3),B(2,-3),C(-2,5),则该抛物线上纵坐标为5 的另一个点 D 的坐标是 .
题型5 用待定系数法求二次函数解析式
11.(2025·湖北黄冈期中)已知二次函数 bx+c(a≠0)的y与x的部分对应值如表:
x … -3 -1 1 3
y … -3 0 1 0
(1)求这个二次函数解析式；
(2)在平面直角坐标系中画出这个函数图象；
(3)当x的取值范围为 时,y>-3.
12.(2025·陕西西安期末)若二次函数 bx+1(a≠0)的图象经过A(1,0),B(2,1)两点，求该二次函数的解析式.
题型6 二次函数的平移
13.(2025·浙江宁波镇海区期末)将抛物线 6x+5先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到的抛物线的函数解析式为( ).
14.(2025·北京密云区期末)已知抛物线
(1)求抛物线的顶点坐标、对称轴；
(2)抛物线 可以由抛物线 经过平移得到，任写出一种平移方法.
15.(2025·上海杨浦区一模改编)已知抛物线 bx+c(a≠0)经过点 A(0,3),点 B(4,3),点 C(1,0).
(1)求此抛物线的解析式.
(2)将上述抛物线平移，使它的顶点移动到点(-2，2)的位置，那么该如何平移
1. B 2. A 3.(3,-2)
4.(1)—4—1 [解析]∵二次函数为 ∴令x=0,y=-4,∴m=-4;令 -1,∴n=-1.
(2)描出五个点(-1,-1),(0,-4),(1,-5),(2,-4),(3,-1),
画出图象如图所示：
该函数图象的顶点坐标为(2，-4)，对称轴是直线x=2，图象的开口向上.
∴当x=6时,y=0,当x=-2时,y=0.
令x=0,y=-3,令x=4,y=-3.
∴该函数过点(-2,0),(6,0),(0,-3),(4,-3),(2,-4).
画出函数图象如图所示.
6. C[解析]A.由表可知，随着x的增大，y先增大后减小，∴抛物线开口向下，故本选项错误；B.∵x=0时,y=1,∴抛物线与y轴交于正半轴，故本选项错误；C.∵当x=0时,y=1,当x=3时,y=1,∴对称轴为直线 ∵抛物线开口向下，∴当x大于1.5时，y随着x的增大而减小，故本选项正确；D.根据对称性，当x=4时与x=-1时的函数值相同，即y=-3<0，故本选项错误.故选C.
7. D [解析]A.∵抛物线
∴当a=-1时，对称轴是直线 即y轴，故选项 A 正确，不符合题意；B.当(a=2时, 3x过点(0,0),故选项B正确,不符合题意;C.当x=1时,y=-2，此时解析式中的a正好可以消掉，故选项C正确，不符合题意；D.抛物线的对称轴是直线 当.a>0时， 对称轴在y轴右侧，故选项D错误，符合题意.故选 D.
8. B[解析]由抛物线过点(-1,n)和(2,n)可得抛物线的对称轴为直线 ,将(-1,n)代入. 得n=1+1-1=1,∴m+n=0.故选 B.
9.-1
10.(4,5) [解析]∵抛物线 经过点A(0,-3),B(2,-3),∴其对称轴为 设D(x,5),∵点C(-2,5)在此抛物线上, 解得x=4,∴D(4,5).
11.(1)由表格知二次函数图象与x轴的两个交点，故可用交点式求解析式.
设二次函数的解析式为y=a(x+1)(x-3),把(1,1)代入得1=a×2×(-2),解得 ∴二次函数的解析式为 即
(2)画出函数图象如图所示.
(3)-3-3.
12.由题知，因为二次函数 的图象经过A(1,0),B(2,1)两点,
所以 解得
所以二次函数的解析式为
13. D [解析]∵ ∴将抛物线 先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度得到的抛物线对应的函数解析式为y=(x- 即 故选 D.
14.(1)因为
所以抛物线的顶点坐标为(2，-5)，对称轴为直线x=2.
(2)抛物线 可以由抛物线 先向右平移2个单位长度，再向下平移5个单位长度得到(答案不唯一).→结合“上加下减，左加右减”的平移法则
15.(1)∵抛物线 经过点A(0,3),点B(4,3),点C(1,0), 解得
∴该抛物线的解析式为
∴抛物线的顶点为(2,-1).
要将顶点移动到点(-2，2)的位置，则抛物线应向左平移4个单位长度，再向上平移3个单位长度.(答案不唯一)

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