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2025年下期永州玉潭高级中学高三开学考试
数学
选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.已知集合A={x∈N|-x2+x+2≥0},则满足A∪B=A的集合B的个数为 (　　)
A.4　　　　B.8　　　　C.16　　　　D.32
2,设θ是第一象限角,则“”的 (　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
3．5弧度的角的终边所在的象限为（ ）．
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4．log5(log3(log2x))＝0，则等于（ ）
A． B．
C． D．
5,在正四面体ABCD中，点E，F，G分别为棱BC，CD，AC的中点，则异面直线AE，FG所成角的余弦值为(　　)
A. B.
C. D.
6,已知数列{an}和数列{bn}的通项公式分别为an=3n+1和bn=5n+1，若它们的公共项从小到大依次排列构成新数列{cn}，则满足不等式cn≤2 024的最大的整数n等于(　　)
A.134 B.135
C.136 D.137
7,已知a=ln 1.01，b=c=则(　　)
A.aC.c8．已知函数，若关于的方程有五个不等的实数解，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．已知集合，集合 ，则集合可以是（ ）
A． B．
C． D．
10,为了得到函数y=2cos 2x的图象，只要把函数y=2sin图象上所有的点(　　)
A.向左平移个单位长度
B.向右平移个单位长度
C.向左平移个单位长度
D.向右平移个单位长度
11,已知正数x,y,z满足5x=9y=15z,则 (　　)
A xz+2yz-2xy=0　　　　B.5x<9y<15z
C.xy<2z2　　　　D.9x+2y<16z
填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．不等式的解集是___________.
13.已知函数的一条对称轴为，当时，的最小值为，则的最大值为__________.
14.已知为拋物线的焦点，过点的直线与拋物线交于不同的两点，，拋物线在点处的切线分别为和，若和交于点，则的最小值为__________.
四，解答题：本题共5个小题，共77分。
15,如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝，∠ACD＝，AD＝，S为△ABC的面积，且2S＝－.
(1)求角B；
(2)若cos D＝，求四边形ABCD的周长．
16．如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，∠CBB1＝60°，AB＝BC＝2，AC＝AB1＝.
(1)证明：平面ACB1⊥平面BB1C1C；
(2)求二面角A-A1C1-B1的余弦值．
17,已知M，N分别为椭圆E：＝1(a＞b＞0)的左、右顶点，F为其右焦点，|FM|＝3|FN|，且点P在椭圆E上．
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)若过F的直线l与椭圆E交于A，B两点，且l与以MN为直径的圆交于C，D两点，证明：为定值．
18,某中学进行90周年校庆知识竞赛，参赛的同学需要从10道题中随机地抽取4道来回答，竞赛规则规定：每题回答正确得10分，回答不正确得－10分．
(1)已知甲同学每题回答正确的概率均为0.8，且各题回答正确与否相互之间没有影响，记甲的总得分为X，求X的期望和方差；
(2)已知乙同学能正确回答10道题中的6道，记乙的总得分为Y，求Y的分布列．
19,已知函数f (x)＝x－(a＋1)ln x－(a∈R)，g(x)＝x2＋ex－xex.
(1)当x∈[1，e]时，求f (x)的最小值；
(2)当a＜1时，若存在x1∈[e，e2]，使得对任意的x2∈[－2，0]，f (x1)＜g(x2)恒成立，求a的取值范围．
答案
一，选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.已知集合A={x∈N|-x2+x+2≥0},则满足A∪B=A的集合B的个数为 (　　)
A.4　　　　B.8　　　　C.16　　　　D.32
答案　B　
2,设θ是第一象限角,则“”的 (　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案　A　
3．5弧度的角的终边所在的象限为（ ）．
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【解析】
因为，所以5弧度的角的终边在第四象限．
故选：D．
4．log5(log3(log2x))＝0，则等于（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
∵log5(log3(log2x))＝0，∴log3(log2x)＝1，
∴log2x＝3，∴x＝23＝8，∴
故选：C.
5,在正四面体ABCD中，点E，F，G分别为棱BC，CD，AC的中点，则异面直线AE，FG所成角的余弦值为(　　)
A. B.
C. D.
答案　C
解析　连接DE，因为点F，G分别为棱CD，AC的中点，所以FG∥AD，
所以∠EAD(或其补角)为异面直线AE，FG所成的角，
设正四面体的棱长为a，
则AE=DE=a，AD=a，
由余弦定理得cos∠EAD===
所以异面直线AE，FG所成角的余弦值为.
