22.1.4 二次函数的图象和性质 (2) 同步提优训练(含答案)2025-2026学年人教版九年级数学上册

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22.1.4 二次函数的图象和性质 (2) 同步提优训练(含答案)2025-2026学年人教版九年级数学上册

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22.1.4二次函数 的图象和性质 (2)
基础巩固提优
1.(2025·浙江杭州期中)二次函数 的图象如图所示,则点(a,b+c)位于( ).
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
2.二次函数 的图象如图所示,则一次函数 y=ax+b的图象一定不经过( ).
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
3.已知抛物线的顶点为(-1,-3),与y 轴的交点为(0,-5),则此抛物线的解析式是 .
4.(2025·浙江金华义乌绣湖中学月考)设a,b是常数,且b>0,抛物线 为图中四个图象之一,则a 的值为 .
5.(2025·广东广州期中)如图,抛物线与x轴交于点 A(-1,0)和 B,与y轴交于点 C,下列结论:
①abc<0;②2a+b<0;
③4a-2b+c>0;④3a+c>0.
正确的是 (写编号).
6.(2025·广东惠山期中)如图,已知二次函数 y= 的图象经过点A(-3,0),B(1,0),C(0,3).
(1)求二次函数的解析式;
(2)判断点 P(-2,3)是否在该二次函数的图象上,如果在,请求出△ABP 的面积;如果不在,试说明理由.
思维拓展提优
7.教材P39探究·拓展在“探索函数 bx+c 的系数a,b,c 与图象的关系”活动中,老师给出了如图所示的平面直角坐标系中的四个点:A(0,2),B(1,0),C(3,1),D(2,3).同学们探索了经过这四个点中的三个点的二次函数图象,发现这些图象对应的函数解析式各不相同,其中 a 的值最大为( ).
A. B. C. D.
8.(2024·东营中考)已知抛物线 (a≠0)的图象如图所示,则下列结论正确的是( ).
A. abc<0
B. a-b=0
C. 3a-c=0
(m为任意实数)
9.(2024·苏州中考)二次函数. 的图象过点A(0,m),B(1,-m),C(2,n),D(3,—m),其中m,n 为常数,则 的值为 .
10.(2025·山东东营期中)如图,抛物线 经过点A(-3,0),点 B 在抛物线上,CB∥x轴,且AB 平分∠CAO,则此抛物线的解析式是 .
11.在平面直角坐标系中,点A(m,n)为抛物线 上一动点,当012.如图,二次函数与一次函数的图象交于顶点A(-4,-1)和点 B(-2,3),一次函数的图象与y轴交于点C.
(1)求二次函数的解析式.
(2)y轴上是否存在点 P 使△PAB 的面积为3 若存在,请求出点 P 的坐标;若不存在,请说明理由.
13.(2024·舟山三模)已知一次函数 y=x-5 的图象与x轴,y轴分别交于点A,B.将点 A 向左平移4 个单位,得到点 A′,且点 A′恰好在二次函数 (a,b.是常数,a≠0)图象的对称轴上.
(1)用含a 的代数式表示b;
(2)求证:二次函数与一次函数图象交于一个定点,并求出该点的坐标;
(3)若二次函数图象与线段 AB 恰有一个公共点,结合函数图象,求a 的取值范围.
14.中考新考法 存在性问题 如图,抛物线 bx+c 经过点A(-1,0),点 B(2,-3),与y 轴交于点C,抛物线的顶点为 D.
(1)求抛物线的解析式.
(2)抛物线上是否存在点 P,使△PBC 的面积是△BCD 面积的4倍 若存在,请直接写出点 P 的坐标;若不存在,请说明理由.
延伸探究提优
15. 分类讨论思想(2023·南充中考) 如图(1),抛物线y= 与x 轴交于A(-1,0),B(3,0)两点,与y轴交于点C.
(1)求抛物线的解析式;
(2)点 P 在抛物线上,点 Q 在x轴上,以 B,C,P,Q为顶点的四边形为平行四边形,求点 P 的坐标;
(3)如图(2),抛物线顶点为D,对称轴与x轴交于点 E,过点 K(1,3)的直线(直线 KD 除外)与抛物线交于G,H 两点,直线 DG,DH分别交x轴于点M,N.试探究 EM·EN 是否为定值,若是,求出该定值;若不是,说明理由.
中考提分新题
16.中考新考法 定值问题探究 (2024·宿迁中考)如图(1),已知抛物线 与x轴交于两点O(0,0),A(2,0),将抛物线y 向右平移两个单位长度,得到抛物线 y .点P 是抛物线y 在第四象限内一点,连接PA 并延长,交抛物线y 于点 Q.
(1)求抛物线y 的表达式;
(2)设点 P 的横坐标为 xp,点Q 的横坐标为xQ,求xQ-xp的值;
(3)如图(2),若抛物线 与抛物线 交于点C,过点 C 作直线MN,分别交抛物线 y 和 y 于点 M,N(M,N均不与点C 重合),设点 M 的横坐标为m,点 N 的横坐标为n,试判断|m-n|是否为定值.若是,直接写出这个定值;若不是,请说明理由.
