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广东省深圳市2017年启智杯小学五六年级数学思维及应用能力竞赛（A2组）
1．（2017·深圳竞赛）请你用5个8通过加减乘除四则运算、开平方运算以及加括弧分别得到结果1、3、5、7、9.(注：⑴如果正整数m的平方为n，则称对n开平方得m，记作 比如， ⑵每个结果写出一个算式。)
2．（2017·深圳竞赛）在如下的乘法竖式中，每一个汉字代表一个不同的数字，请求出每个汉字所代表的数字，以使算式成立，写出这个算式，并说明理由。
3．（2017·深圳竞赛）下述式子是正确的
根据以上三个等式，你发现了什么规律？ 请按照这种规律，写出第2017个等式。
4．（2017·深圳竞赛）有一个边长为两位数的正方形，其面积与边长之差是10的倍数； 边长是3的倍数但不是6的倍数、也不是5的倍数，其十位数是奇数.问边长是多少？ 给出你的答案，说明你的理由。
5．（2017·深圳竞赛）甲乙两人同时沿400米跑道散步和慢跑.甲顺时针散步，每圈用时5分钟，乙逆时针慢跑，每圈用时3分钟，问：出发之后的50分钟内，甲乙途中总共相遇几次？ 写出答案与理由。
6．（2017·深圳竞赛）下图中直角三角形PQR 面积为1， P1是线段PQ的中点， P2是线段 的中点，P3是线段 P2Q 的中点，P4是线段 P3Q 的中点，以此类推. 请观察图形的面积变化情况，你认为算式 的值与 这四个数值的哪一个最接近？ 请写出答案，并说明理由。
7．（2017·深圳竞赛）下图中ABCD和DEFG是两个不等的正方形， 连接BE 交 DG于 H， 如果 的面积为8，问△DHF的面积为多少？ 给出答案，并说明理由。
8．（2017·深圳竞赛）在如下的方框内分布着从1到81的81个数，这些数有一定的排列规则.有人根据这些数的位置情况用只含有1、2、3的四元有序数组(m，n； k，l)来记录这些数， 他把2记作(1，1；1，2)，把50记作(2，3；2，2)，把66记作(3，2；1，3)，把58记作(3，1；2，1).请问，按照这种记法，(1，2；3，3)代表哪个数？ 78可以记作什么？ 请说明这81个数的排列规则。
1 2 3 　 10 11 12 　 19 20 21
4 5 6 13 14 15 22 23 24
7 8 9 16 17 18 25 26 27
　 　 　
28 29 30 37 38 39 46 47 48
31 32 33 40 41 42 49 50 51
34 35 36 43 44 45 52 53 54
　 　 　
55 56 57 64 65 66 73 74 75
58 59 60 67 68 69 76 77 78
61 62 63 70 71 72 79 80 81
9．（2017·深圳竞赛）在一副扑克牌中随便取出32张按照一定顺序排成一叠，然后进行如下操作：
⑴把它们平均分为上下两叠各16张。
⑵将上下两叠交叉洗牌：下一叠的第1张放在上一叠的第1张上面，下一叠的第2张放在上一叠的第2张上面，如此继续，直到把下一叠的第16 张放在上一叠的第16张上面，两叠合并为一叠。
经过这样一轮操作，得到一个新的顺序.问：如此下去，经过多少轮操作，可以使这32张牌恢复到最初状态？ 给出你的答案，不必说明理由。
10．（2017·深圳竞赛）如图 (示意图，不准) ，矩形 (即四个角都是直角的四边形) ABCD被6条直线(三横三竖)分成了16个小长方形，已知其中四个小长方形的长、宽分别是1和2、3和4、5和6、7和8，每个小长方形可能是横着的，也可能是竖着的.请问：
（1）矩形ABCD的周长是多少？
（2）矩形ABCD 的最大可能的面积是多少？
11．（2017·深圳竞赛）有ABC 三家快递公司对同城快递的定价标准如下：
A公司：首2公斤6元，以后每公斤或其零头2.2元，总量超过30公斤时超重部分每公斤2.5元；
B公司：首2公斤12元，以后每公斤或其零头2.1元，不限总量；
C公司：以实际重量计数，每公斤2.4元，起步不足2公斤者以2公斤计。
张先生要快递41.5公斤货物，可以拆分. 请问他至少要支付多少快递费？ 说明你的理由。
12．（2017·深圳竞赛）子恒同学编了一个电脑游戏小程序，游戏最开始有红、黄、蓝精灵各2017个，任意两个精灵碰在一起会合并为一个精灵，规则为：红色精灵遇到任何颜色(包括红、黄、蓝) 的精灵都会被对方吃掉，留下对方； 两黄色精灵相碰合并一个蓝色精灵，两蓝色精灵相碰合并一个黄色精灵； 蓝色精灵与黄色精灵相碰合并成一个红色精灵.游戏持续进行，直到最后只剩一个精灵，游戏结束.问：