6,已知数列{an}和数列{bn}的通项公式分别为an=3n+1和bn=5n+1，若它们的公共项从小到大依次排列构成新数列{cn}，则满足不等式cn≤2 024的最大的整数n等于(　　)
A.134 B.135
C.136 D.137
答案　A
解析　依题意，令ak=bm，k，m∈N*，
则3k+1=5m+1，即有m=k，显然k是5的正整数倍，
令k=5n，n∈N*，
因此cn=a5n=15n+1，由15n+1≤2 024，
解得n≤134，
所以最大的整数n=134.
7,已知a=ln 1.01，b=c=则(　　)
A.aC.c答案　D
解析　由≤ln x≤x-1知
ln 1.01>==c，
∴a>c，
ln 1.01<1.01-1=0.01=
又b=>=>>
∴b>a，故b>a>c.
8．已知函数，若关于的方程有五个不等的实数解，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由，
当时，函数在上单调递减，且，，当时，
当时，则，
所以当时，当时，
所以在上单调递减，在上单调递增，且，
可得的大致图象如下所示：
令，则化为，
当时无解，则无解；
当时，解得，由图可知有两解，即有两解；
当时有一解且，又有一个解，即有一解；
当时有两个解，即、，
又有一个解，有两个解，所以共有三个解；
当时有三个解，即，，，
无解，有三个解，有两个解，
所以共有五个解；
当时有两个解，即，，
有三个解，有两个解，
所以共有五个解；
综上可得的取值范围是.
故选：C
二，选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．已知集合，集合 ，则集合可以是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【解析】
因为集合，
对于A：满足 ，所以选项A符合题意；
对于B：满足 ，所以选项B符合题意；
对于C：满足 ，所以选项C符合题意；
对于D：不是的真子集，故选项D不符合题意，
故选：ABC.
10,为了得到函数y=2cos 2x的图象，只要把函数y=2sin图象上所有的点(　　)
A.向左平移个单位长度
B.向右平移个单位长度
C.向左平移个单位长度
D.向右平移个单位长度
答案　AD
解析　把函数y=2sin图象上所有的点向左平移个单位长度，
可得函数y=2sin=2sin=2cos 2x的图象，A正确；
把函数y=2sin图象上所有的点向右平移个单位长度，
可得函数y=2sin=2sin=-2cos的图象，B错误；
把函数y=2sin图象上所有的点向左平移个单位长度，
可得函数y=2sin=2sin=-2cos的图象，C错误；
把函数y=2sin图象上所有的点向右平移个单位长度，
可得函数y=2sin=2sin=2cos 2x的图象，D正确.
11,已知正数x,y,z满足5x=9y=15z,则 (　　)
A.xz+2yz-2xy=0　　　　B.5x<9y<15z
C.xy<2z2　　　　D.9x+2y<16z
答案　AB　
填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．不等式的解集是___________.
【答案】
【解析】
根据题意，由，得，即或，
因此不等式的解集为.
故答案为：.
13.已知函数的一条对称轴为，当时，的最小值为，则的最大值为__________.
【答案】
【解析】因为函数的一条对称轴为，
所以，得到，又，所以，
所以， 又当时，的最小值为，
令，则，
由的图象与性质知，，得到，
故答案为：.
14.已知为拋物线的焦点，过点的直线与拋物线交于不同的两点，，拋物线在点处的切线分别为和，若和交于点，则的最小值为__________.
【答案】10
【解析】的焦点为，设直线方程为，.
联立直线与抛物线方程有，则.
又求导可得，故直线方程为.
又，故，同理.
联立可得，解得，代入可得，代入韦达定理可得，故.
故，当且仅当，即时取等号.
故答案为：10
四，解答题：本题共5个小题，共77分。
15,如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝，∠ACD＝，AD＝，S为△ABC的面积，且2S＝－.
(1)求角B；
(2)若cos D＝，求四边形ABCD的周长．
[解]　(1)由2S＝－，
在△ABC中，得2×AB×BC sin B＝－AB×BC cos B，
即sin B＝－cos B，可得tan B＝－，
因为B∈(0，π)，所以B＝.
(2)因为cos D＝，D∈(0，π)，所以D＝，
所以△ACD为等边三角形，AC＝，∠CAD＝，
所以∠BAC＝，∠ACB＝，
由正弦定理知＝，得
AB＝＝＝1＝BC，
故四边形ABCD的周长为2＋2.
16．如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，∠CBB1＝60°，AB＝BC＝2，AC＝AB1＝.
(1)证明：平面ACB1⊥平面BB1C1C；
(2)求二面角A-A1C1-B1的余弦值．
[解]　(1)证明：连接BC1，与B1C交于点D，则D为BC1，B1C的中点，连接AD，
因为AC＝AB1，所以AD⊥B1C，
因为侧面BB1C1C为菱形，∠CBB1＝60°，AB＝BC＝2，AC＝AB1＝，
所以BD＝，AD＝1，所以AB2＝BD2＋AD2，即AD⊥BD，
因为B1C∩BD＝D，B1C，BD 平面BB1C1C，
所以AD⊥平面BB1C1C，因为AD 平面ACB1，
所以平面ACB1⊥平面BB1C1C.
