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浙教版2025学年九年级上册数学第1章《二次函数》提高卷B（附答案）
本试卷满分100分，考试时间90分钟
选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
抛物线的顶点坐标为（ ）
B. C. D.
若二次函数（为常数）的图象经过原点，则的值为（ ）
-1 B. 1 C. -1或1 D. 0
若二次函数，当时，随的增大而减小，则的取值范围为（ ）
B. C. D.
已知二次函数的图象与坐标轴有且只有两个交点，则的值为（ ）
-2 B. -1 C. 0 D. 1
将抛物线先向左平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度后，得到的抛物线的解析式为（ ）
A. B. C. D.
如图，直线与抛物线交于两点，则关于的不等式
的解集为（ ）
B. C. D.
将抛物线绕它的顶点旋转，所得抛物线的解析式为（ ）
B. C. D.
设二次函数（为非零整数）的最大值为A,则A的最小值为（ ）
3 B. 4 C. 5 D. 6
如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴只有一个交点M，与平行于轴的直线交于A、B两点.若AB=6，则点M到直线的距离为（ ）
6 B. 7 C. 8 D. 9
已知函数，其中.若是方程的两个根，其中.则实数的大小关系为（ ）
B. C. D.
填空题(本大题有6小题，每小题3分，共18 分)
若二次函数的最小值为4，则的值为 .
若抛物线的顶点在第二象限，则的取值范围为 .
二次函数的图象关于轴对称的函数图象的解析式为 .
已知实数满足，则的最大值为 .
若关于的方程在内有解，设的最大值为，最小值为，则的值为 .
已知点A（2，4），B（0，1）.点M在抛物线y＝x2上运动，则MA＋MB的最小值为 .
三、计算题（本大题有8小题，共52分）
17. （本题6分）已知二次函数为常数）的图象经过点A(-2，5），对称轴为直线.
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）若将点B(1，7）先向上平移2个单位长度，再向左平移个单位长度后，恰好落在的图象上，求的值.
（本题6分）已知二次函数中的和满足下表：
求的值；
当时，求的取值范围.
（本题6分）某商店销售一种进价为20元/双的手套，经调查发现，该种手套每天的销售量（双）与销售单价（元）满足.设销售这种手套每天的利润为（元）.
求与之间的函数关系式；
当销售单价定为多少元时，每天的利润最大？最大利润为多少？
（本题6分）已知抛物线的对称轴为直线.
求证：；
(2)若关于的方程有一个根为4，求不等式的解集.
（本题6分）已知抛物线.
求证：该抛物线与轴有两个不同的交点；
若该抛物线与直线的一个交点在轴上，求的值.
（本题6分）如图，隧道横截面的下部是矩形，上部是半圆，周长为24.设截面积为，底部宽为.
求关于的函数表达式；
当底部宽为多少时，隧道的截面积最大（结果精确到0.01）
（本题8分）如图，抛物线交轴于点C，交轴于A、B两点(点A在点B的左侧）.
求A、B、C三点的坐标；
若点P为直线BC上方抛物线上的一个动点，当△BCP的面积最大时，求点P的坐标；
设点M是该抛物线对称轴上的一个动点，求△ACM周长最小时M点的坐标.
（本题8分）如图，二次函数的图象交轴于A(-1，0)、B(3，0)两点，交轴于点C，连接BC，动点P以每秒1个单位长度的速度从点A向点B运动，动点Q以每秒个单位长度的速度从点B向点C运动，点P、Q同时出发，连接PQ，当点Q到达点C时，点P、Q同时停止运动，设运动时间为t秒.
求二次函数的解析式；
如图1，当△BPQ为直角三角形，求t的值；
如图2，当t<2时，延长QP交轴于点M，在抛物线上是否存在一点N，使得PQ的中点恰好为MN的中点？若存在，求出点N的坐标与t的值；若不存在，请说明理由.
参考答案
选择题
B 解：∵抛物线的顶点式为，其顶点坐标为
，∴抛物线的顶点坐标为（-5，-6）.故选B.
A 解：把原点（0,0）代入，得.解得.∵，
..故选A。
C 解：∵抛物线开口向上，∴在对称轴的左侧，随的增大而减小.由题意可得当，即
时，随的增大而减小.故选C.
B 解：∵二次函数的图象与坐标轴有且只有两个交点，又∵二次函数的图象与轴有且只有1个交点，∴二次函数的图象与轴有且只有1个交点.∴.解得.故选B .
D 解：将抛物线先向左平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度后，得到的抛物线的解析式为：，即.故选D.
D 解：不等式的解集，就是直线在抛物线下方部分自变量取值范围.由图可得.故选D.
