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九年级数学上学期第一次月考试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上 ）
1．下列图形是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．已知二次函数y＝﹣（x﹣1）2+3，则下列说法正确的是（　　）
A．二次函数图象开口向上 B．当x＝1时，函数有最大值是3
C．当x＝1时，函数有最小值是3 D．当x＞1时，y随x增大而增大
3．如图，在正方形ABCD中，，将边BC绕点B逆时针旋转至BC′，连接CC′，DC′，若∠CC′D＝90°，则线段CC′的长度为（　　）
A． B．2 C． D．4
（第3题） （第5题） （第8题）
4．抛物线y＝﹣2x2+1通过变换可以得到抛物线y＝﹣2（x+1）2+3，以下变换过程正确的是（　　）
A．先向右平移1个单位，再向上平移2个单位
B．先向左平移1个单位，再向下平移2个单位
C．先向右平移1个单位，再向下平移2个单位
D．先向左平移1个单位，再向上平移2个单位
5．如图，在等腰△ABC中，∠A＝120°，将△ABC绕点C逆时针旋转α（0°＜α＜90°）得到△CDE，当点A的对应点D落在BC上时，连接BE，则∠BED的度数是（　　）
A．30° B．45° C．55° D．75°
6．已知二次函数y＝ax2﹣2ax+a﹣4的图象与x轴的一个交点坐标是（3，0），则关于x的一元二次方程ax2﹣2ax+a﹣4＝0的两个实数根是（　　）
A．x1＝﹣1，x2＝3 B．x1＝1，x2＝3 C．x1＝﹣5，x2＝3 D．x1＝﹣7，x2＝3
7．如表记录了二次函数y＝ax2+bx+2（a≠0）中两个变量x与y的5组对应值，其中x1＜x2＜1，
x … ﹣5 x1 x2 1 3 …
y … m 0 2 0 m …
根据表中信息，当时，直线y＝k与该二次函数图象有两个公共点，则k的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
8．如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是矩形， 点A（3，0），C（0，2），将矩形OABC绕点O逆时针旋转90°，则旋转后点B的对应点坐标为（　　）
A．（﹣2，3） B．（﹣2，0） C．（0，3） D．（2，3）
9．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，那么下列结论正确的是（　　）
A．ac＜0
B．b＝2a
C．b2﹣4ac＜0
D．一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的近似解为x1≈﹣0.5，x2≈3.2
（第9题） （第10题）
10．如图，正方形ABCD的边长为4，∠BCM＝30°，点E是直线CM上一个动点，连接BE，线段BE绕点B顺时针旋转45°得到BF，连接DF，则线段DF长度的最小值等于（　　）
A．44 B．22 C．2 D．2
二、填空题（本大题共8小题，第11~12题每小题3分，第13~18题每小题4分，共30分.不需要写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
11．点A（4，5）和点B关于原点对称，则点B的坐标是 　 　．
12．如图，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转70°，得到△AED，连接BE，若AD∥BE，则∠CAE的度数为 　 　．
（第12题） （第14题） （第17题）
13．已知（﹣1，y1），（2，y2）在二次函数y＝x2﹣2x+m的图象上，比较y1　 　y2.（填＞、＜或＝）
14．如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，点E在折线BCD上运动，将AE绕点A顺时针旋转得到AF，旋转角等于∠BAC，连接CF．若时，则CF＝　 　．
15．汽车刹车后行驶的距离s（单位：m）关于行驶的时间t（单位：s）的函数关系是s＝15t﹣6t2，汽车刹车后到停下来前进了 　 　m．
16．已知函数y＝mx2+3mx+m﹣2的图象与坐标轴恰有两个公共点，则实数m的值为 　 　．
17．我们给出如下定义：在平面内，点到图形的距离是指这个点到图形上所有点的距离的最小值．在平面内有一个矩形ABCD，AB＝4，AD＝2，中心为O，在矩形外有一点P，OP＝3，当矩形绕着点O旋转时，则点P到矩形的距离d的取值范围为 　 　．
18．若实数a，b满足a+b2＝2b+1，则代数式a2﹣4a+2b2﹣4b﹣4的最小值为 　 　．