（1）游戏从开始到结束，精灵总共碰了多少次？
（2）最后剩下的一个精灵是什么颜色？ 请给出答案，并说明理由。
答案解析部分
1．【答案】解：答案不唯一，以下是一种答案。
8-[(8+8+8)÷8]=5；
8-[(8+8)÷(8+8)]=7；
8+[(8×8)÷(8×8)]=9。
【知识点】填符号组算式；100以内数的四则混合运算
【解析】【分析】本题主要考查对四则运算、开平方运算以及括号的灵活运用，通过尝试不同的组合方式来得到指定的结果。
2．【答案】解：第一步：分析个位数字
被乘数个位是7，乘数是6，7×6=42，所以积的个位 “题” 代表2，并且向十位进4。
第二步：分析十位数字
被乘数十位是 “解”，设 “解” 为x，则x×6+4的结果个位是 “难”，且向百位进k（k为整数）。
第三步：分析千位和万位数字
被乘数是四位数 “题难解7”，即2（题）、n（难）、x（解）、7，乘数是6，积是五位数 “解题解难题”，即x（解）、2（题）、x（解）、n（难）、2（题）。
因为四位数乘6得五位数，所以被乘数的千位 “题”（2）乘6得12，所以积的万位 “解” 就是1，即 “解”=1。
第四步：确定 “难” 的值
现在知道 “解”=1，“题”=2。回到十位，被乘数十位是1，1×6+4=10，所以积的十位 “难”=0，并且向百位进1。
第五步：验证百位数字
被乘数百位是 “难”（0），0×6+1=1，积的百位是 “解”（1），符合。
即 “题”=2，“难”=0，“解”=1。
答：算式是2017×6=12102。
【知识点】竖式数字谜
【解析】【分析】6×7=42， 得题=2； 从而 “6× (题难解7)”的万位数为1， 即 解=1； 从而可得难=0
3．【答案】解：观察三个等式：
对于(1)可变形为12+22+(1×2)2=(1×2+1)2。
对于(2)可变形为22+32+(2×3)2=(2×3+1)2。
对于(3)可变形为32+42+(3×4)2=(3×4+1)2。
总结规律：对于正整数n，有n2+(n+1)2+[n(n+1)]2=[n(n+1)+1]2。
当n=2017时，代入上述规律：
等式左边为20172+20182+(2017×2018)2。
等式右边为(2017×2018+1)2。
所以第 2017 个等式为20172+20182+(2017×2018)2=(2017×2018+1)2。
答：规律为第n个式子为 ；第2017个等式为20172+20182+(2017×2018)2=(2017×2018+1)2。
【知识点】算式的规律
【解析】【分析】分析左边三个数的规律：
第一个数依次为 1 ， 2 ， 3 ，对应第n个式子的n ；
第二个数依次为 2 ， 3 ， 4 ，对应 n+ 1 ；
第三个数依次为 2 ， 6 ， 12 ，可发现 2 = 1 × 2 ， 6 = 2 × 3 ， 12 = 3 × 4 ，即 n ( n + 1 ) ；
右边数依次为 3 ， 7 ， 13 ，对应 3 = 1 × 2 + 1 ， 7 = 2 × 3 + 1 ， 13 = 3 × 4 + 1 ，即 n ( n + 1 ) + 1 。
根据上述规律，第n个等式可表示为：n2+(n+1)2+[n(n+1)]2=[n(n+1)+1]2；再将n=2017代入即可求出结果。
4．【答案】解：（1）其面积与边长之差是10的倍数，意味着面积的个位数与边长的个位数相同，说明边长个位数只能是0、1、5、6；
（2） 边长不是5的倍数，说明个位数只能是1和6；
（3）边长是3的倍数但不是6的倍数，说明边长是奇数、个位数是1，且两位之和是3的倍数，只有21、51或81；
（3） 十位数是奇数，只有51。
答： 边长是51。
【知识点】特殊数的整除特征；逻辑推理；整除的性质及应用
【解析】【分析】 本题需要根据多个条件逐步确定正方形的边长。首先根据面积与边长之差是 10 的倍数缩小范案。再结合边长是 3 的倍数但不是 6 的倍数、也不是 5 的倍数以及十位数是奇数这些条件确定最终答案。
5．【答案】解：甲的速度：4005= 80 米/分钟。 乙逆时针慢跑，每圈3分钟，速度为米/分钟。
因方向相反，相对速度为 80 +=米/分钟。
相遇时间间隔为： 400=分钟。
50分钟内，相遇次数为：5026.66
所以相遇次数为26次（这里取整数部分，因为不足一圈不能算相遇一次）。
答： 甲乙途中总共相遇26次。
【知识点】相遇问题；多次相遇与追及
【解析】【分析】首先需要求出甲和乙的速度，确定相遇时间间隔，再统计50分钟内的相遇次数。
