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2.3直线的交点坐标与距离公式同步练习卷
一、选择题(共8题；共40分)
1．两条平行直线：与：间的距离为（　　）
A． B． C．3 D．5
2．若点(2，k)到直线5x-12y+6=0的距离是4，则k的值是（　　）
A．1 B．-3 C．1或 D．-3或
3．已知点到直线的距离为1，则的值为（　　）
A．-5或-15 B．-5或15 C．5或-15 D．5或15
4．直线3x＋5y＋1＝0与直线4x＋3y＋5＝0的交点是（　　）
A．(－2，1) B．(－3，2) C．(2，－1) D．(3，－2)
5．已知直线 与 平行，则 与 的距离为（　　）
A． B． C． D．
6．点(0，﹣1)到直线 距离的最大值为（　　）
A．1 B． C． D．2
7．若三条直线 ， ， 相交于同一点，则点 到原点的距离的最小值为（　　）
A． B． C． D．
8．若原点到直线3ax＋5by＋15＝0的距离为1，则 的取值范围为（　　）
A．[ 3，4] B．[3，5] C．[1，8] D．(3，5]
二、多项选择题(共3题；共18分)
9．已知直线 和 ，若直线 到直线 的距离与到直线 的距离之比为 ，则直线的方程为（　　）
A． B．
C． D．
10．已知空间四点 ，则下列说法正确的是（　　）
A． B．
C．点O到直线 的距离为 D．O，A，B，C四点共面
11．已知平面上一点M(5，0)，若直线上存在点P使|PM|=4，则称该直线为“切割型直线”，下列直线中是“切割型直线”的是（　　）
A．y=x+1 B．y=2 C． D．y=2x+1
三、填空题(共3题；共15分)
12．点 到直线 的距离为 ，则 　 　.
13．直线Ax＋3y＋C＝0与直线2x－3y＋4＝0的交点在y轴上，则C的值为　 　．
14．平面内一点 到直线 ： 的距离为： ．由此类比，空间中一点 到平面 ： 的距离为　 　．
四、解答题(共5题；共77分)
15．已知常数，设直线，直线
（1）若，求的值
（2）若与平行，求与的距离
16．已知直线 与直线交于点.
（1）求过点 且垂直于直线的直线的方程；
（2）求过点 并且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程.
17．已知直线.
（1）若不经过第三象限，求的取值范围；
（2）求坐标原点到直线距离的最小值，并求此时直线的方程.
18．如图， 是某景区的瀑布群，已知 ，点Q到直线 ， 的距离均为2，现新修一条自A经过Q的有轨观光直路并延伸交道路 于点B．
（1）求 ；
（2）当 取得最小值时，求 .
19．如图，的顶点A，B分别在x轴的非负半轴，y轴的非负半轴上，，.
（1）求点C到y轴的距离的最大值；
（2）设点M为斜边BC的中点，证明：.
答案解析部分
1．【答案】C
【解析】【解答】两条平行直线：与：
所以两条平行线间的距离为．
故答案为：C．
【分析】直接利用两条平行直线间的距离公式求解即可．
2．【答案】D
【解析】【解答】由题得 ，解方程即得k=-3或 .
故答案为：D
【分析】利用点到直线的距离公式结合已知条件求出k的值。
3．【答案】D
【解析】【解答】因为点到直线的距离为1，
所以，解得或m=5。
故答案为：D.
【分析】利用已知条件结合点到直线的距离公式得出m的值。
4．【答案】A
【解析】【解答】联立方程，解二元一次方程组可得：x= 2， y=1.
故答案为：A.
【分析】联立两直线的方程，解方程组求出交战的坐标.
5．【答案】D
【解析】【解答】因为直线 与 平行，
所以 ，解得 ，
所以 ，即 ，
因此 与 的距离为 .
故答案为：D
【分析】先由两直线平行，求出 ，得到 ，再由两平行线间的距离公式，即可求出结果.
6．【答案】B
【解析】【解答】由 可知直线过定点 ，设 ，
当直线 与 垂直时，点 到直线 距离最大，
即为 .
故答案为：B.
【分析】首先根据直线方程判断出直线过定点 ，设 ，当直线 与 垂直时，点A到直线 距离最大，即可求得结果.
7．【答案】A
【解析】【解答】解：联立 ，解得 ， ．
∵三条直线 ， ， 相交于同一点，∴ ．
则点 到原点的距离的最小值为原点到直线 的距离 ．
故答案为：A．
【分析】利用两直线 和 相交联立方程求交点的方法求出交点坐标，再利用三条直线 ， ， 相交于同一交点，利用代入法求出，再利用几何法推出点 到原点的距离的最小值为原点到直线 的距离，再利用点到直线的距离公式求出点 到原点的距离的最小值。
8．【答案】B
【解析】
【解答】根据条件及点到直线的距离公式得： ，所以 ，则 ，因为 ，所以 于是
；因为 所以 所以 故选B
【分析】本题主要考查了点到直线的距离公式，解决问题的关键是根据点到线的距离公式得到 ，得到 将问题转化为函数问题进行解决.