三、解答题（本大题共8小题，共90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（本小题满分10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝x2+bx+c的部分图象与x轴，y轴的交点分别为（1，0）和（0，﹣3）．
（1）求此二次函数的表达式；
（2）结合函数图象，当﹣2＜x＜1时，直接写出y的取值范围．
（第19题）
▲▲请在答题卡上解答▲▲
20．（本小题满分10分）如图，在边长均为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A，B，O均为格点（每个小正方形的顶点叫做格点）．
（1）作点A关于点O的对称点A1；
（2）连接A1B，将线段A1B绕点A1顺时针旋转90°得到线段A1B1，点B的对应点为B1，画出旋转后的线段A1B1；
（3）连接AB1，BB1，求出△ABB1的面积（直接写出结果即可）．
（第20题）
▲▲请在答题卡上解答▲▲
21．（本小题满分10分）已知二次函数y＝x2﹣2x﹣3．
（1）求该二次函数的顶点坐标；
（2）求该二次函数图象与x轴、y轴的交点；
（3）在平面直角坐标系xOy中，画出二次函数y＝x2﹣2x﹣3的图象；
（4）结合函数图象，直接写出当﹣1≤x≤2时，y的取值范围．
（第21题）
▲▲请在答题卡上解答▲▲
22．（本小题满分10分）某景观公园内人工湖里有一组小型喷泉，水柱从垂直于湖面的水枪喷出，若设距水枪水平距离为x米时水柱距离湖面高度为y米，y与x近似的满足函数关系y＝a（x﹣h）2+k（a＜0）．现测量出x与y的几组数据如下：
x（米） 0 1 2 3 4 ……
y（米） 1.75 3.0 3.75 4.0 3.75 ……
请解决以下问题：
（1）求出满足条件的函数关系式；
（2）身高1.75米的小明与水柱在同一平面中，设他到水枪的水平距离为m米（m≠0），画出图象，结合图象回答，若小明被水枪淋到m的取值范围．
（第22题）
▲▲请在答题卡上解答▲▲
23．（本小题满分12分）已知抛物线y＝ax2+bx（a＞0）．
（1）若抛物线经过点A（2，0），求抛物线的对称轴；
（2）已知抛物线上有四个点B（﹣1，y1），C（1，y2），D（3，y3），E（m，0），且2＜m＜4．比较y1，y2，y3的大小，并说明理由．
▲▲请在答题卡上解答▲▲
24．（本小题满分12分）某景区旅游商店以20元/kg的价格采购一款旅游食品加工后出售，销售价格不低于22元/kg，不高于45元/kg．经市场调查发现每天的销售量y（kg）与销售价格x（元/kg）之间的函数关系如图所示．
（1）求y关于x的函数表达式；
（2）当销售价格定为多少时，该商店销售这款食品每天获得的销售利润最大？最大销售利润是多少？【销售利润＝（销售价格﹣采购价格）×销售量】
（第24题）
▲▲请在答题卡上解答▲▲
25．（本小题满分13分）如图，四边形ABCD是正方形，以点A为中心，将线段AB顺时针旋转α（0°＜α＜90°），得到线段AE，连接DE，BE．
（1）求∠DEB的度数；
（2）过点B作BF⊥DE于点F，连接CF，依题意补全图形，用等式表示线段DE与CF的数量关系，并证明．
（第25题）
▲▲请在答题卡上解答▲▲
26．（本小题满分13分）如图，抛物线y1＝ax2﹣2x+c的图象与x轴的交点为A和B，与y轴交点为D（0，3），与直线y2＝﹣x﹣3交点为A和C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在直线y2＝﹣x﹣3上是否存在一点M，使得△ABM是等腰直角三角形，如果存在，求出点M的坐标，如果不存在，请说明理由；
（3）若点E是x轴上一个动点，把点E向下平移4个单位长度得到点F，点F向右平移4个单位长度得到点G，点G向上平移4个单位长度得到点H，若四边形EFGH与抛物线有公共点，请直接写出点E的横坐标xE的取值范围．
（第26题）
▲▲请在答题卡上解答▲▲
九年级数学上学期第一次月考试卷答案
1．D 2．B 3．D 4．D 5．B
6．A 7．C 8．A 9．A 10．B．
11．（﹣4，﹣5） 12． 15 13．＞ 14．或．
15． 16． 2或 17．3d≤2 18．﹣10．
19．解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c与x轴、y轴的交点分别为（1，0）和（0，﹣3），
得：，
解得：，
∴抛物线的表达式为：y＝x2+2x﹣3；
（2）由图象可知，抛物线得对称轴为x＝﹣1，
∴当﹣2＜x＜﹣1时，y随着x的增大而减小，当﹣1＜x＜1时，y随着x的增大而增大，
当x＝﹣2时，y＝4﹣4﹣3＝﹣3，
当x＝﹣1时，y＝1﹣2﹣3＝﹣4，
当x＝1时，y＝1+2﹣3＝0，
∴﹣4≤y＜0．
20．解：（1）如图所示，点A1即为所求；
（2）如图所示，线段A1B1即为所求；
（3）如图，连接AB1，BB1，
则S8×2＝8．
