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22.1.4二次函数 的图象和性质 (1)
基础巩固提优
1.教材P39练习·变式(2025·安徽亳州期中)已知抛物线 下列结论错误的是（ ）.
A.抛物线开口向上
B.抛物线的对称轴为直线x=2
C.抛物线的顶点坐标为(2，-1)
D.当x<2时，y随x的增大而增大
2.(2024·南通中考)将抛物线 向右平移3 个单位后得到新抛物线的顶点坐标为( ).
A. (-4,-1) B. (-4,2)
C. (2,1) D. (2,-2)
3.(2025·安徽亳州期中)将抛物线 向右平移4个单位长度，再向上平移4个单位长度，所得抛物线的函数解析式是 .
4.已知关于x 的二次函数 (a<0),当x>m时,y随x 的增大而减小,则m 的取值范围是 .
5.(2025·浙江杭州期中)已知点A(x ,n),B(x ,n)是抛物线 上不同的两点，若点(x +x ，m)也在抛物线上，则m 的值为 .
6.已知二次函数 的图象经过点(1,2),顶点坐标为(-1,-2).
(1)求这个函数的解析式；
(2)试判断点(3，14)是否在此函数图象上.
思维拓展提优
7.(2025·北京十二中联合学校总校月考)在同一平面直角坐标系中，直线y=ax+1与二次函数y= 的图象可能是（ ）.
8.(2024·乐山中考)已知二次函数 x≤t-1),当x=-1时,函数取得最大值;当x=1时，函数取得最小值，则t 的取值范围是( ).
A. 0C. 2≤t≤4 D. t≥2
9.已知二次函数 的图象经过两个定点，则这两个定点的坐标为 .
10.已知二次函数 图象的顶点在第二象限，且过点(1，0)，若a+b的值为非零整数，则b的值为 .
11.(2024·上海普陀区期末)如图，抛物线 4x的顶点为 P，M为对称轴上一点，如果PM=OM,那么点 M 的坐标是 .
12.(2023·宁波中考)如图，已知二次函数 bx+c 图象经过点A(1,-2)和B(0,-5).
(1)求该二次函数的表达式及图象的顶点坐标；
(2)当y≤-2时，请根据图象直接写出x 的取值范围.
13.分类讨论思想(2024·北京中考)在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线
(1)当a=1时，求抛物线的顶点坐标；
(2)已知M(x ,y )和 N(x ,y )是抛物线上的两点.若对于 都有 求a的取值范围.
延伸探究提优
14.(2023·丽水中考)已知点(-m,0)和(3m,0)在二次函数 (a,b是常数，a≠0)的图象上.
(1)当m=-1时,求a 和b的值;
(2)若二次函数的图象经过点A(n，3)且点A不在坐标轴上，当-2(3)求证:
中考提分新题
15.数形结合思想(2024·淮安中考)二次函数 bx+c 的图象经过点A(0,8),顶点为 P.
(1)c= .
(2)当 时，
①若顶点 P 到x轴的距离为10,则b= .
②直线m 过点(0,2b)且垂直于 y轴,顶点 P到直线m 的距离为h.随着b的增大，h的值如何变化 请描述变化过程，并说明理由.
若二次函数图象交 x 轴于 B，C两点，点 B 坐标为(8,0),且△ABC 的面积不小于20，求a 的取值范围.
1. D[解析]抛物线a=1>0，抛物线开口向上，因此 A 选项正确，不符合题意；由解析式，得对称轴为直线x=2，因此B选项正确，不符合题意；由解析式，得当x=2时，y取最小值，最小值为-1，所以抛物线的顶点坐标为(2，-1)，因此C选项正确，不符合题意；因为抛物线开口向上，对称轴为直线x=2，因此当x<2时，y随x的增大而减小，因此 D选项错误，符合题意.故选 D.
2. D [解析]因为
所以抛物线 的顶点坐标为(-1,-2),所以将此抛物线向右平移3个单位长度后，所得新抛物线的顶点坐标为(2,-2).故选D.
[解析]` ∴抛物线向右平移4个单位长度，再向上平移4个单位长
度，所得抛物线的函数表达式是
4. m≥1 [解析]抛物线 a，对称轴为直线x=1，开口向下，x>1时，y随x的增大而减小.∵x>m时,y随x的增大而减小,∴m≥1.