6．【答案】解：从左至右，第一块黑色三角形面积是整个大直角三角形△PQR面积的1/4，
第二块黑色三角形的面积是接下来的直角三角形(原直角三角形面积的四分之一)面积的1/4，以此类推， …， 那么， 和式 接近于所有黑色三角形面积之和，
每一块黑色的三角形面积都是所在梯形面积的1/3，而这些梯形面积之和接近APQR 面积1，故
答： 与最接近。
【知识点】等比数列
【解析】【分析】 该和式为等比数列的前2017项和，公比为。由于项数极大（2017项），其值趋近于无穷级数的和。需先计算无穷级数的和，再分析有限项与无穷和的差值，从而确定最接近的数值。
7．【答案】解： ⑴
如图，连接BD，BG，则△EDB、△DGB是两个等底等高的三角形，二者面积相等即 ⑵
又 ⑶
所以由⑵得 ⑷
又因为△CHG与△BHG是两个等底等高的三角形，二者面积相等，都为8，
所以由⑷得
答： △DHF的面积为8。
【知识点】组合图形面积的巧算；代换问题
【解析】【分析】 本题涉及两个不等的正方形ABCD和DEFG，如图连接BD，BG，已知△CHG的面积为8，求△DHF的面积。通过分析图形的对称性及面积关系，利用同底等高或等面积转换进行推导。
8．【答案】解：对于(1，2；3，3)：第 1 个小方阵是左上角 1 - 9 的 3×3 方阵，第 2 行第 3 列的数是 8。
对于 78：找到 78 所在位置，它在第 8 个小方阵（从左到右、从上到下数），小方阵内第 2 行第 3 列，所以记作(3，2；2，3)。
排列规则：81个小方格分为9块，3行3列； 每一块里面有9个方格， 3行3列。四元有序数组的前两个代表依次代表该数所在块位于的行数和列数，后两个依次代表该数在该块内的行数和列数。
【知识点】变形方阵问题
【解析】【分析】首先分析排列规则：将 81 个数按 9×9 的方阵，划分成 9 个 3×3 的小方阵，从左到右、从上到下依次为第 1 到第 9 个小方阵。四元有序数组(m，n；k，l)中，m表示第m个小方阵，n表示小方阵内的行（从 1 到 3），k表示小方阵内的列（从 1 到 3），l暂时辅助理解位置对应关系，数的计算可通过确定小方阵位置和小方阵内行列来确定。
9．【答案】答：经过10轮操作，可以使这32张牌恢复到最初状态。
【知识点】逻辑推理；数列中的规律
【解析】【分析】要解决 “32 张牌交叉洗牌后恢复初始状态的轮数” 问题，核心是分析每张牌的位置循环规律，可通过 “位置编号变换” 推导。
设 32 张牌的初始位置为 1~32 号（从顶部第 1 张到底部第 32 张），第一轮操作后牌序为：17，1，18，2，19，3，20，4，21，5，22，6，23，7，24，8，25，9，26，10，27，11，28，12，29，13，30，14，31，15，32，16
第二轮操作后牌序为：25，17，9，1，26，18，10，2，27，19，11，3，28，20，12，4，29，21，13，5，30，22，14，6，31，23，15，7，32，24，16，8
第三轮操作后牌序为：29，25，21，17，13，9，5，1，30，26，22，18，14，10，6，2，31，27，23，19，15，11，7，3，32，28，24，20，16，12，8，4
第四轮操作后牌序为：31，29，27，25，23，21，19，17，15，13，11，9，7，5，3，1，32，30，28，26，24，22，20，18，16，14，12，10，8，6，
第五轮操作后牌序为：
32，31，30，29，28，27，26，25，24，23，22，21，20，19，18，17，16，15，14，13，12，11，10，9，8，7，6，5，4，3，2，1
经过5轮操作后，牌序为倒序，所以再经过5轮后这32张牌恢复到最初状态。
所以 经过10轮操作，可以使这32张牌恢复到最初状态。
10．【答案】解：（1）计算矩形ABCD的周长设三横的长度分别为a、b、c，三竖的长度分别为d、e、f。已知四个小长方形的长、宽分别是1和2、3和4、5和6、7和8。不管小长方形是横放还是竖放，矩形ABCD的长为d+e+f，宽为a+b+c。而所有小长方形的长之和为1+2+3+4+5+6+7+8=36，所有小长方形的宽之和也为36。所以矩形ABCD的长与宽之和为36，根据长方形周长公式C=2×(长+宽)，可得周长C=2×36=72。(2) 计算矩形ABCD的最大可能面积根据均值不等式，当长和宽越接近时，长方形的面积越大。因为长与宽之和为36，当长=宽=18时，面积最大，最大面积S=18×18=324。答：（1）矩形ABCD的周长是72；(2) 矩形ABCD的最大可能的面积是324。
