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(共20张PPT)
第4课时 方差的应用
6.1 平均数与方差
1．通过更为丰富的例子，让学生较为全面地理解方差及其在现实生活中的应用。
2．通过实例，让学生体会数据的离散程度在现实生活中广泛存在，应视情况分析方差或离差平方和对于问题的影响。
离差平方和
数据的离散程度
S=(x1-)2+(x2-)2+…+(xn-)2
方差
标准差
s2=[(x1-)2+(x2-)2+…+(xn-)2]
s=
试一试：如图是某一天A、B两地的气温变化图，请回答下列问题：
（1）不进行计算，说说A、B两地这一天气候的特点。
（2）分别计算这一天A、B两地气温的平均数和方差，与你刚才的
看法一致吗？
答：(1)A、B两地平均气温相近，但A地日温差较大，
B地日温差较小．
(2)A地平均气温20.42 ℃，方差7.76；
B地平均气温21.35 ℃，方差2.78．
思考 一组数据的方差越小，这组数据就越稳定，那么，是不是方差越小就表示这组数据越好呢？
议一议：某校从甲、乙两名优秀选手中选一名选手参加全市中学生运动会跳远比赛，该校预先对这两名选手测试了10次，测试成绩如下表：
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
选手甲的成绩（cm） 585 596 610 598 612 597 604 600 613 601
选手乙的成绩（cm） 613 618 580 574 618 593 585 590 598 624
（1）他们的平均成绩分别是多少？
（2）甲、乙这10次比赛成绩的方差分别是多少？
（3）这两名运动员的运动成绩各有什么特点？
（1）甲601.6 cm，乙599.3 cm.
（2）甲65.84，乙284.21.
（3）甲运动员成绩较稳定，因为其方差比较小；还可以说乙较有潜质，因为乙的最远成绩比甲的最远成绩好等. (答案不唯一，合理即可)
（4）历届比赛表明，成绩达到596cm就很可能夺冠，你认为为了夺冠应选谁参加这项比赛？如果历届比赛表明，成绩达到610cm就能打破记录，你认为为了打破记录应选谁参加这项比赛？
（4）在10次比赛中，甲运动员有9次超过596cm，而乙仅有5次，因此一般应选甲运动员参加这项比赛。
若要打破610cm的跳远记录，则一般应选乙运动员。
（1）在解决实际问题时，方差的作用是什么？
反映数据的波动大小。方差越大,数据的波动越大；
方差越小，数据的波动越小。
（2）运用方差解决实际问题的一般步骤是怎样的？
　　先计算样本数据平均数，当两组数据的平均数相等或相近时，再利用样本方差来估计总体数据的波动情况。
试一试：10个苹果的直径如图所示。
(1)若想把这10个苹果分成两组，使每组苹果的“个头”差不多，你想怎么分 说说你分组的理由。
(2)一般情况下，如果想把一组数据分成若干组，使每组组内的数据差距不大，且组与组之间的数据差别明显，那么你认为应遵循怎样的分组原则 与同伴进行交流。
（1）可以将直径较大的一组分为：81、80、80、78、76；直径较小的一组分为：76、75、75、70、69。理由是使两组数据整体水平相近。
（2）分组原则是先确定最大最小值及差值，再确定合适组距，保证每组数据个数大致相等并按序分组 。
在统计学里，分组的方法有很多，其中较常用的方法是使“组内离差平方和达到最小”。多组数据的组内离差平方和是指每组数据的离差平方和的和。
解：将10个数据由小到大排序：
65, 69, 70, 75, 76, 76, 78, 80, 80, 81。
把10个数据分成两组，共有9种情况：第一组1个数据{65}，第二组9个数据{69, …, 81}; 第一组2个数据{65, 69}, 第二组8个数据{70, …,81}; ……; 第一组9个数据{65, …, 80}, 第二组1个数据{81}。
例1 按照“组内离差平方和达到最小”的方法，把图中的10个苹果按直径大小分成两组。
以第2种分组情况为例，计算组内离差平方和。其中，第一组有2个数据{65，69}，这2个数据的平均数是67，故第一组数据的组内离差平方和 S1=(65－67) +(69－67) =8;第二组有 8个数据{70，75，76，76，78，80, 80，81}，这8个数据的平均数是77，故第二组数据的组内离差平方和:
S2 = (70 - 77) + (75 - 77) + …+ (81 - 77) = 90。
因此第 2 种分组情况的组内离差平方和S= S1＋S2=8+90= 98。
同理计算其他8种分组情况的组内离差平方和，结果如下：
分组情况 组内离差平方和
第一组1个，第二组9个 146.889
第一组2个，第二组8个 98
第一组3个，第二组7个 48
第一组4个，第二组6个 74.25
第一组5个，第二组5个 98
第一组6个，第二组4个 107.583
第一组7个，第二组3个 136.095
第一组8个，第二组2个 182.375
第一组9个，第二组1个 218
计算结果表明，第3种情况的组内离差平方和最小。因此把10个苹果按直径大小分成的两组是{65, 69, 70}, {75, 76, 76, 78, 80, 80, 81}。
1.已知一组数据的方差为4，现将每个数据都加上3，则新数据的方差为（ ）
A. 1 B. 4 C. 7 D. 16
2.下列哪种情况适合使用组内离差平方和最小的原理？（ ）
A. 比较两种药物的疗效 B. 将学生按成绩分组
C. 分析股票价格波动 D. 预测天气变化
B
C
3. 若一组数据 x1 + 1，x2 + 1，…，xn + 1 的方差为 1，则另一组数据 x1 + 2，x2 + 2，…，xn + 2 的方差是 ；数据 3x1 + 2，3x2 + 2，…，3xn + 2 的方差是 。
1
9
4. 为了从甲、乙两名学生中选择一人去参加电脑知识竞赛，在相同条件下对他们的电脑知识进行 10 次测验，成绩（单位：分）如下：
甲的成绩 76 84 90 84 81 87 88 81 85 84
乙的成绩 82 86 87 90 79 81 93 90 74 78
（1）填写下表：
同学 平均成绩 众数 方差 85 分以上的频率
甲 84 84 0.4
乙 84 34
90
0.5
14.4
（2）利用以上信息，请从不同的角度对甲、乙两名同学的成绩进行评价.
解：从众数看，甲成绩的众数为 84 分，乙成绩的众数是 90 分，乙的成绩比甲好；
从甲、乙的平均数看，平均数都是 84 分，两人成绩一样好；
从方差看，s2甲 = 14.4，s2乙 = 34，甲的成绩比乙相对稳定；
从频率看，甲 85 分以上的次数比乙少，乙的成绩比甲好.
5.为考查某品种小麦的长势，测量了8株麦苗的高（单位：cm），结果如下：21，21，22，23，23，24，25，25。按照“组内离差平方和达到最小”的方法，把这8个数据分成两组。
解：计算不同分组的组内离差平方和如下：
其中组内离差平方和最小的分组是{21，21，22}，{23，23，24，25，25}和{21，21，22，23，23},{24,25,25}.
方差
根据数据做决策
比较数据的稳定性
离差平方和
对数据进行分组

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