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二十二章 《二次函数》章节检测卷
一、单选题（每题3分，共30分）
1．下列函数中，是二次函数的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列抛物线中，对称轴为直线的是（ ）
A． B． C． D．
3．二次函数的图象如图所示，则下列各式正确的是（ ）

A． B． C． D．
4．在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
5．抛物线经平移后，不可能得到的抛物线是（ ）
A． B．
C． D．
6．抛物线y=x2+x+c与x轴只有一个公共点，则c的值为（ ）
A． B． C． D．4
7．抛物线上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如表：
x -2 -1 0 1
y 0 4 6 6
下列结论不正确的是（ ）
A．抛物线的开口向下 B．抛物线的对称轴为直线
C．抛物线与x轴的一个交点坐标为 D．函数的最大值为
8．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a为常数，且a≠0）的图象过点(﹣1，0)，对称轴为直线x＝1，且2＜c＜3，则下列结论正确的是（　　）
A．abc＞0 B．3a+c＞0
C．a2m2+abm≤a2+ab（m为任意实数） D．﹣1＜a＜﹣
9．如图所示，一座抛物线形的拱桥在正常水位时，水面AB宽为20米，拱桥的最高点O到水面AB的距离为4米．如果此时水位上升3米就达到警戒水位CD，那么CD宽为（　　）
A．4米 B．10米 C．4米 D．12米
10．定义：我们将顶点的横坐标和纵坐标互为相反数的二次函数称为“互异二次函数”．如图，在正方形中，点，点，则互异二次函数与正方形有交点时的最大值和最小值分别是（ ）
A．4，-1 B．，-1 C．4，0 D．，-1
二、填空题（每题4分，共20分）
11．根据物理学规律，如果不考虑空气阻力，以的速度将小球沿与地面成角的方向击出，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间的函数关系是，当飞行时间t为 s时，小球达到最高点．
12．若是关于的二次函数，则的值为 ．
13．把二次函数y=x2+4x+m的图像向上平移1个单位长度，再向右平移3个单位长度，如果平移后所得抛物线与坐标轴有且只有一个公共点，那么m应满足条件： ．
14．如图，抛物线与轴交于点，与轴交于A，两点，则该抛物线的解析式是 ．
15．如图，已知P是函数y1图象上的动点，当点P在x轴上方时，作PH⊥x轴于点H，连接PO．小华用几何画板软件对PO，PH的数量关系进行了探讨，发现PO﹣PH是个定值，则这个定值为 ．
三、解答题（16-18题每题4分，19题6分，20题7分，21、22题每题8分，23题9分，共50分）
16．已知函数y=（m2-2）x2+（m+）x+8．
（1）若这个函数是一次函数，求m的值；
（2）若这个函数是二次函数，求m的取值范围.
17．一条抛物线由抛物线平移得到，对称轴为直线，并且经过点．
(1)求该抛物线的解析式，并指出其顶点坐标；
(2)该抛物线由抛物线经过怎样平移得到？
18．已知二次函数．
（1）求抛物线开口方向及对称轴．
（2）写出抛物线与y轴的交点坐标．
19．方程的根与二次函数的图象之间有什么关系？
20．利用二次函数的图象求下列一元二次方程的近似根：
（1）；（2）．
21．已知抛物线经过点，，，求该抛物线的函数关系式
22．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，经过（﹣1，0）、（3，0）、（0，﹣3）．
（1）求二次函数的解析式；
（2）不等式ax2+bx+c＞0的解集为　 　；
（3）方程ax2+bx+c＝m有两个实数根，m的取值范围为　 　．
23．小红看到一处喷水景观，喷出的水柱呈抛物线形状，她对此展开研究：测得喷水头P距地面0.7m，水柱在距喷水头P水平距离5m处达到最高，最高点距地面3.2m；建立如图所示的平面直角坐标系，并设抛物线的表达式为，其中x（m）是水柱距喷水头的水平距离，y（m）是水柱距地面的高度．
(1)求抛物线的表达式．
(2)爸爸站在水柱正下方，且距喷水头P水平距离3m，身高1.6m的小红在水柱下方走动，当她的头顶恰好接触到水柱时，求她与爸爸的水平距离．
24．如图，在平面直角坐标系中，抛物线（a≠0）的图象与x轴交于A、C两点，与y轴交于点B，其中点B坐标为（0，－4），点C坐标为（2，0）．