（1）解：计算矩形ABCD的周长
设三横的长度分别为a、b、c，三竖的长度分别为d、e、f。
已知四个小长方形的长、宽分别是1和2、3和4、5和6、7和8。
不管小长方形是横放还是竖放，矩形ABCD的长为d+e+f，宽为a+b+c。
而所有小长方形的长之和为1+2+3+4+5+6+7+8=36，所有小长方形的宽之和也为36。
所以矩形ABCD的长与宽之和为36，根据长方形周长公式C=2×(长+宽)，可得周长C=2×36=72。
答：矩形ABCD的周长是72。
（2）解：计算矩形ABCD的最大可能面积
根据均值不等式，当长和宽越接近时，长方形的面积越大。
因为长与宽之和为36，当长=宽=18时，面积最大，最大面积S=18×18=324。
答： 矩形ABCD的最大可能的面积是324。
【知识点】长方形的周长；最大与最小；长方形的面积；组合
【解析】【分析】（1） 已知四个小长方形的边长分别为1和2、3和4、5和6、7和8。 本题需注意每个小长方形的边可能横放或竖放。确定所有横向和纵向的边长之和.即可求出周长。
（2）如何分配这些边使得面积最大，即： 当长和宽越接近时，长方形的面积越大。
11．【答案】解：⑴由于单价C公司最高，所以当货物较多时不适合用C公司，A公司首付低，但后续单价高，超过30公斤价格更高，不适合超重数量的货物快递。所以首先比较30公斤货物的快递价格：
A公司： 6+2.2×28=6+61.6=67.6 (元)
B公司： 12+2.1×28=12+58.8=70.8 (元)
C公司： 2.4×30=72(元)
可见在30公斤时A公司最省。
⑵剩余11.5公斤，如果不加拆分，有三种选择，价格分别为：
A公司： 6+2.2×10=6+22=28 (元)
B公司： 12+2.1×10=12+21=33 (元)
C公司： 2.4×11.5=27.6(元)
C最省。此时结合⑴，全部货物最少支付95.2元快递费。
⑶如果把 11.5公斤继续拆分，则可能避开的是 C 组的高单价。在9 公斤的时候，A公司费用为 6+6+2.2×7=6+15.4=21.4 (元)， 比在C公司的2.4×9=21.6(元)低0.2元。价格最低。
答：最佳方案是30公斤、9公斤通过A公司快递，2.5 公斤通过C公司承运。 至少要支付多少快递费95元。
【知识点】最佳方案：最省钱问题；分段计费问题
【解析】【分析】解题核心是拆分货物并分别匹配三家公司的定价优势，先明确各公司的成本劣势与优势区间，再将总重量拆分为对应区间，计算最低总费用。
12．【答案】（1）解：初始总数：红、黄、蓝精灵各 2017 个，总数量为 2017+2017+2017=6051 个。
最终总数：游戏结束时只剩 1 个精灵，总数量为 1 个。
从初始的 6051 个精灵减少到 1 个精灵，总共减少的数量为 6051 1=6050 个。
由于每碰撞 1 次减少 1 个精灵，因此碰撞次数 = 减少的总数 = 6050 次。
答：游戏从开始到结束，精灵总共碰了6050次。
（2）解：由于红精灵遇到任何颜色的精灵都会被对方吃掉 (剩下对方颜色的精灵)，红精灵只有1个或者干脆没有 (0个)。考虑其它2017个蓝精灵、2017个黄精灵。为方便起见，分别用A、B、C代表红、黄、蓝精灵， 用AB表示A、B两精灵相碰， 于是有AB=B，AC=C，BB=C， CC=B， BC=CB=A。
其次，证明任何三个精灵先后相碰，与顺序无关，(结合律)
⑴三个黄色的或三个蓝色的先后相碰，结果自然与顺序无关，结果都是红色：(BB) B=CB =BC=B (BB) =A， (CC) C=BC=CB=C (CC) =A， 。
⑵两个黄色与一个蓝色或两个蓝色与一个黄色的相碰，结果也与顺序无关， B(BC)=BA=B； (CC)B=BB=C， C(CB)=CA=C。
这说明这些精灵在相碰的时候，最终结果与谁与谁先碰无关。全部蓝色依次相碰，每三个蓝色得到一个红色，2017个蓝色共得到2016÷3=672个红色和一个蓝色，红色相碰只得到红色，直至剩下一个蓝色；类似地，全部黄色依次相碰，直至剩下一个黄色； 最后，两个黄蓝相碰，最终剩下红色。
答：最后剩下的一个精灵是什么红色。
【知识点】奇数和偶数；数列中的规律
【解析】【分析】（1），每次碰撞都会减少一个精灵，初始总数为3×2017=6051，最终剩1个，故总碰撞次数为6051 1=6050次。
（2）需分析颜色变化的奇偶性及守恒量。通过观察碰撞规则，发现红色精灵的存在会改变黄蓝数量的奇偶性，但可能通过模2分析确定最终颜色。