1. B [解析]∵二次函数图象开口向下,∴a<0.∵对称轴在y轴的右侧,∴b>0.∵二次函数的图象与y轴的正半轴有交点,∴c>0,∴b+c>0,∴(a,b+c)在第二象限.故选 B.
知识拓展 抛物线图象与系数的关系,其中 a 决定抛物线的开口方向;a与b 同号对称轴在 y轴左边,a与b 异号对称轴在 y轴右边;c的符号决定抛物线与y轴的交点在正半轴或负半轴;抛物线与x 轴的交点个数与根的判别式的正负有关,此外还可以在抛物线图象上找出特殊点对应函数值的正负来进行判断.
2. C[解析]由二次函数图象,可得 ∴y=ax+b的图象过第一、二、四象限,不过第三象限.故选 C.
[解析]由题意可设 将(0,-5)代入,得a-3=-5,解得a=-2,则抛物线解析式为 。
4.-1 [解析]∵题图(1)和题图(2)表示 y=0时,有1和-1两个根,代入表达式能得出b=-b,即b=0,不合题意,∴排除前两个图象.∵第三个图象中ca>0,又 ∴b<0,与已知矛盾,排除,∴抛物线 5a-6的图象是第四个图,由图象可知,抛物线经过原点(0, ,解得a=-1或6.∵a<0,∴a=-1.
5.③④ [解析]∵该抛物线开口向上,对称轴在y 轴右侧,与y轴相交于负半轴,
∴a>0,b<0,c<0,∴abc>0,故①不正确;
∵对称轴为直线 故②不正确;由图可知,当x=-2时,y=4a-2b+c>0,故③正确;由图可知,当x=-1时,y=a-b+c=0,∵2a+b>0,∴2a>-b.∴a+2a+c>a-b+c,即3a+c>0,故④正确.综上所述,正确的有③④.
6.(1)设抛物线解析式为y=a(x+3)(x-1),把C(0,3)代入,得3=a×3×(-1),解得a=-1,∴抛物线解析式为y=-(x+3)(x-1),即
(2)当x=-2时,y=-4+4+3=3,
∴点 P(-2,3)在该二次函数的图象上.
∵A(-3,0),B(1,0),P(-2,3),
∴△ABP 的面积
7. A[解析]由图象知,经过A,B,D三点的二次函数图象开口向上,a>0;经过A,B,C三点的二次函数图象开口向上,a>0;经过B,C,D三点的二次函数图象开口向下,a<0;经过A,D,C三点的二次函数图象开口向下,a<0.即只需比较图象经过A,B,D三点的二次函数的a值和图象经过A,B,C三点的二次函数的a值即可.
设图象经过A,B,C三点的二次函数的解析式为y = ,将A(0,2),B(1,0),C(3,1)代入,
得 解得
设图象经过A,B,D三点的二次函数的解析式为y = ,将A(0,2),B(1,0),D(2,3)代入,
得 解得
∴a 的最大值为 .故选A.
思路引导 比较任意三个点组成的二次函数中的a 值时,先比较开口方向,若开口向下,则a<0,只需把开口向上的二次函数解析式求出即可.
8. D [解析]由函数图象可知,a<0,b<0,c>0,所以 abc>0.故A选项不符合题意.因为抛物线经过点(-3,0)和(1,0),所以抛物线的对称轴为直线x=-1,则 所以2a-b=0.故B选项不符合题意.因为抛物线过点(1,0),所以a+b+c=0.将b=2a代入a+b+c=0得,a+2a+c=0,所以3a+c=0.故C选项不符合题意.因为抛物线与x轴的交点坐标为(-3,0)和(1,0),所以抛物线的对称轴为直线 又因为抛物线开口向下,所以当x=-1时,函数取得最大值a-b+c,所以对于抛物线上的任意一点(横坐标为m),总有 b+c,即 故D选项符合题意.故选 D.
知识拓展 二次函数图象与系数的关系:二次函数y= :①二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小.当a>0时,抛物线开口向上;当a<0时,抛物线开口向下.|a|还可以决定开口大小,|a|越大,开口就越小;②一次项系数b和二次项系数a 共同决定对称轴的位置.当a 与b 同号(即ab>0)时,对称轴在 y 轴左侧;当a 与b 异号(即ab<0)时,对称轴在 y 轴右侧(简称:左同右异);③常数项c 决定抛物线与 y轴的交点,抛物线与 y轴交于点(0,c).
[解析]将A(0,m),B(1,-m),D(3,-m)代入 得 把(C(2,n)代入 得
[解析]在 中,令x=0,得y=4,∴C(0,4),即OC=4.∵点A 的坐标为(-3,0),∴OA =3.在 Rt△AOC 中,由勾股定理,得 轴,∴∠CBA=∠BAO.∵AB平分∠CAO,∴∠CAB=∠BAO,∴∠CAB=∠CBA,∴BC=AC=5.