5.4 [解析]∵A(x ,n),B(x ,n)是抛物线 4上不同的两点,∴A(x ,n)和B(x ,n)关于抛物线 y= 的对称轴对称， 点 ,即(-b,m)在抛物线上,∴m=
6.(1)由题意，得对称轴为直线 将点(-1,-2)代入函数,得y=a-b+c=-2,将点(1,2)代入函数,得a+b+c=2,解得a=1,b=2,c=-1.∴这个函数的解析式为
(2)当x=3时,. ∴(3,14)在此函数图象上.
7. C[解析]A.根据一次函数图象可知a<0，与y轴的交点不是(0，1)，故A 选项错误，不符合题意；B.根据二次函数的图象可知a<0，同时与y轴的交点是(0，1)，但是根据一次函数的图象可知a>0，故B选项错误，不符合题意；C.根据图象可知两个函数图象与 y 轴的交点坐标为(0，1)，同时也得到a>0，故C选项正确，符合题意；D.根据一次函数图象可知a<0，根据二次函数的图象可知a>0，故D选项错误，不符合题意.故选 C.
方法技巧假设其中一个图象正确，然后根据图象得到系数的取值范围，然后根据系数的取值范围确定另一个图象的位置，看是否和题图中图象相符即可求解.
8. C [解析]因为
所以抛物线的对称轴为直线x=1，且顶点坐标为(1，-1).因为1-(-1)=3-1,所以x=-1和x=3时的函数值相等.因为-1≤x≤t-1,当x=-1时,函数取得最大值,所以t-1≤3.因为当x=1时，函数取得最小值，所以t-1≥1,所以 1≤t-1≤3,解得2≤t≤4.故选 C.
9.(0,3),(2,3) [解析]∵
n是不等于0的任意数， 2x=0,y-3=0,解得x=0,y=3或x=2,y=3,∴抛物线经过定点(0,3),(2,3).
10. 或 [解析]依题意知。 即 b+2=0,∴b>0,且b=a+2,a+b=a+a+2=2a+2,∴a+2>0,∴-2或
11. (2, [解析]如图,由题意,设OM=PM=x.
∵抛物线 2) +4,∴P(2,4).
∴OG=2,PG=4.∴MG=PG-PM=4-x.
∵在 Rt△MGO 中,(
12.(1)把A(1,一2)和B(0,一5)代入 得 解得
∴二次函数的解析式为
∴顶点坐标为(-1,-6).
(2)如图,过点 A 作AC∥x 轴交抛物线于点C.
∵点 A(1,-2)关于对称轴直线x=-1的对称点 C 的坐标为(-3,-2),
∴当y≤-2时，x的取值范围是-3≤x≤1.
13.(1)将a=1 代入,得
∴顶点坐标为(1,-1).
(2)由题意，得
①当a>0时，
或 解得 或
∵3≤x ≤4,∴3a<3或-a>4,∴a<1或a<-4.
∵a>0,∴0②当a<0时,
或 解得
解得a<-4.
综上所述,0一题多解 问题(2)还可利用数形结合的思想解答.
①当a>0 时,如图(1),
M(x ,y )和IN(x ,y )都在对称轴右侧,此时 y 随x 增大而增大.
②当a<0时,如图(2),
M(x ,y )在对称轴左侧,N(x ,y )在对称轴右侧,点M(3a，y )关于对称轴的对称点 在对称轴右侧，在对称轴右侧，y随x 增大而减小.
综上所述,014.(1)当m=-1时,二次函数. 图象过点(1,0)和(-3,0), 解得 ∴a的值是-1,b的值是-2.
图象过点(-m,0)和(3m,0),
∴抛物线的对称轴为直线x=m.
的图象过点A(n,3),(0,3),且点A 不在坐标轴上，∴抛物线的对称轴也为
(3)∵抛物线对称轴为直线x=m，
把(-m,0),(3m,0)分别代入 得
②
①×3+②,得
思路引导 (1)利用待定系数法可得a，b的值；(2)根据图象上点的坐标特征，可知抛物线的对称轴为直线x=m，由已知图象过点A，且点A 不在坐标轴上，得到m，n间的关系，再根据m的范围求出n的范围；(3)由对称轴得到a，b，m间的关系，即b=-2am，由图象上点的坐标特征得到 即可证明出结论.
15.(1)8
[解析]当 时，抛物线的解析式为 ∵顶点 P 到x轴的距离为10，
解得
②顶点 P 的纵坐标为
则
令h=0，则b=2或-4，函数h的大致图象如图：
从图象看,当b>2或-4(3)由题意知
∴BC≥5.设抛物线的对称轴直线 与x轴交点为E，则
把B(8,0)和c=8代入 得64a+8b+8=0,∴b=-1-8a,
或
解得 或 且a≠0.

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