资源简介 22.1.3 二次函数 的图象和性质 (3)基础巩固提优1.(2023·沈阳中考)二次函数. 图象的顶点所在的象限是( ).A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限2.(2025·浙江宁波镇海区蛟川书院月考)已知抛物线 下列说法正确的是( ).A.开口向上B. 与y轴的交点为(0, )C.顶点坐标为((3, )D.当x<-4时,y 随x 的增大而增大3.(2024·凉山州中考)抛物线 经过(-2,y ),(0,y ),( ,y )三.点,则y ,y ,y 的大小关系正确的是( ).4.(2025·江苏苏州工业园区期中)将抛物线 先向上平移3个单位长度,再向左平移2个单位长度,所得新抛物线的函数关系式为 .5.实验班原时 已知抛物线 当x≥2时,y 随x的增大而减小,那么 h 的取值范围是 .6.(2024·滨州中考)将抛物线 先向右平移1个单位长度,再向上平移2个单位长度,则平移后抛物线的顶点坐标为 .7.教材P36例4·变式,某幢建筑物,从 米高的窗口 A 用水管向外喷水,喷的水流呈抛物线(抛物线所在平面与墙面垂直),如图,如果抛物线的最高点 M 离墙2米,离地面12米,求水流落地点 B 到墙的距离OB.思维拓展提优8.(2025·江苏苏州姑苏区振华中学期中)二次函数 y= 与一次函数y=cx+a在同一平面直角坐标系中的大致图象是( ).9.已知函数 若使 y=k成立的x的值恰好有3个,则k 的值为( ).A. 0 B. 1 C. 2 D. 310.(2025·安徽安庆四中期中)已知一条抛物线的形状与抛物线 形状相同,与另一条抛物线 的顶点坐标相同,这条抛物线的解析式为 .11.二次函数 的部分图象如图所示抛物线,则a+k= .12.如图,在平面直角坐标系中,点A 的坐标为(0,2),点 B 的坐标为(4,2).若抛物线y= (h,k 为常数)与线段 AB 交于C,D 两点,且 则 k 的值为 .13.(2025·安徽淮南期中)如图,抛物线 3(a 为常数且a≠0)与 y轴交于点A(0, ).(1)求该抛物线的解析式;(2)若直线 与抛物线有两个交点,交点的横坐标分别为x ,x ,当. 时,求k 的值.14.分类讨论思想(2025·浙江金华期中)已知点 P(m,n)在抛物线 (a为常数,a≠0)上.(1)若m=2,n=4,①求抛物线的解析式;②若点A(t-1,y ),B(t,y )在该二次函数的图象上,且点 A 在对称轴左侧,点B 在对称轴右侧,若y 15.已知函数 将该函数的图象记为图象W.(1)在如图所示的平面直角坐标系中画出该函数的图象W;(2)当y=1时,x= ;(3)若直线y=k与图象 W 有2个公共点,求k 的取值范围;(4)若直线y=k与图象 W 有4个公共点,求k 的取值范围.延伸探究提优16.将军饮马模型(2025·广东中山一中期中)[问题背景]已知抛物线 (a,b为常数,a>0)的顶点为 P,对称轴与x 轴相交于点D,点M(m,1)在抛物线上,m>1,O 为坐标原点.[构建联系](1)如图(1),当a=1,与 y 轴交于点(0,-1)时,求该抛物线顶点 P 的坐标;(2)如图(2),当 时,求a的值;[深入探究](3)如图(3),若N 是抛物线上的点,且点 N在第四象限,∠MDN=90°,DM=DN,点 E在线段 MN 上,点 F 在线段 DN 上,NE+ 当DE+MF 取得最小值为 时,求a 的值.中考提分新题17.(2024·通辽中考)如图,在平面直角坐标系中,直线 与x轴,y轴分别交于点C,D,抛物线 (k为常数)经过点 D 且交x轴于A,B 两点.(1)求抛物线表示的函数解析式;(2)若点 P 为抛物线的顶点,连接AD,DP,CP.求四边形ACPD 的面积.二次函数 的图象和性质(3)1. B2. D [解析]A. a=-1<0,抛物线开口向下,故选项 A不符合题意;B.抛物线与y轴的交点坐标是 故选项B不符合题意;C.顶点坐标为(-3, ),故选项C不符合题意;D.当x<-4时,y随x的增大而增大,故选项D符合题意.故选 D.3. D [解析]∵抛物线 开口向上,对称轴是直线 x=1,∴当x<1时,y 随x 的增大而减小. 关于直线 x=1的对称点是 且 故选 D.[解析]将抛物线 先向上平移3个单位长度,再向左平移2个单位长度,所得新抛物线的函数关系式为. 即5.h≥-2 [解析]∵ ,对称轴为直线x=-h.∵a=-2<0,∴抛物线开口向下,∴在对称轴右侧,y随x的增大而减小.∵当x≥2时,y随x的增大而减小,∴-h≤2,解得h≥-2.6.(1,2) [解析]将抛物线. 先向右平移1个单位长度,再向上平移2个单位长度后抛物线解析式为 y= ∴平移后抛物线的顶点坐标为(1,2).7.设抛物线解析式为 ,把点.A(0, 代入抛物线解析式,得 解得故抛物线解析式为令y=0,则解得. (舍去),x =5,即可得OB=5米.故水流落地点 B 到墙的距离OB 为5米.8. A [解析]A.一次函数y=cx+a的图象过第一、二、四象限,a>0,c<0,二次函数. 