1 / 1广东省深圳市2017年启智杯小学五六年级数学思维及应用能力竞赛（A2组）
1．（2017·深圳竞赛）请你用5个8通过加减乘除四则运算、开平方运算以及加括弧分别得到结果1、3、5、7、9.(注：⑴如果正整数m的平方为n，则称对n开平方得m，记作 比如， ⑵每个结果写出一个算式。)
【答案】解：答案不唯一，以下是一种答案。
8-[(8+8+8)÷8]=5；
8-[(8+8)÷(8+8)]=7；
8+[(8×8)÷(8×8)]=9。
【知识点】填符号组算式；100以内数的四则混合运算
【解析】【分析】本题主要考查对四则运算、开平方运算以及括号的灵活运用，通过尝试不同的组合方式来得到指定的结果。
2．（2017·深圳竞赛）在如下的乘法竖式中，每一个汉字代表一个不同的数字，请求出每个汉字所代表的数字，以使算式成立，写出这个算式，并说明理由。
【答案】解：第一步：分析个位数字
被乘数个位是7，乘数是6，7×6=42，所以积的个位 “题” 代表2，并且向十位进4。
第二步：分析十位数字
被乘数十位是 “解”，设 “解” 为x，则x×6+4的结果个位是 “难”，且向百位进k（k为整数）。
第三步：分析千位和万位数字
被乘数是四位数 “题难解7”，即2（题）、n（难）、x（解）、7，乘数是6，积是五位数 “解题解难题”，即x（解）、2（题）、x（解）、n（难）、2（题）。
因为四位数乘6得五位数，所以被乘数的千位 “题”（2）乘6得12，所以积的万位 “解” 就是1，即 “解”=1。
第四步：确定 “难” 的值
现在知道 “解”=1，“题”=2。回到十位，被乘数十位是1，1×6+4=10，所以积的十位 “难”=0，并且向百位进1。
第五步：验证百位数字
被乘数百位是 “难”（0），0×6+1=1，积的百位是 “解”（1），符合。
即 “题”=2，“难”=0，“解”=1。
答：算式是2017×6=12102。
【知识点】竖式数字谜
【解析】【分析】6×7=42， 得题=2； 从而 “6× (题难解7)”的万位数为1， 即 解=1； 从而可得难=0
3．（2017·深圳竞赛）下述式子是正确的
根据以上三个等式，你发现了什么规律？ 请按照这种规律，写出第2017个等式。
【答案】解：观察三个等式：
对于(1)可变形为12+22+(1×2)2=(1×2+1)2。
对于(2)可变形为22+32+(2×3)2=(2×3+1)2。
对于(3)可变形为32+42+(3×4)2=(3×4+1)2。
总结规律：对于正整数n，有n2+(n+1)2+[n(n+1)]2=[n(n+1)+1]2。
当n=2017时，代入上述规律：
等式左边为20172+20182+(2017×2018)2。
等式右边为(2017×2018+1)2。
所以第 2017 个等式为20172+20182+(2017×2018)2=(2017×2018+1)2。
答：规律为第n个式子为 ；第2017个等式为20172+20182+(2017×2018)2=(2017×2018+1)2。
【知识点】算式的规律
【解析】【分析】分析左边三个数的规律：
第一个数依次为 1 ， 2 ， 3 ，对应第n个式子的n ；
第二个数依次为 2 ， 3 ， 4 ，对应 n+ 1 ；
第三个数依次为 2 ， 6 ， 12 ，可发现 2 = 1 × 2 ， 6 = 2 × 3 ， 12 = 3 × 4 ，即 n ( n + 1 ) ；
右边数依次为 3 ， 7 ， 13 ，对应 3 = 1 × 2 + 1 ， 7 = 2 × 3 + 1 ， 13 = 3 × 4 + 1 ，即 n ( n + 1 ) + 1 。
根据上述规律，第n个等式可表示为：n2+(n+1)2+[n(n+1)]2=[n(n+1)+1]2；再将n=2017代入即可求出结果。
4．（2017·深圳竞赛）有一个边长为两位数的正方形，其面积与边长之差是10的倍数； 边长是3的倍数但不是6的倍数、也不是5的倍数，其十位数是奇数.问边长是多少？ 给出你的答案，说明你的理由。
【答案】解：（1）其面积与边长之差是10的倍数，意味着面积的个位数与边长的个位数相同，说明边长个位数只能是0、1、5、6；
（2） 边长不是5的倍数，说明个位数只能是1和6；
（3）边长是3的倍数但不是6的倍数，说明边长是奇数、个位数是1，且两位之和是3的倍数，只有21、51或81；
（3） 十位数是奇数，只有51。
答： 边长是51。
【知识点】特殊数的整除特征；逻辑推理；整除的性质及应用