C 解：原抛物线的顶点坐标为（3，-1）.将原抛物线绕顶点旋转后得到的抛物线的顶点坐标不变，还是（3，-1），但二次项系数要变为相反数.∴所求抛物线的解析式为：
，即.故选C.
A 解：，当时，取得最大值，∴
A=.∵为非零整数，∴当1时，A取得最小值，最小值为1+2=3.故选A.
D 解：∵抛物线与轴只有一个交点M，∴..
，即.∴顶点M(）.设点M到直线的距离为，∵AB=6，
∴B(）.把点B(）代入得.故选D.
C 解：如图，∵抛物线与 轴两个交点的横坐标为,.将抛物线
向上平移2个单位长度后得到的抛物线为.∵是方程的两个根，∴抛物线与轴两个交点的横坐标为.
.故选C.
二、填空题
11. 解：∵二次函数的最小值为4，∴.解得.
12. 解：∵抛物线的顶点坐标为，又顶点在第二象限，∴
.解得.
解：∵可化为，∴原抛物线的顶点坐标为
.∴原抛物线关于轴对称的新抛物线的顶点坐标为，而新抛物线的二次项系数为原抛物线二次项系数的相反数∴新抛物线的解析式为：，即所求函数图象的解析式为.
4 解：，.设，则=
=.当时，取得最大值4.∴的最大值为4.
9 解：∵关于的方程在内有解，∴.
∵对称轴为直线，∴当时，取得最小值-4；当时，取得最大值：...
5 解：∵点M在抛物线上，∴可设点M.∵B∴MB=
.∴MB的长度就是点M到直线的距离.如图，过点M作
MG于点G，过点A作AH于点H，则MG=MB.∴MA+MB=MA+MGAGAH=4-(-1)=5.当A、M、G三点共线，且点G与点H重合时，MA+MB取得最小值，最小值为5.
三、解答题
17. 解：（1）由题意可得，解得.∴这个二次函数的表达式为.
(2)将点B（1,7）先向上平移2个单位长度，再向左平移个单位长度后得到点.∵点
在抛物线上，∴.解得.
18. 解：（1）由表格中间三列可知抛物线的对称轴为直线，∴点（0， 3）与点（4， ）关于对称轴对称.∴.
(2)∵抛物线的对称轴为直线，∴由表可知顶点坐标为（2， -1）.∴可设抛物线解析式为.把点（1，0）代入，得.解得.∴∵，∴当时，取得最小值-1；当时，取得最大值3.
∴的取值范围为：.
解：(1)由题意可得，即.
(2)由（1）知，即.
当时，取得最大值，最大值为200.
答：当销售单价定为30元时，每天的利润最大，最大利润为200元.
（1）证明：∵抛物线的对称轴为直线，...
（2）由（1）知，∴.∴方程可化为.设该方程的另一个根为，由韦达定理可得：.解得，.∴不等式可化为.即.解得或.
∴所求不等式的解集为或.
21. (1)证明：，∴该抛物线与轴有两个不同的交点；
（2）解：设抛物线与直线在轴上的交点为A(0，）.则.
（1）-（2）得.解得.
22. 解：（1）∵周长为24，设矩形的长为则，，
..
(2)当，即底部宽约为时，隧道的面积最大.
23. 解：(1)令，得.解得.∴A(-1，0)、B(3，0).令，得.
∴C(0，3).
(2)如图1，∵点P在抛物线上，∴可设,
则==.当时，取得最大值.此时，点P的坐标为.
(3)如图2∵点M在抛物线的对称轴上，又A、B两点关于对称轴对称，∴MA=MB.∵AC==
，BC=∴△ACM周长=AC+CM+MA=+CM+MB
+BC=.当B、C、M三点共线时，△ACM周长取得最小值.∵B(3，0)、C(0，3)，∴直线BC的解析式为.令，得.∴M(1，2）.
∴当△ACM周长最小时，点M的坐标为（1,2）.
24. 解：（1）把A(-1，0)、B(3,，0）代入得.解得.
∴二次函数的解析式为.
(2)由（1）知二次函数的解析式为.∴OC=0B=3.∴△BOC是等腰直角三角形.∴∠OBQ=.①如图1，当∠BQP=时，则BP=BQ。即.解得；②如图2，当∠QPB=时，则BQ=，即.解得,∴当△BPQ为直角三角形时，或.
(3)如图3，假设在抛物线上存在一点N，使得PQ的中点恰好为MN的中点（设为H),则可设点N.由题意可得.作QF⊥轴于点F，则0F=OB-BF=
BQ=×=...
设直线PQ的解析式为.则.解得.∴直线PQ的解析式为..
∵PQ的中点H恰好为MN的中点，.解得或.
∵，∴
∴当时，在抛物线存在点N(2，-3），使得PQ的中点恰好为MN的中点.
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