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第二十一章《一元二次方程》章节测试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列方程中是关于的一元二次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
2．方程的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（ ）
A． B． C． D．
3．一元二次方程配方后正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．一元二次方程的实数根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．无实数根
C．有两个相等的实数根 D．有实数根
5．若是关于x的一元二次方程的一个根，则k的值是（ ）
A．2 B． C．1 D．
6．若，是方程的两个根，则（ ）
A． B． C． D．
7．毕业将至，九（1）班全体学生互赠祝福卡，共赠祝福卡1560张，问：九（1）班共有多少名学生？设九（1）班共有名学生，根据题意可列方程为（ ）
A． B． C． D．
8．若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是（ ）
A．2 B．1 C． D．0
9．如图，小军的爸爸用一段长的铁丝网围成一个一边靠墙（墙长）的矩形鸭舍，其面积为，在鸭舍侧面中间位置留一个宽的门（由其它材料制成），则长为（ ）
A．或 B． C．或 D．
10．若关于的一元二次方程有一根为，则关于的一元二次方程必有一根为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．一元二次方程的一般形式是 ．
12．已知方程的两根分别为，，则的值为 ．
13．已知a是方程的一个根，则代数式的值是 ．
14．若关于的方程是一元二次方程，则的值是 ．
15．关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是 ．
16．如图所示的是某月的月历表，在此月历表上可以按图示形状圈出位置相邻的6个数（如：8，14，15，16，17，24）．若圈出的6个数中，最大数与最小数的积为225，则这6个数的和为 ．
三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分）
17．解方程：
(1)； (2)．
18．小南和小湖两位同学解方程的过程如下框：
小南： 移项，得 提取公因式得 则，或， 解得，． 小湖： 两边同除以，得 则．
你认为他们的解法是否正确？若正确请在相应框内打“√；若错误请在相应框内打“×”，并写出你的解答过程．
19．设是方程的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值．
(1)
(2)
20．已知关于的一元二次方程．
(1)证明：当取不为0的任何值时，方程总有实数根；
(2)为何整数时，方程有两个不相等的正整数根．
21．定义：如果一元二次方程（）满足，那么称这个方程为“联合方程”．
(1)判断一元二次方程是否为“联合方程”，说明理由；
(2)已知是关于的“联合方程”，若是此“联合方程”的一个根，求和的值．
22．某超市今年年初以每件25元的进价购进一批商品．当商品售价为40元时，一月份销售128件．二、三月该商品销售量持续走高，在售价不变的前提下，三月份的销售量达到200件．设二、三这两个月的月平均增长率不变．
(1)求二、三这两个月的月平均增长率．
(2)从四月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降价1元，销售量增加5件，当商品降价多少元时，商场获利1250元？
23．已知关于x的一元二次方程．
(1)求证：无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根；
(2)若，是该方程的两根，且满足，求m的值．
24．如图，某农户准备利用墙面（墙面足够长），用长的栅栏围一个矩形羊圈和一个边长为的正方形狗屋（图中阴影部分为羊的活动范围）．设．
(1)的长为___________m；（用含的代数式表示）
(2)若羊的活动范围的面积为，求的长；
(3)羊的活动范围的面积能否为？若能，求出此时的长；若不能，请说明理由．
25．小慧在学习配方法的知识时，发现一个有趣的现象：关于x的多项式，由于，所以当时，多项式有最小值；多项式，由于，所以当时，多项式有最大值．于是小慧给出一个定义：关于x的二次多项式，当时，该多项式有最值，就称该多项式关于对称，例如关于对称．请结合小慧的思考过程，运用此定义解决下列问题：
(1)多项式关于_______对称；
(2)关于x的多项式关于对称，且最小值为3，求方程的解．
参考答案
一、选择题
1．C
【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，掌握一元二次方程是只有一个未知数且未知数次数为2的整式方程成为解题的关键．
根据一元二次方程的定义（整式方程、一个未知数、最高次数为2）逐项判断即可．
【详解】解：A： 含有分式，不是整式方程，不符合题意；
B： 中，若，则方程变为一次方程，因此不一定是二次方程，不符合题意；
C： 展开后为，是整式方程且最高次数为2，符合定义．
D：，展开右边得合并后方程为，化简得，为一次方程，不符合题意．
故选C．
2．A
【分析】本题考查一元二次方程的一般形式．根据一元二次方程的一般形式： ，其中，，分别为二次项系数，一次项系数和常数项，进行判断即可．
【详解】解：∵，
∴二次项系数、一次项系数和常数项分别是；
故选：A．
3．C
【分析】本题考查了用配方法解一元二次方程，用配方法解一元二次方程就是把方程左边整理成完全平方式的形式，再用完全平方公式进行分解因式．
【详解】解： ，
移项得：，
等式两边同时加，
可得：
整理得：．
故选： C．
4．B
【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式，熟知判别式小于0时，方程无实数根是解题的关键；
根据一元二次方程的判别式进行解答即可.
【详解】解：因为方程的判别式，
所以一元二次方程无实数根；
故选：B.