【解析】【分析】 本题需要根据多个条件逐步确定正方形的边长。首先根据面积与边长之差是 10 的倍数缩小范案。再结合边长是 3 的倍数但不是 6 的倍数、也不是 5 的倍数以及十位数是奇数这些条件确定最终答案。
5．（2017·深圳竞赛）甲乙两人同时沿400米跑道散步和慢跑.甲顺时针散步，每圈用时5分钟，乙逆时针慢跑，每圈用时3分钟，问：出发之后的50分钟内，甲乙途中总共相遇几次？ 写出答案与理由。
【答案】解：甲的速度：4005= 80 米/分钟。 乙逆时针慢跑，每圈3分钟，速度为米/分钟。
因方向相反，相对速度为 80 +=米/分钟。
相遇时间间隔为： 400=分钟。
50分钟内，相遇次数为：5026.66
所以相遇次数为26次（这里取整数部分，因为不足一圈不能算相遇一次）。
答： 甲乙途中总共相遇26次。
【知识点】相遇问题；多次相遇与追及
【解析】【分析】首先需要求出甲和乙的速度，确定相遇时间间隔，再统计50分钟内的相遇次数。
6．（2017·深圳竞赛）下图中直角三角形PQR 面积为1， P1是线段PQ的中点， P2是线段 的中点，P3是线段 P2Q 的中点，P4是线段 P3Q 的中点，以此类推. 请观察图形的面积变化情况，你认为算式 的值与 这四个数值的哪一个最接近？ 请写出答案，并说明理由。
【答案】解：从左至右，第一块黑色三角形面积是整个大直角三角形△PQR面积的1/4，
第二块黑色三角形的面积是接下来的直角三角形(原直角三角形面积的四分之一)面积的1/4，以此类推， …， 那么， 和式 接近于所有黑色三角形面积之和，
每一块黑色的三角形面积都是所在梯形面积的1/3，而这些梯形面积之和接近APQR 面积1，故
答： 与最接近。
【知识点】等比数列
【解析】【分析】 该和式为等比数列的前2017项和，公比为。由于项数极大（2017项），其值趋近于无穷级数的和。需先计算无穷级数的和，再分析有限项与无穷和的差值，从而确定最接近的数值。
7．（2017·深圳竞赛）下图中ABCD和DEFG是两个不等的正方形， 连接BE 交 DG于 H， 如果 的面积为8，问△DHF的面积为多少？ 给出答案，并说明理由。
【答案】解： ⑴
如图，连接BD，BG，则△EDB、△DGB是两个等底等高的三角形，二者面积相等即 ⑵
又 ⑶
所以由⑵得 ⑷
又因为△CHG与△BHG是两个等底等高的三角形，二者面积相等，都为8，
所以由⑷得
答： △DHF的面积为8。
【知识点】组合图形面积的巧算；代换问题
【解析】【分析】 本题涉及两个不等的正方形ABCD和DEFG，如图连接BD，BG，已知△CHG的面积为8，求△DHF的面积。通过分析图形的对称性及面积关系，利用同底等高或等面积转换进行推导。
8．（2017·深圳竞赛）在如下的方框内分布着从1到81的81个数，这些数有一定的排列规则.有人根据这些数的位置情况用只含有1、2、3的四元有序数组(m，n； k，l)来记录这些数， 他把2记作(1，1；1，2)，把50记作(2，3；2，2)，把66记作(3，2；1，3)，把58记作(3，1；2，1).请问，按照这种记法，(1，2；3，3)代表哪个数？ 78可以记作什么？ 请说明这81个数的排列规则。
1 2 3 　 10 11 12 　 19 20 21
4 5 6 13 14 15 22 23 24
7 8 9 16 17 18 25 26 27
　 　 　
28 29 30 37 38 39 46 47 48
31 32 33 40 41 42 49 50 51
34 35 36 43 44 45 52 53 54
　 　 　
55 56 57 64 65 66 73 74 75
58 59 60 67 68 69 76 77 78
61 62 63 70 71 72 79 80 81
【答案】解：对于(1，2；3，3)：第 1 个小方阵是左上角 1 - 9 的 3×3 方阵，第 2 行第 3 列的数是 8。
对于 78：找到 78 所在位置，它在第 8 个小方阵（从左到右、从上到下数），小方阵内第 2 行第 3 列，所以记作(3，2；2，3)。
排列规则：81个小方格分为9块，3行3列； 每一块里面有9个方格， 3行3列。四元有序数组的前两个代表依次代表该数所在块位于的行数和列数，后两个依次代表该数在该块内的行数和列数。
【知识点】变形方阵问题
【解析】【分析】首先分析排列规则：将 81 个数按 9×9 的方阵，划分成 9 个 3×3 的小方阵，从左到右、从上到下依次为第 1 到第 9 个小方阵。四元有序数组(m，n；k，l)中，m表示第m个小方阵，n表示小方阵内的行（从 1 到 3），k表示小方阵内的列（从 1 到 3），l暂时辅助理解位置对应关系，数的计算可通过确定小方阵位置和小方阵内行列来确定。