∵CB∥x轴,∴B(5,4).把A,B 两点坐标代入 bx+4中,得 解得
∴此抛物线的解析式为
11.012.(1)∵二次函数的顶点为A(-4,-1),
∴设二次函数的解析式为
∵二次函数的图象经过 解得a=1,∴二次函数的解析式为
(2)设直线 AB 的解析式为
把A(-4,-1)和B(-2,3)代入,
得 解得
∴一次函数的解析式为y =2x+7.
由一次函数 可知C(0,7),
设P(0,n),∴PC=|n-7|,
∴|n-7|=3,∴n=4或110,∴P(0,4)或P(0,10).
解题通法 用待定系数法求二次函数的解析式:在利用待定系数法求二次函数解析式时,要根据题目给定的条件,选择恰当的方法设出解析式,从而代入数值求解.一般地,当已知抛物线上三点时,常选择一般式,用待定系数法列三元一次方程组来求解;当已知抛物线的顶点或对称轴时,常设其解析式为顶点式来求解;当已知抛物线与x轴有两个交点时,可选择设其解析式为交点式来求解.
13.(1)令y=0,则x=5,∴A(5,0),
∴将点A 向左平移4个单位,得到点 A′(1,0).
∵点A′恰好在二次函数 (a,b是常数,a≠0)图象的对称轴上,
(2)∵二次函数必过定点(0,-3),且二次函数的对称轴是直线x=1,∴二次函数也过定点(2,-3).
当x=2时,一次函数的函数值恰好也是-3,∴二次函数与一次函数必定交于一个定点,该点的坐标为(2,-3).
(3)①当a<0时,∵二次函数的对称轴为直线x=1,抛物线与y轴交于点(0,-3),一次函数与y轴交于点(0,-5),且两函数必定交于一个定点为(2,-3),
∴由图象可得,a<0时,均符合题意;
②当a>0时,由图象可得,当x=5时,y<0,或者二次函数与线段AB 只有一个交点(2,-3)时,符合题意.
当x=5时,y=25a-10a-3<0,解得
当二次函数与线段AB 只有一个交点(2,-3)时,
由 得 则△=0,解得
综上所述,a的取值范围是a<0或 或
一题多解(2)由 得 +2=0,化简得(ax-1)(x-2)=0,解得 ∴二次函数与一次函数必定交于一个定点,该点的坐标为(2,-3).
14.(1)∵抛物线 经过点A(-1,0),点 B(2,-3), 解得
∴抛物线的解析式为
(2)存在.理由如下:
.点D的坐标为(1,-4).
令x=0,则y=-3,∴点C的坐标为(0,-3).
又点 B 的坐标为(2,-3),∴BC∥x轴,
设抛物线上的点 P 坐标为(
当 时,解得:
当 时,
当 时,
综上所述,点P 的坐标为( 或
解后反思 本题考查二次函数的性质,掌握待定系数法求函数解析式的方法,理解二次函数图象上点的坐标特征,利用方程思想解题是关键.
15.(1)由题意,得抛物线的解析式为y=a(x+1)(x-3)=
∴-3a=3,∴a=-1,
∴抛物线的解析式为.
(2)设点 P 的坐标为( 点Q的坐标为(x,0).当 BC 或BP 为对角线时,由中点坐标公式,得 2t+3,解得t=0(舍去)或2,∴点 P 的坐标为(2,3).
当BQ为对角线时,同理可得 解得 ∴点 P 的坐标为( 或 综上所述,点P 的坐标为(2,3)或( 或(1-
(3)EM·EN 是定值.理由如下:
由直线GH 过点 K(1,3),可设直线GH 的表达式为 y=k(x-1)+3,设点G,H 的坐标分别为 和(
联立y=k(x-1)+3和. 并整理,得x +(k-2)x-k=0,∴m+n=2-k, mn=-k.
.由点G,D的坐标易得直线GD 的表达式为y=-(m-1)(x-1)+4,令y=0,则 即点 则 同理可得 则
思路引导 (1)由待定系数法即可求解;(2)当BC 或 BP为对角线时,由中点坐标公式列出等式,即可求解;当BQ为对角线时,同理可解;(3)求出直线GD 的表达式为y=-(m-1)(x-1)+4,得到点 同理可得 即可求解.
16.(1)由题意,得
将抛物线y 向右平移两个单位长度得到抛物线 y ,则y 过点(2,0),(4,0),
(2)设点 ,直线 PA 的表达式为y=k(x-2),将点 P 的坐标代入,得
解得k=p,∴直线AP的表达式为y=p(x-2),
联立上式和抛物线y 的表达式,得 2),解得xQ=4+p或xQ=2(舍去),
(3)由(1)知 ∴M(m,m -2m),联立y ,y 得
解得 .点
由点 C,M的坐标,得直线 CM 的表达式为 y =
联立上式和y 的表达式,得
整理,得
则 即
∴n-m=6,∴|m-n|=6为定值.

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