(2)取A1C1的中点E，连接AC1，AE，B1E，
由(1)知，AD⊥BD，又BD＝DC1，所以AC1＝AB＝2，又AA1＝CC1＝2，所以AE⊥A1C1，同理得B1E⊥A1C1，
所以∠AEB1为二面角A-A1C1-B1的平面角，
在△AEB1中，AE＝＝＝，
B1E＝＝＝，AB1＝，
所以cos ∠AEB1＝＝＝.
所以二面角A-A1C1-B1的余弦值为.
17,已知M，N分别为椭圆E：＝1(a＞b＞0)的左、右顶点，F为其右焦点，|FM|＝3|FN|，且点P在椭圆E上．
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)若过F的直线l与椭圆E交于A，B两点，且l与以MN为直径的圆交于C，D两点，证明：为定值．
[解]　(1)由|FM|＝3|FN|，可得a＋c＝3(a－c)，解得a＝2c，
又因为a2＝b2＋c2，所以b＝c.
因为点P在椭圆E上，所以＝1，
解得a＝2，b＝，c＝1，所以椭圆E的标准方程为＝1.
(2)证明：①当l与x轴重合时，|AB|＝|CD|＝4，
所以＝7.
②当l不与x轴重合时，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
直线l的方程为x＝my＋1，
由消去x并整理得(3m2＋4)y2＋6my－9＝0，
则y1＋y2＝，y1y2＝，
故|AB|＝
＝
＝12×，
圆心O到直线l的距离为，
则＝4－，
所以＝＋4－＝7，
即为定值．
18,某中学进行90周年校庆知识竞赛，参赛的同学需要从10道题中随机地抽取4道来回答，竞赛规则规定：每题回答正确得10分，回答不正确得－10分．
(1)已知甲同学每题回答正确的概率均为0.8，且各题回答正确与否相互之间没有影响，记甲的总得分为X，求X的期望和方差；
(2)已知乙同学能正确回答10道题中的6道，记乙的总得分为Y，求Y的分布列．
[解]　(1)设甲答对题目的数目为ξ，则ξ～B(4，0.8)，所以X＝10ξ－10(4－ξ)＝20ξ－40，
所以E(X)＝20E(ξ)－40＝20×4×0.8－40＝24；
D(X)＝400D(ξ)＝400×4×0.8×0.2＝256.
(2)设乙答对题目的数目为η，则η服从参数为N＝10，M＝6，n＝4的超几何分布，
且Y＝10η－10(4－η)＝20η－40，
所以P(Y＝－40)＝P(η＝0)＝＝，
P(Y＝－20)＝P(η＝1)＝＝，
P(Y＝0)＝P(η＝2)＝＝，
P(Y＝20)＝P(η＝3)＝＝，
P(Y＝40)＝P(η＝4)＝＝，
所以Y的分布列为
Y －40 －20 0 20 40
P
19,已知函数f (x)＝x－(a＋1)ln x－(a∈R)，g(x)＝x2＋ex－xex.
(1)当x∈[1，e]时，求f (x)的最小值；
(2)当a＜1时，若存在x1∈[e，e2]，使得对任意的x2∈[－2，0]，f (x1)＜g(x2)恒成立，求a的取值范围．
[解]　(1)f (x)的定义域为(0，＋∞)，f ′(x)＝.
①若a≤1，当x∈[1，e]时，f ′(x)≥0，
f (x)在[1，e]上单调递增，f (x)min＝f (1)＝1－a.
②若1＜a＜e，
当x∈[1，a]时，f ′(x)≤0，f (x)单调递减；
当x∈[a，e]时，f ′(x)≥0，f (x)单调递增．
所以f (x)min＝f (a)＝a－(a＋1)ln a－1.
③若a≥e，当x∈[1，e]时，f ′(x)≤0，f (x)在[1，e]上单调递减，f (x)min＝f (e)＝e－(a＋1)－.
综上，当a≤1时，f (x)min＝1－a；
当1＜a＜e时，f (x)min＝a－(a＋1)ln a－1；
当a≥e时，f (x)min＝e－(a＋1)－.
(2)由题意知f (x)(x∈[e，e2])的最小值小于g(x)(x∈[－2，0])的最小值．
由(1)知f (x)在[e，e2]上单调递增，
所以f (x)min＝f (e)＝e－(a＋1)－，
又g′(x)＝(1－ex)x，
所以当x∈[－2，0]时，g′(x)≤0，g(x)单调递减，
则g(x)min＝g(0)＝1，
所以e－(a＋1)－＜1，
解得a＞，
所以a的取值范围为 .

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