(1)求此抛物线的函数解析式．
(2)点D是直线AB下方抛物线上一个动点，连接AD、BD，探究是否存在点D，使得△ABD的面积最大？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
一、单选题
1．
【详解】A．是一次函数，故此选项不符合题意；
B．是二次函数，故此选项符合题意；
C．不是二次函数，故此选项不符合题意；
D．是反比例函数，故此选项不符合题意，
故选：B．
2．
【详解】解：、的对称轴为，符合题意；
、的对称轴为，不符合题意；
、的对称轴为，不符合题意；
、的对称轴为，不符合题意；
故选：．
3．
【详解】由图知，，对称轴，得，，，故A选项错误，D选项错误；
时，，故B错误；
时，，得，故C正确；
故选：C．
4．
【详解】解：A．由直线可知，由抛物线开口向上，，抛物线与轴的交点得出，故选项不符合题意；
B．由直线可知，由抛物线开口向下，，抛物线与轴的交点得出，故选项不符合题意；
C．由直线可知，由抛物线开口向上，，抛物线与轴的交点得出，故选项符合题意；
D． 由直线可知，由抛物线开口向下，，抛物线与轴的交点得出，故选项不符合题意；
故选：C．
5．
【详解】解：抛物线经平移后，不改变开口大小和开口方向，所以a不变，而D选项中a=－1，不可能是经过平移得到，
故选：D．
6．
【详解】解：∵y=x2+x+c与x轴只有一个公共点，
∴x2+x+c=0有两个相等的实数根，
∴△=1－4c=0，
解得：c=．
故选：B．
7．
【详解】解：由题意得，解得，
∴抛物线解析式为，
∴抛物线开口向下，抛物线对称轴为直线，该函数的最大值为，故A、B、D说法正确，不符合题意；
令，则，
解得或，
∴抛物线与x轴的交点坐标为（－2，0），（3，0），故C说法错误，符合题意；
故选C．
8．
【详解】解：A．抛物线的对称轴在y轴右侧，则ab＜0，而c＞0，
故abc＜0，不正确，不符合题意；
B．函数的对称轴为直线x=－=1，则b=－2a，
∵从图象看，当x=－1时，y=a－b+c=3a+c=0，
故不正确，不符合题意；
C．∵当x=1时，函数有最大值为y=a+b+c，
∴（m为任意实数），
∴，
∵a＜0，
∴（m为任意实数）
故不正确，不符合题意；
D．∵－=1，故b=－2a，
∵x=－1，y=0，故a－b+c=0，
∴c=－3a，
∵2＜c＜3，
∴2＜－3a＜3，
∴－1＜a＜﹣，故正确，符合题意；
故选：D．
9．
【详解】解：以O点为坐标原点，AB的垂直平分线为y轴，过O点作y轴的垂线，建立直角坐标系，
设抛物线的解析式为y＝ax2，
∵O点到水面AB的距离为4米，
∴A、B点的纵坐标为﹣4，
∵水面AB宽为20米，
∴A（﹣10，﹣4），B（10，﹣4），
将A代入y＝ax2，
﹣4＝100a，
∴a＝﹣，
∴y＝﹣x2，
∵水位上升3米就达到警戒水位CD，
∴C点的纵坐标为﹣1，
∴﹣1＝﹣x2，
∴x＝±5，
∴CD＝10，
故选：B．
10．
【详解】解：由正方形的性质可知：B（2,2）；
若二次函数与正方形有交点,则共有以下四种情况:
当时，则当A点在抛物线上或上方时，它们有交点，此时有，
解得：；
当时，则当C点在抛物线上或下方时，它们有交点，此时有，
解得：；
当时，则当O点位于抛物线上或下方时，它们有交点，此时有，
解得：；
当时，则当O点在抛物线上或下方且B点在抛物线上或上方时，它们才有交点，此时有，
解得：；
综上可得：的最大值和最小值分别是，．
故选：D．
二、填空题
11．
【详解】根据题意，有，
当时，有最大值．
故答案为：2．
12．
【详解】解：由题意可知 m2－2=2，m+2≠0，
解得：m=2．
故答案为：2．
13．
【详解】解：∵y=x2+4x+m=(x+2)2+m－4，
此时抛物线的顶点坐标为（－2，m－4），
函数的图象向上平移1个单位长度，再向右平移3个单位长度后的顶点坐标为（－2+3，m－4+1），即（1，m－3），
∵平移后所得抛物线与坐标轴有且只有一个公共点，
∴m－3>0，
解得：m>3，
故答案为：m>3．
14．
【详解】当时，，∴，
∴，
∴，，
∴，，
将，代入得，
，
解得，
∴该抛物线的解析式是．
15．
【详解】解：设p(x，x2－1)，则OH=|x|，PH=|x2－1|，
当点P在x轴上方时，∴x2－1>0,
∴PH=|x2－1|=x2－1，
在Rt△OHP中，由勾股定理，得
OP2=OH2+PH2=x2+(x2－1)2=(x2+1)2，
∴OP=x2+1，
∴OP－PH=（x2+1）－（x2－1）=2，
故答案为：2．
三、解答题
16．（1）由题意得，，解得m=；
（2）由题意得，m2－2≠0，解得m≠且m≠－.