的图象开口向上,顶点为(3,c)在第四象限,a>0,c<0,故A正确;B.一次函数y=cx+a的图象与y轴交于负半轴,a<0,与二次函数 的图象开口向上,即a>0相矛盾,故B错误;C.二次函数 的对称轴为直线x=3,应在y轴右侧,故C错误;D.一次函数y= cx+a的图象过第一、二、三象限,c>0,与抛物线. c的顶点(3,c)在第四象限,c<0相矛盾,故D 错误.故选 A.9. D [解析]函数的图象如图,根据图象知道当y=3时,对应成立的x的值恰好有三个,∴k=3.故选 D.解题关键 利用二次函数的图象解决交点问题,关键是把解方程的问题转换为根据函数图象找交点的问题.[解析]∵一条抛物线的形状与抛物线 形状相同,∴a=±2.设抛物线的解析式为 由 可知顶点坐标是(—1,—2),∴此抛物线顶点坐标是(—1,—2),∴抛物线的解析式为11.3[解析]由图象,知抛物线经过点(0,3),12. [解析]∵点A 的坐标为(0,2),点 B 的坐标为(4,2),∴AB=4.∵抛物线 (h,k为常数)与线段 AB交于C,D两点,且 设点 C 的坐标为(c,2),则点 D 的坐标为((c+ 解得13.(1)∵抛物线 (a为常数且a≠0)与y轴交于点∴该抛物线的解析式为(2)∵直线 与抛物线有两个交点, 整理,得解得 或k=2,∴k的值为2或14.(1)①将点 P(2,4)代入 得a+3=4,解得a=1,∴抛物线的解析式为.②抛物线 的对称轴为直线x=1,根据题意,得 解得(2)当a>0时,y≥3,与题意不符,∴a<0,∴抛物线 开口向下,对称轴为直线x=1,∴当x≤1时,y 随x的增大而增大,当x≥1时,y 随x的增大而减小,∴当m=-1时,n=-2.将P(-1,-2)代入得-2=4a+3,解得15.(1)对于函数当x=0时,当x=1时,当x=-1时,当x=3时,当x=-3时,如图,在平面直角坐标系中画出该函数的图象W.(2)0或2或-2 [解析]将y=1代入 2(x≥0),得: ,解得. 2;将y=1代入 得1=-(x+ 解得 (舍去).综上所述,当y=1时,x=0或2或-2.(3)由图,知当直线y=k与直线y=2重合时,直线y=k与图象 W 有2个公共点,此时k=2;当直线 y=k 在直线y=1下方时,直线 y=k 与图象 W也有2个公共点,此时k<1.综上所述,k的取值范围为k=2或k<1.(4)由图,知当直线y=k在直线y=2与直线y=1之间时,直线y=k 与图象 W 有4个公共点,此时116.(1)∵a=1,与y轴交于点(0,-1),,解得k=-2,∴该抛物线的解析式为.∴该抛物线顶点 P 的坐标为(1,-2).(2)如图(1),过点 M(m,1)作 MH⊥x轴,垂足为 H,m>1,则∠MHO=90°,HM=1,OH=m.在 Rt△MOH 中,由勾股定理,得解得 (不合题意,舍去),∴点M 的坐标为( ,1).抛物线的对称轴为直线x=1..∵对称轴与x轴相交于点 D,∴OD=1,∠ODP=90°.在 Rt△OPD 中, 由勾股定理,得OD +解得 或 (不合题意,舍去).由a>0,得该抛物线顶点 P 的坐标为∴该抛物线的解析式为∵点M( ,1)在该抛物线上,解得a=10.(3)如图(2),过点 M(m,1)作 MH⊥x轴,垂足为 H,m>1,则∠MHO=90°,HM=1,OH=m,∴DH=OH-OD=m-1,∴在Rt△DMH 中,I过点 N作NK⊥x轴,垂足为K,则∠DKN=90°,在△NDK 和△DMH 中,∴△NDK≌△DMH(AAS),∴ DK = MH = 1, NK = DH =m-1,∴点 N 的坐标为(2,1-m).在 Rt△DMN 中,∠DMN=∠DNM=45°,即根据题意, 得ME=NF.在△DMN 的外部,作∠DNG=∠DME=45°,且 NG=DM,连接GM,得∠MNG=∠DNM+∠DNG=90°.在△GNF 和△DME中∴△GNF≌△DME(SAS),∴GF=DE,∴DE+MF=GF+MF≥GM,当满足条件的点 F 落在线段GM上时,DE+MF 取得最小值,即(在 Rt△GMN 中,(得解得 (舍去),∴点 M 的坐标为(3,1),点 N 的坐标为(2,-2).∵点M(3,1),N(2,-2)都在抛物线 上, 解得a=1,k=-3.名师点评 解二次函数与几何知识的综合应用这类问题时,关键是善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识,并注意挖掘题目中的一些隐含条件.解决本题需熟练掌握二次函数的性质、全等三角形的判定和性质等相关知识,灵活运用方程思想、分类讨论思想.17.(1)在 中,令x=0,得:y=3,∴D(0,3).∵抛物线 经过点D(0,3),解得k=4,∴抛物线表示的函数解析式为(2)如图,连接OP,在 中,令y=0,得x=2,∴C(2,0),OC=2.在 中,令y=0,得 3,解得x=6或x=-2,∴A(-2,0),OA=2.由 可得顶点 P 坐标为(2,4),故四边形ACPD 的面积为10. 展开更多...... 收起↑ 资源预览