9．【答案】B,D
【解析】【解答】设直线 ， 且 ，
直线 到直线 和 的距离分别为 ，
由题知： ， ，
因为 ，所以 ，
即 ，解得 或 ，
即直线 为 或 。
故答案为：BD
【分析】首先设直线 ，直线 到直线 和 的距离分别为 ，根据题意得到 ，再解方程即可得到答案。
10．【答案】A,B,C
【解析】【解答】 ，
，A符合题意；
，B符合题意；
， ，所以 ， ，所以点O到直线 的距离为 ，C符合题意；
，
假设若O，A，B，C四点共面，则 共面，设 ，
则 ，此方程组无解，所以O，A，B，C四点不共面，D不符合题意．
故答案为：ABC．
【分析】利用已知条件结合数量积的坐标表示求出数量积的值；再利用数量积求向量夹角公式结合数量积的坐标表示和向量的模的坐标表示，进而求出两向量的夹角；再利用数量积为0两向量垂直结合数量积的坐标表示，进而证出两向量垂直，再结合向量的模的坐标表示求出点O到直线 的距离；再利用假设法，若O，A，B，C四点共面则两向量共面，再结合平面向量基本定理，进而推出方程无解，得出 O，A，B，C四点不共面，进而选出说法正确的选项。
11．【答案】B,C
【解析】【解答】A. 点M(5，0)到直线 y=x+1的距离为： ，故错误；
B. 点M(5，0)到直线y=2的距离为： ，故正确；
C. 点M(5，0)到直线 的距离为： ，故正确；
D. 点M(5，0)到直线y=2x+1的距离为： ，故错误；
故答案为：BC
【分析】根据切割型直线的定义，由点M(5，0)到直线距离不大于4求解.
12．【答案】 或11
【解析】【解答】由点到直线的距离公式可得点 到直线 的距离为，
，
依题意可得 ，化简得， ，
所以 或 ，
解得 或 .
故答案为 或11.
【分析】根据点到直线的距离公式求出点 到直线 的距离，再根据已知距离列等式可解得.
13．【答案】-4
【解析】【解答】直线2x－3y＋4＝0与y轴的交点是 ，由题意得点 也在直线Ax＋3y＋C＝0上，所以 ，解得c=-4．
【分析】计算出直线2x-3y+4=0与y轴的交点坐标，代入所求直线中，即可得出答案。
14．【答案】
【解析】【解答】平面内一点 到直线 ： 的距离为： ．由此类比，空间中一点 到平面 的距离为：
.
所以空间中一点 到平面 ： 的距离为 .
故答案为：
【分析】根据题意由点到直线的距离公式结合题意，再由点到平面的结论公式计算出结果即可。
15．【答案】（1）解：由题意知的法向量为，的法向量为
若，则
（2）解：若与平行，则
经检验
则直线，直线
则与的距离为
【解析】【分析】（1）根据已知条件，结合直线垂直的条件列式求解即可；
（2）根据直线平行的条件先求出，注意检验，再结合平行线间的距离公式求解即可.
16．【答案】（1）解：由 得 交点
由题直线 的斜率直线的方程 ：
（2）解：当直线 过原点时： 直线斜率为， 此时直线方程：
当直线 不过原点时： 设直线，
代入点 得， 此时直线方程：
综上： 直线 的方程为：或
【解析】【分析】(（1）联立两条直线的方程，解出交点坐标，在利用两直线垂直斜率之积为-1，求得直线的斜率，然后结合点斜式写出直线方程即可；
（2）分直线过原点，和不过原点两种情况进行分类讨论再结合截距式解题即可.
17．【答案】（1）解：直线l的方程可化为，
要使直线l不经过第三象限，则必须有，
解得，故的取值范围是
（2）解：设原点到直线l的距离为，则，
当且仅当，即时，等号成立，
所以原点到直线l的距离的最小值为，
此时直线l的方程为或.
【解析】【分析】本题考查直线截距式方程的应用，点到直线的距离公式.
（1）将直线方程转化为斜截式可得：，根据直线l不经过第三象限，可列出方程组，解方程组可求出实数的取值范围；
（2）利用点线距离公式可列出式子，利用基本不等式可求得，利用基本不等式取等号的条件可求出的值，进而求出直线方程和最小值.
18．【答案】（1）解：以点O为坐标原点，直线 为x轴，建立平面直角坐标系，如图所示.
则由题可得直线 的方程为 ，
Q到直线 的距离为2，设 .
由 ，解得 或 （舍去），所以 .
故
（2）解：设 ， ，
所以 ，则 ，即 .
又 ，
当且仅当 ，即 ， 时，等号成立.
此时 ，则
【解析】【分析】(1)根据题意建立直角坐标系，由此设出点的坐标，再由点到直线的距离公式整理计算出，然后由两点间的距离公式计算出结果即可。
(2)由已知条件设出点的坐标，，由正切函数的坐标公式整理即可得到，再由题意得到结合基本不等式求出的最小值，以及取得最小值的a与b的值，由此得到的值。
19．【答案】（1）解：设，则，，
则点到轴的距离为，
等号成立当且仅当，
故点到轴的距离的最大值为；
（2）解：点，故.
当时，；
当，，
则，
所以.
【解析】【分析】(1)由已知条件设出角的大小，结合任意角的三角函数的定义，即可求出点的坐标，由点到直线的距离公式结合两角和的正弦公式整理化简，然后由基本不等式即可求出距离的最大值。
(2)由已知条件即可得出点的坐标，然后由正切函数的定义结合同角三角函数的基本关系式，结合正切函数的单调性即可求出的取值范围，由此即可得出角的取值范围
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