17．（1）解：设所求抛物线为y =2（x+1）2+k过（1,1）
则1 =2（1+1）2+k ，
解得k=－7，
∴所求抛物线为y =2（x+1）2－7.
顶点坐标是（－1，－7）
（2）解：所求抛物线y =2（x+1）2－7是由抛物线y =2x2
向左平移1个单位长度，再向下平移7个单位长度得到
18．（1）∵，
∴抛物线开口向上，
∵=，
∴对称轴是直线；
（2）∵，
∴，
∴与y轴交点坐标是．
19．解：当y=0时，得到－x2+2x+=0，
即方程－x2+2x+=0的根是二次函数y=－x2+2x+图象与x轴的交点的横坐标．
20．解：(1)函数y=2x2+x－15的图象如图：
由图象可知x1≈2.4，x2≈－3.1；
(2)函数y=3x2－x－1的图象如图：
由图象可知x1≈0.8，x2≈－0.4；
21．解：∵抛物线经过点，，，
∴设抛物线的表达式为，
将点代入得：，解得：，
∴．
∴该抛物线的函数关系式为．
22．解：（1）把（﹣1，0）、（3，0）、（0，﹣3）代入y＝ax2+bx+c得，
解得：，
∴二次函数的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；
（2）由函数图象可知抛物线和x轴的两个交点横坐标为﹣1，3，
所以不等式ax2+bx+c＞0的解集为x＜﹣1或x＞3；
（3）设y＝ax2+bx+c和y＝m，
方程ax2+bx+c＝m有两个实数根，则二次函数图象与直线y＝m有两个交点或一个交点，
即有两个实数根，
∴，即，
解得m≥﹣4．
23．（1）解：根据题意可知抛物线的顶点为，
设抛物线的解析式为，
将点代入，得，
解得，
抛物线的解析式为，
（2）由，令，
得，
解得，
爸爸站在水柱正下方，且距喷水头P水平距离3m，
当她的头顶恰好接触到水柱时，她与爸爸的水平距离为(m)，或(m)．
24．（1）解：将B（0，－4），C（2，0）代入，
得：，解得：，
∴抛物线的函数解析式为：．
（2）向下平移直线AB，使平移后的直线与抛物线只有唯一公共点D时，此时点D到直线AB的距离最大，此时△ABD的面积最大，
∵时，，，
∴A点坐标为：（－4,0），
设直线AB关系式为：，
将A（－4,0），B（0，－4），代入，
得：，解得：，
∴直线AB关系式为：，
设直线AB平移后的关系式为：，
则方程有两个相等的实数根，
即有两个相等的实数根，
∴，
即的解为：x=－2，
将x=－2代入抛物线解析式得，，
∴点D的坐标为：（－2，－4）时，△ABD的面积最大；
（3）①当∠PAB=90°时，
即PA⊥AB，则设PA所在直线解析式为：，
将A（－4,0）代入得，，
解得：，
∴PA所在直线解析式为：，
∵抛物线对称轴为：x=－1，
∴当x=－1时，，
∴P点坐标为：（－1，3）；
②当∠PBA=90°时，
即PB⊥AB，则设PB所在直线解析式为：，
将B（0，－4）代入得，，
∴PA所在直线解析式为：，
∴当x=－1时，，
∴P点坐标为：（－1，－5）；
③当∠APB=90°时，设P点坐标为：，
∴PA所在直线斜率为：，PB在直线斜率为：，
∵PA⊥PB，
∴=－1，
解得：，，
∴P点坐标为：，

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