5．B
【分析】本题考查一元二次方程的解，把代入方程进行求解即可．
【详解】解：把代入，得：，
解得：；
故选B．
6．A
【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则，据此求解即可．
【详解】解：∵，是方程的两个根，
∴，，
故选：A．
7．B
【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，根据每个同学都要送其他名同学一张祝福卡，因此总赠送祝福卡数是张，再根据共赠祝福卡1560张列方程即可．
【详解】解：设九（1）班共有x名学生，
由题意得：，
故选：B．
8．A
【分析】本题主要考查了根的判别式，解题的关键是牢记“当时，方程有两个相等的实数根”．
根据方程的二次项系数不等于0结合根的判别式，可得出关于的一元一次方程，解之即可得出的取值范围，对照四个选项即可得出结论．
【详解】解：关于的一元二次方程有两个相等的实数根，
，，
解得：，
故选：A．
9．B
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设长为，则的长为，根据题意列出一元二次方程，解方程即可得解，理解题意，找准等量关系是解此题的关键．
【详解】解：设长为，则的长为，
由题意可得：，
解得：，（不符合题意，舍去），
∴长为，
故选：B．
10．D
【分析】本题考查一元二次方程的解，解题的关键是理解方程的解的定义；
根据满足方程，得到，两边同时除以可确定所求方程的一个根．
【详解】解：把代入一元二次方程，得，
，
两边除以（，若，代入得，与矛盾 ），得，
，
．
∴当时，方程成立．
∴方程必有一根为 ，
故选：D．
二、填空题
11．
【分析】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，直接利用多项式乘以多项式运算法则去括号，进而合并同类项求出即可．
【详解】解：
，
整理得：
故答案为：
12．
【分析】本题考查根与系数之间的关系，熟练掌握根与系数之间的关系，是解题的关键．根据根与系数之间的关系，得到，将代数式用多项式乘以多项式的法则展开后，利用整体代入法进行求解即可．
【详解】解：由题意，得：，
∴
；
故答案为：．
13．2023
【分析】本题考查了一元二次方程的根、代数式求值，掌握理解一元二次方程的根的定义是解题关键．
先根据一元二次方程的根的定义可得，再作为整体代入即可得．
【详解】解：由题意得：，即，
则
，
故答案为：2023．
14．
【分析】此题主要考查了一元二次方程的定义．根据只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程叫一元二次方程进行解答即可．
【详解】解：依题意可得，
解得，
故答案为：．
15．且
【分析】本题考查一元二次方程的定义及根的判别式，首先将方程化为一般形式，进一步利用根判别式求解即可．解题的关键是掌握：式子是一元二次方程根的判别式，方程有两个不等的实数根；方程有两个相等的实数根；方程无实数根．
【详解】解：由得：，
∵关于的一元二次方程有实数根，
∴且，
解得：且，
即的取值范围是且．
故答案为：且．
16．100
【分析】根据日历上数字规律得出，圈出的6个数，最大数与最小数的差为16，以及利用最大数与最小数的积为225，求出两数，再利用上下对应数字关系得出其他数即可．
【详解】解：根据图象可以得出，圈出的6个数，最大数与最小数的差为16，设最小数为：x，则最大数为，根据题意得出：，
解得：，（不合题意舍去），
故最小的数为：9，
中间一行的数字分别为：15，16，17，18，
最大的数为：25，
故这6个数的和为：．
故答案为：100．
三、解答题
17．（1）解：，
，
，
，
，
∴， ；
（2），
，
，
或，
∴，．
18．解：均不对，
∵，
∴，
则，
∴或，
解得：，．
19．（1）解：∵是方程的两个根，
∴，
∴
；
（2）解：∵是方程的两个根，
∴，
∴
．
20．（1）解：∵关于的一元二次方程，
∴，且
当取不为0的任何值时，总有，
所以方程总有实数根；
（2）解：，
，
或，
由题意方程有两个不相等的正整数根，
即是正整数，且为整数，，
∴，
∴．
21．（1）解：该方程是“联合方程”，理由如下：
在一元二次方程中，，，，
，
一元二次方程是“联合方程”；
（2）解：是关于的“联合方程”，
，
是此“联合方程”的一个根，
，
即，
解得，
的值为，的值为6．
22．（1）解：设二、三这两个月的月平均增长率为，
根据题意得：，
解得：（不符合题意，舍去），
答：二、三这两个月的月平均增长率为；
（2）解：设商品降价元，则每件的销售利润为元，月销售量为件，
根据题意得：，
整理得：，
解得：（不符合题意，舍去），
答：当商品降价10元时，商场获利1250元．
23．（1）证明：
，
故无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：，，
，
，
，
，．
故m的值为或．
24．（1）解：依题意得，，
∵，
∴，
∴；
故答案为：；
（2）解：依题意得：羊的活动范围的面积为，
∴，即，
解得，
∴的长为或；
（3）解：羊的活动范围的面积不能为．理由如下，
依题意得：，即，
∵，
∴羊的活动范围的面积不能为．
25．（1）解：
，
∵，
∴，
∴当，即时，多项式有最小值，
∴多项式关于对称，
故答案为：；
（2）解：
，
同理可得当，即时，多项式有最小值，最小值为，
∵关于的多项式关于对称，且最小值为3，
∴，
∴，
∴方程即为方程，
∴，
解得．

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