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2024-2025学年甘肃省兰州市科中九年级（上）期中数学试卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（3分）计算（﹣1）×（﹣3）的结果为（　　）
A．3 B． C．﹣3 D．﹣4
2．（3分）古汉字“雷”的下列四种写法，可以看作轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（3分）2024年4月25日20时在酒泉卫星发射中心成功发射神舟十八号载人飞船，神舟十八号载人飞船与长征二号F遥十八运载火箭组合体，总重量400000多千克．将400000用科学记数法表示应为（　　）
A．40×104 B．4×104 C．4×105 D．0.4×106
4．（3分）下列运算正确的是（　　）
A．x3+x3＝x6 B．x3 x9＝x27 C．（x2）3＝x5 D．x3÷x＝x2
5．（3分）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AB的中点，连接OE．若OE＝3，则菱形的边长为（　　）
A．6 B．8 C．10 D．12
6．（3分）若关于x的一元二次方程x2﹣4x+c＝0有两个相等的实数根，则实数c的值为（　　）
A．﹣16 B．﹣4 C．4 D．16
7．（3分）在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点，EG，FH交于点O．若四边形ABCD的对角线相等，则线段EG与FH一定满足的关系为（　　）
A．互相垂直平分 B．互相平分且相等
C．互相垂直且相等 D．互相垂直平分且相等
8．（3分）2024年央视春晚的主题为“龙行龘龘，欣欣家国”．“龙行龘龘”寓意中华儿女奋发有为、昂扬向上的精神风貌．将分别印有“龙”“行”“龘”“龘”四张质地均匀、大小相同的卡片放入盒中，从中随机抽取一张不放回，再从中随机抽取一张，则抽取的两张卡片上恰有一张印有汉字“龘”的概率为（　　）
A． B． C． D．
9．（3分）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（　　）
A．﹣b＞a＞0 B．b＞﹣a＞1 C．b＜﹣a＜﹣1 D．﹣a＜b＜﹣2
10．（3分）一只杯子静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力G的方向竖直向下，支持力F1的方向与斜面垂直，摩擦力F2的方向与斜面平行．若斜面的坡角α＝25°，则摩擦力F2与重力G方向的夹角β的度数为（　　）
A．155° B．125° C．115° D．65°
11．（3分）如图， ABCD的顶点A，B，C的坐标分别是（0，1），（﹣2，﹣2），（2，﹣2），则顶点D的坐标是（　　）
A．（﹣4，1） B．（4，﹣2） C．（4，1） D．（2，1）
12．（3分）如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，O为对角线的交点．将菱形ABCD绕点O逆时针旋转90°得到菱形A′B′C′D′，两个菱形的公共点为E，F，G，H．对八边形BFB′GDHD′E给出下面四个结论：
①该八边形各边长都相等；
②该八边形各内角都相等；
③点O到该八边形各顶点的距离都相等；
④点O到该八边形各边所在直线的距离都相等．
上述结论中，所有正确结论的序号是（　　）
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
二、填空题：本大题共4小题，每小题3分，共12分。
13．（3分）若2x＝5y，则 　 　 ．
14．（3分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，已知∠BOC＝120°，DC＝3cm，则AC的长为　 　 cm．
15．（3分）黄金分割是汉字结构最基本的规律．借助如图的正方形习字格书写的汉字“晋”端庄稳重、舒展美观．已知一条分割线的端点A，B分别在习字格的边MN，PQ上，且AB∥NP，“晋”字的笔画“、”的位置在AB的黄金分割点C处，且，若NP＝2cm，则BC的长为 　 　 cm（结果保留根号）．
16．（3分）小夏同学从家到学校有A，B两条不同的公交线路．为了解早高峰期间这三条线路上的公交车从甲地到乙地的用时情况，在每条线路上随机选取了500个班次的公交车，收集了这些班次的公交车用时（单位：分钟）的数据，统计如下：