21．解：（1）y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴该二次函数图象的顶点坐标为（1，﹣4）；
（2）令x＝0，则y＝﹣3，
∴该二次函数图象与y轴的交点为（0，﹣3）；
令y＝0，则x2﹣2x﹣3＝0，
解得：x1＝3，x2＝1，
∴该二次函数图象与x轴的交点为（3，0）和（﹣1，0）；
（3）∵抛物线的对称轴为直线x＝1，
由五点法画函数简图，如图所示
（4）由函数图象可得：y＜0时，x的取值范围﹣1＜x＜3．
22．解：（1）由表中数据可知，h＝3，k＝4，
∴y与x的函数关系y＝a（x﹣3）2+4，
把（1，3）代入解析式得：3＝a（1﹣3）2+4，
解得a，
∴y与x的函数关系y（x﹣3）2+4；
（2）以水枪与湖面的交点为原点，水枪所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，
如图所示：
∵抛物线对称轴为直线x＝3，
∴和（0，1.75）对称的点为（6，1.75），
令y＝0，则（x﹣3）2+4＝0，
解得x1＝﹣1（舍去），x2＝7，
∴小明被水枪淋到m的取值范围为6≤m≤7．
23．解：（1）∵抛物线经过点A（2，0），
∴0＝4a+2b，即b＝﹣2a，
∴抛物线的对称轴为：，
∴抛物线的对称轴为x＝1；
（2）y1＞y3＞y2，理由如下：
∵抛物线过点E（m，0），
∴0＝am2+bm＝m（am+b），
∵2＜m＜4，
∴am+b＝0，即b＝﹣am，
∴抛物线对称轴为：，
∵a＞0，
∴抛物线开口向上，
∴当时，y随x的增大而减小，
当时，y随x的增大而增大，
即离对称轴越远的点，函数值越大，
由2＜m＜4可得，
∵﹣1离最远，其次是3，最后是1，
∴y1＞y3＞y2．
24．解：（1）当22≤x≤30时，设函数表达式为y＝kx+b，
将（22，48），（30，40）代入解析式得，，
解得，
∴函数表达式为：y＝﹣x+70；
当30＜x≤45时，设函数表达式为：y＝mx+n，
将（30，40），（45，10）代入解析式得，，
解得，
∴函数表达式为：y＝﹣2x+100，
综上，y与x的函数表达式为：y；
（2）设利润为w元，当22≤x≤30时，w＝（x﹣20）（﹣x+70）＝﹣x2+90x﹣1400＝﹣（x﹣45）2+625，
∵在22≤x≤30范围内，w随着x的增大而增大，
∴当x＝30时，w取得最大值为400；
当30＜x≤45时，w＝（x﹣20）（﹣2x+100）＝﹣2x2+140x﹣2000＝﹣2（x﹣35）2+450，
当x＝35时，w取得最大值为450；
∵450＞400，
∴当销售价格为35元/kg时，利润最大为450元．
25．解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD＝90°，AB＝AD，
∵将线段AB顺时针旋转α（0°＜α＜90°），得到线段AE，
∴∠EAB＝α，AB＝AE，
∴AE＝AD，∠EAD＝90°+α，
∴∠AED45°α，
∵AE＝AB，∠EAB＝α，
∴∠AEB90°α，
∴∠DEB＝∠AEB﹣∠AED＝（90°α）﹣（45°α）＝45°；
（2）补全图形如下，线段DE与CF的数量关系为DECF，
证明：过C作CG⊥CF交FD延长线于G，
∵BF⊥DE，
∴∠BFC+∠CFD＝90°，
∵CG⊥CF，
∴∠CFD+∠G＝90°，
∴∠BFC＝∠G，
∵∠BCD＝∠FCG＝90°，
∴∠BCF＝∠DCG，
∵BC＝CD，
∴△BCF≌△DCG（AAS），
∴BF＝DG，CF＝CG，
∴△FCG是等腰直角三角形，
∴FGCF，
由（2）知，∠DEB＝45°，
∴△BEF是等腰直角三角形，
∴EF＝BF，
∴EF＝DG，
∴EF+FD＝DG+FD，即DE＝FG，
∴DECF．
26．解：（1）∵抛物线与y轴交点为D（0，3），
∴c＝3，
令y＝0，则x＝﹣3，
∴A（﹣3，0），
将A（﹣3，0）代入y1＝ax2﹣2x+3，
∴9a+6+3＝0，
解得a＝﹣1，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）由题意A（﹣3，0），B（1，0），
当∠AMB＝90°时，M（﹣1，﹣2）．
当∠ABM＝90°时，M（1，﹣4）．
综上所述，满足条件的点M的坐标为（﹣1，﹣2）或（1，﹣4）；
（3）∵点E的横坐标xE，
∴E（xE，0），
由题可知，F（xE，﹣4），G（xE+4，﹣4），H（xE+4，0），
当F点在抛物线上时，﹣xE2﹣2xE+3＝﹣4，
解得xE＝﹣1+2或xE＝﹣1﹣2，
当G点在抛物线上时，﹣（xE+4）2﹣2（xE+4）+3＝﹣4，
解得xE＝﹣5+2或xE＝﹣5﹣2，
∴﹣5﹣2xE≤﹣1+2时，四边形EFGH与抛物线有公共点．

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