9．（2017·深圳竞赛）在一副扑克牌中随便取出32张按照一定顺序排成一叠，然后进行如下操作：
⑴把它们平均分为上下两叠各16张。
⑵将上下两叠交叉洗牌：下一叠的第1张放在上一叠的第1张上面，下一叠的第2张放在上一叠的第2张上面，如此继续，直到把下一叠的第16 张放在上一叠的第16张上面，两叠合并为一叠。
经过这样一轮操作，得到一个新的顺序.问：如此下去，经过多少轮操作，可以使这32张牌恢复到最初状态？ 给出你的答案，不必说明理由。
【答案】答：经过10轮操作，可以使这32张牌恢复到最初状态。
【知识点】逻辑推理；数列中的规律
【解析】【分析】要解决 “32 张牌交叉洗牌后恢复初始状态的轮数” 问题，核心是分析每张牌的位置循环规律，可通过 “位置编号变换” 推导。
设 32 张牌的初始位置为 1~32 号（从顶部第 1 张到底部第 32 张），第一轮操作后牌序为：17，1，18，2，19，3，20，4，21，5，22，6，23，7，24，8，25，9，26，10，27，11，28，12，29，13，30，14，31，15，32，16
第二轮操作后牌序为：25，17，9，1，26，18，10，2，27，19，11，3，28，20，12，4，29，21，13，5，30，22，14，6，31，23，15，7，32，24，16，8
第三轮操作后牌序为：29，25，21，17，13，9，5，1，30，26，22，18，14，10，6，2，31，27，23，19，15，11，7，3，32，28，24，20，16，12，8，4
第四轮操作后牌序为：31，29，27，25，23，21，19，17，15，13，11，9，7，5，3，1，32，30，28，26，24，22，20，18，16，14，12，10，8，6，
第五轮操作后牌序为：
32，31，30，29，28，27，26，25，24，23，22，21，20，19，18，17，16，15，14，13，12，11，10，9，8，7，6，5，4，3，2，1
经过5轮操作后，牌序为倒序，所以再经过5轮后这32张牌恢复到最初状态。
所以 经过10轮操作，可以使这32张牌恢复到最初状态。
10．（2017·深圳竞赛）如图 (示意图，不准) ，矩形 (即四个角都是直角的四边形) ABCD被6条直线(三横三竖)分成了16个小长方形，已知其中四个小长方形的长、宽分别是1和2、3和4、5和6、7和8，每个小长方形可能是横着的，也可能是竖着的.请问：
（1）矩形ABCD的周长是多少？
（2）矩形ABCD 的最大可能的面积是多少？
【答案】解：（1）计算矩形ABCD的周长设三横的长度分别为a、b、c，三竖的长度分别为d、e、f。已知四个小长方形的长、宽分别是1和2、3和4、5和6、7和8。不管小长方形是横放还是竖放，矩形ABCD的长为d+e+f，宽为a+b+c。而所有小长方形的长之和为1+2+3+4+5+6+7+8=36，所有小长方形的宽之和也为36。所以矩形ABCD的长与宽之和为36，根据长方形周长公式C=2×(长+宽)，可得周长C=2×36=72。(2) 计算矩形ABCD的最大可能面积根据均值不等式，当长和宽越接近时，长方形的面积越大。因为长与宽之和为36，当长=宽=18时，面积最大，最大面积S=18×18=324。答：（1）矩形ABCD的周长是72；(2) 矩形ABCD的最大可能的面积是324。
（1）解：计算矩形ABCD的周长
设三横的长度分别为a、b、c，三竖的长度分别为d、e、f。
已知四个小长方形的长、宽分别是1和2、3和4、5和6、7和8。
不管小长方形是横放还是竖放，矩形ABCD的长为d+e+f，宽为a+b+c。
而所有小长方形的长之和为1+2+3+4+5+6+7+8=36，所有小长方形的宽之和也为36。
所以矩形ABCD的长与宽之和为36，根据长方形周长公式C=2×(长+宽)，可得周长C=2×36=72。
答：矩形ABCD的周长是72。
（2）解：计算矩形ABCD的最大可能面积
根据均值不等式，当长和宽越接近时，长方形的面积越大。
因为长与宽之和为36，当长=宽=18时，面积最大，最大面积S=18×18=324。
答： 矩形ABCD的最大可能的面积是324。
【知识点】长方形的周长；最大与最小；长方形的面积；组合
【解析】【分析】（1） 已知四个小长方形的边长分别为1和2、3和4、5和6、7和8。 本题需注意每个小长方形的边可能横放或竖放。确定所有横向和纵向的边长之和.即可求出周长。