据此估计，早高峰期间，乘坐B线路“用时不超过35分钟”的概率为 　 　 ，若要在40分钟之内到达学校，应尽量选择乘坐 　 　 （填A或B）线路．
25≤t≤30 30＜t≤35 35＜t≤40 40＜t≤45 总计
A 59 151 166 124 500
B 43 57 149 251 500
三、解答题：本大题共11小题，共72分.解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（4分）计算：（）．
18．（4分）用配方法解方程：x2﹣2x﹣8＝0．
19．（5分）解不等式组：．
20．（6分）已知x2+2x﹣1＝0，求代数式（x+1）2+x（x+4）+（x﹣3）（x+3）的值．
21．（6分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（﹣1，2），B（﹣4，3），C（﹣3，1）．
（1）以点B为位似中心，在点B的下方画出△A1BC1，使△A1BC1与△ABC位似，且相似比为2：1；
（2）画出△A2B1C2，使得它与△ABC关于点O中心对称，并写出C2的坐标．
22．（7分）如图，在△ABC中，AC＝BC，点D，E，F分别是AB，AC，BC的中点，连接DE，DF．求证：四边形DFCE是菱形．
23．（7分）3月22日是世界水日，世界水日的宗旨是唤起公众的节水意识、加强水资源保护．某校为提倡节约用水、增强节约用水意识，在全校开展了节约用水知识竞赛活动．七、八、九年级各有200名学生参加了知识竞赛活动，为了解三个年级的竞赛答题情况，从三个年级各随机抽取了20名学生的成绩进行调查分析，下面给出了部分信息：
a．七年级学生的成绩整理如下（单位：分）：
60 67 69 75 75 75 77 77 78 78
80 80 80 80 86 86 88 88 89 96
b．八年级成绩的频数分布直方图如下（数据分成四组：60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x≤100）：
其中成绩在80≤x＜90的数据如下（单位：分）：81 81 81 82 83 84 85 86 87 89
c．三组样本数据的平均数、中位数、众数如下表所示：
年级 平均数 中位数 众数
七年级 79.2 79 m
八年级 80.3 n 78
九年级 79.5 79 81
根据所给信息，解答下列问题：
（1）m＝ 　 　 ，n＝ 　 　 ；
（2）估计 　 　 年级学生的成绩高于本年级平均分的人数更多；
（3）若成绩达到80分及以上为优秀，九年级抽出的20名学生中有10人优秀，估计三个年级此次竞赛成绩优秀的总人数．
24．（7分）《九章算术》是中国古代第一部数学专著，是《算经十书》中最重要的一种，成于公元一世纪左右．在其“勾股”章中有这样一个问题：“今有邑，东西七里，南北九里，各开中门，出东门一十五里有木，问：出南门几何步而见木？”意思是说：如图，矩形城池ABCD，东边城墙AB长9里，南边城墙AD长7里，东门点E，南门点F分别是AB，AD的中点，EG⊥AB，FH⊥AD．EG＝15里，HG经过点A，则FH等于多少里？
请你根据上述题意，求出FH的长度．
25．（8分）甘肃是面食之乡，其中“金城炒面”也最为有名，它浓郁的西北辣子的香味、爽滑入口、口感劲道，与兰州牛肉面一样享誉全国．兰州某餐馆一份炒面成本价为7元，若每份卖12元，平均每天销售160份，若价格每提高1元，平均每天少销售10份，每份炒面价格是多少元时，该餐馆能实现每天1080元的利润？
26．（8分）已知：如图，在等边三角形ABC中，过边AB上一点D作DE⊥BC，垂足为点E，过边AC上一点G作GF⊥BC，垂足为点F，BE＝CF，联结DG．
（1）求证：四边形DEFG是平行四边形；
（2）连接AF，当∠BAF＝3∠FAC时，求证：四边形DEFG是正方形．
27．（10分）如图1，正方形ABCD中，点P是直线AB上一个动点，连接DP，过点C作CM⊥DP于点M，过点A作AN∥MC交DP于点N，连接BM、CM．
（1）若点P在边AB上，猜想：
①线段BM和线段CN的数量关系是 　 　 ；
②线段BM和线段CN的位置关系是 　 　 ．
（2）如图2，点P在AB延长线上，（1）中的猜想成立吗？请说明理由．
（3）已知AB＝5，当DN＝2AN时．直接写出BM的长．

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