（2）如何分配这些边使得面积最大，即： 当长和宽越接近时，长方形的面积越大。
11．（2017·深圳竞赛）有ABC 三家快递公司对同城快递的定价标准如下：
A公司：首2公斤6元，以后每公斤或其零头2.2元，总量超过30公斤时超重部分每公斤2.5元；
B公司：首2公斤12元，以后每公斤或其零头2.1元，不限总量；
C公司：以实际重量计数，每公斤2.4元，起步不足2公斤者以2公斤计。
张先生要快递41.5公斤货物，可以拆分. 请问他至少要支付多少快递费？ 说明你的理由。
【答案】解：⑴由于单价C公司最高，所以当货物较多时不适合用C公司，A公司首付低，但后续单价高，超过30公斤价格更高，不适合超重数量的货物快递。所以首先比较30公斤货物的快递价格：
A公司： 6+2.2×28=6+61.6=67.6 (元)
B公司： 12+2.1×28=12+58.8=70.8 (元)
C公司： 2.4×30=72(元)
可见在30公斤时A公司最省。
⑵剩余11.5公斤，如果不加拆分，有三种选择，价格分别为：
A公司： 6+2.2×10=6+22=28 (元)
B公司： 12+2.1×10=12+21=33 (元)
C公司： 2.4×11.5=27.6(元)
C最省。此时结合⑴，全部货物最少支付95.2元快递费。
⑶如果把 11.5公斤继续拆分，则可能避开的是 C 组的高单价。在9 公斤的时候，A公司费用为 6+6+2.2×7=6+15.4=21.4 (元)， 比在C公司的2.4×9=21.6(元)低0.2元。价格最低。
答：最佳方案是30公斤、9公斤通过A公司快递，2.5 公斤通过C公司承运。 至少要支付多少快递费95元。
【知识点】最佳方案：最省钱问题；分段计费问题
【解析】【分析】解题核心是拆分货物并分别匹配三家公司的定价优势，先明确各公司的成本劣势与优势区间，再将总重量拆分为对应区间，计算最低总费用。
12．（2017·深圳竞赛）子恒同学编了一个电脑游戏小程序，游戏最开始有红、黄、蓝精灵各2017个，任意两个精灵碰在一起会合并为一个精灵，规则为：红色精灵遇到任何颜色(包括红、黄、蓝) 的精灵都会被对方吃掉，留下对方； 两黄色精灵相碰合并一个蓝色精灵，两蓝色精灵相碰合并一个黄色精灵； 蓝色精灵与黄色精灵相碰合并成一个红色精灵.游戏持续进行，直到最后只剩一个精灵，游戏结束.问：
（1）游戏从开始到结束，精灵总共碰了多少次？
（2）最后剩下的一个精灵是什么颜色？ 请给出答案，并说明理由。
【答案】（1）解：初始总数：红、黄、蓝精灵各 2017 个，总数量为 2017+2017+2017=6051 个。
最终总数：游戏结束时只剩 1 个精灵，总数量为 1 个。
从初始的 6051 个精灵减少到 1 个精灵，总共减少的数量为 6051 1=6050 个。
由于每碰撞 1 次减少 1 个精灵，因此碰撞次数 = 减少的总数 = 6050 次。
答：游戏从开始到结束，精灵总共碰了6050次。
（2）解：由于红精灵遇到任何颜色的精灵都会被对方吃掉 (剩下对方颜色的精灵)，红精灵只有1个或者干脆没有 (0个)。考虑其它2017个蓝精灵、2017个黄精灵。为方便起见，分别用A、B、C代表红、黄、蓝精灵， 用AB表示A、B两精灵相碰， 于是有AB=B，AC=C，BB=C， CC=B， BC=CB=A。
其次，证明任何三个精灵先后相碰，与顺序无关，(结合律)
⑴三个黄色的或三个蓝色的先后相碰，结果自然与顺序无关，结果都是红色：(BB) B=CB =BC=B (BB) =A， (CC) C=BC=CB=C (CC) =A， 。
⑵两个黄色与一个蓝色或两个蓝色与一个黄色的相碰，结果也与顺序无关， B(BC)=BA=B； (CC)B=BB=C， C(CB)=CA=C。
这说明这些精灵在相碰的时候，最终结果与谁与谁先碰无关。全部蓝色依次相碰，每三个蓝色得到一个红色，2017个蓝色共得到2016÷3=672个红色和一个蓝色，红色相碰只得到红色，直至剩下一个蓝色；类似地，全部黄色依次相碰，直至剩下一个黄色； 最后，两个黄蓝相碰，最终剩下红色。
答：最后剩下的一个精灵是什么红色。
【知识点】奇数和偶数；数列中的规律
【解析】【分析】（1），每次碰撞都会减少一个精灵，初始总数为3×2017=6051，最终剩1个，故总碰撞次数为6051 1=6050次。
（2）需分析颜色变化的奇偶性及守恒量。通过观察碰撞规则，发现红色精灵的存在会改变黄蓝数量的奇偶性，但可能通过模2分析确定最终颜色。
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